江苏省无锡市宜兴中学2025-2026学年高一下学期期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年江苏省宜兴中学高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.（2-4i）•i的虚部为（）A.2 B.2i C.-2 D.-2i2.已知平面上两点A（2，1），B（-1，2），若，则C的坐标为（）A.（-5，2） B.（5，1） C.（-6，0） D.（-7，4）3.已知直线a,b,c是不同的直线，平面α，β，γ是不同的平面，则下列结论正确的是（）A.若a⊥b,a⊥c,则b∥c B.若a⊥b,a⊥α，则b∥α

C.若a⊥α，b⊥α，则a∥b D.若α⊥β，α⊥γ，则β∥γ4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,若acosC+ccosA=bsinB，则△ABC的形状是（）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定5.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知c=4，A=45°，若角B有两解，则a的值可以是（）A.2 B. C. D.46.已知圆锥底面半径为3，体积为3π，若圆锥底面圆周和顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）A.100π B.40π C. D.7.如图，已知圆O的半径为2，AB是圆O的一条直径，EF是圆O的一条弦，且EF=2，点P在线段EF上，则的最小值是（）A.1

B.-2

C.-3

D.-18.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c.若a=4，，，则bc=（）A. B.20 C.16 D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.设向量，，则下列说法正确的是（）A.若⊥，则k=6 B.若（+）∥，则

C.若与的夹角为锐角，则k＜6 D.与共线的单位向量是10.下列说法正确的有（）A.若|z|=1，则z=±1或±i

B.若复数z满足|z|=1，则|z+2i|的最大值为3

C.已知两个单位向量，的夹角为60°，若，则

D.已知空间四边形ABCD的对角线AC=10cm,BD=6cm,M，N分别是AB，CD的中点，若异面直线AC，BD所成角为60°，则11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是AA1，CC1，C1D1的中点，Q是线段D1A1上的动点，则（）A.存在点Q，使B，N，P，Q四点共面

B.存在点Q，使PQ∥平面MBN

C.三棱锥P-MBN的体积为

D.经过C，M，B，N四点的球的表面积为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若一水平放置的正方形的边长为4，则其用斜二测画法得到的直观图的面积是

.13.四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E∈PC，F∈PB，，，若AF∥平面BDE，则λ的值为

.

14.在△ABC中，AB=2，AC=4，∠BAC=120°，点O是△ABC内一点，且满足，则的最小值为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知复数z=（m2-m）+（m2-1）i（m∈R）.

（1）若z＞0，求实数m的值；

（2）若z为虚数，求实数m的取值范围；

（3）若复数z对应的点在第四象限，求实数m的取值范围.16.(本小题15分)

已知菱形ABCD的边长为2，P为对角线BD（异于B，D）上一点．

（Ⅰ）如图1，若BP=3PD，=3，设=，=．试用基底{，}表示，并求||；

（Ⅱ）如图2，若=0，点P在边BC，CD上的射影分别为E，F，求与的夹角．17.(本小题15分)

如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，点D是BC的中点，AB=AA1=4.

（1）求证：A1B∥平面ADC1；

（2）求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1；

（3）求直线A1B到平面ADC1的距离.18.(本小题17分)

记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知.

（1）求A；

（2）若a=2，D为BC中点，，求△ABC的面积；

（3）在△ABC内，将满足∠PAB=∠PBC=∠PCA的点P称为△ABC的布洛卡点.若P为△ABC的布洛卡点，且PA=PC=2，求△ABC的周长.19.(本小题17分)

在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，∠ABC=90°（如图1）.把△ABD沿BD翻折，使得二面角A-BD-C的平面角为θ（如图2），M、N分别是BD和BC中点.

（1）证明：平面BCD⊥平面AMN；

（2）若E是线段BN的中点，动点F在三棱锥A-BMN表面上运动，并且总保持FE⊥BD，求动点F的轨迹的长度（可用θ表示），适当说明理由，无需证明；

（3）若P、Q分别为线段AB与DN上一点，使得=λ（λ∈R）（如图3），令PQ与BD，PQ与AN所成的角分别为θ1和θ2，且θ1和，求sinθ1+sinθ2的取值范围.

1.【答案】A

2.【答案】D

3.【答案】C

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】A

7.【答案】D

8.【答案】D

9.【答案】AB

10.【答案】BC

11.【答案】ABC

12.【答案】

13.【答案】2

14.【答案】-

15.【答案】m=-1；

{m|m≠1且m≠-1}；

（-1，0）．

16.【答案】解：（Ⅰ）因为BP=3PD，所以=，

则=+=+=+（）=+=+，

因为=3，所以（+）（）===3，

解得=-2，

则||===；

（Ⅱ）因为=0，所以，

以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，

设P（x，2-x），则E（2，2-x），F（x，2），

所以=（x，2-x），=（x-2，x）

则•=x（x-2）+x（2-x）=0，故与的夹角为．

17.【答案】（1）证明：连接A1C，交AC1于点O，连接OD，则O是A1C的中点，

因为D是BC的中点，

所以OD∥A1B，

又OD⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，

所以A1B∥平面ADC1．

（2）证明：因为△ABC为等边三角形，且D是BC的中点，

所以AD⊥BC，

由正三棱柱的性质知，BB1⊥平面ABC，

因为AD⊂平面ABC，所以BB1⊥AD，

又BC∩BB1=B，BC、BB1⊂平面BCC1B1，

所以AD⊥平面BCC1B1，

因为AD⊂平面ADC1，

所以平面ADC1⊥平面BCC1B1．

（3）解：由（1）知A1B∥平面ADC1，

所以直线A1B到平面ADC1的距离等价于点B到平面ADC1的距离，

由（2）知AD⊥平面BCC1B1，

所以点A到平面BDC1的距离为AD，

因为AA1∥平面BDC1，所以点A1到平面BDC1的距离也为AD，

而=AD•DC1==2，=BD•CC1==4，

设点B到平面ADC1的距离为d,

因为=，

所以d•=AD•，即=，解得d=，

所以直线A1B到平面ADC1的距离为．

18.【答案】；

；

．

19.【答案】解：（1）因为AB=AD，且点M是BD的中点，所以AM⊥BD，

因为△ABD是等腰直角三角形，，所以BD=2，

因为，∠CBD=∠ADB=45°，

所以，

所以BD2+DC2=BC2，得BD⊥DC，

因为点M，N分别是BD，BC的中点，所以MN∥DC，即BD⊥MN，

AM∩MN=M，且AM，MN⊂平面AMN，

所以BD⊥平面AMN，且BD⊂平面BCD，

所以平面BCD⊥平面AMN；

（2）由（1）知BD⊥平面AMN，分别取AB，BM的中点为G，O，连接OG，OE，EG，

则OG∥AM，OG⊄平面AMN，AM⊂平面AMN，所以GO∥平面AMN，

同理EO∥平面AMN，由于GO∩OE=O，GO，OE⊂平面EOG，

所以平面EOG∥平面AMN，

所以BD⊥平面EOG，因此点F在平面EOG上运动，故点F的轨迹为三角形E