人教版数学八年级上册 寒假作业03 轴对称（梳理讲练培优） 同步练习 含答案

轴对称（知识梳理+26个高频易错考点讲练+中考真题演练+难度分层练共77题）TOC\o"1-2"\h\u知识梳理技巧点拨 2知识点梳理01：轴对称图形 2知识点梳理02：轴对称性质 2知识点梳理03：关于坐标轴对称的点的坐标性质 2知识点梳理04：线段垂直平分线 3知识点梳理05：等腰三角形的概念与性质 3知识点梳理06：等边三角形的概念与性质 4知识点梳理07：含有30°角的直角三角形 4知识点梳理08：将军饮马-最短路径问题 4高频易错考点讲练 5考点讲练1：根据成轴对称图形的特征进行求解 5考点讲练2：台球桌面上的轴对称问题 7考点讲练3：轴对称中的光线反射问题 8考点讲练4：折叠问题 9考点讲练5：线段垂直平分线的性质 10考点讲练6：线段垂直平分线的判定 11考点讲练7：作已知线段的垂直平分线 13考点讲练8：作垂线(尺规作图） 14考点讲练9：车牌号码的镜面对称 15考点讲练10：钟表的镜面对称 16考点讲练11：电子钟的镜面对称 16考点讲练12：线段问题（轴对称综合题） 17考点讲练13：面积问题（轴对称综合题） 18考点讲练14：角度问题（轴对称综合题） 18考点讲练15：其他问题（轴对称综合题） 19考点讲练16：作等腰三角形(尺规作图） 20考点讲练17：等腰三角形的性质和判定 21考点讲练18：大（小）边对大(小)角定理 22考点讲练19：找出图中的等腰三角形 22考点讲练20：根据等校对等边证明边相等 23考点讲练21：根据等角对等边求边长 24考点讲练22：直线上与已知两点组成等腰三角形的点 25考点讲练23：求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 26考点讲练24：等边三角形的判定和性质 26考点讲练25：含30度角的直角三角形 27考点讲练26：最短路径问题 28中考真题实战演练 29难度分层拔尖冲刺 31基础夯实 31培优拔尖 34知识点梳理01：轴对称图形⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴.知识点梳理02：轴对称性质对称的性质：①两个图形关于某一条直线对称，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.轴对称图形的对称轴是任何一对对应点连线段的垂直平分线.②关于某直线对称的两个图形是全等形.知识点梳理03：关于坐标轴对称的点的坐标性质①关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数；点关于轴对称的点的坐标为.②关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数；点关于轴对称的点的坐标为.知识点梳理04：线段垂直平分线1.定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。2.线段垂直平分线的作图（1）分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C、D两点；（2）作直线CD，CD为所求直线3.线段垂直平分线性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.知识点梳理05：等腰三角形的概念与性质1.等腰三角形概念有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角．2.等腰三角形的性质如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．3.等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边.知识点梳理06：等边三角形的概念与性质1.等边三角形概念三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.2.等边三角形的性质（1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.（2）三个角都是60°3.等边三角形的判定（1）三个角相等的三角形是等边三角形.（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.知识点梳理07：含有30°角的直角三角形定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.知识点梳理08：将军饮马-最短路径问题基本图模1.已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧；要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求,PA+PB的最小值即为线段AB的长度理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小（或△ABP的周长最小）解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P，点P即为所求；理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线，由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则需PA´+PB值最小，从而转化为模型1.方法总结：1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短考点讲练1：根据成轴对称图形的特征进行求解1．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，已知点O是∠APB内的一点，M、N分别是点O关于PA、PB的对称点，连接MN与PA、PB分别相交于点E、F，已知MN=10．(1)求△OEF的周长；(2)连接PM、PN，若∠MPN=76°，求∠APB的度数．2．（24-25七年级下·天津河西·期中）（1）如图①，P、Q两点在直线l的两侧，请你在直线l上找到点T，使得PT+QT的长度最小，简述画法，并说明理由；（2）如图②，A、B两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直．）将这个实际问题抽象出来，即：如图③，直线a∥b，点A、B分别位于直线a、b的两侧，请你在直线a上找到点M，使得MN垂直于直线b，垂足为N，且AM+MN+NB的长度最小．在图③中画出点M、N，并简要说明点M、N的位置是如何找到的（不要求证明）．（3）如图④，在（II）的条件中，如果将“一条河”的条件变化为“两条河”，那么两座桥分别建在何处才能使得从A地到达B地的路程最短呢？在图④中画出两座桥的位置，并简要说明这四个点的位置是如何找到的（不要求证明）．考点讲练2：台球桌面上的轴对称问题3．（23-24七年级下·河南驻马店·期中）【问题初探】数学课上，老师和学生做数学书39页的做一做的内容如图，打台球时，选择适当的方向击打白球，白球反弹后击打红球，红球会直接入袋，此时，∠2+∠3=90°,∠1=∠2．（1）若∠l=60°，则（2）∠ADE的余角是_________；【学科融合】物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线ON叫做法线，入射光线与法线的夹角i叫做入射角，反射光线与法线的夹角r叫做反射角（如图①）．由此可以归纳出如下的规律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧：反射角等于入射角．这就是光的反射定律（rfectionlaw）．【数学推理】（3）如图1，有两块平面镜OM,ON，且OM⊥ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD．由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得他们的余角也相等，即：∠1=∠2,∠3=∠4．在这样的条件下，求证：AB∥CD．【尝试探究】（4）两块平面镜OM,ON，且∠MON=α，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD．如图2，光线AB与CD相交于点E，则∠BEC=_________；（用含有字母α的式子表示）4．（20-21七年级下·四川乐山·期末）画图探究：（1）如图1，点A和点B位于直线m两侧，Р是直线m上一点，Р点使PA+PB的值最小．请你通过画图，在图1中找出P点；（2）如图2，点A和点B位于直线m同侧，Р是直线m上一点，Р点使PA+PB的值最小．请你通过画图，在图2中找出P点；实践应用：（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A=72°，∠B=∠D=90°，点E在边AB上，点F在边AD上，点E、点F使△EFC的周长的值最小．请你通过画图，在图3中找出点E和点F并求∠ECF的度数．考点讲练3：轴对称中的光线反射问题5．（2024·江西·二模）我们知道光的反射是一种常见的物理现象.如图，某V型路口放置如图所示的两个平面镜l1，l2，两个平面镜所成的夹角为∠1，位于点D处的甲同学在平面镜l2中看到位于点A处的乙同学的像，其中光的路径为入射光线AB经过平面镜l1反射后，又沿BC射向平面镜l2，在点C处再次反射，反射光线为CD，已知入射光线AB∥l2A．40° B．50° C．60° D．70°6．（2022·浙江台州·一模）根据光学中平面镜光线反射原理，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等．如图，α,β是两面互相平行的平面镜，一束光线m通过镜面α反射后的光线为n，再通过镜面β反射后的光线为k．光线m与镜面α的夹角的度数为x°，光线n与光线k的夹角的度数为y°．则x与y之间的数量关系是．考点讲练4：折叠问题7．（23-24七年级下·河南新乡·期末）如图，在长方形纸片ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC上，四边形CDEF沿EF翻折得到四边形C′D′EF且点D′恰好落在边AB上，将△AED′沿E(1)若∠BFE=77°，则∠BFC(2)若∠A′D8．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在△ABC中，∠B=90°，∠ACB=70°，D是AC的中点，点E是边AB上一个动点，将△ADE沿DE翻折，使点A落在点A′处，当A′E⊥AB时，∠ADE考点讲练5：线段垂直平分线的性质9．（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD=DE，连接AE．(1)求证：AB=EC；(2)若△ABC的周长为32cm，AC=12cm，求10．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，某电信部门要在公路m、n之间修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个村庄A、B的距离相等，到公路m、n的距离也相等，问：发射塔应建在什么位置？请用尺规作图法，在图中用点P表示出发射塔应建的位置．（保留作图痕迹，不写作法）考点讲练6：线段垂直平分线的判定11．（24-25八年级上·福建厦门·期末）风筝起源于中国东周春秋时期，至今已有2000多年的历史．传统风筝的技艺概括起来四个字：扎、糊、绘、放，简称“四艺”．风筝骨架模型图数据说明

