2027届高考数学复习第11讲函数的对称性与图象变换(知识清单+5典例讲)(学生版)

第11讲函数的对称性与图象变换

（知识清单+5典例精讲+4方法技巧+分层训练）

近3年考查情况题型分值

对称性质判定、对称与周期综合、图像翻折/平移变换单选、多选5分/6分

基础平移变换、对称求值、简单对称性质应用单选、填空5分

单一图像变换、基础对称性判断，难度偏低单选、填空5分

对称性推导周期、结合零点/单调性综合考查单选、填5分/6-10分

空、解答

【知识点01】奇函数、偶函数的对称性

(1)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x),则函数的图象关于直线x＝a对称；

(2)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x),则函数的图象关于点(a,0)对称.

(3)若f(x＋a)是偶函数,则函数f(x)图象的对称轴为x＝a；若f(x＋a)是奇函数,则函数f(x)图象的对称中心为(a,0).

【例1】已知是奇函数，验证其图象关于原点对称，并求的值。

3

�(�)=�+2��(−2)

【知识点02】两个函数图象的对称

(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称；

(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称；

(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称.

【例2】判断函数与的对称关系，并写出关于直线对称的函数解析式。

�−��

�=2�=2�=2�=1

【知识点03】利用图象变换法作函数的图象

(1)平移变换

(2)对称变换

①y＝f(x)y＝－f(x).

②y＝f(x)y＝f(－x).

③y＝f(x)y＝－f(－x).

④y＝ax(a>0,且a≠1)

y＝logax(a>0,且a≠1).

(3)翻折变换

①y＝f(x)y＝|f(x)|.

②y＝f(x)y＝f(|x|).

【例3】已知，作出下列函数的图象（写出变换过程）：（1）；（2）。

222

�=�(�)=��=(�−2)+1�=−�

【题型一】判断或证明函数的对称性

【例1】（2026·江苏苏州·模拟预测）函数yexlnx与yexlnx的图象（）

A．关于x轴对称B．关于y轴对称

C．关于原点对称D．关于直线yx对称

【例2】（多选）（2026·河北衡水·一模）已知函数fx的定义域为R，且对任意实数x，y，

fxyfxyfyxf1y3x6y5恒成立，则（）

1

A．f11B．xfx的最小值为

3

2

C．f24D．fx的图象关于点,0对称

3

【例3】（2025·重庆·二模）函数ysinxcosx的值域为________．

x1

x11

【变式1】（2026·湖南衡阳·模拟预测）函数y2与y的图象（）

2

A．关于y轴对称B．关于直线x1对称

C．关于直线x1对称D．关于直线x2对称

2x112xππ

【变式2】（2024·山东·模拟预测）已知函数fxeesinx1，则不等式f2x1f2x2

24

的解集为_________________.

1e

【变式3】（2024·福建·模拟预测）已知函数f(x)ln||，则曲线yf(x)的对称中心为___________．

x2

【题型二】函数对称性的应用

【例4】（2026·湖南长沙·模拟预测）若函数fx的定义域为R，则“函数yfx的图象关于点a,b中心对称”是

“fab”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【例5】（多选）（2026·广东茂名·二模）已知fx是定义在R上的函数，且f1xf1x，

fxf4x1，则（）

1

A．f2B．fx是奇函数

2

C．fx的图象关于直线x1对称D．4是fx的周期

【例6】（2026·广东深圳·模拟预测）已知函数fx是定义在R上的奇函数，满足fx1fx1，当x0,1

x15

时，fxaeb，且f1e，则f1f2f2021______．

2

【变式1】（2026·河南周口·三模）已知函数f(x)的定义域为R，，且fx在2,上单

调递增，则（）�3+�+�−1−�=0

A．f(ln6)f(3)f2eB．f2ef(3)f(ln6)

C．f2ef(ln6)f(3)D．f(3)f(ln6)f2e

【变式2】（2026·河北保定·模拟预测）已知定义在R上的函数fx的图象关于直线x1对称，且fx1为偶函

2101

数，当x1,1时，fxx1，则f_______.

2

【变式3】（2025·陕西商洛·模拟预测）已知函数gx2x，且函数fx与gx的图象关于直线yx对称.

