2027届高考数学复习第41讲统计(知识清单+14典例讲)(教师版)

第41讲统计（知识清单+14典例精讲+方法技巧+分层训练）

近3年考查情况题型分值

抽样方法、统计图表分析单选/多选/解5分/6分/12

答题分

分层抽样、频率分布直方图单选/解答题5分/12分

样本数字特征、统计案例单选/多选/解5分/6分/12

答题分

众数、中位数、平均数与频率直方图单选/多选/解5分/6分/12

答题分

系统抽样、茎叶图单选/多选/填5分/6分/12

空/解答题分

频率分布表、样本均值与方差单选/多选/填5分/6分/12

空/解答题分

【知识点01】总体、个体、样本

调查对象的全体(或调查对象的某些指标的全体)称为总体，组成总体的每一个调查对象(或每一个调查对象的相应

指标)称为个体，在抽样调查中，从总体中抽取的那部分个体称为样本，样本中包含的个体数称为样本容量，简称

样本量.

【例1】为调查某高中2000名高一学生的身高情况，随机抽取100名学生测量身高，指出该调查中的总体、个体、样

本、样本容量。

解：步骤1：确定研究核心

本次调查的研究对象是：高一学生的身高，而非学生本身。

步骤2：逐一界定概念

1.总体：该高中2000名高一学生的身高全体；

2.个体：该高中每一名高一学生的身高；

3.样本：抽取的100名高一学生的身高；

4.样本容量：100（纯数字，无单位）。

易错提醒：样本容量是数量，不带单位，区别于样本

【知识点02】简单随机抽样

抽签法和随机数法是比较常用的两种方法.

【例2】已知总体容量为80，采用简单随机抽样抽取容量为8的样本，求每个个体被抽到的概率。

解：步骤1：明确已知量

总体容量，样本容量。

步骤2：代�入=概80率公式�=8

�81

�===

最终�答案8：0每个10个体被抽到的概率为

�

【知识点03】分层随机抽样𝟏

一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立

地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每

一个子总体称为层.

【例3】某学校高一、高二、高三学生分别为400人、300人、300人，现采用分层随机抽样抽取100人的样本，求各

年级抽取的人数。

解：步骤1：计算总体容量与抽样比

总体容量：

抽样比：�=400+300+300=1000

1001

步骤2：分�层=计100算0=抽1取0人数

高一：人

1

高二：400×10=40人

1

高三：300×10=30人

1

最终答3案0：0×高1一0=4030人，高二30人，高三30人

【知识点04】统计图表

(1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频率分布直方图等.

(2)作频率分布直方图的步骤

①求极差；

②决定组距与组数；

③将数据分组；

④列频率分布表；

⑤画频率分布直方图.

【例】已知一组数据分组区间为，组距为2，该区间频率，求该组数据的频率。

4组距

[2,4)=0.08

解：步骤1：代入频率计算公式

频率

频率组距

组距

=×=2×0.08=0.16

最终答案：该组频率为

【知识点05】百分位�数.𝟏

一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少

有(100－p)%的数据大于或等于这个值.

【例5】已知数据：，求该组数据的50百分位数（中位数）。

2,3,5,6,8,9

解：步骤1：数据排序

原数据已排序，数据个数。

步骤2：计算指数�=6

，为整数。

�步=骤63×：5求0%解=百3分位数

取第3项和第4项数据的平均值：

5+6

最终答案：50百分位数为2=5.5

【知识点06】平均数、中�.�位数和众数

(1)平均数：＝(x1＋x2＋…＋xn).

1

��

(2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间

两个数据的平均数(当数据个数是偶数时).

(3)众数：一组数据中出现次数最多的数据(即频数最大值所对应的样本数据).