AB=AD

CB=CD

∠BAD=108°

∠BCD=36°(制作时，骨架可根据实际情况等比例放大)

(1)从图1所示的风筝中可以抽象出几何图形，如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD.求证：AC⊥BD；(2)李明根据图纸(如表)扎制风筝骨架．当他根据图纸要求截取6根竹条时发现：竹条AB、BD的长度之和恰好与竹条BC长度相等．请你用所学的数学知识解释说明．12．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）【问题探究】（1）如图1，在△ABC中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，连接DE并延长到点G,EG=DE，过点E作FE⊥DE交BC于点F，连接DF、GF、CG，求证：CF+AD>DF；【问题解决】（2）如图2，四边形ABDC是一个工业区，点D是一个入口，B、C是两个仓库，点E、F分别是粗加工厂和精密加工厂，点E、F分别在AB、AC上，DE、DF是两条小路，CF、BE是两条运输公路，为方便从粗加工厂运输到精密加工厂，现要沿EF修建一个运输轨道，为了估计成本，现管理人员需要知道运输轨道EF与运输公路CF、BE之间的数量关系．已知∠ABD+∠C=180°,BD=CD,∠BDC=140°，∠EDF=70°．请你帮助管理人员探索线段BE,CF,EF之间的数量关系，并加以证明．考点讲练7：作已知线段的垂直平分线13．（24-25八年级上·广东汕尾·期中）如图，海丰县有两所初级中学和两条交叉的公路．图中点M，N表示初级中学，OA，OB表示公路，现计划修建一所青少年综合实践活动基地--耕艺馆，希望耕艺馆到两所初级中学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出这间耕艺馆P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）14．（24-25八年级上·陕西商洛·期末）“西气东输”是造福子孙后代的创世纪工程．现有两条高速公路和A，B两个城镇（如图），准备建立一个燃气中心站P，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇距离相等．(1)请你画出中心站P的位置（不写做法，保留作图痕迹）．(2)请你运用所学知识，简要说明理由．考点讲练8：作垂线(尺规作图）15．（24-25七年级下·重庆万州·期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD⊥CD．(1)若点E是边CD上一点，请你用直尺（没有刻度）和圆规过点E作EF⊥CD，交BC于点F．(2)在（1）的作图下，若∠A=110°，BD平分∠ABC，求∠EFC的度数．解答过程如下，请你补充完整．解：∵AD∥BC（已知），∴∠ADB=∠DBC（_____①______）∵BD平分∠ABC（已知）∴∠DBC=∠ABD，∴______②_____（等量代换）∵∠A=110°，∠A+∠ADB+∠ABD=180°，∴∠ABD=∴∠DBC=35°∵BD⊥CD（已知），EF⊥CD（作图），∴_____③_______（同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行），∴∠EFC=_____④16．（24-25八年级上·重庆巫山·期中）如图，在△ABC中，AC=2AB．(1)尺规作图：作∠BAC的平分线AD，交BC于点E；作线段AC的垂直平分线交AC于点F，交AD于点G；连接BG，CG（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）；(2)在（1）的条件下，证明：AB⊥BG．请完成下列证明的推理过程：证明：∵FG是AC的垂直平分线，∴AF=FC，∠AFG=90°，∵AD是∠BAC的平分线，∴①_____，∵②_____，∴AB=AF，在△AGB和△AGF中，AF=AB∠GAF=∠GAB∴△AGF≌△AGBSAS∴④_____=90°，∴AB⊥BG．考点讲练9：车牌号码的镜面对称17．小强用火柴棒在桌上摆了一个不正确的等式，如图所示，你有没有什么办法，在不移动火柴棒的情况下，使桌面出现一个正确的等式？

18．某公路急转弯处设立了一面大镜子，从镜子中看到汽车的车辆的号码如图所示，则该汽车的号码是．考点讲练10：钟表的镜面对称19．（20-21八年级·全国·假期作业）小明在所面对的平面镜内看到他背后墙上时钟所成的像如图所示，则此时的实际时刻应是()A．3:30 B．4:30 C．7:30 D．8:3020．如图所示，一平面镜以与水平面成45°角固定在水平面上，一个小球以1m/s的速度沿水平面向点O匀速滚去，则小球在平面镜中的像是（

A．以1m/sB．以1m/sC．以1.5m/s的速度运动，且运动路线与地面成45°D．以2m/s的速度，做竖直向下运动考点讲练11：电子钟的镜面对称21．如图是某天下午小明在镜中看到身后墙上的时钟情况，则实际时间大约是．

