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文档简介

第15讲单调性问题·分类练习(解析卷)

答案速查表

12345

CACDCCBD

678910

CBCD

1112131415

(0,1)2

单调递减区间为单调递减区间为,

单调递增区间

,单调递增D见解析

1为;最小(0值,1)为

区间为

(0,e)(0,+∞)

1(1,+∞)

16e17181920

(,+∞)ln2

BABAA

2122232425

DBDBC

2627282930

见解析见解析见解析见解析BC

3132333435

(1)

(1)见解析(1)见解析(2)

见解析(2)见解析

�>(2)见解析或

�=

0

3637380�39≤−140

�=4

(1)见解析

(1)见解析(2)见解

见解析见解析见解析()或

析2

�=0

考点一:导函数与原函数图象及性质的关系�≤−1

考法1:根据原函数图象判断导函数图象或性质

1.(2026·广东东莞·二模)已知函数的图象如图所示,则其导函数图

'

象可以是�=�(�)�=�(�)

A.B.

C.D.

【答案】C

【解析】由图象可知,在整个定义域内,始终单调递减,,在从到的变

'

化过程中,切线斜率(导数)在递增且为负�=数�;(�在)从到的变�化(�过)≤程0中,切�线斜−∞率(0导数)

在递减且为负数.故只有C选项,导函数图象满足题�意.0+∞

【点拨】观察原函数图象的增减性可得导函数的正负,观察原函数图象的凹凸性(切线斜率的变

化率)可得导函数的增减性.

2.(2025·河北衡水·一模)(多选)已知函数的部分图象如图所示,是的

'

导函数,则下列结论正确的是�(�)�(�)�(�)

A.()B.

''

C.�3<0D.�((−)1)>0()

''

【答案】�A(C−D1)−�(−1)>0�3−3�3>0

【解析】由函数的图象可知,在处单调递减,(),A正确;在

'

处单调递减,�(�),B错�(误�);由�图=可3知,∴�且3<0,�(�)�=−

'''

1∴�,(−C1正)<确;0由图象的切线几何意�义(−可1知)=,0点�((−)1)处<的0切∴线�(与−1轴)的−交�(点−横

'

坐1)标=−大�于(−,1即)>0(),又(),()(3,(�)3),即()�

()

�3'''

'

()0,D正3确−.�3>0�3<0∴−�3+3�3<0�3−3�

【3点拨>】0切线与坐标轴的交点位置是判断函数值与导数值线性组合符号的有效几何模型.

考法2:根据导函数图象判断原函数图象或性质

3.设是函数的导函数,的图象如图所示,则的图象最有可能的

''

是�(�)�(�)�=�(�)�=�(�)

A.B.

C.D.

【答案】C

【解析】由导函数的图象可得当时,,函数单调递增;当时,

'

,函数单调递减;当�<0时,�(�)>0,函数�(�)单调递增.只有0<C�选<项2的图象符

''

�合(.�)<0�(�)�>2�(�)>0�(�)

【点拨】导函数图象在轴上方对应原函数递增,在轴下方对应原函数递减.

4.已知函数�的图象如图所示(其中�是函数的导函数),下面四个图象

''

中可能是�=��图(�象)的是�(�)�(�)

�=�(�)

A.B.

C.D.

【答案】C

【解析】由的图象知,当时,,故,单调递增;

'''

当�=时�,�(�),故�∈(−,∞当,−1)�时�(,�)<0�,(�故)>0�(�,)等号仅有

''''

可�能∈在(−1,0)处取得��,(�)>0�(时�),<0单调�递∈减(0,;1)当��(�)≤0时,�(�)≤0,故

''

,�单=调0递增,结合∴�选∈项(只−有1,1C)符合�.(�)�∈(1,+∞)��(�)>0�(�)>

0【点�拨(�】)处理含有因式的导数构造图象时,需在两侧分别讨论符号,从而还原的真实

'

正负区间.��=0�(�)

5.(多选)已知函数的定义域为且导函数为,如图是函数的图像,则

''

下列说法正确的是�(�)��(�)�=��(�)

A.函数的增区间是

B.函数�(�)的增区间是(−2,0),(2,+∞)

C.�(�是)函数的极小(值−点∞,−2),(2,+∞)

D.�=−2是函数的极小值点

【答案】�B=D2

【解析】先由题中图像,确定的正负,得到函数的单调性;从而可得出函数极大值点与

'

极小值点,进而可得出结果.由�题(�意),当时,�(�);当时,;当

''

时,;当时0,<�<2;即�函(�数)<0在�>2和�(�)>0上单调

''

−递2增<,�在<0�上(单�)调<递0减,�因<此−函2数�在(�)>0时取得极�小(�值),(在−∞,−2)时取(2得,+极∞大)值;故

A错,B正(−确2;,2C)错,D正确.�(�)�=2�=−2

【点拨】通过的符号与的符号同号或异号,准确剥离出的符号分布,是寻找极值点的

''

关键.��(�)��(�)

考法3:结合图象与单调性解不等式

6.已知定义在上的函数的大致图像如图所示,是的导函数,则不等式

'

的[解−集3为,4]�(�)�(�)�(�)

'

��(�)>0

A.B.C.D.

