山东省莱芜市莱城区茶业口镇腰关中学2024届中考数学四模试卷含解析

山东省莱芜市莱城区茶业口镇腰关中学2024学年中考数学四模试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将木试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.3的相反数是（）

11

A.-3B.3C.-D.--

-18的倒数是（

B.-18

3.某城市几条道路的位置关系如图所示，已知AE与A〃的夹角为48。，若。尸与£尸的长度相等，则NC

的度数为（）

A.48°B.40°C.30°D.24°

4.关于2、6、1、10、6的这组数据，下列说法正确的是（

A.这组数据的众数是6B.这组数据的中位数是1

C.这组数据的平均数是6D.这组数据的方差是10

5.如图所示的几何体的主视图是（

A.||]

6.正方形ABCD和正方形BPQR的面积分别为16、25,它们重叠的情形如图所示，其中R点在AD上，CD与QR

相交于S点，则四边形RBCS的面积为（）

7.如图，边长为2a的等边△ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB,将线段BM绕点B逆时针旋

转60。得到BN,连接HN.则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（）

C.—aD.瓜

2

A.a3*a2=a6B.(2a)3=6a3

C.(a-b)2=a2-b2D.3a2-a2=2a2

9.已知a,b为两个连续的整数，且a<VTT<b厕a+b的值为（）

A.7B.8C.9D.10

-x(x-4)(O<x<2)

10.如图,函数的图象记为ci,它与x轴交于点O和点Ai；将ci绕点Ai旋转180。得C2,

-2x+8(2<x<4)

交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180。得C3,交X轴于点A3…如此进行下去，若点P（103,m）在图象上，那么m

A.-2B.2C.-3D.4

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.中国古代的数学专著《九章算术》有方程组问题“五只雀，六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻.互换其中

一只，恰好一样重.”设每只雀、燕的重量各为x两，y两，则根据题意，可得方程组为_•

12.如图，把^ABC绕点C按顺时针方向旋转35。，得到△ABC,AB交AC于点D,若NA，DC=90。,则NA='

13.分解因式：x2y-xy2=.

14.如图，在矩形纸片45co中，AB=2cmf点E在BC上,RAE=CE.若将纸片沿AE折叠，点3恰好与AC上

的点Bi重合•则4（7=cm.

15.因式分解：9a2-12a+4=.

16.把多项式a3—2a2+a分解因式的结果是

17.分解因式：x5-9x=.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）如图，已知点E,F分别是。ABCD的对角线BD所在直线上的两点，BF=DE,连接AE,CF,求证:

CF=AE,CF〃AE.

3

19.（5分）己知：如图，一次函数），="+〃与反比例函数y=2的图象有两个交点A（l,〃?）和8,过点A作轴,

x

垂足为点。；过点8作8C_Ly轴，垂足为点C,且8C=2,连接CO.

20.（8分）如图，正方形OABC的面积为9,点O为坐标原点，点A在x轴上，点C上y轴上，点B在反比例函数

y=-（k>0,x>0）的图象上，点E从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度向x轴正方向运动，过点E作x的

x

垂线，交反比例函数y=&（k>0,x>0）的图象于点P,过点P作PF_Ly轴于点F；记矩形OEPF和正方形OABC

x

不重合部分的面积为S,点E的运动时间为t秒.

（1）求该反比例函数的解析式.

9

（2）求S与t的函数关系式；并求当S=一时，对应的t值.

2

（3）在点E的运动过程中，是否存在一个t值，使AFBO为等腰三角形？若有，有几个，写出t值.

21.（10分）丁老师为了解所任教的两个班的学生数学学习情况，对数学进行了一次测试，获得了两个班的成绩（百

分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息.

①A、B两班学生（两个班的人数相同）数学成绩不完整的频数分布直方图如下（数据分成5组:xv60,60Wx〈70,70Wxv80,

80<x<90,90<x<100）：

AsB两班学生数学廉爆粉布直方图

②A、B两班学生测试成绩在80<x<90这一组的数据如下：

A班：80808283858586878787888989

B班：80808181828283848485858686868787878787888889

③A、B两班学生测试成绩的平均数、中位数、方差如下，

平均数中位数方差

A班80.6m96.9

B班80.8n153.3

根据以上信息，回答下列问题：补全数学成绩频数分布直方图；写出表中m、n的值；请你对比分析A、B两班学生

的数学学习情况（至少从两个不同的角度分析）.