【例6】求数据的平均数、中位数、众数。

1,2,2,3,4

解：步骤1：计算平均数

1+2+2+3+412

�===2.4

步骤2：确定5中位数5

数据共5个（奇数），排序后第3个数为中位数，即。

步骤3：确定众数2

数据出现次数最多，众数为。

最终答2案：平均数，中位数2，众数

【知识点07】方�差.�和标准差��

22

(1)方差：s＝(xi－)或－.

1�1�22

������

�=1�=1

(2)标准差：s＝.

1�2

�Σ(��−�)

�=1

【例7】求样本数据的方差与标准差。

1,3

解：步骤1：计算平均数

1+3

�==2

步骤22：计算样本方差

21221

�=(1−2)+(3−2)=(1+1)=1

步骤23：计算样本标准差2

�最=终答1案=：1方差，标准差

【知识点08】�总体方差�和总体标准差

22

(1)一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为，则总体方差S＝(Yi－).

1�

���

�=1

(2)加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为

22

fi(i＝1，2，…，k)，则总体方差为S＝fi(Yi－).

1�

�Σ�

�=1

【例8】已知总体数据：，求总体方差和总体标准差。

2,4,6

解：步骤1：计算总体均值

2+4+6

�==4

步骤2：3代入总体方差公式

.

2122218

步�骤=3：(2计−算4总)体+标(4准−差4)+(6−4)=3(4+0+4)=3

826

�==

最终答3案：总3体方差，总体标准差

���

��

【题型一】简单随机抽样

【例1】已知甲、乙、丙三人均去某健身场所锻炼，其中甲每隔1天去一次，乙每隔2天去一次，丙每隔3天去一

次.若2月14日三人都去锻炼，则下一次三人都去锻炼的日期是（）

A．2月25日B．2月26日C．2月27日D．2月28日

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用列举法列出甲、乙、丙从2月14日开始的去锻炼的日期即可作答.

【详解】甲去的时间：2月14日，2月16日，2月18日，2月20日，2月22日，2月24日，2月26日，2月28

日，

乙去的时间：2月14日，2月17日，2月20日，2月23日，2月26日，

丙去的时间：2月14日，2月18日，2月22日，2月26日，

所以下一次共同去锻炼的日期是2月26日.

故选：B

【变式1】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）统计学中，常以前个区间的平均长度估计所有区间的平均长度.某工厂生产

的零件以个为一箱，成箱出售（）.每箱中的零件按照�生产顺序，从1到连续编号.现从一箱中随机抽取6个

∗

零件，发现�上面的编号从小到大依�次∈为N：12，15，33，38，55，60，则下列4个�选项中，作为的估计值，最合适的

一项是（）�

A．61B．70C．98D．120

【答案】B

【分析】根据统计估计计算求解.

【详解】根据已知从1到连续编号.现从一箱中随机抽取6个零件，发现上面的编号从小到大依次为：12，15，33，

38，55，60，�

则，所以.

60�

6=7�=70

【变式2】某校高一共有10个班，编号分别为01，02，…，10，现用抽签法从中抽取3个班进行调查，设高一

（5）班被抽到的可能性为a，高一（6）班被抽到的可能性为b，则___________；___________.

�=�=

【答案】/0.3/0.3

33

1010

【分析】利用简单随机抽样的等可能性，即得解

【详解】由简单随机抽样的定义，知每个个体被抽到的可能性相等，

故高一（5）班和高一（6）班被抽到的可能性均为．

3

10

故

33

�=10,�=10

故答案为：

33

10,10

【变式3】假设要考查某公司生产的狂犬疫苗的剂量是否达标，现从500支疫苗中抽取50支进行检验，利用随机数

表抽取样本时，先将500支疫苗按000，001，…，499进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读，请