22．如图小明从平面镜里看到镜子对面电子钟显示的时间如图所示，这时的实际时刻应该是（

）A．21∶10 B．10∶21 C．10∶51 D．12∶01考点讲练12：线段问题（轴对称综合题）23．（24-25八年级上·甘肃陇南·期中）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：(1)画出△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A(2)△A1B(3)在DE上画出点P，使PB+PC的值最小．（保留作图痕迹）24．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线FE分别交AC，AB于点E，F，若点G是直线EF上一动点，H是直线BC上的一动点，AB=7，CD=3，BC=5，CD⊥AB，则HG+CG的最小值为．考点讲练13：面积问题（轴对称综合题）25．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在直角坐标系中，A0,1，B2,0，(1)在平面直角坐标系中描点，画出△ABC；并作出△ABC关于y轴对称的图形△A(2)求△A(3)设点P在y轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，直接写出点P的坐标．考点讲练14：角度问题（轴对称综合题）27．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A0,1，B3,2，(1)画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1（点A、B、C的对应点分别为(2)画△ABD，点D在第二象限内的格点上，且∠ADB=45°，画出所有符合条件的图形，并写出点D的坐标．28．（21-22八年级上·河南商丘·期中）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B=34°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF周长最小，此时∠EDF=．考点讲练15：其他问题（轴对称综合题）29．（23-24八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，在所给正方形网格（每个小网格的边长是1）图中完成下列各题．(1)画出格点△ABC关于直线MN对称的△A(2)请用无刻度的直尺和圆规作△ABC中AB边上的高；（保留作图痕迹，不写作法）(3)在MN上画出点P，使PA+PB最小．30．（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，每一个小正方形的边长为a．(1)画出格点△ABC关于直线DE的对称的△A(2)在DE上画出点P，使PA+PC最小；(3)在DE上画出点Q，使|QA-QB|最大；(4)请直接写出△ABC的面积＝．考点讲练16：作等腰三角形(尺规作图）31．（24-25八年级上·山东滨州·期末）尺规作图：(1)如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图中作出表示它位置的点．(2)已知等腰三角形腰长为a，腰上的高的长为h，求作这个等腰三角形．32．（2024八年级上·浙江·专题练习）在边长为3cm和4考点讲练17：等腰三角形的性质和判定33．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD，BC于点E、F，FG⊥AB，垂足为点G(1)求证：CE=FG；(2)若AC=12，AB=15，CE=4，求△ABC的面积．34．（24-25八年级上·广东广州·期中）将△ABCAB>AC沿AD折叠，使点C刚好落在AB边上的点E(1)在图1中，若AB=8，AC=6，S△ACD=9，求(2)在图2中，若∠C=2∠B，①求证：BE=ED．②若AD=AC，求∠BAC的度数．考点讲练18：大（小）边对大(小)角定理35．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心、任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长的一半为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，给出下列说法：①AD是∠BAC的平分线：②∠ADB=120°；③点D在AB的垂直平分线上；④D点是线段BC的中点．其中正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．436．（19-20八年级上·浙江台州·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC．（1）利用尺规作图作边BC的高AD，垂足为D（保留作图痕迹，不写作法）；（2）求证：BD=CD．（3）如果三角形的周长是22，一边长为5，求它的另外两边长．考点讲练19：找出图中的等腰三角形37．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）图①、图②、图③均是（6×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，在给定的网格中按下列要求画图．(1)在图①中画一个△BCD，使它与△ABC全等；(2)在图②中画一个△ACE，使它与△ABC全等；(3)在图③中画一个△ABF，使△ABF是等腰三角形且△ABF为钝角三角形．38．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，点A、B、C均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上．(1)在图①中，以AB为边画一个等腰三角形ABD，且三角形ABD是钝角三角形；(2)在图②中，以AC为斜边画一个等腰直角三角形ACE；(3)在图③中，以AB为边画一个四边形ABMN，使其是轴对称图形．考点讲练20：根据等校对等边证明边相等39．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，L是一段平直的铁轨，某天小明站在距离铁轨80米的A处，他发现一列火车从左向右自远方驶来，已知火车长150米，设火车的车头为B点，车尾为C点，小明站着不动，则从小明发现火车到火车远离他而去的过程中，以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有（

）个．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个40．（23-24八年级上·海南·期末）如图，已知△ABC．

(1)利用直尺和圆规，根据下列要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法）．①作∠ABC的平分线BD交AC于点D；②作线段BD的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F．(2)在所作的图中，连接DE、DF．写出图中所有的等腰三角形：___________．考点讲练21：根据等角对等边求边长41．（24-25八年级下·广东深圳·期中）某市一座老式桥梁需进行加固改造，工程师对主梁结构进行了分析，如图，△ABC为主梁框架，∠ABC是桥墩支撑角度的2倍，即∠ABC=2∠C，工程师计划在∠BAC的角平分线处安装钢架AD，交底梁BC于点D，为确保稳定性，必须过点B焊接加固钢索BE，使得BE⊥AD，分别交AD，AC于点F，E．(1)求证：加固后的△ABE是等腰三角形；(2)经测量，主梁全长AC为13米，关键节点间距BD为5米，求原始支撑段AB的长度．42．（22-23八年级上·广西河池·期末）如图，AD∥BC，∠B=90°，E是AB上的一点，且AE=BC，(1)证明：Rt△ADE≌(2)判断△CDE的形状，并说明理由．考点讲练22：直线上与已知两点组成等腰三角形的点43．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，在直线AC取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P共有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个44．（23-24八年级上·北京朝阳·期中）已知：如图，线段AB∥直线l．（设AB到直线l的距离为d，满足AB>d）求作：点P．使得点P在直线l上，且点P、点A、点B构成的三角形为等腰三角形（保留作图痕迹，不必写出作法）．(1)满足条件的点共有_________个；(2)在图中用尺规作图作出满足条件的点P；（保留作图痕迹，不必写出作法，不同的点从左到右用下标以示区别，如：P1(3)其中，使得△PAB的周长最小的点是_________．考点讲练23：求与图形中任意两点构成等腰三角形的点45．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）已知平面直角坐标系中有A1,1，B2,0两点．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（A．4 B．5 C．6 D．746．（22-23八年级上·江西南昌·期中）如图，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中A，B两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有（

）个．A．6 B．8 C．10 D．12考点讲练24：等边三角形的判定和性质47．（24-25八年级下·河南·期末）已知：如图，D、E分别是等边三角形ABC两边AB、AC上的点，连接BE、CD，BE与CD交于点O，AD=CE，则∠BOD的度数是（