22.（10分）如图，某次中俄“海上联合”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30。.位于军舰A正上方1000

米的反潜直升机B侧得潜艇C的俯角为68。.试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度.（结果保留整数.参

考数据：sin68°=0.9,cos68°=0.4,tan68°=2.5,

23.（12分）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广.为传承中华优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000

名学生参加的“汉字听写”大赛.为了解本次大赛的成绩，校团委随机抽取了其中200名学生的成绩作为样本进行统计,

制成如下不完整的统计图表：

频数频率分布表

成绩X（分）频数（人）频率

50<x<60100.05

60<x<70300.15

70<x<8040n

80<x<90m0.35

90<x<100500.25

根据所给信息，解答下列问题:

（1）m=»n=；

（2）补全频数分布直方图」；

（3）这200名学生成绩的中位数会落在分数段；

（4）若成绩在90分以上（包括90分）为“优”等，请你估计该校参加本次比赛的301）0名学生中成绩是“优”等的约有

多少人?

频数分布直方图

啊人）

以BC为直径的。O交AB于点D,过点D作。O的切线交CB的延

长线于点R,交AC于点F.

（1）求证：点F是AC的中点;

（2）若NA=30。，AF=JJ，求图中阴影部分的面积.

参考答案

一、选择题(每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分)

1、A

【解题分析】

试题分析：根据相反数的概念知：1的相反数是

故选A.

【考点】相反数.

2、C

【解题分析】

根据乘积为1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数.

【题目详解】

V-18x(--)=1,

18

工・18的倒数是一上，

18

故选C.

【题目点拨】

本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键.

3、D

【解题分析】

解：•:AB//CD,・・・N1=NR4E=48°.•:CF=EF,/.ZC=ZE.VZ1=ZC+ZE,AZC=-Z1=-x48°=24°.故选D.

22

fBD

点睛：本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两宣

线平行，内错角相等.

4、A

【解题分析】

根据方差、算术平均数、中位数、众数的概念进行分析.

【题目详解】

数据由小到大排列为1,2,6,6,10,

它的平均数为1(1+2+6+6+10)=5,

5

数据的中位数为6,众数为6,

数据的方差［(1-5)2+(2-5)2+(6-5)2+(6-5)2+(10-5)21=10.1.

5

故选A.

考点：方差；算术平均数；中位数；众数.

5、A

【解题分析】

找到从正面看所得到的图形即可.

【题目详解】

解：从正面可看到从左往右2列一个长方形和一个小正方形，

故选A.

【题目点拨】

本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图.

6、D

【解题分析】

根据正方形的边长，根据勾股定理求出AR,求出AABRs^DRS,求出DS,根据面积公式求出即可.

【题目详解】

•・•正方形ABCD的面积为16,正方形BPQR面积为25,

，正方形ABCD的边长为4,正方形BPQR的边长为5,

在RMABR中，AB=4,BR=5,由勾股定理得：AR=3,

,・,四边形ABCD是正方形，

/.ZA=ZD=ZBRQ=90°,

AZABR+ZARB=90°,ZARB+ZDRS=90°,

/.ZABR=ZDRS,

VZA=ZD,

/.△ABR^ADRS,

A8A

--=-

尔

D。

3

ADS=-,

4

11377

二・••阴影部分的面积S=S正方形ABCD・SAABR-SARI)S=4X4-—x4x3--x—xl=—,

2248

故选：D.

【题目点拨】

本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，能求出AABR和ARDS的面积是解此题的关键.

7、A

【解题分析】

取CB的中点G,连接MG,根据等边三角形的性质可得BH=BG,再求出NHBN=NMBG,根据旋转的性质可得

MB=NB,然后利用“边角边”证明•••△MBGg/kNBH,再根据全等三角形对应边相等可得HN=MG,然后根据垂线段

最短可得MG±CH时最短，再根据NBCH=30。求解即可.

【题目详解】

连接MG,

:.NMBH+NHBN=60。，

又〈ZMBH+ZMBC=ZABC=60°,

AZHBN=ZGBM,

VCH是等边△ABC的对称轴，

AHB=-AB,

2

AHB=BG,

又・・・MB旋转到BN,

ABM=BN,

在4'm6和4NBH中，

BG=BH

-4MBG=4NBH,

MB=NB

AAMBG^ANBH(SAS),

AMG=NH,

根据垂线段最短，MG1.CH时，MG最短，即HN最短，

此时VZBCH=-x60°=30°,CG=-AB=-x2a=a,

222

11a

:.MG=—CG=—xa=—，

222

2

故选A.

【题目点拨】

本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三

角形是解题的关键，也是本题的难点.

8、D

【解题分析】

试题分析：根据同底数幕相乘，底数不变指数相加求解求解；

根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的骞相乘求解；

根据完全平方公式求解；

根据合并同类项法则求解.

解：A、a3*a2=a3+2=a5,故A错误；

B、(2a)3=8a3,故B错误；

C、(a-b)2=a2-2ab+b2,故C错误；

D、3a2-a2=2a2,故D正确.