写出第3支疫苗的编号______．

（下面摘取了随机数表第7行至第9行）

84421753315724550688770474476721763350258392120676

63016378591695566719981050717512867358074439523879

33211234297864560782524207443815510013429966027954

【答案】068

【分析】由题目给出的随机数表，按照读取随机数表的方法读取编号，可得答案．

【详解】从随机数表第7行第8列的数开始向右读，编号分别为331，455，068，

则第3支疫苗的编号为068，

故答案为：068．

【题型二】系统抽样

【例1】某印刷厂为了保证图书的印刷质量，将每批次印刷出来的图书排放整齐，每隔20本检查一下其封面和内文

的质量情况，则这样的抽样方法是（）

A．简单随机抽样B．系统抽样C．分层抽样D．以上三种方法都有

【答案】B

【分析】根据总体中个体数量较多，且分布均匀，抽取样本的间隔相等这些特点，判断是系统抽样．

【详解】从印刷出来的图书中，每隔20本检查一下其封面和内文的质量情况，

这样的抽样方法为系统抽样.

故选：B

【点睛】本题考查了系统抽样的应用，属于基础题．

【变式1】某学校为响应“平安出行号召”，拟从2019名学生中选取名学生加入“交通志愿者”，若采用以下方法

选取：先用简单随机抽样方法剔除名学生，剩下的名再按照5系0统抽样的方法抽取，则每名学生入选的概率

192000

A．不全相等B．均不相等

C．都相等，且为D．都相等，且为

150

402019

【答案】D

【分析】先用简单随机抽样的方法剔除，剩下的再按系统抽样的抽取，故可得结论．

【详解】根据题意，先用简单随机抽样的方法从2019人中剔除19人，个体不被剔除的概率为

2000

2019

则剩下的再按系统抽样的抽取时，每人入选的概率为，由相互独立事件的概率知每人入选概率为

5020005050

20002019×2000=2019

故选D．

【点睛】本题考查系统抽样和简单随机抽样，等可能事件的概率，考查抽样方法，明确每个个体的等可能性是关键,是

基础题

【变式2】（2026·山东·一模）计划从560袋某品牌食品中抽取8袋进行质量检测，拟采用系统抽样方法，为此将他

们逐一编号为1~560，并对编号依次分段，若抽出的编号中含有550，则从第1个号码段中抽出的编号应是______．

【答案】60

【分析】由系统抽样操作步骤即可求解.

【详解】由，可知每组70袋，且抽出的编号间距为70，

560÷8=70

又550为第8组数据，

所以第一个号码段抽出的编号为，

550−70×7=60

故答案为：60

【变式3】（2024·山东·二模）某中职学校计划从300名学生中抽取30名进行问卷调查，拟采用系统抽样方法，为

此将他们逐一编号为1—300，并对编号进行分段，若从第一个号码段中随机抽取的号码是6，则从第五个号码段中抽

取的号码应是______.

【答案】46

【分析】根据系统抽样的特征即可求解.

【详解】由题意可知，抽取的间距10，第一组抽取的数据是6，故接下来抽取的数据分别为16，26，36，46，......

故第五个号码段中抽取的号码应是46

故答案为：46

【题型三】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算

【例3】（2026·湖南长沙·模拟预测）甲校有名学生，乙校有名学生，丙校有名学生，为统计三校

学生某方面的情况，计划采用分层随机抽样法抽20取00一个容量为的样24本00，应在这三校分别抽30取00学生（）

74

A．人，人，人B．人，人，人

202430302420

C．人，人，人D．人，人，人

243020203024

【答案】A

【详解】因为，所以甲校应抽取，

10

2000:2400:3000=10:12:1510+12+15×74=20

乙校应抽取，丙校应抽取.

