河北省爱英才大数据联考2027届高三年级10月联考数学试题卷+答案

绝密★启用前

高三数学

DZ01

班级姓名

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试

卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.已知集合P={x|x<0},,则P∩Q=

A.øB.{x|x≤0}C.{x|x<0}D.{x|x=0}

2.“x+y=0”是‘

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知函数f(x)=—x²则g(x)+x-2≤0的解集为

A.[一∞,1]B.[-2,1]

C.(一∞,—2)U[1,+∞)D.(-2,+∞)

4.已知正项等差数列{an}的公差为d,首项a₁=4,且a₁,a₄-1,a+2成等比数列，则d=

A.9B或3C.4D.3

5.已知正三棱锥P-ABC的外接球的体积为,底面△ABC的边长为2√3,则顶点P到底

面ABC的距离为

A.√5B.√5+1C.√5-1D.√5±1

6.已知平面向量i,j,k两两不共线，且(2i+tk)//(j+k),(i+3j)//(j+k),则实数1的值为

A.—6B.6C.-4D.4

7.若函数在其定义域的子区间(2m-1,2m)内有极值点，则实数m的

取值范围为

ABC

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8.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=c.若设a,b,c是平面内三个不同

的单位向量，且满足f(a·b)+f(b·c)+f(c·a)=0,则la+b+c|的取值范围是

A.(√2-1.√5)B.(1,√2+1)C.(1,√5)D.(√2-1,√2+1)

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知复数z=a+bi(a,b∈R),且|z|≤1,则下列说法正确的是

A.|z|≤1

B.当z的实部是,虚部是

C.若z满足z²=(z)²,则|z-2—3i|的最小值是2√2

D.若|z|=1,则的最小值与|z+2|的最小值相同

10.如图所示，在正四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4,A₁B₁=2,则以下结论正确的是

A.AA₁⊥B₁D₁

B.AA₁//平面BC₁D

C.当AA₁=2时，直线AA₁和平面A₁B₁C₁D₁所成角的大小为·

D.若正四棱台的高为3,则三棱锥A₁-BC₁D的体积为8

11.在△ABC中，D,E为边BC上的点，且BD=DE=EC,AD=1,,则下列结论正

确的是

A.当时，△ABC的面积

B.当△ADE为锐角三角形时，△ADE周长的取值范围

C.DE长度的最小值为

D.AB·AC的最大值

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知角α为钝角，且,则

13.已知函数f(x)=e+a(a∈R),若过坐标原点O(0,0)只能作一条直线与曲线y=f(x)相

切，则实数a的取值集合是

14.已知数列{a,〉,{bn}的通项公式分别为a„=2n—1,b=2".将{a},{b,}中的所有项从小到

大依次排列构成一个新数列{cn},若cm与cm+33都是{b,}中的项，则正整数m=_·

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(本小题满分13分)已知函数f(x)=sinwx+√3coswx,w>0.

(1)当w=1时，将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变，再向右平

移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求当时，y=g(x)的值域；

(2)当a>π(a∈R)时，若函数f(x)的最小正周期为π,且在x∈[π,a]上恰有3个零点，求实

数a的取值范围.

16.(本小题满分15分)如图，PA,PB,PC为圆锥的三条母线，且PA⊥BC.

(1)证明：AB=AC;

(2)若BC为圆锥底面圆的直径，且圆锥侧面积为√3π,体积为,求二面角B-PA-C的正

弦值.

17.(本小题满分15分)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2acosB=2c+b.

(1)求角A的大小；

(2)若角A的平分线交BC边于点D,且,a=2√13,,求△ABC的面积.

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18.(本小题满分17分)已知正项数列{a}.{b。)满足an+an+1=2n,b。·bn+1=2”.

(1)设数列《cn〉满足cn=an·bn,若a₁=b₁=1.