(1)求函数fx的解析式；

(2)若fm2m1成立，求实数m的取值范围；

(3)若0ab且fafb，求fab的取值范围.

【题型三】函数图像的识别

【例7】（2024·全国甲卷·高考真题）函数fxx2exexsinx在区间[2.8,2.8]的图象大致为（）

A．B．

C．D．

xexex

【例8】（2026·山东枣庄·三模）函数fx的部分图象大致是（）

x21

A．B．

C．D．

【例9】（多选）（2025·山西临汾·二模）函数fxaexlnx的图象可以是（）

A．B．

C．D．

【变式1】（2026·湖南长沙·一模）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-π,π]的大致图象，则该函数是（）

A．yexexsinxB．yexexsinx

C．yexexcosxD．yexexcosx

sin4x

【变式2】（2026·四川自贡·三模）函数fx的部分图象大致为（）

13x

A．B．

C．D．

b

【变式3】（多选）（2025·湖北武汉·模拟预测）函数f(x)lnx(bR)的图象可能是（）

x

A．B．

C．D．

【题型四】函数图象的应用

x

【例10】（2026·湖南湘西·三模）已知a,b,c分别为函数fxx121,gxx1lgx1,hxx1log2x1

的零点，且a,b,c1,，则（）

A．acbB．bacC．cbaD．cab

2

【例11】（多选）（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知函数fxlog21x，若函数gxfxafx2b有6

个不同的零点，且最小的零点为x1，则下列说法正确的是（）

A．a0B．ab1

C．b1D．6个零点之和是6

1

【例12】（2025·安徽蚌埠·模拟预测）设函数fx12xm,x0,1，若函数fx图像关于直线x对称，求

2

曲线yffx的长度为__________．

【变式1】（2025·四川成都·一模）已知定义在R上的奇函数f(x)在[0,)上的图象如图所示，则不等式

(x3)f(x)0的解集为（）

A．(3,0)(3,3)B．(3,0)(0,3)

C．(,3)(0,3)D．(,3)(3,3)

m

【变式2】（2025·山东德州·三模）已知曲线y(m0)与ylnx和yex分别交于A,B两点，设曲线ylnx在

2x

x10

A处的切线斜率为k,ye在B处的切线斜率为k，若kk，则m______．

12123

1

【变式3】（2024·河北石家庄·三模）给定函数fxx2x,gxx，用Mx表示fx,gx中的较大者，

x

记Mxmaxfx,gx．若函数yMx的图象与ya有3个不同的交点，则实数a的取值范围是______．

【题型五】函数图象的变换

【例13】（2026·湖北随州·三模）已知a0，函数fxlnxaxb的最大值为0，则a的最小值为（）

11

A．B．C．1D．e

e2

【例14】（2026·陕西安康·三模）已知函数f(x)为奇函数，且在[0,2)上单调递增，在(2,)上单调递减，若f(x)

的图象是一条连续的曲线，则g(x)f(x2)1（）

A．在(0,4)上单调递增B．在4,0上单调递增

C．在(,0)上单调递减D．在(4,)上单调递减

【例15】（2023·全国·模拟预测）将函数fx的图象向右平移一个单位后，再向上平移三个单位，所得函数图象与

1

曲线ylnx关于直线x1对称，则f（）

2

A．3ln2B．ln23C．3D．ln23

x2

【变式1】（2026·河北邢台·一模）函数fx图象的对称中心的坐标为（）

x1

A．1,2B．1,2C．1,2D．1,2

【变式2】（2024·四川南充·二模）已知函数f(x)exex，则函数yf(x1)1的图象（）

A．关于点(1,1)对称B．关于点(1,1)对称C．关于点(1,0)对称D．关于点(1,0)对称

【变式3】（2024·湖北黄冈·模拟预测）将函数fxlnx的图象向左平移1个单位长度得到曲线C1，曲线C1与函

数gx的图象关于直线x1对称，则gx__________．

【解题大招01】奇偶性+对称性快速求值

利用奇偶性的对称性质（偶函数关于y轴对称、奇函数关于原点对称），跳过复杂计算，直接转化函数值，快速

求解。

【例1】已知是奇函数，且，求、的值。

53

�(�)=�+3�+2��(1)=6�(−1)�(0)

