北师大版高中数学选修2-11立体几何专题练习题

2026年北师大版高中数学选修2-11立体几何专题练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在空间直角坐标系中，点A（1，2，3）到平面α：x-y+z=1的距离为（）A．√3/2B．√5/2C．√7/2D．2√3/3解析：点A到平面α的距离公式为d=|Ax₀-y₀+z₀+d|/√(A²+B²+C²)，代入A(1,2,3)和α方程得d=|1-2+3-1|/√(1+1+1)=√3/2，故选A。2.已知直线l：x=2与平面α：x-y+2z=0所成角的余弦值为（）A．1/3B．2/3C．√2/3D．√3/3解析：直线l的方向向量为(0,0,1)，平面α的法向量为(1,-1,2)，余弦值cosθ=|l•n|/|l||n|=|0×1+0×(-1)+1×2|/√(0²+0²+1²)×√(1²+(-1)²+2²)=2/√6=√2/3，故选C。3.若三棱锥P-ABC的体积为V，过顶点P作三条侧棱PA、PB、PC的平行平面分别交BC、CA、AB于D、E、F，则三棱锥P-DEF的体积为（）A．V/2B．V/3C．V/4D．V/6解析：由平行平面性质知DEF∽ABC，相似比为1/2，体积比为(1/2)³=1/8，但PDEF与PABC同底等高，体积比等于底面积比，故为1/4，故选C。4.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为2，侧棱长为√3，则其侧面与底面所成二面角的正切值为（）A．1B．√2C．√3/3D．2√2/3解析：取CD中点E，连接SE，则∠SEB为二面角平面角，BE=√2，SE=√(SB²-BE²)=√(3-2)=1，tan∠SEB=BE/SE=√2，故选B。5.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁的中点，F为棱BB₁的中点，则直线AE与平面B₁C₁CD所成角的正弦值为（）A．1/3B．√2/3C．√3/3D．2/3解析：以D为原点建立空间直角坐标系，A(1,1,1)，E(0,1,√2)，B₁(1,2,0)，平面B₁C₁CD的法向量为(0,1,0)，AE方向向量为(-1,0,√2)，sinθ=|AE×n|/|AE||n|=|(-1,0,√2)×(0,1,0)|/√3×1=√3/3，故选C。6.已知球O的半径为R，点P在球面上，OP与球面上过P的某大圆所在平面的距离为R/2，则OP与大圆所在平面的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°解析：设大圆平面为α，OP与α的交点为Q，则PQ=R/2，OP=R，cos∠POQ=|PQ|/|OP|=R/2R=1/2，∠POQ=60°，故选C。7.已知正三棱锥S-ABC的底面边长为a，侧棱长为2a，过BC的中点D作平行于SA的直线交SB、SC于E、F，则四棱锥S-EFBC的体积为（）A．1/6a³B．1/4a³C．1/3a³D．1/2a³解析：由平行性质知E、F分别在SB、SC上且SE=SF，四棱锥体积为原三棱锥体积的一半，原体积V=1/3×(√3/4)a²×2a=√3/6a³，故为1/2V=√3/12a³，但选项无√3，重新计算：取AB中点G，连接DG交SC于F，则S-EFBC为直三棱锥，底面EF=√3/2a，高为a，体积为1/3×(√3/4)a²×a=√3/12a³，选项有误，正确答案应为1/6a³（若按原题设）。8.已知正四棱台的上、下底面边长分别为a、2a，高为a，则其侧棱与底面所成角的余弦值为（）A．1/√3B．√2/3C．√3/3D．2/3解析：取上下底面中心O₁、O，连接OO₁，设侧棱与底面夹角为θ，则cosθ=OO₁/侧棱长=√(a²+(a²+a²))=√6/√3=√2/√3，选项有误，正确计算为cosθ=a/√(a²+a²)=1/√2，但选项无√2，重新计算：设侧棱与底面夹角为θ，则cosθ=OO₁/侧棱长=a/√(a²+(a²+a²))=a/√6=a/√3，故选C。9.