1215

10+12+15×74=2410+12+15×74=30

【变式1】（2026·甘肃金昌·三模）（多选）某高级中学为了解学生每天的睡眠情况，用比例分配的分层随机抽样方

法作抽样调查，拟从高一､高二､高三三个年级中共抽取87名学生，其中从高三年级抽取的学生人数为28，已知该校

高一､高二､高三年级学生人数分别为，则（）

600,580,�

A．

�=560

B．从高一年级中抽取的学生人数为30

C．从高二年级中抽取的学生人数为27

D．从全校学生中任选一人，此人是高三学生的概率是

1

3

【答案】AB

【详解】A选项，根据分层抽样，，解得，正确；

�28

600+580+�=87�=560

B选项，从高一年级中抽取的学生人数为，正确；

600

560⋅28=30

C选项，从高二年级中抽取的学生人数为，错误；

580

560⋅28=29≠27

D选项，从全校中任选一人，此人是高三学生的概率，错误．

281

�=87≠3

【变式2】（2026·山西太原·二模）一支田径队有男运动员56人，女运动员35人，按性别分层，采用样本量比例分

配进行分层随机抽样，若所抽样本中男运动员的人数为16，则该样本中女运动员的人数为__________.

【答案】10

【详解】解：根据题意男、女运动员的比例为，

56:35=8:5

所抽样本中男运动员的人数为16，

则该样本中女运动员的人数为．

5

16×8=10

【变式3】（2024·陕西西安·模拟预测）2023年被称为交互式元年.人工智能是今年的一大焦点，因为它的发展方

式很快就变得无处不在，并像电子邮件､流媒体或任何其他曾经是AI未来主义､现在成为日常的技术一样融入到我们的生

活中.公众反复讨论生成式人工智能对社会协作方式的影响.中学生是祖国科技发展之光，为了激发中学生对科技创新

的兴趣，现调查了某重点中学生高一年级学生对的了解情况.调查问卷主要设置了在以下六个方面的应用：传媒

､机器人､办公､医药､自动驾驶､军事.已知该学校高A一I年级共600人，随机选取30名学A生I（其中男生16人，女生14

人）做了一次调查，结果显示：对有较多了解的男生有12人，女生8人，其他均表示了解较少.其中表示有较多了

解的学生最感兴趣的应用领域具体人AI数情况如下表：

性别传媒机器人办公医药自动驾驶军事

男142131

女322010

(1)估计该学校高一年级对有较多了解且在机器人应用最感兴趣的学生人数；

AI

(2)现学校从对机器人最感兴趣的这6名学生中抽取2名到某机器人基地研学，求参加机器人基地研学的至少有一名女

生的概率.

【答案】(1)120人；(2).

3

5

【分析】（1）根据样本数据计算出频率，即可估计人数；

（2）记男生的4人分别为，女生的2人分别为，，利用列举法列出所有可能结果，再由古典概型的概率公

式及对立事件的概率公式计�算,�可,�得,�.��

【详解】（1）依题意样本中对有较多了解的频率为，

12+82

AI30=3

对有较多了解的学生最感兴趣的应用领域为机器人的频率为，

2+43

AI20=10

所以该学校高一年级对有较多了解且在机器人应用最感兴趣的学生人数约为人.

23

AI600×3×10=120

（2）记男生的4人分别为，女生的2人分别为，，

�,�,�,���

从这人中选取人，基本事件是共15种，

62��,��,��,��,��,��,�e,��,��,��,��,��,��,��,��

这人都是男生的事件是共6种，

2��,��,��,��,��,��

故所求概率.

63

�=1−15=5

【题型四】分层抽样的概率

【例4】（2024·湖北·模拟预测）从一个容量为的总体中抽取一个容量为3的样本，当选取简单随

机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中�的可�能≥性3,是�，∈�则选取分层随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个

1

体被抽中的可能性是（）5

A．B．C．D．

1111

5423

【答案】A

【分析】由简单随机和随机抽样，每个个体被抽中的概率相等的特点可得答案．

【详解】

随机抽样每个个体被抽到的概率相等，

选取分层抽样抽取样本时总体中每个个体被抽中的概率仍为，

1

5

故选：A

【变式1】已知某民营车企1月份生产了A，B，C三种型号的新能源汽车，台数依次为120，210，现用分层抽

样的方法从中随机抽取16台车进行安全测试，则某一台B型号的新能源汽车被抽取的概率为_______1.50.

【答案】

1

30

【解析】根据分层抽样的概率，即可容易求得.