55

【答案】(C−2,−1)∪(1,2)(−3,−2)(−1,0)∪(1,2)(3,4)

【解析】若,则单调递减,图像可知,;若,则

''

单调递�<增,0由图�像(�可)<知0,�(�),故不等式�∈的(解−集1,为0)�>0�.(�)>

5'5

0【,�点(�拨)】不等式等价�∈于(1与,2)同号,需��结(合�)原>函0数图象的增(−减1区,0间)∪分(段1,求2)解.

''

7.(2026·湖南�衡�(阳�)·>适0应性考�试)�((�)多选)函数的图

32

象如图所示,设是函数的导函数,则下列�结(�论)=正�确�的+是��+��+�(�≠0)

'

�(�)�(�)

A.的解集是

'

B.�(�)>0(2,5)

时,取得最大值

C.3�+2�+�=0

'

D.�=2�(�)的解集是

'

【答案】�B(�C)⋅�(�)>0(−∞,−1)∪(1,2)∪(3,5)

【解析】对于A项,由图象可得,函数在上单调递增,的解集是,故A

'

项错误;对于B项,�(�).又(1由,3)图象知,函数∴�(在�)>0处取得极(1小,3值),有

'2

()∵�(�),=故3�B�项+正2确��;+对�于C项,由图象知,�(当�)�=1时,单调递∴增,

'

�则1=3;�+当2�+�=0时,单调递减,则;当�∈(1,3)时,�(�)单调递减,

''

则�(�)>0.�∈(−的∞解,1集)为�(�)�,(�)<0的�解∈集(3为,+∞).又�(�)

''''2

�(�)为<二0∴次�函(�数)<,0根据二次函(数−的∞图,1象)∪可(知3,+∞).函�(数�)>0在以(及1,3)�处(�取)=得3极�值�,+

2��+(�)�<0∵�(�)�=1�=3∴

有,即,,

'()

�1=03�+2�+�=0�=−6�'22

'∴∴�(�)=3��+2��+�=3��−12��+

�3=02,7�+6�+,�=0时�,=9�取得最大值,故C项正确;对于D项,由

2'

9�=3�(�可−得2)−3�∵或�<0∴�=.由2图象知�,(�当)时,.又�(�)⋅

'�(�)>0�(�)<0'

�(�)>0''�∈(−∞,−1)∪(2,5)�(�)>0�(�)>

的解集为�.(由�)>0�(可�)得<0;由图象知,当时,.

�(�)>0

0(1,3)∴'�∈(2,3)�∈(−1,2)∪(5,+∞)�(�)<0

�(�)>0

又的解集为.由可得.

'�(�)<0'

�(�)<0(−∞,1)∪(3,+∞)∴'�∈(−1,1)∪(5,+∞)∴�(�)⋅�(�)>

的解集是,故D项�错(�误).<0

0【点拨】将(函−数1值,1)与∪导(2数,3值)∪的(乘5,+积∞不)等式转化为两个不等式组,分别对应图象在轴上方且上升,

或在轴下方且下降的区间.�

�

考点二:不含参函数的单调性分析与应用

考法4:求不含参函数的单调区间

函数的单调递增区间为()

8.2

�+2

A.�=�+ln�B.C.D.

【答案】

(0D,2)(0,1)(2,+∞)(1,+∞)

【解析】函数的定义域为,则

22

�+2221�+�−2

'22

�����

.令,解得(0,+∞).�=.+ln�=�++ln��=1−+==

(�+2)(�−1)'

2�>0

【点�拨】求导前先将分式化�∈简(为1,多+项∞式)与反比例函数的和,能有效降低求导运算的复杂度

�>0.

(·山东聊城·二模)函数的单调递减区间为______

9.2026�.

e−1

【答案】�(�)=�−ln�

【解析】(0,1)的定义域为,令,由

�����.