已知正六棱锥S-ABCDEF的底面边长为a，侧棱长为2a，过对角线AD作平行于SB的平面交SC、SE于M、N，则四棱锥S-MNAD的体积为（）A．1/6a³B．1/4a³C．1/3a³D．1/2a³解析：由平行性质知M、N分别在SC、SE上且SM=SN，四棱锥体积为原三棱锥体积的一半，原体积V=1/3×(3√3/2)a²×2a=√3a³，故为1/2V=√3/6a³，但选项无√3，重新计算：取AD中点G，连接SG交BC于M，交EF于N，则S-MNAD为直三棱锥，底面MN=√3a，高为a，体积为1/3×(√3/4)a²×a=√3/12a³，选项有误，正确答案应为1/6a³（若按原题设）。10.已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁的中点，F为棱BB₁的中点，则直线AE与平面B₁C₁CD所成角的正弦值为（）A．1/3B．√2/3C．√3/3D．2/3解析：以D为原点建立空间直角坐标系，A(1,1,1)，E(0,1,√2)，B₁(1,2,0)，平面B₁C₁CD的法向量为(0,1,0)，AE方向向量为(-1,0,√2)，sinθ=|AE×n|/|AE||n|=|(-1,0,√2)×(0,1,0)|/√3×1=√3/3，故选C。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知正三棱锥S-ABC的底面边长为2，侧棱长为√3，则其侧面与底面所成二面角的正切值为______。解：取CD中点E，连接SE，∠SEB为二面角平面角，BE=√2，SE=1，tan∠SEB=BE/SE=√2，故填√2。2.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁的中点，F为棱BB₁的中点，则直线AE与平面B₁C₁CD所成角的正弦值为______。解：以D为原点建立空间直角坐标系，A(1,1,1)，E(0,1,√2)，B₁(1,2,0)，平面B₁C₁CD的法向量为(0,1,0)，AE方向向量为(-1,0,√2)，sinθ=|AE×n|/|AE||n|=√3/3，故填√3/3。3.已知球O的半径为R，点P在球面上，OP与球面上过P的某大圆所在平面的距离为R/2，则OP与大圆所在平面的夹角为______。解：设大圆平面为α，OP与α的交点为Q，PQ=R/2，OP=R，cos∠POQ=1/2，∠POQ=60°，故填60°。4.若三棱锥P-ABC的体积为V，过顶点P作三条侧棱PA、PB、PC的平行平面分别交BC、CA、AB于D、E、F，则三棱锥P-DEF的体积为______。解：DEF∽ABC，相似比为1/2，体积比为1/8，但PDEF与PABC同底等高，体积比等于底面积比，故为1/4，故填1/4。5.已知正四棱台的上、下底面边长分别为a、2a，高为a，则其侧棱与底面所成角的余弦值为______。解：取上下底面中心O₁、O，连接OO₁，设侧棱与底面夹角为θ，cosθ=a/√(a²+a²)=1/√2，但选项无√2，重新计算：cosθ=a/√(a²+(a²+a²))=a/√6=a/√3，故填√3/3。6.已知正六棱锥S-ABCDEF的底面边长为a，侧棱长为2a，过对角线AD作平行于SB的平面交SC、SE于M、N，则四棱锥S-MNAD的体积为______。解：由平行性质知M、N分别在SC、SE上且SM=SN，四棱锥体积为原三棱锥体积的一半，原体积V=√3a³，故为1/2V=√3/6a³，但选项无√3，重新计算：取AD中点G，连接SG交BC于M，交EF于N，则S-MNAD为直三棱锥，底面MN=√3a，高为a，体积为1/3×(√3/4)a²×a=√3/12a³，故填√3/12a³（若按原题设）。7.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁的中点，F为棱BB₁的中点，则直线AE与平面B₁C₁CD所成角的正弦值为______。解：以D为原点建立空间直角坐标系，A(1,1,1)，E(0,1,√2)，B₁(1,2,0)，平面B₁C₁CD的法向量为(0,1,0)，AE方向向量为(-1,0,√2)，sinθ=√3/3，故填√3/3。8.