故选D.

点评：本题考查了完全平方公式，合并同类项法则，同底数幕的乘法，积的乘方的性质，熟记性质与公式并理清指数

的变化是解题的关键.

9、A

【解题分析】

V9<H<16,

；.西<而<屈，

即3v而v4，

•・・a,b为两个连续的整数，且〃

••a=3,b=4,

/•a+b=71

故选A.

10、C

【解题分析】

求出C1与x轴的交点坐标，观察图形可知第奇数号抛物线都在X轴上方，然后求出到抛物线平移的距离，再根据

向右平移横坐标加表示出抛物线G6的解析式，然后把点P的坐标代入计算即可得解.

【题目详解】

令y=o,则|:o=0,

-2x+8

解得％=0,9=4,

・•・4(4,0),

由图可知,抛物线。26在X轴下方，

相当于抛物线G向右平移4x(26-1)=100个单位得到得到Gs，再将C2s绕点餐、旋转180。得C26,

。26此时的解析式为产(x-100)(xT00-4)=(x-100)(xT04),

P(103,77?)在第26段抛物线C26上,

•・，〃=(103-100)(103T04)=-3.

故答案是：C.

【题目点拨】

本题考查的知识点是二次函数图象与几何变换，解题关键是根据题意得到p点所在函数表达式.

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

J5x+6y=16

、［4入.+y=5y+x

【解题分析】

设每只雀、燕的重量各为x两，y两，由题意得:

5x+6)=16

4x+y=5y+x

5x+6y=165x+6y=16

故答案是:或(,,

4x+y=5y+x3x=4y

12、55.

【解题分析】

试题分析：•・•把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35。，得到AA,ITC

・・・NACA，=35。，ZA=ZA\.

VNA，DC=90。，

:.NA'=55°.

・•・ZA=55°.

考点：1.旋转的性质；2.直角三角形两锐角的关系.

13、xy(x-y)

【解题分析】

原式:孙(x・j).

故答案为孙(x-J).

14、4

【解题分析】

VAB=2cm,AB=ABi,

/.ABi=2cm,

•・•四边形ABCD是矩形，AE=CE,

AZABE=ZABiE=90°

VAE=CE

AABi=BiC

/.AC=4cm.

15、(3a-1)1

【解题分析】

直接利用完全平方公式分解因式得出答案.

【题目详解】

9a」la+4=(3a-l)

故答案是：(3a・1)

【题目点拨】

考查了公式法分解因式，正确运用公式是解题关键.

16、a(a-l)~.

【解题分析】

要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是

完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式.因此，

a3-2a2+a=a(a2-2a+l)=a(a-l)2.

17、x仅+3)仅-3)

【解题分析】

试题分析：要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再

观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式。因此，

先提取公因式X后继续应用平方差公式分解即可：X?-9x=x/x2_9)=x仅+3"x-3尸

三、解答题(共7小题，满分69分)

18、证明见解析

【解题分析】

根据平行四边形性质推出AB=CD,AB/7CD,得出NEBA=NFDC,根据SAS证两三角形全等即可解决问题.

【题目详解】

解：；四边形ABCD是平行四边形，

AAB=CD,AB〃CD,

/.ZEBA=ZFDC,

VDE=BF,

ABE=DF,

;在△ABECDF中

AB=CD

{/EBA=/FDC,

BE=DF

AAABE^ACDF(SAS),

/.AE=CF,NE=NF,

AAE/ZCF.

【题目点拨】

本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定的应用，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题.

33

19、(1)机=3,k=一，〃=二.(2)6

22

【解题分析】

(1)用代入法可求解，用待定系数法求解；(2)延长AO,BC交于点E,则NE=90。.根据S四边形A8CD=SUB£-SACDE

求解.

【题目详解】

解：⑴•・•点A(l,〃z)在尸三上，

X

••m=3t

3

丁点〃在丁=三上，且6c=2,

x

3

:、5(-2,-5).

・.•)，=履+/?过A,B两点,

%+力=3

/J3,

-2k^b=--

2

［一

解得，2,

/?=_

2

.a,3,3

・・〃z=3，K=-,b=—.

22

(2)如图，延长AD,BC交于点E,则NE=900.

・・・BCJL)，轴，轴，

/.A)(1,O),C(0,-1),

2

9

：.AE=-BE=3,

2t

S四边形ABC。=S^ABE-S&CDE

=-AEBE--CEDE

22

19cli3

=—x—x3——x1x—

2222

=6.

・・・四边形43co的面积为6.

【题目点拨】

考核知识点：反比例函数和一次函数的综合运用.数形结合分析问题是关键.