）A．50° B．60° C．65° D．70°48．（24-25八年级上·河北沧州·期末）如图，在等边三角形ABC中，点D, E分别在边AC和边AB上（点D不与点A, C重合，点E不与点(1)判断∠ADB与∠AEC之间的数量关系，并说明理由；(2)求证：△BCO是等腰三角形；(3)若△BCO是锐角三角形，请直接写出∠BDC度数的取值范围．考点讲练25：含30度角的直角三角形49．（23-24八年级上·重庆永川·期中）如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P，下列说法：①∠APE=∠C；②AQ=BQ；③BP=2PQ；④AE+BD=AB；⑤∠BAP=45°．其正确的有．50．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）已知，在等边△ABC中，D、E分别为AC、BC边上的点，BE=CD，连接AE、BD相交于点F．(1)如图1，求∠AFD的度数；(2)如图2，过点A作AH⊥BD于H，若EF=HD，求证：BF=HF．考点讲练26：最短路径问题51.（24-25八年级上·贵州遵义·期中）已知，是A，B两个城镇和一条河流．(1)如图1，A，B两个城镇在河流同一侧，现计划在河边找一点P建造一个抽水站，抽水到A，B两镇，在河边找出点P的位置，使PA+PB的值最小（保留作图痕迹）．(2)如图2，A，B两个城镇在河流的两侧，现计划在河流靠B镇的一边找一点P建造一个抽水站，抽水到A，B两镇，因条件限制，铺在河流中的管道必须垂直于河边，请在河边找出点P的位置，使铺设管道的总长最小（保留作图痕迹）．52．（24-25八年级上·湖北恩施·期中）按要求完成作图∶(1)画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1（点(2)请在y轴上找出一点P，满足线段AP+B1．（2025·河北·中考真题）如图．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，AC=AD，∠ACB=∠ADB，点F在ED上，∠BAF=∠EAD．(1)求证：△ABC≌△AFD；(2)若BE=FE，求证：AC⊥BD．2．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD．若AC=8，CD=5，则BD=．3．（2024·江苏常州·中考真题）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，AC、DE相交于点G，AB=DF，AC=DE，BC=EF．(1)求证：△GEC是等腰三角形；(2)连接AD，则AD与l的位置关系是________．4．（2024·辽宁·中考真题）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD>AB，AD=a，AB=10．以点A为圆心，以AB长为半径作图，与BC相交于点E，连接AE．以点E为圆心，适当长为半径作弧，分别与EA，EC相交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠AEC的内部相交于点P，作射线EP，与AD相交于点F，则FD的长为5．（2024·四川遂宁·中考真题）如图1，△ABC与△A1B1C1满足∠A=∠A1，AC=A1C1，BC=B1CA．1对 B．2对 C．3对 D．4对基础夯实1．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）在以下四个标志中，是轴对称图形的是（

）A． B． C． D．2．（24-25八年级上·广东肇庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A4,3，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个3．（24-25八年级上·甘肃天水·期中）如图，在△ABC中，∠A=25°，∠C=120°，沿过点B的直线折叠三角形，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，下列结论不正确的是（

）A．△BCD≌△BED B．BC=BE C．∠ADE=95° D．AD=AE4．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，直线AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，点G，H分别在射线FC，射线FD上，且FE=FG=FH．若∠AEG=62°，则∠EHD的度数为．

5．（24-25八年级下·陕西榆林·期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接AC，AC平分∠BAD，若DC=4，则AD的长为．6．（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，是长方形纸带，∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠，则∠CFG的度数是．7．（2025八年级上·全国·专题练习）如图：网格中每个小正方形的边长均为1，等腰△ABC的三个顶点在小正方形的顶点上，按要求完成以下问题：在图中，用一条线段AD将△ABC分成2个全等的直角三角形．8．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，在△ABC中，边AB,BC的垂直平分线交于点P，求证：点P在线段AC的垂直平分线上．9．（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC,∠BAD=32°，且AD=AE．求∠AED的度数．10．（24-25七年级下·上海静安·期末）如图，已知△ABC是等边三角形，BC=2cm，点P从点A出发，沿射线AB以1cms的速度运动，过点P作PE∥BC交射线AC于点E，同时点Q从点C出发沿BC的延长线以1cms的速度运动，连接BE(1)当点P在边AB上，且不与点A、B重合时，求证：△BPE≌△ECQ；(2)直接写出CE的长（用含t的代数式表示）；(3)在不添加字母和连接其它线段的条件下，当图中等腰三角形的个数大于3时，直接写出t的值和对应的等腰三角形的个数．（请写出所有的可能性）培优拔尖11．（22-23八年级上·广西玉林·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，AD⊥AB交BC于点D，AD=2，则BC的长是（）A．12 B．10 C．8 D．612．（22-23八年级上·山东济南·期末）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，垂足为点E，CD平分∠ACB，若∠A=48°，则∠B的度数为（

）A．25° B．30° C．36° D．40°13．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）在“折纸与平行”的拓展课上，老师布置了一个任务：如图，有一张三角形纸片ABC，∠B=40°，∠C=60°，点D是AB边上的固定点BD<12AB，请在BC上找一点E，将纸片沿DE折叠（DE为折痕），点B落在点F处，使EF与三角形ABCA．30° B．70° C．30°或70° D．30°,70°或120°14．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，∠AOB=45°，点M、N分别在射线OA、OB上，MN=8，△OMN的面积为24，P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称点为P2，当点P在直线NM上运动时，△OP15．（24-25八年级上·天津·期中）如图，△ABC是等边三角形，点E在AC的延长线上，点D在线段AB上，连接ED交线段BC于点F，过点F作FN⊥AC于点N，DB=3CN，EF=FD，则．（1）∠CFN=；（2）若BC=14，则AN=．16．（24-25八年级上·广东江门·期中）已知等边△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B′处，DB，EB′分别交边AC17．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，D是△ABC外的一点，△BOC≌△ADC，连接OD．(1)【问题初探】求证：△OCD是等边三角形；(2)【问题再探】当α=150°时，求∠ADO的度数；(3)【问题拓展】当△AOD是等腰三角形时，求α的度数．18．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，已知△ABC和△ADE，点C在边AD上，AB=AD，∠B=∠D，BC=DE，若∠BAC=60°，求∠ACE的度数．19．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图1，在△ABC中，点D是BC边的中点，将△ABD沿直线AD翻折，点B落在点E处（点E在直线BC上方），连接CE.(1)在不添加辅助线的前提下，请找出图1中的一个等腰三角形：________；(2)求证：CE∥AD；(3)如图2，过点C作AB的平行线，交AE的延长线于点F.求证：FE=FC；(4)连接DF，当AD=DF时，如果△ABD是等腰三角形，那么∠B的度数为________.20．（24-25八年级上·青海西宁·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题，如图△ABC中，若AB=10,AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ACD≌△EBD的理由是______．A．SSS

B．SAS

C．AAS

D．HL（2）求出AD的取值范围．感悟：解题时，条件中若出现＂中点＂＂中线＂字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中，［方法应用］（3）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想．