已知正三棱锥S-ABC的底面边长为2，侧棱长为√3，则其侧面与底面所成二面角的正切值为______。解：取CD中点E，连接SE，∠SEB为二面角平面角，BE=√2，SE=1，tan∠SEB=√2，故填√2。9.已知球O的半径为R，点P在球面上，OP与球面上过P的某大圆所在平面的距离为R/2，则OP与大圆所在平面的夹角为______。解：设大圆平面为α，OP与α的交点为Q，PQ=R/2，OP=R，cos∠POQ=1/2，∠POQ=60°，故填60°。10.若三棱锥P-ABC的体积为V，过顶点P作三条侧棱PA、PB、PC的平行平面分别交BC、CA、AB于D、E、F，则三棱锥P-DEF的体积为______。解：DEF∽ABC，相似比为1/2，体积比为1/8，但PDEF与PABC同底等高，体积比等于底面积比，故为1/4，故填1/4。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若直线l与平面α所成角的正弦值为1/2，则直线l与平面α所成角的余弦值也为1/2。解：sin²θ+cos²θ=1，sinθ=1/2⇒cosθ=±√3/2，故错误。2.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，对角线AC与对角线B₁D₁所成的角为60°。解：AC与B₁D₁所成角为∠ACB₁，cos∠ACB₁=|AC×B₁D₁|/|AC||B₁D₁|=√2/2，∠ACB₁=45°，故错误。3.若三棱锥P-ABC的体积为V，过顶点P作三条侧棱PA、PB、PC的平行平面分别交BC、CA、AB于D、E、F，则三棱锥P-DEF的体积为原三棱锥体积的1/8。解：DEF∽ABC，相似比为1/2，体积比为1/8，故正确。4.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁的中点，F为棱BB₁的中点，则直线AE与平面B₁C₁CD所成角的正弦值为√3/2。解：以D为原点建立空间直角坐标系，A(1,1,1)，E(0,1,√2)，B₁(1,2,0)，平面B₁C₁CD的法向量为(0,1,0)，AE方向向量为(-1,0,√2)，sinθ=√3/3，故错误。5.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为2，侧棱长为√3，则其侧面与底面所成二面角的正切值为√3/3。解：取CD中点E，连接SE，∠SEB为二面角平面角，BE=√2，SE=1，tan∠SEB=√2，故错误。6.已知球O的半径为R，点P在球面上，OP与球面上过P的某大圆所在平面的距离为R/2，则OP与大圆所在平面的夹角为30°。解：设大圆平面为α，OP与α的交点为Q，PQ=R/2，OP=R，cos∠POQ=1/2，∠POQ=60°，故错误。7.在正六棱锥S-ABCDEF的底面边长为a，侧棱长为2a，过对角线AD作平行于SB的平面交SC、SE于M、N，则四棱锥S-MNAD的体积为原三棱锥体积的1/2。解：由平行性质知M、N分别在SC、SE上且SM=SN，四棱锥体积为原三棱锥体积的一半，故正确。8.已知正四棱台的上、下底面边长分别为a、2a，高为a，则其侧棱与底面所成角的余弦值为√3/3。解：取上下底面中心O₁、O，连接OO₁，设侧棱与底面夹角为θ，cosθ=a/√(a²+a²)=1/√2，但选项无√2，重新计算：cosθ=a/√(a²+(a²+a²))=a/√6=a/√3，故错误。9.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁的中点，F为棱BB₁的中点，则直线AE与平面B₁C₁CD所成角的正弦值为√3/2。解：以D为原点建立空间直角坐标系，A(1,1,1)，E(0,1,√2)，B₁(1,2,0)，平面B₁C₁CD的法向量为(0,1,0)，AE方向向量为(-1,0,√2)，sinθ=√3/3，故错误。10.若三棱锥P-ABC的体积为V，过顶点P作三条侧棱PA、PB、PC的平行平面分别交BC、CA、AB于D、E、F，则三棱锥P-DEF的体积为原三棱锥体积的1/4。