人教版九年级数学 秋季培优讲义 第13讲-圆中的位置关系-讲义

50％圆圆中的位置关系第三讲

50％圆圆中的位置关系第三讲课程预览课程预览圆中的位置关系圆中的位置关系点与圆的位置关系点与圆的位置关系线与圆的位置关系线与圆的位置关系圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系趣味课堂趣味课堂数学学不好，这事不赖我，早饭的锅！数学学不好，这事不赖我，早饭的锅！早饭：“怪我喽？”板块一点与圆的位置关系板块一点与圆的位置关系点与圆的位置关系点与圆的位置关系三角形的外接圆点与圆的位置关系三角形的外接圆点与圆的位置关系课堂笔记课堂笔记

点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有：点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，这三种关系由这个点到圆心的距离d与半径r的大小关系决定．

位置关系图形定义性质及判定点在圆外OOPr点在圆的外部点P在的外部．点在圆上OOPr点在圆周上点P在上．点在圆内OOPr点在圆的内部点P在的内部．过已知点作圆：

①经过点A的圆：以点A以外的任意一点O为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A的圆，这样的圆有无数个．②经过两点A、B的圆：以线段AB中垂线上任意一点O作为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A、B的圆，这样的圆也有无数个．③过三点的圆：若这三点A、B、C共线时，过三点的圆不存在；若A、B、C三点不共线时，圆心是线段AB与BC的中垂线的交点，而这个交点O是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．④过个点的圆：只可以作0个或1个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的圆的圆心．注：不在同一直线上的三点确定一个圆．

三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．

三角形的外接圆的性质：①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；

②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合．

外心与三角形的位置关系：锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部．

OPAB点到圆上的点的距离的最大值和最小值：

平面内任意一点P到圆上点的距离的最大值和最小值我们只需把

点P和圆心O相连并延长，直线PO与圆有两个交点A、B，则

和P点较近的点B就是点P到圆上距离最近的点，较远的点A就是点OPAB点点精讲点点精讲题型一题型一点与圆的位置关系（1）⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离，则点A与⊙O的位置关系为（）

A．点A在圆上 B．点A在圆内 C．点A在圆外 D．无法确定

（2）已知⊙O是以坐标原点O为圆心，5为半径的圆，点M的坐标为，则点M与⊙O的位置关系为（）

A．M在⊙O上 B．M在⊙O内 C．M在⊙O外 D．无法确定

（3）在平面直角坐标系中，，圆M半径为4，那么点与圆M的位置关系是（）

A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．无法确定

题型二题型二点到圆上点的距离的最大值和最小值OPAB求证：（1）PA是点P到圆O上的点连线的最长的线段；

（2）PB是点P到圆O上的点连线的最短的线段．

OPAB（1）已知圆内一点到圆周上的点的最大距离是7，最小距离是5，则该圆的半径是()

A．2 B．6 C．12 D．7

（2）一个已知点到圆周上的点的最大距离为，最小距离为，则此圆的半径为_____________．

点点精练点点精练在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，5为半径作⊙O，已知A、B、C三点的坐标分别为、、．试判断A、B、C三点与⊙O的位置关系．

一个点到圆周上的点的最大距离为8，最小距离为2，则此圆的半径为_____________．

板块二线与圆的位置关系板块二线与圆的位置关系线与圆的位置关系

线与圆的位置关系切线的性质与判定线与圆的位置关系切线的性质与判定线与圆的位置关系课堂笔记

线与圆的位置关系：课堂笔记位置关系图形定义性质及判定相交OOrdl直线和圆有两个公共点．直线与圆相交．相切OOrdl直线和圆只有一个公共点．直线与圆相切．相离OOrdl直线和圆没有公共点．直线与圆相离．直线与圆相交，这条直线叫做圆的割线；直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线．