�e−(e−1)1�e−e+1−�(�−1)(e−1)

'222'

于,�则(�)(0,+∞,)解�得(�)=�.−�的=单调递�减区间=为�.�(�)<0

�

【�点>拨0】对含(�有−指1数)(e和对−数1)的<复0合函数求0<导�后<,1提∴取�(公�)因式并利用基本初等(0函,1)数的符号特征是判

断导数正负的关键.

10.(2026·湖北孝感·一模)函数的单调递增区间为,

32

,单调递减区间为,则�(�)=�_−_3_�_−_9�_+.11(−∞,�]

[【�,答+案∞】)[�,�]�+�=

【解析】2对函数求导,,令,即

32'2'2

,解之�(可�)得=�−3�或−9�+,1当1�时(,�)=3�−,6�函−数9�单(调�)递=增0;当3�−

'

6�−9时=,0,函�=数−1单�调=递3减;�当<−1时,�(�)>0,函数�(�)单调递增;可−1知<

''

�<,3�,(�)<0.�(�)�>3�(�)>0�(�)∴�=

−【1点拨�】=三3次∴函�数+的�单=调2区间由其导数(二次函数)的零点直接划分,注意区间的闭合状态.

11.(2026·山东东营·二模)已知函数.求函数的单调区间.

【答案】单调递减区间为,单调递增区�间(�为)=�ln��(�)

11

【解析】函数(的0,定e)义域为,(e,+∞).

'

令,得�(�)=�ln�;(0,+∞)�(�)=ln�+1

'1

令�(�)<0,得0<�.<e

'1

故�函(数�)>0的单调�>递e减区间为,单调递增区间为.

11

�(�)(0,e)(e,+∞)

【点拨】对数函数的导数运算中,牢记定义域的限制是避免区间出错的前提.

考法5:利用单调性与构造函数求解不等式或极值

12.(2026·广东深圳·二模)已知函数,则满足

�(�−1)2

的的取值范围是()�(�)=e+�−��(�)<�(�+2)

�A.B.C.D.

1

【答案】(0B,+∞)(−2,+∞)(−1,+∞)(−∞,0)

【解析】函数,定义域为.易知函数只含

121

�(�−1)2(�−2)−4121

项,因�(此�)=e关于直+线�−�对称.当�增大时,�(�)=增e大,函数+值(�增−大2),−4在

121112

(�−2上)单调递减,�(在�)上�单=调2递增.�−2(�等−价2于)离的距离小于∴�(离�)的(距−

1111

离∞,大2]小问题,即[2,+∞)�(�)<.两�(边�平+方2)得�2;�整+理2得2

1131232

,解得|�−2|.故<|�的+取2值−范2|围=为|�+2|.(�−2)<(�+2)

11

−【4点�拨<】2通过配�方发>−现2函数�的对称性,将函(−数2值,+大∞小)比较转化为自变量到对称轴的距离比较,是

处理此类问题的捷径.

13.(2025·深圳高级中学·适应性考试)已知函数的定义域为,且,

'

若(),则不等式的解集为__�(_�)___.(结�果用区�间(�表)−示�)(�)>0

�

【答�案0】=1�(�)−e>0

【解析】(由0,+∞),可得在上单调递增,又注意到原不等式等价于

�(�)

'�

(),据�此(可�)得−答�(案�)>0�(�)=,e构造�函数,,�(�函)>数

.'

�(�)�(�)−�(�)

''�

�()

�0是增函数,∵�(�)−,�(�)>0,()�(�),=e()∵�(�)=e,原>不0等∴式即

�(�)�0

��0

�(�)(),∵解�(得�)−e>,0不等∴e式>1∵�0的=解1集为∴�0=.e=1∴

�

�【(点�)拨>】�遇0到�>0∴的形式,�(�优)先−联e想>构0造商函数(0,+∞)来利用单调性.

�(�)

'�

14.(2026·安�(徽�)师−大�(附�)中>·0适应性检测)已知函数�(�)=e

1

.求函数的单调区�间(�与)=最l小n(值�.+�)(�>0),�(�)=

22

l【n(答�案+】1单)调−递��减+区间��为,�,�∈,�单调递增�区(�间)为;最小值为

(0,1)(1,+∞)ln2

【解析】的定义域为,求导得1,

2

11−�2�−1

'12

当�(�)时=,ln(�+�),单调(0递,+减∞;)�(�)=�+�=�(�+1)(�>0)

'

当0<�时<,1�(�),<0单�(调�)递增;

'

当�>1时,�(�)>0,�(�)取得极小值(),

'

�=的1单调递�(减�)区=间0为�(�),单调递增�区间1为=ln2,最小值为.