(i)求数列{aa),{ba)的通项公式；

(ji)求数列《cx〉的前20项和P₂0:

(2)若S。,T、分别为数列{a),〈bn)的前n项和，证明：对任意的n∈N',T₂n>S₂n恒成立.

19.(本小题满分17分)已知函数f(x)=x²—(m+2)x+mlnx,m∈R.

(1)若f(2)=2—1n2.

(i)求函数f(x)在上的值域；

(ii)解不等式f(x)≤x²—1;

(2)若函数f(x)在(0,+∞)上存在极大值，求实数m的取值范围；

(3)设函数)有两个极值点x₁,x₂(x₁<x₂),证明：g(x₁)+

g(x₂)<10—1nm.

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高三数学参考答案及解析

DZ01

题号1234567891011

答案CBBDDAACACABDABD

1.C【解析】因为P={x|x<0},或x>1},所以P∩Q={x|x<0).故

选C.微信搜《高三答案公众号》获取全科

2.B【解析】充分性：当x=0且y=0时，满足x+y=0,无意义，所以充分性不成立；必要性：因

,所以x²+y²=—2xy,即x²+y²+2xy=0,即(x+y)²=0,所以x+y=0,所以必要性成

立.所”的必要不充分条件，故选B.

3.B【解析】根据题意知g(x)=x²,所以g(x)+x-2≤0等价于x²+x-2≤0,可解得-2≤x≤1,所以

解集为[—2,1].故选B.

4.D【解析】因为a₁=4,公差为d,所以a:=a₁+3d=4+3d,a=a₁+10d=4+10d,由题意可得：

(a₁—1)²=a₁(a+2),即(4+3d—1)²=4×(4+10d+2),化简整理得9dl²-22d-15=0,解得d=3或

,因为数列(an}是正项等差数列，所以公差d>0,故d=3.故选D.

5.D【解析】设三棱锥的外接球的半径为R,则,设△ABC的外接圆半径为r,则

所以球心到底面ABC的距离为√R²—r²=1,故顶点P到底面ABC的距离为√5±1.

故选D.

6.A【解析】因为(2i+Lk)首发液》,存套众便得2获最新试题)①成立，因为(i+3j)//(j+k),所

以存在y使得i+3j=y(j+k)②成立，由①-②×2得—6j÷1k=(x—2y)j+(x—2y)k.因为j,k不

平行，所以所以(=-6.

7.A【解析】由题可知，函数f(x)的定义域为(一∞,0),且

,则当x∈(一∞,-1)时，f'(x)>0,当x∈(-1,0)时，f'(x)<0,所以函数f(x)的增区

间为(-∞,—1),减区间为(-1,0),所以—1是函数f(x)的极大值点，故依题意有2m-1<-1<2m≤

0,可得,故选A.

8.C【解析】由题知若f(a·b)=f(b·c)=f(c·a)=0,则a·b=b·c=c·a=0,

又三个向量均为平面内的单位向量，故向量a,b,c两两垂直，显然不成立，故{f(a·b),f(b·c),f(c·

高三数学参考答案第1页(共8页)

a)}={-e,0,e}.不妨设则a·b>0,b·c=0,c·a<0,不妨设b=(1,0),c=(0,1),

a=(cosθ,sinθ),θ∈(0,2π),则则,则a|+b+c|=|(1+cosθ,1+

,则,故|a+b+c|∈(1,√5).故

选C.

9.AC【解析】因为|z|=|zl≤1,故A正确；由题知

,故B错误；∵z=a+bi(a,b∈R),∴z=a—bi,由题意可知z²=a²+2abi—b²=(z)²=

a²—2abi-b²,则ab=0,又=√u²+b²≤1,由复数的几何意义知z在复平面内对应的点Z(a,b)在单

位圆内部(含边界)的坐标轴上运动，如图所示，即线段AB,CD上运动，设E(2,3),则|z-2—3i|=

|ZE|,由图可知|BE|=√10>ICE|=2√2,所以|ZElin=2√2,故C正确；由lz|=1得复数z对应的点

的集合为以原点为圆心，1为半径的圆，因为表示圆上一点到点的距离，所以的最

小值为表示圆上一点到点(-2,0)的距离，所以|z+2|的最小值为1,故D错误.故选AC.