切线的性质：①切线和圆有唯一公共点；

②圆心到切线的距离等于圆的半径；

③切线垂直于过切点的半径．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

注意：定理中“经过半径的外端”与“垂直于这条半径”两个条件缺一不可．切线的判定方法：

①直线与圆有唯一公共点；

②圆心到直线的距离等于该圆的半径（直线和圆没有明确交点，从圆心向直线做垂线，证明垂线段的长度等于半径的长度）；

③切线的判定定理，即经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线（直线和圆有明确的交点，连结圆心和交点，证明这条半径和直线垂直）．点点精讲点点精讲题型一题型一线与圆的位置关系（1）已知

（2）已知，，C为边OB上一点，且，以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是（）

A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定

（3）在Rt△ABC中，，，，以点C为圆心2为半径的圆与AB的位置关系是（）

A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定

（4）已知⊙O半径为3，M为直线AB上一点，若，则直线AB与⊙O的位置关系为（）

A．相切 B．相交 C．相切或相离 D．相切或相交

AB如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（）

A．

B．

C．

D．

ABCABD如图，在Rt△ABC中，，，，以C为圆心，r为半径的圆与AB所在的直线有何种位置关系？为什么？

（1）；

（2）；

（3）．

CABD题型二题型二切线的性质ABOCABDCE（1）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO的延长线交⊙O于C点，连接BC，若，，则AC等于（）

A．4

B．6

C．

D．

（2）如图，在△ABC中，，，BCD，与AB相交于点E，求证：．

ABOCABDCEPACDOB如图，AB是半圆O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD，垂足为D，连结BC．

（1）求证：BC平分；

（2）若，，求AB的长．

PACDOB题型三题型三切线的判定OABCD如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CD，垂足为D，且AC平分，求证：DC是⊙O的切线．

OABCDCBAOP如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于P．

（1）若，求证：PC是⊙O的切线；

（2）若，，求证：PC是⊙O的切线．

CBAOPADENCBMO如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，E是⊙O上一点，D是AM上一点，连接DE并延长交BN于点C，且OD∥BE．求证：DE与⊙O相切．

ADENCBMOOABCD如图所示，AB和CD是大圆的两条弦，且，弦AB是小圆的切线．

求证：CD是小圆的切线．

OABCD点点精练点点精练在平面直角坐标系中，以点为圆心，4为半径的圆与y轴所在直线的位置关系是（）

A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定

ODBCPA如图，△ABC内接于⊙O，，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且．

（1）求证：PA是⊙O的切线；

（2）若，求⊙O的直径．

ODBCPADBCEA如图，，D为BC的中点，⊙D与AB切于E点．

求证：AC与⊙D相切．

DBCEA板块三圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系板块三圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系的应用圆与圆的位置关系的应用课堂笔记课堂笔记位置关系图形性质及判定外离dd两圆外离．外切dd两圆外切．相交dd两圆相交．内切dd两圆内切．内含dd两圆内含．两圆的位置关系：注1：上表中的d为两个圆圆心的距离，简称圆心距．

注2：同心圆是内含的一种特殊情况．

注3：外离和内含时两圆都没有交点；外切和内切两圆有一个交点；相交有两个交点．

题型一两圆的位置关系题型一两圆的位置关系点点精讲（1）已知两个圆的半径分别为3和5，若它们的圆心距为1，则这两个圆的位置关系是__________；若它们的圆心距为2，则这两个圆的位置关系是__________；若它们的圆心距为3，则这两个圆的位置关系是__________；若它们的圆心距为8，则这两个圆的位置关系是___________；若它们的圆心距为9，则这两个圆的位置关系是_________．

（2）已知两圆的半径分别为4和6，圆心距为d，若两圆没有公共点，则d的取值范围是_________．

点点精练点点精练若两个圆的半径分别为2和1，圆心距为3，则这两个圆的位置关系是（）

A．内含 B．内切 C．相交 D．外切

如图，⊙、⊙、⊙两两相外切，⊙的半径，⊙的半径，⊙的半径，则△是（）

A．锐角三角形

B．直角三角形

C．钝角三角形

D．锐角三角形或钝角三角形

AB如图，⊙、⊙相交于A、B两点，两圆半径分别为6cm和8cm，两圆的连心线的长为10cm，则弦AB的长为（