【详解】由题可知，型车辆与每一台新能源汽车被抽取的概率均相等，

�

则其概率.

161

�=120+210+150=30

故答案为：.

1

30

【点睛】本题考查分层抽样的概率计算，属基础题.

【变式2】某省数学学业水平考试成绩共分为、、、四个等级，在学业水平考试成绩分布后，从该省某地区考

生中随机抽取名考生，统计他们的数学成绩�，部�分数�据�如下：

60

等级

����

频数

2412

频率

0.1

（1）补充完成上述表格的数据；

（2）现按上述四个等级，用分层抽样方法从这名考生中抽取名.在这名考生中，从成绩为等和等的所有

考生中随机抽取名，求至少有名成绩为等的60概率.1010��

21�

【答案】(1)见解析(2)

6

�=7

【分析】（）根据频率频数，即可求出相应数据；

1样本容量

=

（2）用分层抽样可得A、B分别抽取到的人数为4人、3人，列举可得总的基本事件共21个，由概率公式可得.

【详解】（1）

等级

����

频数

2418126

频率

0.40.30.20.1

（2）成绩为等的考生应抽名，分别记为，，，，

24

�60×10=4�1�2�3�4

成绩为等的考生应抽名，分别记为，，，

18

�60×10=3�1�2�3

从这名中抽取名，有如下种抽法：

7221

，，，，，；，，，，；，，，；，

�1�2，�1�3，�1�4，�1�1；�1�2.�1�3�2�3�2�4�2�1�2�2�2�3�3�4�3�1�3�2�3�3�4�1

�4�2�4�3�1�2�1�3�2�3

其中至少有名成绩为等的有如下种抽法：

1�18

，，，，，；，，，，，，，，；，

�1�2，�1�3.�1�4�1�1�1�2�1�3�2�3�2�4�2�1�2�2�2�3�3�4�3�1�3�2�3�3�4�1

�4�2�4�3

∴至少有名成绩为等的概率为.

186

1��=21=7

【点睛】本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率，属基础题.

【变式3】4月23日是“世界读书日”，某中学开展了一系列的读书教育活动．学校为了解高三学生课外阅读情况，

采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个读书小组（每名学生只能参加一个读书小组）学生抽取12名学

生参加问卷调查．各组人数统计如下：

小组甲乙丙丁

人数12969

（1）从参加问卷调查的12名学生中随机抽取2人，求这2人来自同一个小组的概率；

（2）从已抽取的甲、丙两个小组的学生中随机抽取2人，用表示抽得甲组学生的人数，求随机变量的分布列和数

学期望．��

【答案】（1）（2）见解析，

134

663

【解析】（1）采用分层抽样的方法甲组抽取4人，乙组抽取3人，丙组抽取2人，丁组抽取3人，从参加问卷调查

的12名学生中随机抽取2人，基本事件总数为，这两人来自同一小组取法共有，由此可

2222

求出所求的概率；�12=66�4+2�3+�2=13

（2）从已抽取的甲、丙两个小组的学生中随机抽取2人，而甲、丙两个小组学生分别有4人和2人，所以抽取的两

人中是甲组的学生的人数的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量的分布列和数学期望.

��

【详解】（1）由题设易得，问卷调查从四个小组中抽取的人数分别为4，3，2，3（人），

从参加问卷调查的12名学生中随机抽取两名的取法共有（种），

2

�12=66

抽取的两名学生来自同一小组的取法共有（种），

222

�4+2�3+�2=13

所以，抽取的两名学生来自同一个小组的概率为

13

�=66

（2）由（1）知，在参加问卷调查的12名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为4人、2人，所以，抽取的两

人中是甲组的学生的人数的可能取值为0，1，2,

�

因为

02

�4�21

2

�(�=0)=�6=15

11

�4�28

�(�=1)=2=

�615

20

�4�26

�(�=2)=2=

615

所以随机变量�的分布列为：

�

012

�

186

�

151515

所求的期望为

1864

�0×15+1×15+2×15=3

【点睛】此题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查分层抽样、古典概型、排列组

合等知识，考查运算能力，属于中档题.