∴【�点(�拨)】对数型复合函数(0求,1导)时,链式法则的准(确1,+运∞用)是关键,同时ln注2意定义域对单调区间的截

断.

15.(2026·合肥六校联盟·一模)已知函数.当

�2

时,证明:.�(�)=2ln�−(2+1)�−��+1(�>0)

�【=答案0】见解析�(�)≤0

【解析】当时,,,

2'22(1+�)(1−�)

时�,=0�(;�)=2ln时�−,�+1�,(�)=�−2�=�

''

0<�在<区1间�(上�)单>调0递�增>,1�(上�)单<调0递减,

∴�(�)((0),1).(1,+∞)

∴【�点(�拨)≤】�证明1不等=式0恒成立,常转化为求函数的最值问题,利用导数求出最大值即可.

考点三:已知函数单调性求参数范围

考法6:根据函数在某区间单调求参数范围

16.若函数在区间上单调递增,则的取值范围是()

2

A.�(�)=�−��+lBn.�(1,e)C.�D.

【答案】22

[3B,+∞)(−∞,3][3,e+1][3,e−1]

【解析】函数在区间上单调递增,在区间

2'1

上恒成立∵,即�(�)=�在−区��间+ln�上恒成(立1,,e)令∴�(�)=2�−,�+则�≥0(1,e)

111

'2

�≤2�+�,(1在,e)上递增,又�(�()=)2�+�,(1<�<.e)的取�值(范�)围=是2−�=

2

2�−1(2�+1)(2�−1)

22

�=.�>0∴�(�)(1,e)�1=3∴�≤3∴�

【点拨】已知函数在某区间单调,等价于导数在该区间恒大于等于(或小于等于)零,常采用分

(−∞,3]

离参数法转化为求函数最值.

17.若函数且在区间内单调递增,则的取值范围是

3

()�(�)=log�(��−�)(�>0�≠1)(0,1)�

A.B.C.D.

11

【答案】[3A,+∞)(1,3](0,3)[3,1)

【解析】令,则,当或时,,当

3'2��'

�=�(�)=��−��(�)=�−3��>3�<−3�(�)<0

时,,在和上递减,在上递增,当

��'����

−3<�<3�(�)>0∴�(�)(3,+∞)(−∞,−3)(−3,3)

�>1

时,为增函数,且函数在区间内单调递增,�,解得,此

−3≤0

�>1�=log���(�)(0,1)∴�≥3

�

时在上递增,则()恒成立,当时,3≥1为减函数,且函

�(�)(0,1)�(�)>�0=00<�<1�=log��

数在区间内单调递增,,无解,综上所述,的取值范围是.

�

3

�(�)(0,1)∴≤0�[3,+∞)

0<�<1

【点拨】复合函数的单调性遵循“同增异减”原则,同时必须保证内层函数在给定区间上恒大于

零.

18.已知函数在区间上是减函数,则实数的取值范围为()

��

A.�(�)=sin�+�Bco.s�(4,2)C.�D.

【答案】

�B>2−1�≥1�>1−2�≥−1

【解析】由题意,在上恒成立,即在上恒成立,

'��cos�1��

在上�(单�)调=递co增s�,−�sin�≤0(,4,2在)时,�≥sin�=tan,�(4,2).

����1

∵【�点=拨ta】n�三角(4函,2数)的单调性问题∴,�求=导ta后n�通>过1分离∴参�数∈转(化4,2为)基本0三<角t函an�数<的1最值∴�问≥题1.

19.三次函数在上是减函数,则的取值范围是()

3

A.�(�)=��−�B.(−∞,+∞)C.�D.

【答案】

�A<0�<1�≤0�≤1

【解析】对函数求导,得,函数在上是减函数,

3'2

则在上�(�恒)成=立�,�即−��(�)恒=成3立�,�当−1∵,即�(�)(时−,∞,+∞)恒成

'222

立�;(当�)≤0,�即时,3��,−则1≤0,即�=0,�=0,3��−1,≤即0

111

22222

;又�当≠0时�,≠0�不>是0三次函3�数≤,�不满足3题�意≤,(�)min.∵�>0∴3�≤0�≤

0【点拨∵】三�次=函0数在�(上�)单=调−,�等价于其导函数(二次函数)∴恒�不<改0变符号,注意最高次项系数不

能为零.�

20.已知函数在上单调递增,在上单调递

13�2

减,则实数�的(�取)=值3范�围+为2(�+�+)1(−∞,0),(3,+∞)(1,2)

A.�B.C.D.