轴对称（知识梳理+26个高频易错考点讲练+中考真题演练+难度分层练共77题）TOC\o"1-2"\h\u知识梳理技巧点拨 2知识点梳理01：轴对称图形 2知识点梳理02：轴对称性质 2知识点梳理03：关于坐标轴对称的点的坐标性质 2知识点梳理04：线段垂直平分线 3知识点梳理05：等腰三角形的概念与性质 3知识点梳理06：等边三角形的概念与性质 4知识点梳理07：含有30°角的直角三角形 4知识点梳理08：将军饮马-最短路径问题 4高频易错考点讲练 5考点讲练1：根据成轴对称图形的特征进行求解 5考点讲练2：台球桌面上的轴对称问题 8考点讲练3：轴对称中的光线反射问题 12考点讲练4：折叠问题 14考点讲练5：线段垂直平分线的性质 16考点讲练6：线段垂直平分线的判定 18考点讲练7：作已知线段的垂直平分线 22考点讲练8：作垂线(尺规作图） 23考点讲练9：车牌号码的镜面对称 26考点讲练10：钟表的镜面对称 27考点讲练11：电子钟的镜面对称 28考点讲练12：线段问题（轴对称综合题） 29考点讲练13：面积问题（轴对称综合题） 31考点讲练14：角度问题（轴对称综合题） 32考点讲练15：其他问题（轴对称综合题） 35考点讲练16：作等腰三角形(尺规作图） 38考点讲练17：等腰三角形的性质和判定 40考点讲练18：大（小）边对大(小)角定理 43考点讲练19：找出图中的等腰三角形 45考点讲练20：根据等校对等边证明边相等 47考点讲练21：根据等角对等边求边长 49考点讲练22：直线上与已知两点组成等腰三角形的点 52考点讲练23：求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 54考点讲练24：等边三角形的判定和性质 56考点讲练25：含30度角的直角三角形 58考点讲练26：最短路径问题 61中考真题实战演练 63难度分层拔尖冲刺 67基础夯实 67培优拔尖 74知识点梳理01：轴对称图形⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴.知识点梳理02：轴对称性质对称的性质：①两个图形关于某一条直线对称，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.轴对称图形的对称轴是任何一对对应点连线段的垂直平分线.②关于某直线对称的两个图形是全等形.知识点梳理03：关于坐标轴对称的点的坐标性质①关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数；点关于轴对称的点的坐标为.②关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数；点关于轴对称的点的坐标为.知识点梳理04：线段垂直平分线1.定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。2.线段垂直平分线的作图（1）分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C、D两点；（2）作直线CD，CD为所求直线3.线段垂直平分线性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.知识点梳理05：等腰三角形的概念与性质1.等腰三角形概念有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角．2.等腰三角形的性质如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．3.等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边.知识点梳理06：等边三角形的概念与性质1.等边三角形概念三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.2.等边三角形的性质（1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.（2）三个角都是60°3.等边三角形的判定（1）三个角相等的三角形是等边三角形.（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.知识点梳理07：含有30°角的直角三角形定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.知识点梳理08：将军饮马-最短路径问题基本图模1.已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧；要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求,PA+PB的最小值即为线段AB的长度理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小（或△ABP的周长最小）解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P，点P即为所求；理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线，由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则需PA´+PB值最小，从而转化为模型1.方法总结：1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短考点讲练1：根据成轴对称图形的特征进行求解1．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，已知点O是∠APB内的一点，M、N分别是点O关于PA、PB的对称点，连接MN与PA、PB分别相交于点E、F，已知MN=10．(1)求△OEF的周长；(2)连接PM、PN，若∠MPN=76°，求∠APB的度数．【答案】(1)10(2)38°【思路引导】本题考查的是轴对称的性质，熟记轴对称的性质是解本题的关键；（1）根据轴对称的性质可得EM=EO,FN=FO，再结合三角形的周长公式可得答案；（2）根据轴对称的性质可得∠MPA=∠OPA,∠NPB=∠OPB，再结合角的和差运算可得答案；【规范解答】（1）解：∵M、N分别是点O关于PA、PB的对称点，且E、F分别在PA、PB上，∴ME=OE，OF=NF，又∵C∴C（2）解：连接OP，∵M、N分别是点O关于PA、PB的对称点，∴∠MPA=∠OPA，∠NPB=∠OPB，又∵∠MPN=76°，∴∠MPA+∠OPA+∠NPB+∠OPB=76°，∴∠OPA+∠OPB=38°，又∵∠APB=∠OPA+∠OPB，∴∠APB=38°．2．（24-25七年级下·天津河西·期中）（1）如图①，P、Q两点在直线l的两侧，请你在直线l上找到点T，使得PT+QT的长度最小，简述画法，并说明理由；（2）如图②，A、B两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直．）将这个实际问题抽象出来，即：如图③，直线a∥b，点A、B分别位于直线a、b的两侧，请你在直线a上找到点M，使得MN垂直于直线b，垂足为N，且AM+MN+NB的长度最小．在图③中画出点M、N，并简要说明点M、N的位置是如何找到的（不要求证明）．（3）如图④，在（II）的条件中，如果将“一条河”的条件变化为“两条河”，那么两座桥分别建在何处才能使得从A地到达B地的路程最短呢？在图④中画出两座桥的位置，并简要说明这四个点的位置是如何找到的（不要求证明）．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【思路引导】本题考查轴对称作图，线段的性质，熟练掌握轴对称的性质，两点之间线段最短，是解题的关键：（1）根据两点之间线段最短，直接连接PQ，PQ与l的交点即为点T；（2）在直线a上任取一点C，过点C作CD⊥b于点D，画AA′∥CD，且AA′=CD，连接A′B交直线b于点（3）在直线a上任取一点C，过点C作CD⊥b于点D，作AA′∥CD，且AA′=CD，在直线c上任取一点E，过点E作EF⊥d于点F，作BB′∥EF，且BB′=EF，连接A′B′交直线b于点N，交直线c于点P，作NM⊥a【规范解答】解：（I）如图，连接PQ，与l交于点T，点T即为所求；理由：两点之间，线段最短．（II）在直线a上任取一点C，过点C作CD⊥b于点D，画AA′∥CD，且AA′=CD，连接A′B交直线b于点（Ⅲ）在直线a上任取一点C，过点C作CD⊥b于点D，作AA′∥CD，且AA′=CD，在直线c上任取一点E，过点E作EF⊥d于点F，作BB′∥EF，且BB′=EF，连接A′B′交直线b于点N，交直线c于点P，作NM⊥a考点讲练2：台球桌面上的轴对称问题3．（23-24七年级下·河南驻马店·期中）【问题初探】数学课上，老师和学生做数学书39页的做一做的内容如图，打台球时，选择适当的方向击打白球，白球反弹后击打红球，红球会直接入袋，此时，∠2+∠3=90°,∠1=∠2．