10.ABD【解析】对于A,连接AC,BD交于O,连接A₁C₁,B₁D、交于O,如图1,由题知OO₁⊥平面

ABCD,所以0O,⊥BD,易得AO⊥BD,又00₁∩AO=0,所以BD⊥平面AA₁C₁C,又AA₁C平面

AA₁C₁C,所以AA,⊥BD,又因为BD//B₁D₁,所以AA₁⊥B₁D₁,故A正确；

图1

对于B,上下底面为正方形，由正四棱台性质，可得A₁C₁//AC,且A₁C₁=2√2,AC=4√2,

A₁C₁,所以四边形A₁C₁OA为平行四边形，所以AA₁//OC₁,

因为AA,土平面BC₁D,OC₁C平面BC₁D,所以AA₁//平面BC₁D,故B正确；

对于C,如图2,过A,作A₁H⊥AC于H,则A₁H//OO,则A₁H⊥平面ABCD,则∠A₁AC是AA,和

高三数学参考答案第2页(共8页)

平面ABCD所成角，因为平面ABCD与平面A₁B₁C₁D₁平行，所以AA,和平面ABCD所成角的大小

与AA₁和平面A,B₁C₁D₁所成角的大小相等，由题意得,在Rt△A₁HA中，cos∠A₁AC=

所,所以AA,和平面A₁B₁C₁D₁所成角的大小为,故C错误；

图2

对于D,由正四棱台性质，OO₁与上下底面均垂直，则00₁=3,由A知，BD⊥平面A₁OC₁,如图3,所求

三棱锥体积可拆分成两个小三棱锥的体积之和，即

关运微信密磨×3=8共取正确做选ABD.

图3

11.ABD【解析】对于A,在△ADE中，由余弦定理得,所以DE=

,又由勾股定理逆定理可得AE⊥BC,所以,故A正确；

对于B,画示意图，如图所示，

E₂

由两个极限位置可得△ADE周长的取值范围,故B正确；

对于C,在△ADE中，设AE=l>0,由余弦定理得DE²=L²+1-2tcos3=l²—1+1=(1一二)°+3

所以DE长度的最小值,故C错误；

对于D,因为AB=AD+DB=AĎ+ED=AD+EA+AD=2AD-AE,

AC=AD+DC=AD+2DE=AD+2(DA+AE)=-AD+2AE,

所以AB·AC=(2AD-AE)·(一AD+2AE)=-2|ADI²+5AD·AE-2(AEl².

又因为|AD|=1,AD与AE的夹角为

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令|AE|=t>0,则

当时，AB·AC的最大值为故D正确.

12.【答案】

【解析】由,可得,因为,所以,根据同角三角函数

关系可得,tana=-3,所以

13.【答案】{ala=-1或a≥0}

【解析】设过原点的切线美曲线信公全相切于点(x₀,e'9+兔费R手

由f'(x)=e,得切线斜率k=f'(x。)=e°,

所以切线方程为y—(e+a)=e(x-x。),

将原点(0,0)代人切线方程，得—e-a=-xoe°,整理得a=e(x。—1),

由于过原点只有一条切线，故关于x。的方程a=e°(x。—1)只有一个实数根.

构造函数g(x)=e(x-1),x∈R,则g'(x)=e(x-1)+e=xe,令g'(x)=0,解得x=0,

当x∈(一∞,0)时，g'(x)<0,g(x)单调递减；当x∈(0,十∞)时，g'(x)>0,g(x)单调递增，

因此g(x)的最小值为g(0)=e⁰×(0-1)=-1,

又当x→-∞时，g(x)=e'(x—1)→0;当x→+∞时，g(x)→+∞,且g(1)=0,

因此当且仅当a=-1或a≥0时，直线y=a与y=g(x)的图象只有一个交点，此时过原点O(0,0)只有

一条直线与曲线y=f(x)相切，故a的取值集合是{ala=-1或a≥0Y.