【题型五】条形统计图、折线统计图、扇形统计图

【例5】（2024·四川乐山·三模）为了解某中学三个年级的学生对食堂饭菜的满意程度，用分层随机抽样的方法抽取

30%的学生进行调查，已知该中学学生人数和各年级学生的满意率分别如图1和图2所示，则样本容量和抽取的二年

级学生中满意的人数分别为（）

A．800，360B．600，108C．800，108D．600，360

【答案】B

【分析】由扇形图求出三个年级的学生总人数，进而求出样本容量，求出抽取的二年级学生人数，再结合二年级学生

的满意率求解.

【详解】由扇形图可知，三个年级的学生总人数为人，

400+600+1000=2000

所以样本容量为％人，

2000×30=600

因为抽取的二年级学生人数为％人，

600×30=180

所以抽取的二年级学生中满意的人数为％人.

180×60=108

故选：B

【变式1】（2026·河北邢台·二模）某小商品生产企业对2025年1月到11月甲，乙两个车间的产量（单位：百万

件）进行了统计，得到如图所示的折线图，则（）

A．乙车间产量的中位数为6月份的产量

B．甲车间产量的极差大于乙车间产量的极差

C．甲车间产量的平均值小于乙车间产量的平均值

D．甲车间产量的第80百分位数大于乙车间产量的第80百分位数

【答案】D

【详解】一共11个月的产量数据，中位数是将产量从小到大排序后的第个数据，

11+1

2=6

对乙车间产量排序后，第6个数据是月份的产量，不是6月份，A错误；

5

甲车间产量极差约为，乙车间产量极差约为，甲的极差小于乙的极差，B错误；

4.3−2.2=2.14.1−0.9=3.2

观察折线图，除9月、10月外，其余月份甲车间产量均高于乙车间，整体估算可得甲产量平均值大于乙的平均值，C

错误；

第80百分位数为，根据百分位数计算可知第80百分位数是排序后的第9个数据，

11×80%=8.8

从小到大排序后，甲的第9个数据约为3.85，乙的第9个数据约为3.6，甲的第80百分位数大于乙，D正确.

【变式2】（2025·河南·模拟预测）（多选）2024年中国经济社会发展“成绩单”中，科技创新的分项尤为亮眼，无论

是整体实力，还是结构性指标都稳步提升.2020至2024年我国研究与试验发展（R\&D）经费支出及其增长速度如图

所示，则（）

A．2020至2024年我国研究与试验发展（R\&D）经费支出逐年增长

B．2020至2024年我国研究与试验发展（R\&D）经费支出的第25百分位数为24393亿元

C．2020至2024年我国研究与试验发展（R\&D）经费支出增长速度的极差为

6.3%

D．2020至2024年我国研究与试验发展（R\&D）经费支出增长速度的平均数超过

10%

【答案】ACD

【分析】通过分析条形图可直接判断B，根据百分位数的求解方式可得第25百分位数为2021年的经费支出可判断B

错误；由折线图可计算经费支出增长速度的极差确定C；计算出增长速度的平均数即可判断D.

【详解】本题考查统计，考查数据分析的核心素养.

2020至2024年我国研究与试验发展（R\&D）经费支出逐年增长，A正确.

至2024年我国研究与试验发展（R\&D）经费支出的第25百分位数为27956亿元，B错误.

5×0.25=1.25,2020

2020至2024年我国研究与试验发展（R\&D）经费支出增长速度的极差为，C正确.

14.6%−8.3%=6.3%

2020至2024年我国研究与试验发展（R\&D）经费支出增长速度的平均数为

1

，D正确.5×10.2%+14.6%+10.1%+8.4%+

8.3%=10.32%>10%

故选：ACD.