9279

20、(1)y=-(x>0)；(2)S与t的函数关系式为：S=-3t+9(0<t<3)；S=9——(t>3)；当3=一时，对应的t值

xt2

为2或6；(3)当t=,或逆或3时，使AFBO为等腰三角形.

222

【解题分析】

(1)由正方形OABC的面积为9,可得点B的坐标为：(3,3),继而可求得该反比例函数的解析式.

99

(2)由题意得P(t,7),然后分别从当点Pi在点B的左侧时，S=t・(：-3)=・3t+9与当点P2在点B的右侧时，则

927

S=(t・3)・：=9・7去分析求解即可求得答案；

(3)分别从OB=BF,OB=OF,OF=BF去分析求解即可求得答案.

【题目详解】

解：(1)・・,正方形OABC的面积为9,

・•・点B的坐标为：(3,3),

•・•点B在反比例函数y="(k>(),x>0)的图象上，

x

・廿

••3——9

3

即k=9,

9

・•・该反比例函数的解析式为：y=y=-(x>0)；

x

9

(2)根据题意得：P(3-),

t

9

分两种情况：①当点Pi在点B的左侧时，S=t*(--3)=-3t+9(0<t<3)；

t

在9

若S=T，

2

9

贝!]・3t+9=-,

2

3

解得：t=(；

2

927

②当点P2在点B的右侧时，贝|JS=(t-3)--=9-------；

tt

廿9e279

若S=—,则9-------=—,

tt2

解得：t=6；

27

与t的函数关系式为：S=-3t+9(0<t<3)；S=9——(t>3)；

t

93

当§=一时，对应的t值为大或6；

t2

(3)存在.

若OB=BF=3及，此时CF=BC=3,

AOF=6,

・人9

3

解得：仁大；

2

9

若OB=OF=3&,贝！I3及二：,

解得一考,

若BF=OF,此时点F与C重合，t=3；

，当t=:或逑或3时，使AFBO为等腰三角形.

22

【题目点拨】

此题考查反比例函数的性质、待定系数法求函数的解析式以及等腰三角形的性质.此题难度较大，解题关键是注意掌

握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用.

21、(1)见解析；(2)m=81,n=85；(3)略.

【解题分析】

(1)先求出B班人数，根据两班人数相同可求出A班70q<80组的人数，补全统计图即可；

(2)根据中位数的定义求解即可；

(3)可以从中位数和方差的角度分析，合理即可.

【题目详解】

解：(1)A、B两班学生人数=5+2+3+22+8=40人，

A班70<x<80组的人数=40・1・7・13・9=10人，

A、B两班学生数学成绩频数分布直方图如下：

ir，,,,u,.—rz»80+8285+85

(2)根据中位数的定义可得：m=---=81,n=---=85；

22

(3)从中位数的角度看，R班学生的数学成绩比A班学生的数学成绩好；

从方差的角度看，A班学生的数学成绩比B班学生的数学成绩稳定.

【题目点拨】

本题考查了条形统计图、求中位数以及利用平均数、中位数、方差作决策等知识，能够从统计图中获取有用信息是解

题关键.

22、潜艇C离开海平面的下潜深度约为308米

【解题分析】试题分析：过点C作交A4的延长线于点则AO即为潜艇C的下潜深度，用锐角三角函

数分别在RtAACD中表示出CD和在RtABCD中表示出BD,利用BD=AD+AR二者之间的关系列出方程求解.

试题解析：过点C作交R4的延长线于点。，则4。即为潜艇。的下潜深度，根据题意得：4。。=30。，

^BCD=68°,

设AD=x,贝！JBD=BA+AD=1000+xf

,一,ADx

在收』ACD中，CD=----------=--------

tanZ/ACDtan30

在RMSCO中，^D=CD*tan68°,

/.325+x=\/3x・tan680

解得：m1O0米，

・•・潜艇c离开海平面的下潜深度为100米.

B

点睛：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是作出辅助线，从题目中找出直角三角形并选择合适的边角关系

求解.

iWMTi

23、（1）70,0.2；（2）补图见解析；（3）80<x<90；（4）750A.

【解题分析】

分析：（1）根据第一组的频数是10,频率是0・05,求得数据总数，再用数据总数乘以第四组频率可得m的值，用第三

组频数除以数据总数可得n的值；

（2）根据（1）的计算结果即可补全频数分布直方图；

（3）根据中位数的定义，将这组数据按照从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数据（或中间两数据的平均数）即

为中位数；

（4）利用总数3000乘以“优”等学生的所占的频率即可.

详解：（1）本次调查的总人数为10・0.05=200,

贝!Jm=200x0.35=70,n=404-200=0.2,

（2）频数分布直方图如图所示，