14.【答案】38

【解析】依题意易知数列{a},{b}没有公共项，

因为cm是{b„}中的项，所以可设cm=2',I∈N.显然{a,'中小于2'的有2'一¹个，{bn}中不大于2'的

项有1个，因此m=2一¹+t;

又因为cm+33是{b}中的项，所以可设cm+33=2⁶,s∈N‘,同理m+33=2⁻¹+s.

于是2'-¹+s-2一¹-l=33,s>l≥1,

令s=l+k,k∈N,则2+k-1-2-¹=33—k⇔2'-¹(2k—1)=33—k,

由2一¹≥1,得2k-1≤33—k,则2k+k≤34,

又数列{2*+k}单调递增，而2¹+4=20<34,2⁵+5=37>34,因此1≤k≤4,

当k=1时，2'⁻¹=32,解得l=6,s=7;当k=2时，3·2-¹=31,无整数解；

当k=3时，7·2-¹=30,无整数解；当k=4时，15·2'一¹=29,无整数解，

则L=6,s=7,所以m=2⁵+6=38.

……1分

(1)当w=1时

将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变，再向右平移·个单位长度，得到

高三数学参考答案第4页(共8页)

的图象，…………3分

因为,所以令,则

由正弦函数性质得y=φ(t)=2sinl在上单调递增，在上单调递减，……………5分

所以,故y∈[-1,2],

所以当时，y=g(x)的值域为[-1,2].……………………7分

(2)由题意得所以w=2,可得,…………8分

当x∈[π,a]时，,…………9分

由f(x)在x∈[π,a]上恰有3个零点，所以………11分

,故………~~……………13分

16.【解】(1)取BC中点M,连接AM,PM,

因为PB=PC,所以PM⊥BC,又因为PA⊥BC,PM∩PA=P,PM,PAC平面PMA,所以BC⊥平面

PMA,………2分

又因为AMC平面PMA,所以BC⊥AM,又因为M是BC中点，所以AB=AC.…4分

(2)因为BC为直径，可另设BC中点O,故0为底面圆的圆心，且PO⊥平面BAC,由(1)知AO⊥BC,

建立如图所示的空间直角坐标系，

因为圆锥侧面积为√3π,体积为

设圆锥底面圆半径为r,母线长为l,则又l²=r²+h²,

解得r=1,h=√26分

故P(0,0,√2),A(0,1,0),B(1,0,0),C(-1,0,0),

故PA=(0,1,一√2),PB=(1,0,一√2),PC=(-1,0,一√2),…………………8分

设n₁=(x₁,y₁,z1)为平面PAB的法向量，则

令x=√2,则y₁=√2,z₁=1,所以n₁=(√2,√2,1).…………………10分

设n₂=(x₂,y2,z₂)为平面PAC的法向量，则

高三数学参考答案第5页(共8页)

令x₂=-√2,则y₂=√2,z₂=1,所以n₂=(—√2,√2,1)12分

设二面角B-PA-C的大小为θ,

……14分

所以

所以二面角B-PA-C的正弦值……………15分

17.【解】(1)因为2acosB=2c+b.

所以由正弦定理得2sinAcosB=2sinC+sinB,……………2分

因为A+B+C=π,所以sinC=sin(A+B),

所以2sinAcosB=2sinAcosB+2cosAsinB+sinB,………4分

整理得(2cosA+1)sinB=0,

又sinB>0,所以,又A∈(0,π),所以………6分

(2)因为角A的平分线交BC边于点D,所以

又S△ABc=S△AcD+S△AID,………………………·8分

,即bc=AD(b+c).

