2026-2027学年北师大版九年级上学期数学期中考试学情自测卷拔尖卷（含答案）

2026—2027学年北师大版九年级上学期数学期中考试学情自测卷拔尖卷一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）1．下列式子是一元二次方程的是（

）A． B． C．D．2．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是()A．对边相等 B．对角相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直3．如图所示几何体的俯视图是（

）A． B．C．D．4．下列各组中的四条线段成比例的是（

）A． B．C． D．5．如图，直线，直线和被所截，，则的长为（

）A．5 B．6 C．7 D．86．下列说法正确的是（

）A．已知线段，点是的黄金分割点，则B．已知，，，，则，，，是成比例线段C．方程有两个实数解D．对角线相等且垂直的四边形是正方形7．《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小唐按此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为64，则该方程的正数解为（

）A．4 B．6 C．8 D．108．如图，身高的小利（）站在距路灯杆的C点处，测得她在灯光下的影长为，则路灯的高度为（

）A． B． C． D．9．菱形如图，为上一点，为延长线上一点，于点，交于，若，则的值为（

）A． B． C． D．10．如图，在正方形中，O为对角线的中点，E为正方形内一点，连接，，连接并延长，与的平分线交于点F，连接，若，则的长度为（

）

A．2 B． C．1 D．二、填空题（每小题3分，满分18分）11．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_____________．12．黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图汉字“十“端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交接处点C恰好是线段的黄金分割点，即，若，则的长为______cm（保留根号）．13．如图，菱形的对角线相交于点O，点E在上，连接，点F为的中点，连接，若，，，则线段的长为______．14．如图，四边形是菱形，其中，，则菱形的面积为______．15．如图，在矩形中，对角线，交于点O，，，P是上一点，且，则的长为__________．16．如图，在矩形中，，，的平分线交于点，于点．点为的中点，连接，则的长为________．三、解答题:（17、18、19、20、21题每题8分，22、23每题10分，24题12分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）17．解方程．(1)；(2)．18．平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐x标是．(1)将绕点A逆时针旋转90度得到．点O、B的对应点分别是点E、F．请在图中画出．(2)连接，以为位似中心，将缩小得到，且位似比为，请在x轴下方作出图形．(3)请在x轴上找一个点P，使的值最小，并直接写出P点的坐标．19．如图，在平行四边形中，连接，是边上一点，连接并延长，交的延长线于，且．(1)求证：；(2)如果，，求的长．20．“户太八号”葡萄是西安市葡萄研究所通过奥林匹亚芽变选育而成，近年来被广泛种植，某葡萄种植基地2024年种植了64亩，到2026年的种植面积达到100亩．(1)求该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率；(2)某超市调查发现，当“户太八号”的售价为8元/千克时，每周能售出400千克，售价每上涨1元，每周销售量减少20千克．已知该超市“户太八号”的进价为6元/千克，为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过15元/千克．若使销售“户太八号”每周获利2240元，则售价应上涨多少元？21．如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接．

(1)求证：四边形是矩形；(2)若，，求的长．22．已知关于的一元二次方程有实数根．(1)求实数的取值范围；(2)若方程的两实数根分别为，，且满足，求实数的值．23．材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根有如下的关系（韦达定理）：；材料2：如果实数m、n满足，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根．请根据上述材料解决下面问题：(1)①已知一元二次方程的两根分别为，则______，______．②已知实数a，b满足：，则______．(2)已知实数m、n、t满足：，且，求的取值范围．(3)设实数a，b分别满足，且，求的值．24．问题背景：如图，在正方形中，边长为4．点M，N是边上两点，且，连接与相交于点O．(1)探索发现：探索线段与的关系，并说明理由；(2)探索发现：若点E，F分别是与的中点，计算的长；(3)拓展提高：延长至P，连接，若，请直接写出线段的长．参考答案1．D【详解】解：A、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；C、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D、是一元二次方程，故本选项符合题意；故选：D2．D【详解】试题分析：∵菱形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；平行四边形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分；∴菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是：对角线互相垂直．故选D．3．D【详解】解：由图可知：该几何体的俯视图为故选D．4．A【详解】解：A．∵，∴四条线段成比例，符合题意；B．∵，∴四条线段不成比例，不符合题意；C．∵，∴四条线段不成比例，不符合题意；D．∵，∴四条线段成比例，不符合题意．故选：A．5．B根据平行线分线段成比例可知，代值求解即可得到结论．【详解】解：∵，∴，∵，∴，解得，故选：B．6．A【详解】解：∵线段，点是的黄金分割点，∴，∴，故A符合题意；∵，，，，∴，∴，，，不是成比例线段，故B不符合题意；∵，∴，∴方程没有实数根；故C不符合题意；∵对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，∴D不符合题意；故选：A7．A【详解】解：∵阴影部分的面积为64，∴，设，则，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为，故选：A．8．A【详解】∵，∴，∴，∴，∴，解得，故选A．9．B【详解】解：∵菱形，∴，，，，∴，∵，∴，∵，∴在和中，，∴，∴，∵，∴，∴设，则，∴，∴，∴，∴，故选：B．10．D【详解】解：如图，连接，

四边形是正方形，，，，，，，平分，，，在与,，，，，O为对角线的中点，，故选：D．11．且【详解】解：根据题意，得：，且，解得：且．故答案为：且．12．【详解】解：∵点C恰好是线段的黄金分割点，即，，，解得：，∵，不符合题意舍去，故答案为：．13．【详解】解：在菱形中，，在中，∵，∴根据勾股定理得，∵，∴，在中，，即菱形的边长为，∵点F为的中点，点O为中点，∴．故答案为：．14．15．16．17．【详解】（1）解：∵，∴，∴，∴，解得；（2）解：∵，则，．18．(1)如图，为所作；(2)如图，为所作；（3）解：作出点E关于x轴对称点，连接与x轴的交点即为点P，点为所作，，，设直线的函数关系式为，由题意得：，解得：，直线的函数关系式为，令，则，解得：，19．(1)证明：∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴，∵，∴；（2）解：∵，∴，∵，，∴，∴，∴．20．【详解】（1）解：设该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率为，由题意得：，解得或（不符合题意，舍去），答：该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率为．（2）解：设售价应上涨元，则每周的销售量为千克，由题意得：，解得或，∵为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过15元/千克，，解得，所以，答：售价应上涨6元．21．(1)证明：∵四边形是菱形，∴，且，∵，∴，即，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是矩形．（2）解：∵四边形是菱形，∴，，，∵，∴，在中，由勾股定理可得：∴，∴，∵，∴，∴．22．【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根，，解得：，（2）方程的两实数根分别为，，，，解得，．23．【详解】（1）解：①∵一元二次方程的两根分别为，∴根据韦达定理，可得，．故答案为：，②∵，∴a，b是一元二次方程的两个不相等的实数根，∴，，∴．故答案为：（2）解：∵实数m、n、t满足：，∴m，n是关于x的一元二次方程，即的两个不相等的实数根，∴，即，，，∵，∴，即，∴，∵，且，∴；（3）解：∵实数a，b分别满足，且，∴，∴方程可变形为