【解题大招02】两个函数对称，快速求解析式

记准3类高频对称结论，直接代入公式，无需画图，快速推导对称函数解析式。

关于轴对称：；

关于原�点对称：�=�(�)↔�=�(−�)；

关于轴对称�：=�(�)↔�=−�(−�)。

【例�2=】�已知�=�(�)↔�，=求�(：2�（−1）�)与关于轴对称的函数解析式；（2）与关于直线对称的

函数解析式。

�(�)=log2 (�+1)�(�)��(�)�=2

【解题大招03】图象变换“一步到位”法

遵循“先平移、后翻折”的顺序，避免变换顺序错误，结合公式快速写出变换后的解析式。

关键规律：

1.平移+翻折：左移→，右移→；关于x轴对称→；

2.易错提醒：先翻折ℎ再平�(�移+，ℎ平)移方向ℎ易反�(�向−（ℎ如)先关于y轴对称再−左�(移�)，需注意x的符号）。

【例3】已知，求经过“右移3个单位，再关于x轴对称翻折”后的函数解析式。

2

�(�)=�

【解题大招04】对称性+周期性快速推导

利用对称性质推导周期，熟记2个高频结论，快速转化函数值，简化计算。

核心结论：

1.函数关于和（）对称，则周期；

2.函数关于�=�和�点=�对�≠称�，则周期�=。2|�−�|

【例4】已知�=�的图象(�关,0于)直线和�=4|对�−称�，|且，求的值。

�(�)�=1�=3�(2)=5�(8)

【基础过关】（共8题）

一、单选题

1．（2026·陕西榆林·模拟预测）函数fxsinxlnx的图象可能是（）

A．B．

C．D．

2．（2025·安徽·模拟预测）“函数yf(x)的图象关于直线x2对称”是“函数yf(x2)为偶函数”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分又不必要条件

3．（2026·海南海口·模拟预测）已知函数yfx定义域为R，下列是fx无最小值的充分条件的是（）

A．fx为偶函数且图象关于直线x2对称B．fx为偶函数且图象关于点2,1对称

C．fx为奇函数且图象关于直线x2对称D．fx为奇函数且图象关于点2,1对称

二、多选题

4．（2025·江西新余·模拟预测）下列函数中，gx的图象可以由fx的图象仅通过一次轴对称变换得到的有：

（）．

1

A．fx2x，gxxB．fxsinx，gxcosx

3

1

22x

C．fxx，gxx2D．fxe，gxlnx

π

5．（2025·云南·模拟预测）已知函数fxtan3x2的图象关于点，0对称，则的值可能为（）

3

πππ3π

A．B．C．D．

4828

三、填空题

ax1

6．（2026·山东·二模）已知函数fx的图象关于点1,2对称，则a_______________．

x1

1

7．（2025·海南·模拟预测）已知f(x)g(x3)为奇函数，若yg(x)与y的图象有10个交点，设交点的横坐标

x3

从小到大依次为x1,x2,,x10，则x1x2x10______________.

四、解答题

8．（2024·陕西西安·二模）设函数f(x)2xx1.

(1)在坐标系中画出函数f(x)的图象；

(2)若f(x)4a2对任意xR恒成立，求a的取值范围.

【拔高选练】（共6题）

一、单选题

1．（2026·吉林·二模）已知函数fx的图象关于直线xm对称，且fx在m,上单调递减，若x0,，

f1xf1x，则m的取值范围是（）

A．0,1B．,1C．,0D．1,

2．（2026·云南曲靖·二模）已知定义域为R的函数f(x)满足f(x)f(4x)，且对任意x1，x2(,2]，当x1x2

fxfx

时，都有120，则（）

x1x2

A．f(2)f(3)f(4)B．f(2)f(4)f(3)

C．f(4)f(2)f(3)D．f(4)f(3)f(2)

二、多选题

3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）函数fxalnxex的图象可能是（）

A．B．

C．D．

三、填空题

．（湖南三模）已知函数fxex，g(x)lnx，函数yx的图象与曲线yf(x)交于点A,B，与曲线

42025··x1

yg(x)交于点C，D，点A在第一象限，且A,B,C,D，四点顺次呈逆时针排列，则直线AC的斜率与直线BD的斜

率的乘积为______.

2sinπx,1x1

5．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数fx满足fx2fx2，且fx，则方程

1x,1x