又,所以…………10分

在△ABC中，由余弦定理得a²=b²+c²—2bccosA,

即(2√13)²=b²+c²—2bc,即52+bc=(b+c)²,

即4(bc)²—9bc-468=0,

解得bc=12或(舍去),……………………13分

所以.…………15分

18.【解】(1)(i)因为a+an+1=2n且a₁=1,

所以an+1+an+2=2(n+1),两式相减得到an+2—a=2,……1分

当n为奇数时，a₁=1,所以a₁,a3,as,a┐…,a成首项为1,公差为2的等差数列，

所以a=n,n为奇数；

当n为偶数时，az=1,所以az,aq,a₆,ag,…,a。成首项为1,公差为2的等差数列，

所以a„=n-1,n为偶数，

所以………………3分

因为b。·bn+1=2”,所以bn+1·b+2=2”+¹,两式相除得到…………………4分

当n为奇数时，b₁=1,所以b₁,b₃,bs,b₇,…,b„成首项为1,公比为2的等比数列，

所以,n为奇数；

当n为偶数时，b₂=2,所以b₂,b₄,b₆,b₈,…,b„成首项为2,公比为2的等比数列，

所以b,=22,m为偶数，

高三数学参考答案第6页(共8页)

所以...........……………6分

(ii)由(i)知

所以P₂0=1×1+1×2+3×2+3×2²+…+17×2⁸+17×2⁹+19×2⁹+19×2¹⁰=(1×1+3×2+5×

2²+…+17×2⁸+19×2⁹)+(1×2+3×2²+5×2³+…+17×2⁹+19×21⁰)=(1×1+3×2+5×

2²+…+17×2⁸+19×2⁹)+2(1×1+3×2+5×2²+…+17×2⁸+19×2⁹)=3(1×1+3×2+5×

2²+…+17×28+19×2⁹),……………8分

设u=1×1+3×2+5×2²+…+17×2⁸+19×2⁹,①

则2u=1×2+3×2²+5×2³+…+17×2⁹+19×2¹⁰,②

210,………………10分

所以u=17×2¹⁰+3,所以P²=3u=51×2¹⁰+9=52233.……………11分

(2)由题易知S₂n=(a₁+a₂)+(a₃+a₄)+…+(azn-1+az)=2+6+10+…+2(2n—1)=2n²,……12分

由b„bn+1=2”,可得b+1bn+2=2"+1,则

即数列{bz-1)和{bu}均为公比为2的等比数列，所以T²n=(b₁+b₃+…+b₂-1)+(b₂+b₁+…十

2n)=(1-2+o2(1-2=(b₁+b₂)(2”—1),15分

所以T₂≥2√b₁b₂(2”—1)=2√2(2”—1),当且仅当b₁=b₂=√2时，取等.

所以T²-S₂≥2√2(2”一1)-2n²=2(√2×2”-n²—√2),

当n≥5时，2(√2×2”—n²—√2)>0;

当n=1,2,3,4时，可验证2(√2×2”—n²—√2)>0,

所以对于任意的n∈N’,都有T₂n>S2n,即T₂>S₂,恒成立，……17分

19.【解】(1)因为f(2)=2—1n2,即4—2(m+2)+mln2=2—In2,得m=-1,

所以f(x)=x²-x-Inx.………………………1分

(i)因为f(x)=.x²-x—lx,所以,…………2分

易得f(x)在(0,1)上为减函数，在(1,十∞)上为增函数，所以f(x)min=f(1)=0,

而1,f(e)=e²—e-1,

即

所以f(x)mx=f(e),所以函数f(x)在上的值域为[0,e²—e-1].…………4分

(ii)f(x)≤x²-1即为x+Inx≥1,微信搜《高三答案公众号》获取全科

设s(x)=x+Inx,x>0,且s(1)=1,所以x+Inx≥1即为s(x)≥s(1),

而,故s(x)在(0,十∞)上为增函数，

所以x≥1,故原不等式的解集为[1,十∞].………6分

(2)因为f(x)=x²—(m+2)x+mlnx,m∈R,

高三数学参考答案第7页