2026人教版高二数学(上册)期末考试卷(含答案)

2026人教版高二数学(上册)期末考试卷(含答案)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知空间向量a=(2,1,−3)，b=(−1,2,4)，则|a+2b|=（）

A.52B.5C.10D.10

2.直线xsinα+y+2=0（α∈R）的倾斜角的取值范围是（）

A.[0,A.若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥αC.若直线l与平面α平行，则l与α内的任意一条直线都平行

D.若直线l与两个相交平面都平行，则l与这两个平面的交线平行

5.已知圆的圆心在直线2x−y−7=0上，且过点A(0,−4)、B(0,−2)，则该圆的标准方程为（）

A.(x−2)2+(y+3)2=5B.(x−2)2+(y−3)2=5

C.(x+2)2+(y+3)2=5D.(x−2)2+(y+3)2=25

6.已知双曲线C9.已知空间中三点A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,3)，则下列说法正确的有（）

A.AB=(−1,2,0)

B.直线AB的一个方向向量为(−2,4,0)

C.平面ABC的一个法向量为(6,3,2)

D.直线BC与平面xOy所成角的正切值为23

10.已知圆M:(x−1)2+(y−2)2=4，点P(2,3)，则下列说法正确的有（）

A.若直线l过点P且平分圆M的周长，则直线l的方程为x−y+1=0

B.过点P可作两条与圆M相切的直线

C.若圆N与圆M关于直线y=x对称，则圆N的标准方程为(x−2)2+(y−1)213.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为______。

14.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>17.（10分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2=3，S4=16。

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若bn=1anan+1，求数列{bn}的前n项和Tn。

18.（12分）在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⟂平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，点E为棱PD的中点。

（1）求证：PB∥平面AEC；

（2）求平面AEC与平面ABCD夹角的余弦值。

19.（12分）已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(−3,0)，B(3,0)，C(0,3)。

（1）求BC边上的高所在直线的方程；

（2）求△ABC外接圆的标准方程；

（3）若过点D(−2,0)的直线l与△ABC的外接圆交于M,N两点，且|MN|参考答案（一）单项选择题1.A解析：a+2b=(2−2,1+4,−3+8)=(0,5,5.A解析：线段的中点为，垂直于轴，故其中垂线为，与直线联立，解得圆心坐标，半径，故圆的标准方程为。

6.B解析：由渐近线方程得，即，将点代入双曲线方程得，解得，故焦距。

7.B解析：由等比数列性质，若则，故，，原式可整理为，结合数列各项均为正数，得。

8.B解析：椭圆中，故。设，由椭圆定义得；由的面积为，得；结合余弦定理，将代入得，联立面积公式解得。

（二）多项选择题

9.ABC解析：由向量坐标运算得，A正确；，与共线，可作为直线的方向向量，B正确；由叉乘运算，平面的法向量，C正确；直线的方向向量为，其在平面上的投影长度为2，竖直方向高度差为3，故直线与平面所成角的正切值为，D错误。

10.ACD解析：平分圆周长的直线必过圆心，过和的直线斜率为1，方程为，A正确；点到圆心的距离为，即在圆内，过无法作出圆的切线，B错误；点关于直线的对称点为，对称圆半径不变，故圆的方程为，C正确；的面积，当时面积取最大值2，此时弦长，D正确。

11.BCD解析：由题得，则，不符合等比数列定义，A错误；，是首项为1、公比为4的等比数列，B正确；等差数列前项和为，等比数列前项和为，故的前项和为，C正确；由错位相减法计算可得的前项和为，D正确。

12.ABC解析：过抛物线焦点的弦中，通径长度最短，为，A正确；设，的中点坐标为，中点到轴的距离为，而，故半径，等于圆心到轴的距离，圆与轴相切，B正确；设过的直线方程为，联立抛物线得，故，，则，点积为，故，即，C正确；由抛物线定义，故，D错误。

（三）填空题

13.解析：以为原点建系，得，，，异面直线夹角余弦值为。

14.解析：双曲线焦点到渐近线的距离为，故，离心率。

15.解析：将直线方程整理为，联立得定点，点到圆心的距离为，故最短弦长为。

16.解析：由递推式，得是首项为2、公比为2的等比数列，故，由错位相减法求和得的前项和为。

（四）解答题

17.解：（1）设等差数列的公差为，根据已知条件列方程组：

AB(0,−3)AByy=−32x−y−7=0(2,−3)r=(2−0)2+(−3+4)2=5(x−2)2+(y+3)2=5ba=2b=2a(2,2)2a2−44a2=1a2=1a2=1,b2=4,c2=a2+b2=52c=25m+n=p+qaman

解得a1=1,d=2，因此数列的通项公式为

18.（1）证明：以A为原点，分别以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，各点坐标为A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1)。连接BD交

令y=−1，解得x=2,z=1，即n2=(2,−1,1)。

设平面AEC与平面ABCD的夹角为θ，则cosθ=|n1⋅n2||n1|

解得b=1，半径r=3+1=2，故外接圆的标准方程为x2+(y−1)2=4。（8分）

平方整理得3k2−4k=0，解得k=0或k=43，故直线l的方程为y=0或4x−3y+8=0。（12分）

20.解：（1）由离心率e=ca=22，得c=2

由OP⟂OQ得OP⋅OQ=x1x2+y1y2

整理得an=2an−1+1，即an+1=2

故bn=

两式相减得

整理得Tn=2−n+22n。（12分）

22.解：（1）由抛物线的定