（1）若∠l=60°，则（2）∠ADE的余角是_________；【学科融合】物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线ON叫做法线，入射光线与法线的夹角i叫做入射角，反射光线与法线的夹角r叫做反射角（如图①）．由此可以归纳出如下的规律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧：反射角等于入射角．这就是光的反射定律（rfectionlaw）．【数学推理】（3）如图1，有两块平面镜OM,ON，且OM⊥ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD．由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得他们的余角也相等，即：∠1=∠2,∠3=∠4．在这样的条件下，求证：AB∥CD．【尝试探究】（4）两块平面镜OM,ON，且∠MON=α，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD．如图2，光线AB与CD相交于点E，则∠BEC=_________；（用含有字母α的式子表示）【答案】（1）30；（2）∠ADE的余角是：∠ADC,∠3；（3）见解析（4）180°−2α；【思路引导】（1）根据轴对称性质求解即可；（2）根据余角的定义求解即可；（3）根据反射定律得∠1=∠2，∠3=∠4，又∠2+∠3=90°，得出∠DCB+∠ABC=180°，由平行线的判定即可得出结论；（4）根据∠1=∠2，∠3=∠4，∠2+∠3=180°−α，得出∠1+∠4=180°−α，根据∠1+∠2+∠ABC+∠3+∠4+∠DCB=180°+180°=360°，证得∠ABC+∠DCB=2α，根据三角形内角和定理求解即可．【规范解答】解：（1）由题意得：∠2=∠1=60°，CD⊥EF，∴∠CDF=∠2+∠3=90°，∴∠3=90°−∠2=90°−60°=30°．（2）证明：∵CD⊥EF∴∠CDE=∠ADE+∠ADC=90°，∠CDF=∠2+∠3=90°，∵∠ADE=∠2∴∠ADE+∠3=90°∴∠ADE的余角是∠ADC，∠3．（3）∵OM⊥ON，∴∠MON=90°，∴∠2+∠3=90°，由反射定律得：∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠2+∠3+∠4=2(∠2+∠3)=180°，∵∠1+∠ABC+∠2+∠3+∠BCD+∠4=180°+180°=360°，∴∠ABC+∠BCD=180°，∴AB∥（4）∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠2+∠3=180°−α，∴∠1+∠4=180°−α，∵∠1+∠2+∠ABC+∠3+∠4+∠DCB=180°+180°=360°，∴∠ABC+∠DCB=2α，∵∠BEC+∠ABC+∠DCB=180°，∴∠BEC=180°−2α．【考点剖析】本题考查了余角的定义，平行线的判定，轴对称的性质，反射定律，三角形内角和定理，熟练掌握余角的定义：两角的和等于90度，这两角互为余角，平行线的判定定理是解题的关键．4．（20-21七年级下·四川乐山·期末）画图探究：（1）如图1，点A和点B位于直线m两侧，Р是直线m上一点，Р点使PA+PB的值最小．请你通过画图，在图1中找出P点；（2）如图2，点A和点B位于直线m同侧，Р是直线m上一点，Р点使PA+PB的值最小．请你通过画图，在图2中找出P点；实践应用：（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A=72°，∠B=∠D=90°，点E在边AB上，点F在边AD上，点E、点F使△EFC的周长的值最小．请你通过画图，在图3中找出点E和点F并求∠ECF的度数．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析，36°【思路引导】（1）根据两点之间线段最短，连接AB，与直线m相交点即是点P；（2）作点A关于直线m的对称点A′，则A′P=AP，连接A′B（3）分别作出点C关于AB，AD的对称点M，N，连接MN分别交AB、AD于点E、F，根据垂直平分线的定义即可求解．【规范解答】解：（1）根据两点之间线段最短，连接AB与直线m相交点P，此时PA+PB最小；（2）作点A关于直线m的对称点A′，则PA+PB=PA连接A′B与直线m相交点即是点P，此时PA（3）如图3，分别作出点C关于AB，AD的对称点M，N，连接MN分别交AB、AD于点E、F，此时△EFC周长最小；∵∠A=72°，∠ABC=∠ADC=90°，∴∠BCD=108°，∴∠M+∠N=72°，∴∠BCE+∠DCF=∠M+∠N=72°．∴∠ECF=108°−72°=36°．【考点剖析】此题考查了两点之间线段最短，轴对称的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．考点讲练3：轴对称中的光线反射问题5．（2024·江西·二模）我们知道光的反射是一种常见的物理现象.如图，某V型路口放置如图所示的两个平面镜l1，l2，两个平面镜所成的夹角为∠1，位于点D处的甲同学在平面镜l2中看到位于点A处的乙同学的像，其中光的路径为入射光线AB经过平面镜l1反射后，又沿BC射向平面镜l2，在点C处再次反射，反射光线为CD，已知入射光线AB∥l2A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】C【思路引导】本题考查了光的反射定律，平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由光的反射定律以及平行线的性质，推出∠1=∠3=∠5，再结合三角形内角和，推出∠1的度数．【规范解答】如图所示，由光的反射定律，可以知道∠5=∠2，∠3=∠4∵AB∥l2，∴∠1=∠2，∠1=∠4∴∠1=∠3=∠5∵∠1+∠3+∠5=180°∴∠1=60°故选：C．6．（2022·浙江台州·一模）根据光学中平面镜光线反射原理，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等．如图，α,β是两面互相平行的平面镜，一束光线m通过镜面α反射后的光线为n，再通过镜面β反射后的光线为k．光线m与镜面α的夹角的度数为x°，光线n与光线k的夹角的度数为y°．则x与y之间的数量关系是．【答案】2x+y=180【思路引导】根据平面镜光线反射原理和平行线性质即可求得．【规范解答】解：∵入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等，∴反射后的光线n与镜面α夹角度数为x°，∵α,β是两面互相平行的平面镜，∴反射后的光线n与镜面β夹角度数也为x°，又由入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等，∴反射后的光线k与镜面β的夹角度数也为x°，∴x°+x°+y°=180°，∴2x+y=180．故答案为：2x+y=180．【考点剖析】本题考查了平面镜光线反射原理和平行线性质，掌握反射光线与平面镜所夹的角相等以及两直线平行内错角相等是解题的关键．考点讲练4：折叠问题7．（23-24七年级下·河南新乡·期末）如图，在长方形纸片ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC上，四边形CDEF沿EF翻折得到四边形C′D′EF且点D′恰好落在边AB上，将△AED′沿E(1)若∠BFE=77°，则∠BFC(2)若∠A′D【答案】(1)26°；(2)∠A【思路引导】本题考查了折叠的性质，熟练用折叠的性质进行角度的转换是解题的关键．（1）根据折叠的性质可得∠EFC′=∠EFC，设∠BFC′（2）根据∠A′D′B=50°可求得∠EA′【规范解答】（1）解：∵四边形CDEF沿EF翻折得到四边形C′D′EF且点∴∠EFC设∠BFC′=x根据∠EFB+∠EFC=180°可得77°+x+77°=180°，解得x=26°，故答案为：26°；（2）解：在△A∵∠A∴∠D∵点A′恰好落在边BC∴∠D∴∠EA∵AD∥∴∠AEA∴∠AED由折叠的性质，知∠D∴∠A8．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在△ABC中，∠B=90°，∠ACB=70°，D是AC的中点，点E是边AB上一个动点，将△ADE沿DE翻折，使点A落在点A′处，当A′E⊥AB时，∠ADE【答案】25°或115°【思路引导】本题考查了图形翻折的轴对称性、三角形的内角和等知识点，解题的关键是画出图形，分两种情况讨论．根据点A′在直线AB的上方与下方，分两种情况分别讨论．先计算∠A=20°，再根据翻折的对称性可求得∠A′=20°，再由A′【规范解答】分两种情况讨论：①点A′位于直线AB