解：DEF∽ABC，相似比为1/2，体积比为1/8，但PDEF与PABC同底等高，体积比等于底面积比，故为1/4，故正确。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，求对角线AC₁与平面ABB₁A₁所成角的余弦值。解：AC₁方向向量为(1,1,1)，平面ABB₁A₁的法向量为(0,0,1)，cosθ=|AC₁•n|/|AC₁||n|=1/√3，故填1/√3。2.在正三棱锥S-ABC中，底面边长为a，侧棱长为2a，求侧面与底面所成二面角的正切值。解：取CD中点E，连接SE，∠SEB为二面角平面角，BE=√3/2a，SE=√(4a²-3/4a²)=√(16/4-3/4)a=√(13/4)a，tan∠SEB=BE/SE=√3/2a/(√13/2)a=√3/√13，故填√3/√13。3.已知球O的半径为R，点P在球面上，OP与球面上过P的某大圆所在平面的距离为R/2，求OP与大圆所在平面的夹角。解：设大圆平面为α，OP与α的交点为Q，PQ=R/2，OP=R，cos∠POQ=1/2，∠POQ=60°，故填60°。4.在正四棱锥S-ABCD中，底面边长为a，侧棱长为√3a，求侧面与底面所成二面角的正切值。解：取CD中点E，连接SE，∠SEB为二面角平面角，BE=√2/2a，SE=√(3a²-2/4a²)=√(12/4-2/4)a=√(10/4)a，tan∠SEB=BE/SE=√2/2a/(√10/2)a=√2/√10=√5/5，故填√5/5。5.已知正六棱锥S-ABCDEF的底面边长为a，侧棱长为2a，求侧面与底面所成二面角的正切值。解：取CD中点E，连接SE，∠SEB为二面角平面角，BE=√3/2a，SE=√(4a²-3/4a²)=√(13/4)a，tan∠SEB=BE/SE=√3/2a/(√13/2)a=√3/√13，故填√3/√13。6.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁的中点，F为棱BB₁的中点，求直线AE与平面B₁C₁CD所成角的正弦值。解：以D为原点建立空间直角坐标系，A(1,1,1)，E(0,1,√2)，B₁(1,2,0)，平面B₁C₁CD的法向量为(0,1,0)，AE方向向量为(-1,0,√2)，sinθ=|AE×n|/|AE||n|=√3/3，故填√3/3。7.已知正三棱锥S-ABC的底面边长为2，侧棱长为√3，求侧面与底面所成二面角的正切值。解：取CD中点E，连接SE，∠SEB为二面角平面角，BE=√2，SE=1，tan∠SEB=√2，故填√2。8.在正四棱台S-ABCD中，上、下底面边长分别为a、2a，高为a，求侧棱与底面所成角的余弦值。解：取上下底面中心O₁、O，连接OO₁，设侧棱与底面夹角为θ，cosθ=a/√(a²+(a²+a²))=a/√6=a/√3，故填√3/3。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱长为a，求对角线AC₁与对角线BD₁所成角的余弦值。解：AC₁方向向量为(1,1,1)，BD₁方向向量为(1,-1,1)，cosθ=|AC₁•BD₁|/|AC₁||BD₁|=1/√3×√3=1/2，故填1/2。2.在正三棱锥S-ABC中，底面边长为a，侧棱长为2a，求侧面与底面所成二面角的正切值。解：取CD中点E，连接SE，∠SEB为二面角平面角，BE=√3/2a，SE=√(4a²-3/4a²)=√(13/4)a，tan∠SEB=BE/SE=√3/2a/(√13/2)a=√3/√13，故填√3/√13。3.已知球O的半径为R，点P在球面上，OP与球面上过P的某大圆所在平面的距离为R/2，求OP与大圆所在平面的夹角。解：设大圆平面为α，OP与α的交点为Q，PQ=R/2，OP=R，cos∠POQ=1/2，∠POQ=60°，故填60°。4.在正四棱锥S-ABCD中，底面边长为a，侧棱长为√3a，求侧面与底面所成二面角的正切值。解：取CD中点E，连接SE，∠SEB为二面角平面角，BE=√2/2a，SE=√(3a²-2/4a²)=√(10/4)a，tan∠SEB=BE/SE=√2/2a/(√10/2)a=√2/√10=√5/5，故填√5/5。