湖南省长沙市部分校2026-2027学年高二上学期开学考试数学试卷（含答案）

湖南省长沙市部分校2026-2027学年高二上学期开学联考数学试题一、单选题1．直线的倾斜角为（

）A．0° B．45° C．90° D．135°2．已知平面向量，不共线，若向量与共线，则实数的值为（

）A． B． C． D．3．若，，三点共线，则实数a=（

）A．2 B．3 C．4 D．54．设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题为真命题的是（

）A．若，，则B．若，，则C．若，，，则D．若，，，则5．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．6．若一个正四面体的体积为，则其表面积为（

）A． B． C． D．7．已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．8．已知空间向量，，两两互相垂直，且，向量满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．设复数的共轭复数为，若，则（

）A． B．C．一定是实数 D．可能是方程的根10．已知是空间的一个基底，则下列向量组中，也能构成空间基底的有（

）A．，， B．，，C．，， D．，，11．如图，圆锥的底面圆心为，高，为底面直径，且，点为底面圆周上异于，的动点，为母线的中点，则下列说法正确的是（

）A．三棱锥的外接球的表面积为定值B．存在点，使得直线平面C．直线与平面所成角的正弦值的最大值为D．若，则平面与平面夹角的余弦值为三、填空题12．假设，，且与相互独立，则______．13．已知向量，向量满足，，则向量与的夹角为________.14．在棱长为2的正方体中，点，分别为棱，的中点，为线段上的动点，则面积的最小值为________.四、解答题15．某校为评估高二年级暑期自主学习效果，随机抽取了50名学生，统计其暑期数学每日学习时长（单位：分），将所有数据按，，，，分成5组，整理得到如下频数分布表：学习时长（分）频数4618148(1)估计这50名学生暑期数学每日学习时长的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）(2)现采用比例分配的分层随机抽样的方法，从学习时长不足40分钟的学生中抽取5人进行学情访谈，再从这5人中随机抽取2人填写学习反馈问卷，求抽取的2人恰好来自同一学习时长区间的概率.16．如图，在四棱锥中，底面是梯形，且，.设，，.(1)试用基底表示向量.(2)设为的中点，点在直线上，且.若，，，四点共面，求实数的值，并说明此时点的位置.17．如图，在直四棱柱中，底面为菱形，，，，为棱的中点．(1)求异面直线与所成角的余弦值；(2)求证：平面．18．如图，圆台的轴截面为等腰梯形，上､下底面半径分别为2，4，母线与底面所成的角为，是下底面圆周上一点，且，是的中点.(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离；(3)求平面与平面夹角的余弦值.19．定义：若四面体的三组对棱分别互相垂直，则称该四面体为对垂四面体.如图，在中，为边上的高，，，．将沿折起，得到四面体（点对应点），且满足．(1)求证：四面体为对垂四面体；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)设点在棱上，点在棱上，且满足（），记平面与平面所成的锐二面角为，求的最大值及此时的值．参考答案1．C2．A3．A4．C5．B6．D7．B8．C9．AC10．AB11．ACD12．0.92/13．/14．15．(1)48.2分钟.(2).16．(1)(2)时，，则点在的延长线上且.17．（1）连接，交于点.以为坐标原点，所在直线分别为轴，过点且平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，由，得，又，所以，，设异面直线与所成的角为，则，即异面直线与所成角的余弦值为．(2)因为，所以，，所以，又平面，所以平面．18．(1)由题意知分别是的中点，连接，如图.因为是的中点，所以，又平面平面，所以平面.由圆台的性质可知，，且，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面平面，所以平面.又平面，所以平面平面，又平面，所以平面.（2）如图，以为坐标原点，过点且垂直于直线的直线为轴，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，由题意知，则.所以.设平面的法向量为，则即令，得，即平面的一个法向量为.因为，所以点到平面的距离，即点到平面的距离为.（3）由（2）知平面的一个法向量为.易得.设平面的法向量为，则即令，得，故平面的一个法向量为.设平面与平面的夹角为，则，故平面与平面夹角的余弦值为.19．(1)由折叠的不变性，折叠前，故折叠后有，因为，且平面，所以平面，又平面，所以．因为，且平面，得平面，又平面，所以．又平面，所以平面，又平面，所以．综上，三组对棱两两垂直，故四面体为对垂四面体．（2）由（1）知两两互相垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，则，即，令，得，故，设直线与平面所成的角为，则，故直