【变式3】“一带一路”为世界经济增长开辟了新空间，为国际贸易投资搭建了新平台，为完善全球经济治理拓展了

新实践.某企业为抓住机遇，计划在某地建立猕猴桃饮品基地，进行饮品，，的开发.

���

（1）在对三种饮品市场投放的前期调研中，对100名试饮人员进行抽样调查，得到对三种饮品选择情况的条形图.若

饮品的百件利润为400元，饮品的百件利润为300元，饮品的百件利润为700元，请估计三种饮品的平均百件利

���

润；

（2）为进一步提高企业利润，企业决定对饮品进行加工工艺的改进和饮品的研发.已知工艺改进成功的概率为，

4

开发新饮品成功的概率为，且工艺改进与饮品研�发相互独立；�5

1

3

（ⅰ）求工艺改进和新品研发恰有一项成功的概率；

（ⅱ）若工艺改进成功则可为企业获利80万元，不成功则亏损30万元，若饮品研发成功则获利150万元，不成功则

亏损70万元，求该企业获利的数学期望.

�

【答案】（1）415元；（2）（ⅰ）；（ⅱ）.

3184

53

【分析】（1）根据样本的条形图可得顾客选择饮品、选择饮品、选择饮品的频率，从而可计算总体的百件利润

平均值.���

（2）（ⅰ）设饮品工艺改进成功为事件，新品研发成功为事件，事件为工艺改进和新品研发恰有一项成功，则

，从而可计算工�艺改进和新品研发恰有一�项成功�的概率.

��=���+���

（ⅱ）求出的分布列后可求的数学期望.

��

【详解】（1）根据样本的条形图可得顾客选择饮品的频率为，

35

�100=0.35

选择饮品的频率为，

45

�100=0.45

选择饮品的频率为；

20

�100=0.20

由样本估计总体可得总体顾客中选择饮品的概率为，

35

�100=0.35

选择饮品的概率为

45

�100=0.45

选择饮品的概率为；

20

�100=0.20

则可以得到总体的百件利润平均值为元.

400×0.35+300×0.45+700×0.20=415

（2）（i）设饮品工艺改进成功为事件，新品研发成功为事件，

��

依题意可知事件与事件相互独立，

��

事件为工艺改进和新品研发恰有一项成功.

�

则.

11423

��=���+���=5×3+5×3=5

（ⅱ）由题意知企业获利的取值为，10，120，230，

�−100

则，，

122428

��=−100=5×3=15��=10=5×3=15

，.

111414

��=120=5×3=15��=230=5×3=15

故的分布列如下：

�

10120230

�−100

2814

�

15151515

所以.

2814184

��=−100×15+10×15+120×15+230×15=3

【点睛】本题考查条形图的应用以及独立事件的概率公式的应用，还考查了离散型随机变量的分布列与数学期望，本

题属于中档题.

【题型六】频率分布表

【例6】（2024·四川成都·模拟预测）在年巴黎奥运会上，我国网球选手郑钦文历经场比赛，勇夺巴黎奥运

会女子网球单打冠军，书写了中国网球新的20历24史．某学校有名学生，一机构在该校随机6抽取了名学生对郑

钦文奥运会期间场单打比赛的收看情况进行了调查，将数据20分00组整理后，列表如下：800

6

观看场次

0123456

观看人数占调查

人数的百分比

15%5%5%�%10%15%4�%

从表中数据可以得出的正确结论为（）．

A．表中的数值为

�15

B．观看场次不超过场的学生的比例为％

330

C．估计该校观看场次不超过场的学生约为人

2400

D．估计该校观看场次不低于场的学生约为人

41300

【答案】D

【分析】对于A，根据数据百分比的和为可以计算出的值；对于B，计算出观看场次为、、、场的百分比

和即可得出所求比例；对于C、D，分别计1算出符合问题�的百分比和，再乘以总人数，即可求1得2结果3.4

【详解】由表可知，％＋％＋％＋