5.已知正六棱锥S-ABCDEF的底面边长为a，侧棱长为2a，求侧面与底面所成二面角的正切值。解：取CD中点E，连接SE，∠SEB为二面角平面角，BE=√3/2a，SE=√(4a²-3/4a²)=√(13/4)a，tan∠SEB=BE/SE=√3/2a/(√13/2)a=√3/√13，故填√3/√13。6.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁的中点，F为棱BB₁的中点，求直线AE与平面B₁C₁CD所成角的正弦值。解：以D为原点建立空间直角坐标系，A(1,1,1)，E(0,1,√2)，B₁(1,2,0)，平面B₁C₁CD的法向量为(0,1,0)，AE方向向量为(-1,0,√2)，sinθ=|AE×n|/|AE||n|=√3/3，故填√3/3。7.在正三棱锥S-ABC中，底面边长为2，侧棱长为√3，求侧面与底面所成二面角的正切值。解：取CD中点E，连接SE，∠SEB为二面角平面角，BE=√2，SE=1，tan∠SEB=√2，故填√2。8.在正四棱台S-ABCD中，上、下底面边长分别为a、2a，高为a，求侧棱与底面所成角的余弦值。解：取上下底面中心O₁、O，连接OO₁，设侧棱与底面夹角为θ，cosθ=a/√(a²+(a²+a²))=a/√6=a/√3，故填√3/3。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.C3.B4.B5.C6.C7.C8.C9.C10.C解析：1.点A到平面α的距离公式为d=|Ax₀-y₀+z₀+d|/√(A²+B²+C²)，代入A(1,2,3)和α方程得d=|1-2+3-1|/√(1+1+1)=√3/2，故选A。2.直线l的方向向量为(0,0,1)，平面α的法向量为(1,-1,2)，余弦值cosθ=|l•n|/|l||n|=|0×1+0×(-1)+1×2|/√(0²+0²+1²)×√(1²+(-1)²+2²)=2/√6=√2/3，故选C。3.DEF∽ABC，相似比为1/2，体积比为1/8，但PDEF与PABC同底等高，体积比等于底面积比，故为1/4，故选C。4.取CD中点E，连接SE，∠SEB为二面角平面角，BE=√2，SE=√(3-2)=1，tan∠SEB=BE/SE=√2，故选B。5.以D为原点建立空间直角坐标系，A(1,1,1)，E(0,1,√2)，B₁(1,2,0)，平面B₁C₁CD的法向量为(0,1,0)，AE方向向量为(-1,0,√2)，sinθ=|AE×n|/|AE||n|=√3/3，故选C。6.设大圆平面为α，OP与α的交点为Q，PQ=R/2，OP=R，cos∠POQ=1/2，∠POQ=60°，故选C。7.DEF∽ABC，相似比为1/2，体积比为1/8，但PDEF与PABC同底等高，体积比等于底面积比，故为1/4，故选C。8.取上下底面中心O₁、O，连接OO₁，设侧棱与底面夹角为θ，cosθ=a/√(a²+(a²+a²))=a/√6=a/√3，故选C。9.DEF∽ABC，相似比为1/2，体积比为1/8，但PDEF与PABC同底等高，体积比等于底面积比，故为1/4，故选C。10.以D为原点建立空间直角坐标系，A(1,1,1)，E(0,1,√2)，B₁(1,2,0)，平面B₁C₁CD的法向量为(0,1,0)，AE方向向量为(-1,0,√2)，sinθ=|AE×n|/|AE||n|=√3/3，故选C。二、填空题1.√212.√3/313.60°14.1/415.√3/316.√3/12a³17.√3/318.√219.60°20.1/4解析：11.取CD中点E，连接SE，∠SEB为二面角平面角，BE=√2，SE=1，tan∠SEB=√2，故填√2。2.以D为原点建立空间直角坐标系，A(1,1,1)，E(0,1,√2)，B₁(1,2,0)，平面B₁C₁CD的法向量为(0,1,0)，AE方向向量为(-1,0,√2)，sinθ=√3/3，故填√3/3。3.设大圆平面为α，OP与α的交点为Q，PQ=R/2，OP=R，cos∠POQ=1/2，∠POQ=60°，故填60°。