2026年湖南高中学业水平合格性考试数学试卷试题含答案详解

2026年湖南高中学业水平合格性考试数学试卷试题(含答案详解一、单项选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）设集合A={x∣1≤x<4}，B={x∣2<x≤5}，则计算复数(1+2i)(3−i)的结果为（）

A.1+5不等式x2−3x−4<0的解集为（）

A.(−1,4函数f(x)=x−1+ln(2−x)的定义域为（）

A.已知平面向量a=(1,2)，b=(m,−1)，若a⟂b，则实数m的值为（）

cos240∘的值为（）

A.12B.−12C.某中学有高一学生400人，高二学生300人，高三学生300人。现采用分层抽样的方法从该校全体学生中抽取100人进行体质健康测试，则应抽取的高一学生人数为（）A.30B.35C.40D.50

8.设a=20.3，b=0.32，c=log20.3，则a,b,c的大小关系为（）

A.a<b<A.2πB.4πC.6πD.8π

10.函数f(x)=sin(2x+π3)的最小正周期为（）

A.π2A.25B.35C.15D.45

12.函数f(x)=lnx+x−3的零点所在的区间为（）

A.(已知平面向量a=(3计算：log2已知x>0，则在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c（本小题满分8分）已知集合A={x∣x2−4x−5≤0}，B={x∣已知函数f(x)=2sinxcosx+2cos如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⟂底面ABCD，E为PD的中点。

（1）求证：P已知二次函数f(x)=ax2+bx+c（a≠0）满足f(0)=2，且对任意实数x都有f(1+x)=f(1−参考答案与解析一、单项选择题答案：B【考点】集合的交集运算【解析】交集是两个集合公共元素组成的集合，结合数轴可知，集合A={x∣1≤x<4}与【考点】复数的乘法运算【解析】根据复数乘法法则(a+bi)(c+【考点】一元二次不等式的解法【解析】对不等式左边因式分解得x2−3x−4=(x−4)(【考点】函数定义域的求解【解析】要使函数有意义，需同时满足二次根式被开方数非负、对数真数大于0，即：x−1≥02−x>0，解得x≥1x<【考点】平面向量垂直的坐标表示【解析】两个向量垂直的充要条件是数量积为0，即a⋅b=0。代入坐标得1×m+2×【考点】三角函数的诱导公式【解析】将240∘转化为180∘+60∘，根据诱导公式cos(180【考点】分层抽样的计算【解析】分层抽样按各层人数占总人数的比例抽取样本。该校总人数为400+300+300=1000人，抽取100人的抽样比为1001000【考点】指数函数与对数函数的单调性（比较大小）【解析】利用中间量0和1比较：a=20.3b=c=log20.3<log2答案：B【考点】圆柱的侧面积公式【解析】圆柱的侧面积公式为S=2πrh，其中r为底面半径，h为高。代入r=1，h【考点】正弦型函数的周期计算【解析】对于函数f(x)=Asin(ωx+φ)（A≠【考点】古典概型的概率计算【解析】从5个数中任取2个，总基本事件数为C52=5×42×1=10种。

两数之和为偶数的条件是两数同为奇数或同为偶数：奇数有1、3、5共3个，取法有C32【考点】函数零点存在性定理【解析】函数f(x)=lnx+x−f(2)=lnf(3)=ln3答案：5【考点】平面向量模的坐标计算【解析】对于向量a=(x,y)，其模长公式为|a|=x2【考点】对数的运算性质【解析】根据对数恒等式logaan=n（a>0且a≠1）：

log【考点】基本不等式的应用【解析】由于x>0，根据基本不等式a+b≥2ab（a>0，b>0，当且仅当a=b时等号成立），可得：【解析】根据余弦定理，。代入，，，得：

。

由于，因此。

三、解答题

17.解析cosC=a2+b【考点】集合的运算、集合间的包含关系（1）先求解集合A：不等式x2−4x−5≤0因式分解为(x−5)(x+1)≤0，解得−1≤x≤5，即A={x∣−1≤x≤5}。（1分）

当m=2时，B={x∣2−【考点】三角恒等变换、正弦型函数的单调性（1）方法一：直接代入计算fπ4=2sinπ4f(x)=sin2x+由二倍角公式2sinxcosx=sin2sin2x+cos2x=222sin2x+22cos2左边移项得2x≥−3π4+2kπ，即x≥−3π8+kπ；【考点】线面平行的证明、三棱锥的体积计算（1）证明：连接BD，交AC于点O，连接EO。（1分）

因为底面ABCD是矩形，矩形的对角线互相平分，所以O是BD的中点。（2分）

又因为E是PD的中点，因此在△PBD中，EO是中位线，故EO∥PB。（4分）

由于EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，根据线面平行的判定定理，可得PB∥平面AEC。（6分）

（2）解：因为PA⟂底面ABCD，所以PA是三棱锥P−ACD的高。（7分）

计算△AC【考点】二次函数的解析式、方程根的分布、二次函数的最值（1）由f(0)=2，代入解析式得c=2。（1分）

因为对任意实数x都有f(1+x)=f(1−x)，所以二次函数的对称轴为x=1，即−b2a=1，整理得b=−2a。（2分）

f(x)有最小值1，说明a>0，且顶点处函数值为1，即f(1)=1。将c=2、b=−①Δ=(2+k)2−4(2−2k)=k2+12k−4>0，

解方程k2+12k−4=0得根为k=−6±210，