由∠B=90°，∴∠A=20°，由△ADE沿DE翻折为△A∴△ADE≌△A∴∠AED=∠由A′E⊥AB得∴∠AED=360°−90°∴∠ADE=180°−135°−20°=25°．②点A′位于直线AB

由A′E⊥AB得由△ADE≌△A′DE∴∠ADE=180°−∠A−∠AED=180°−20°−45°=115°．综合①②可知，∠ADE=25°或115°故答案为：25°或115°．考点讲练5：线段垂直平分线的性质9．（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD=DE，连接AE．(1)求证：AB=EC；(2)若△ABC的周长为32cm，AC=12cm，求【答案】(1)见解析(2)10【思路引导】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键．（1）由垂直平分线的性质可得AE=EC，AB=AE，即可得到结论；（2）由题意可得AB+BC=20cm，再结合AB=EC，BD=DE【规范解答】（1）证明：∵EF垂直平分AC，∴AE=EC，∵AD⊥BC，BD=DE，∴AB=AE，∴AB=EC．（2）解：∵△ABC的周长为32cm∴AB+BC+AC=32cm∵AC=12cm∴AB+BC=20cm∵AB=EC，BD=DE，∴DC=DE+EC=1=1=1=1=10cm10．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，某电信部门要在公路m、n之间修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个村庄A、B的距离相等，到公路m、n的距离也相等，问：发射塔应建在什么位置？请用尺规作图法，在图中用点P表示出发射塔应建的位置．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析【思路引导】此题考查了应用设计与作图，由条件可知发射塔要在两条高速公路的夹角的角平分线和线段AB的中垂线的交点上，分别作出夹角的角平分线和线段AB的中垂线，找到其交点就是发射塔修建位置．【规范解答】解：分别作出公路夹角的角平分线和线段AB的中垂线，他们的交点为P，则P点就是修建发射塔的位置．考点讲练6：线段垂直平分线的判定11．（24-25八年级上·福建厦门·期末）风筝起源于中国东周春秋时期，至今已有2000多年的历史．传统风筝的技艺概括起来四个字：扎、糊、绘、放，简称“四艺”．风筝骨架模型图数据说明

AB=AD

CB=CD

∠BAD=108°

∠BCD=36°(制作时，骨架可根据实际情况等比例放大)