4.DEF∽ABC，相似比为1/2，体积比为1/8，但PDEF与PABC同底等高，体积比等于底面积比，故为1/4，故填1/4。5.取上下底面中心O₁、O，连接OO₁，设侧棱与底面夹角为θ，cosθ=a/√(a²+(a²+a²))=a/√6=a/√3，故填√3/3。6.DEF∽ABC，相似比为1/2，体积比为1/8，但PDEF与PABC同底等高，体积比等于底面积比，故为1/4，故填1/4。7.以D为原点建立空间直角坐标系，A(1,1,1)，E(0,1,√2)，B₁(1,2,0)，平面B₁C₁CD的法向量为(0,1,0)，AE方向向量为(-1,0,√2)，sinθ=√3/3，故填√3/3。8.取CD中点E，连接SE，∠SEB为二面角平面角，BE=√2，SE=1，tan∠SEB=√2，故填√2。9.设大圆平面为α，OP与α的交点为Q，PQ=R/2，OP=R，cos∠POQ=1/2，∠POQ=60°，故填60°。10.DEF∽ABC，相似比为1/2，体积比为1/8，但PDEF与PABC同底等高，体积比等于底面积比，故为1/4，故填1/4。三、判断题1.×22.×23.√24.×25.×26.×27.√28.×29.×30.√解析：21.sin²θ+cos²θ=1，sinθ=1/2⇒cosθ=±√3/2，故错误。2.AC与B₁D₁所成角为∠ACB₁，cos∠ACB₁=|AC×B₁D₁|/|AC||B₁D₁|=√2/2，∠ACB₁=45°，故错误。3.DEF∽ABC，相似比为1/2，体积比为1/8，故正确。4.以D为原点建立空间直角坐标系，A(1,1,1)，E(0,1,√2)，B₁(1,2,0)，平面B₁C₁CD的法向量为(0,1,0)，AE方向向量为(-1,0,√2)，sinθ=√3/3，故错误。5.取CD中点E，连接SE，∠SEB为二面角平面角，BE=√2，SE=1，tan∠SEB=√2，故错误。6.设大圆平面为α，OP与α的交点为Q，PQ=R/2，OP=R，cos∠POQ=1/2，∠POQ=60°，故错误。7.由平行性质知M、N分别在SC、SE上且SM=SN，四棱锥体积为原三棱锥体积的一半，故正确。8.取上下底面中心O₁、O，连接OO₁，设侧棱与底面夹角为θ，cosθ=a/√(a²+(a²+a²))=a/√6=a/√3，故错误。9.以D为原点建立空间直角坐标系，A(1,1,1)，E(0,1,√2)，B₁(1,2,0)，平面B₁C₁CD的法向量为(0,1,0)，AE方向向量为(-1,0,√2)，sinθ=√3/3，故错误。10.DEF∽ABC，相似比为1/2，体积比为1/8，但PDEF与PABC同底等高，体积比等于底面积比，故为1/4，故正确。四、简答题1.对角线AC₁与平面ABB₁A₁所成角的余弦值为1/√3。解：AC₁方向向量为(1,1,1)，平面ABB₁A₁的法向量为(0,0,1)，cosθ=|AC₁•n|/|AC₁||n|=1/√3，故填1/√3。2.侧面与底面所成二面角的正切值为√3/√13。解：取CD中点E，连接SE，∠SEB为二面角平面角，BE=√3/2a，SE=√(4a²-3/4a²)=√(13/4)a，tan∠SEB=BE/SE=√3/2a/(√13/2)a=√3/√13，故填√3/√13。3.OP与大圆所在平面的夹角为60°。解：设大圆平面为α，OP与α的交点为Q，PQ=R/2，OP=R，cos∠POQ=1/2，∠POQ=60°，故填60°。4.侧面与底面所成二面角的正切值为√5/5。解：取CD中点E，连接SE，∠SEB为二面角平面角，BE=√2/2a，SE=√(3a²-2/4a²)=√(10/4)a，tan∠SEB=BE/SE=√2/2a/(√10/2)a=√2/√10=√5/5，故填√5/5。5.侧面与底面所成二面角的正切值为√3/√13。解：取CD中点E，连接SE，∠SEB为二面角平面角，BE=√3/2a，SE=√(4a²-3/4a²)=√(13/4)a，tan∠SEB=BE/SE=√3/2a/(√13/2)a=√3/√13，故填√3/√13。6.直线AE与平面B₁C₁CD所成角的正弦值为√3/3。解：以D为原点建立空间直角坐标系，A(1,1,1)，E(