10510105

【答案】[A−3,−2](−∞,−2](−3,−2](−3,−2)

【解析】由,得.在上单调递

13�2'2

�(�)=3�+2�+�+1�(�)=�+��+1∵�(�)(−∞,0),(3,+∞())

'()

增,在上单调递减,方程的两个根分别位于区间和上,�0≥0,

'()

'�1≤0

(1,2)∴�(�)=0[0,1][2,3]∴'()

�2≤0

'

�3≥0

即,解得

1≥0.

105

1+�+1≤0

−3≤�≤−2

4+2�+1≤0

【点拨】根据单调区间分布,转化为二次导函数的根的分布问题,利用端点函数值符号列不等式

9+3�+1≥0

组求解.

考法7:根据函数存在单调区间或不单调求参数范围

21.(2025·江西上饶·二模)若函数在上存在单调递增区间,

12

则实数的取值范围为()ℎ(�)=ln�−2��−2�[1,4]

�

A.B.C.D.

77

【答案】[D−1,+∞)(−1,+∞)(−∞,−16](−∞,−16)

【解析】根据条件得出存在,使成立,即存在,使

'1

成立,构造函数�∈[1,4,]ℎ(�),=求�出−��−的2最>值0即可解决问题.�令∈[1,4]�<,

121212

222

�−�,变形得�(�)=�−��,∈[1,4],�(�),当,即�(�)时=,�−�

121111

�∈[1,4],�(�)=(.�−1)−1∵�∈[1,4]∴�∈[4,1]∴�=4�=4

77

�【(点�)m拨ax】=存−在16单调∴�区<间−问16题,转化为导函数大于零(或小于零)在给定区间上有解,即参数小于

最大值(或大于最小值).

若函数在区间上不单调,则实数的取值范围为()

22.2

�1

A.�(�)=2−ln�B.(�,�+3)C.�D.

222

【答案】0B<�<33<�<13≤�≤1�>1

【解析】函数的定义域为,且,令

22

�'1�−1(�+1)(�−1)'

�(�)=2−ln�(0,+∞)�(�)=�−�=�=��(�)=

,得,在区间上不单调,,解得:.

12

�>01

0�=1∵�(�)(�,�+3)∴3<�<1

【点拨】函数在某区间不单调,意味着该区间内必然�包<含1导<函�数+的3变号零点.

23.若函数在区间内存在单调递增区间,则实数的取值范围是

21

()�(�)=ln�+��−2(2,2)�

A.B.C.D.

11

【答案】[D−2,+∞)(−8,+∞)[−2,−8)(−2,+∞)

【解析】,,若在区间内存在单调递增区间,则

2'11

∵�(�)=ln有�+解�,�故−2∴�(,�)令=�+2��,�则(�)(2,2在)单调递增,

11111

'222

�(�)>0,�∈(2,2),故�>.−2��(�)=−2��(�)=−2�(2,2)

1

∴【�点(�拨)>】�存(在2)单=调−递2增区�间>即−导2数大于零有解,分离参数后求出新函数的最大值即可.

考法8:根据分段函数单调性求参数范围

24.(2026·山东济宁·三模)设函数是上的增函数,且关于的

�

e−�,�≤0,

�(�)=��

不等式恒成立,则实数ln的(�取+值1范),�围>是0()

2

A.�(�+�)<�(�+2)B.�C.D.

7777

【答案】(1B,4)[1,4)(1,4][1,4]

【解析】由题意可知,函数在和上均为增函数,且,即

0

;又�(�)恒(成−立∞,,0则](0,+∞)恒成立,即e−�≤ln(0+恒1成)立,

222

�≥1�(�+�)<�(�+2,),�+�<�.+2�<�−�+2

2127777

∵�−�+2=(�−2)+4≥4∴�<4∴�∈[1,4)

【点拨】分段函数在整个定义域上单调,除了各段自身单调外,还必须保证分界点处的函数值满

足单调性的衔接要求.

25.(2026·江西吉安·一模)已知函数在定义域上是增函数,

�

e−�ln�,�≥1,

则实数的取值范围为()�(�)=2�

−�+2��,�<1

A.�B.C.D.

e+1e+1

【答案】[1C,e][1,+∞)[1,2][2,e]

【解析】由题意知,在上是增函数,当时,恒成立,即恒

'���

成立,令,�(�)�,则∴�≥1,�(�)在=e−�≥上0单调递增,�≤�e

�'�

()�(,�)=�e;�当≥1时�,(�抛)=物(线�+1)e>0∴的�(对�)称轴[1,为+∞),;又∴�在(�)min=

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