(1)从图1所示的风筝中可以抽象出几何图形，如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD.求证：AC⊥BD；(2)李明根据图纸(如表)扎制风筝骨架．当他根据图纸要求截取6根竹条时发现：竹条AB、BD的长度之和恰好与竹条BC长度相等．请你用所学的数学知识解释说明．【答案】(1)见解析(2)见解析【思路引导】（1）根据线段垂直平分线的性质解答即可；（2）在BC上截取BE=BA，连接AE，利用AAS证明△ABD和△BEA全等，进而解答即可．此题考查全等三角形的应用，关键是利用AAS证明△ABD和△BEA全等解答．【规范解答】（1）证明：∵AB=AD，∴点A在BD的垂直平分线上，∵CB=CD，∴点C在BD的垂直平分线上，∴AC是BD的垂直平分线，∴AC⊥BD；（2）解：在BC上截取BE=BA，连接AE，∵AB=AD，∠BAD=108°，∴∠ABD=∠ADB=36°，同理可得∠CBD=72°，∴∠ABC=108°，∵BE=BA，∴∠BAE=∠BEA=36°，在△ABD和△BEA中，∠ADB=∠BAE∠ABD=∠BEA∴△ABD≌△BEA∴BD=AE，∵CB=CD，AC⊥BD，∠BCD=36°，∴∠ACE=1∵∠BEA是△ACE的外角，∴∠EAC=∠BEA−∠ECA=18°，即∠ACE=∠EAC，∴AE=CE=BD，∴BC=BE+CE=AB+BD．12．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）【问题探究】（1）如图1，在△ABC中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，连接DE并延长到点G,EG=DE，过点E作FE⊥DE交BC于点F，连接DF、GF、CG，求证：CF+AD>DF；【问题解决】（2）如图2，四边形ABDC是一个工业区，点D是一个入口，B、C是两个仓库，点E、F分别是粗加工厂和精密加工厂，点E、F分别在AB、AC上，DE、DF是两条小路，CF、BE是两条运输公路，为方便从粗加工厂运输到精密加工厂，现要沿EF修建一个运输轨道，为了估计成本，现管理人员需要知道运输轨道EF与运输公路CF、BE之间的数量关系．已知∠ABD+∠C=180°,BD=CD,∠BDC=140°，∠EDF=70°．请你帮助管理人员探索线段BE,CF,EF之间的数量关系，并加以证明．【答案】（1）见解析；（2）BE+CF=EF，见解析【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，线段垂直平分线的判定以及性质以及三角形三边关系的应用．构造全等三角形是解题的关键．（1）先证明△ADE≌△CGESAS，由全等三角形的性质得出AD=CG，再根据线段垂直平分线的判定以及性质得出DF=FG，根据三角形三边关系可得出CF+CG>GF，等量代换可得出CF+AD>DF（2）延长AB至点N，使BN=CF，连接DN，先证明△BDN≌△CDFSAS，再证明△DEF≌△DEN【规范解答】证明：（1）∵点E是AC的中点，∴AE=CE，∵EG=DE,∠AED=∠CEG，∴△ADE≌△CGESAS∴AD=CG．∵FE⊥DE,EG=DE，∴EF垂直平分DG，∴DF=FG，在△CFG中，CF+CG>GF，∴CF+AD>DF．（2）BE+CF=EF，证明如下：如图，延长AB至点N，使BN=CF，连接DN，∵∠ABD+∠C=180∘∴∠DBN=∠C，在△BDN和△CDF中，∵∴△BDN≌△CDFSAS∴DF=DN,∠CDF=∠BDN，∴∠EDN=∠EDB+∠CDF=140°−70°=70°=∠EDF，在△DEF和△DEN中，∵∴△DEF≌△DENSAS∴EF=EN，∵EN=BE+BN=BE+CF，∴BE+CF=EF．考点讲练7：作已知线段的垂直平分线13．（24-25八年级上·广东汕尾·期中）如图，海丰县有两所初级中学和两条交叉的公路．图中点M，N表示初级中学，OA，OB表示公路，现计划修建一所青少年综合实践活动基地--耕艺馆，希望耕艺馆到两所初级中学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出这间耕艺馆P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）【答案】见解析【思路引导】本题了作图-应用与设计作图：首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．分别作MN的垂直平分线和∠AOB（或∠AOB的邻补角）的平分线，它们的交点即为P点．【规范解答】解：如图，点P、点P′14．（24-25八年级上·陕西商洛·期末）“西气东输”是造福子孙后代的创世纪工程．现有两条高速公路和A，B两个城镇（如图），准备建立一个燃气中心站P，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇距离相等．(1)请你画出中心站P的位置（不写做法，保留作图痕迹）．(2)请你运用所学知识，简要说明理由．【答案】(1)见解析(2)见解析【思路引导】本题考查了尺规作图，角平分线的判定和线段垂直平分线的判定，正确理解题意是解题的关键．（1）作出两条公路相交形成夹角的平分线与线段AB的垂直平分线，交点即为点P；（2）点P到两条公路距离相等，说明点P在两条公路相交形成夹角的平分线上，两个城镇距离相等，则点P在线段AB的垂直平分线上，那么交点即为点P的位置．【规范解答】（1）解：如图所示，点P即为所求：（2）解：由题意得，点P到两条公路距离相等，说明点P在两条公路相交形成夹角的平分线上，两个城镇距离相等，则点P在线段AB的垂直平分线上，那么交点即为点P的位置．考点讲练8：作垂线(尺规作图）15．（24-25七年级下·重庆万州·期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD⊥CD．(1)若点E是边CD上一点，请你用直尺（没有刻度）和圆规过点E作EF⊥CD，交BC于点F．(2)在（1）的作图下，若∠A=110°，BD平分∠ABC，求∠EFC的度数．解答过程如下，请你补充完整．解：∵AD∥BC（已知），∴∠ADB=∠DBC（_____①______）∵BD平分∠ABC（已知）∴∠DBC=∠ABD，∴______②_____（等量代换）∵∠A=110°，∠A+∠ADB+∠ABD=180°，∴∠ABD=∴∠DBC=35°∵BD⊥CD（已知），EF⊥CD（作图），∴_____③_______（同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行），∴∠EFC=_____④【答案】(1)图见解析(2)见解析【思路引导】本题考查尺规作图—作垂线，平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定方法和性质，是解题的关键：（1）以E为圆心，任意长为半径画弧，交CD于两点，以这两点为圆心，以大于12两点形成的线段的长为半径画弧，交与一点，连接该点与点E（2）根据平行线的判定和性质，角平分线的定义，等量代换，进行作答即可．【规范解答】（1）解：由题意，作图如下：（2）解：∵AD∥BC（已知），∴∠ADB=∠DBC（两直线平行，内错角相等）∵BD平分∠ABC（已知）∴∠DBC=∠ABD，∴∠ABD=∠ADB（等量代换）∵∠A=110°，∠A+∠ADB+∠ABD=180°，∴∠ABD=∴∠DBC=35°∵BD⊥CD（已知），EF⊥CD（作图），∴BD∥EF（同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行），∴∠EFC=∠DBC=35°（两直线平行，同位角相等）16．（24-25八年级上·重庆巫山·期中）如图，在△ABC中，AC=2AB．(1)尺规作图：作∠BAC的平分线AD，交BC于点E；作线段AC的垂直平分线交AC于点F，交AD于点G；连接BG，CG（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）；(2)在（1）的条件下，证明：AB⊥BG．请完成下列证明的推理过程：证明：∵FG是AC的垂直平分线，∴AF=FC，∠AFG=90°，∵AD是∠BAC的平分线，∴①_____，∵②_____，∴AB=AF，在△AGB和△AGF中，AF=AB∠GAF=∠GAB∴△AGF≌△AGBSAS∴④_____=90°，∴AB⊥BG．【答案】(1)见解析(2)①∠BAG=∠FAG；②AC=2AB=2AF，③AG=AG；④∠ABG=∠AFG【思路引导】此题考查了复杂作图，角平分线和垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质．（1）按照角平分线和垂直平分线的尺规作图方法，求解即可；（2）根据全等三角形的判定与性质，求证即可．【规范解答】（1）解：如图所示：（2）解：∵FG是AC的垂直平分线，∴AF=FC，∠AFG=90°，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAG=∠FAG，∵AC=2AB=2AF，∴AB=AF，在△ABG和△AFG中，AF=AB∠GAF=∠GAB∴△ABG≌△AFGSAS∴∠ABG=∠AFG=90°，∴AB⊥BG．故答案为：①∠BAG=∠FAG；②AC=2AB=2AF，③AG=AG；④∠ABG=∠AFG．考点讲练9：车牌号码的镜面对称17．小强用火柴棒在桌上摆了一个不正确的等式，如图所示，你有没有什么办法，在不移动火柴棒的情况下，使桌面出现一个正确的等式？

【答案】见解析【思路引导】根据镜面对称的性质即可解答.【规范解答】沿着镜面反射即可，如图所示．

【考点剖析】本题考查镜面对称，熟练掌握镜面对称的性质是解题关键.18．某公路急转弯处设立了一面大镜子，从镜子中看到汽车的车辆的号码如图所示，则该汽车的号码是．【答案】B46E58【规范解答】利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．题中所显示的图片中的数字与“B46E58”成轴对称，则该汽车的号码是B46E58．故答案为B46E58.点睛：本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．考点讲练10：钟表的镜面对称19．（20-21八年级·全国·假期作业）小明在所面对的平面镜内看到他背后墙上时钟所成的像如图所示，则此时的实际时刻应是()A．3:30 B．4:30 C．7:30 D．8:30【答案】A【思路引导】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，且关于镜面对称，分析并作答．【规范解答】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的时刻与3:30成轴对称，所以此时实际时刻为3:30，故选A．【考点剖析】本题考查镜面对称的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．20．如图所示，一平面镜以与水平面成45°角固定在水平面上，一个小球以1m/s的速度沿水平面向点O匀速滚去，则小球在平面镜中的像是（

A．以1m/sB．以1m/sC．以1.5m/s的速度运动，且运动路线与地面成45°D．以2m/s的速度，做竖直向下运动【答案】B【思路引导】利用镜面对称的性质求解，镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．【规范解答】根据镜面对称的性质，在平面镜中的顺序与现实中的恰好相反，且关于镜面对称，则小球在平面镜中的像是以1m/s的速度，做竖直向下运动.故选B.【考点剖析】本题主要考查镜面对称，解题关键是熟练掌握镜面对称的性质.考点讲练11：电子钟的镜面对称21．如图是某天下午小明在镜中看到身后墙上的时钟情况，则实际时间大约是．

【答案】8：05．【思路引导】根据镜面对称的性质，在平面镜中的钟面上的时针、分针的位置和实物应关于过12时、6时的直线成轴对称.【规范解答】解：根据平面镜成像原理可知，镜中的像与原图象之间实际上只