五年级暑假奥数自编讲义

第一讲统筹问题

在日常生活和生产中，我们会经常遇到一些事情需要进行合理、科学地安排，既要在指定时间

内完成任务，又要考虑到精打细算，用最少的时间、人力、物力，发挥出最大的效率。这就涉及这一章的

知识”统筹问题、它包含的内容非常广泛，例如统筹安排问题、排队问题、最短路线问题、场地设置问题、

物资调运问题、最省运钳问题等等，每类问题都有特定的解法。这些来源于生活的实际问题，正是启发同

学们学数学、用数学最好的思维锻炼题目。

例1赵乡长下村召集甲、乙、丙、丁四个村的干部开会，这四个村子，每两个村子都是相距5千

米(如下图)，参加会议的人数甲村8人，乙村5人，内村3人，丁村7人。试求赵乡长应在()村子白

集会议最为合理。

甲村乙村丙村丁村

8人5人3人7人

点拔要使所有参加会议的人所走路程的总和母小，首先，某村人数是总人数的•半以上，该村就

是设置会场的最好地点，这称为“小往大拳二

其次，某村人数不超过总人数的一半，可以把本村人移到邻近

村庄，这称“支往干靠”。

解四村总人数的一半是(8+5+3+7)+2=11.5(人)，没有一个村庄的人数多于11.5人，属于

“支往干靠”。

甲村人数+乙村人数=8+5=13(人)

丙村人数+丁村人数=3+7=10(人)

因为10V13,所以“小往大靠工

显然会议地点应选在乙村最为合理。

例2天津和广州同时制成大型电子计算.机若干台，天津可调往外地12台，广州可调往外地6台。

现决定给成都调去10台，给合肥训去8台，若每台运费如下表所示，问怎样调运运费最省？

点拨一传题意，设广州调往合肥x台(xS6)。根据题中的相应数量关系列关于总费用的关系式，

再通过对最值问题的讨论，则问题易解。

解法一设广州调往合肥x台(1W6),则广州调往成都应为(6-x)台，天津调往合肥(8-x)台，天

津调往成都12-(8-x)=(4+x)台,则总费用为:

400x4-600X(6-x)4-500X(8-x)4-900X(4+x)

=400x-600x-500x+900x+3600+4000+3600

=200x+11200

要使运费最省，只有当x=0时，这时总运费为U200元。即天津调运4台到成都，调运8台到

合肥，广州的6台全调运至成都，运费最省。

点拨二通常从运步最少的地方考虑，如广州的6台全运给合肥，则合肥还缺2台，再从天津运2

台给合肥，其余运给成都。计算总费用，但不一定最少。还应比较一下，需要量多、运费也多的地方如何

运才能使运费最省,如广州的6台全运给成都后，再从天津运4台给成都,其余全部运给合肥。计算总运

费，比较一下便知，怎样调运运费最少。

解法二通常从运费最少的那个地方考虑，如广州的6分全运往合肥只需400X6=2400（元），还缺

2台,再从天津运来2台运费为5C0X2=1000（元），总计：2400+1000=3400（元）,及上面计算的从天津

调8台到合肥的运费500X8=400。（元）比较是节省了，但总的费用反而多：10X900+3400=12400。这就

告诉我们，应该先比较一下，需要量:多运费也多的地方如何运最省。如运往成都，广州6台运费600X6=

3600（元），成都还缺少4台，再从天津调运，运费900X4=3600（元），比直接从天津调运到成都省10X900

一3600—3600=1800（元）。因此大津调运4分到成都，调运8台到合肥，厂州的6分调运至成都，运费最

少。

例3（“华罗庚金杯”决赛试题）有十个村庄，坐落在从水跖出发的一条公路上（如下图，距离单位

是千米），要安装水管，从水库送自来水供给各村，可以用粗细两种水管。粗管足够供应所有各村用水，细

管只能供应一个村用水。粗管每千米要用8000元，细管每千米要用200C元。把粗管和细管适当搭配、互

相连接，可以降低工程的总费用，按你认为最节约的方法，费用应是多少？

点拨由题意可知，粗管每丁米的费用正好是细管每千米费用的4倍，因此，如果在同一段上要安

装4根以上的细管，就应该用一根粗管来代替，便可降低工程的总费用。

解假设从水库到每个村子都各接一根细管（如上图），那么在AB-ABz、AR,、AB,、AB,.、AB“之间

各有■根、9根、8根、7根、6根、5根细管,应该把A及氏之间都换装粗管，工程的总费用将最低，这

时的总费用是

8000X（30+5+2+4+2+3）+2000X（2X4+2X3+2X2+5]=414000（元）

说明做这类问题时，根据粗管费用是细管费用的a倍（或Va倍;，那么最后a（或a-1）个村子用

细管，这样费用最省。

例4（北京市“迎春杯”竞赛试题）甲地有89吨货物运到乙地，大卡车的载重量是7吨，小卡车的

载重量是4吨，大卡车运•趟货物耗油14升，小卡车运一趟货物耗油9升,运完这些货物最少耗油多少升？

点拨大卡车载重7吨,运一趟货物用汽油14升，运1吨货平均用汽油14+7=2（升）：小卡车载

重4吨，运一趟货物用汽油9升，运-•吨货平均耗油9+4=2L（升）。因为大卡车比小卡车耗油成少，应

4

尽量用大卡车运。

解（1）如果89吨全用大卡车运,要运89+7*13（趟）,耗油14X13=182（升）。

（2）如果用大卡车运12趟，89=7X124-5,所以剩下的5吨要用小卡车运2趟，耗油14X12+

9X2=186（升）。

⑶如果用大卡车运11趟,89-7X114-12,所以剩下的12盹用小卡车运3趟，耗油14X11+

9X3n8l（升）。

三种方法比较，安排大卡车运11趟，小卡车运3趟耗油最少，最少耗油181升。

说明计算这类问题时要注意，不一定是大、小卡车正好把货物装完才最省油，需要尝试几种运法

后才能得出正确答案。

例5（第二届“祖冲之杯”邀请赛试题）某人从住地外出有两种方案，一种是骑白行车去，另一种

是乘公共汽车去。显然公共汽车的速度比自行车的速度快，但乘公共汽车有一个等候时间（候车时间可看做

是固定不变的）。在任何情况下,他总会采用花时间最少的最佳方案。下表表示他到达A、B、C三地采用最

佳方案所需要的时间。为了到达离他8千米的地方，他需要花多少分钟？请简述理由。

目的地目的地距住地的路程最佳方案所需时间

A地2T•米12分钟

B地3千米15.5分钟

C地4千米18分钟

点拨A、B两地离住地相差I千米，多用3.5分钟；而B、C两地离住地相差1千米，只多用2.5

分钟，由此可见，到A、B、C三地采用了不同的方案。由于候车时间是固定的，由常识可知较远处的C地

是乘公共汽乍，而较近的A地是招自行车。

解必然去B地不是骑自行车，因为如果去B地采用骑自行车的方案，那么需要的时间是（12+2）

X3=18（分钟），而实际最佳方案只需15.5分钟，所以去B地是乘公共汽车。

由B、C两地都是乘公共汽车，可知汽车行1千米需18—15.5=2.5（分钟），由此又可算出候车

时间是8分钟.

所以，到达离住地8千米的地方应用乘公共汽车的方案，需要时间是8+2.5X8=28（分钟）。

说明这类题要根据路程间的相差关系和时间的相差关系来确定出最佳方案。

例6有四辆汽车要派往五个地点运送货物（如右图），。中的数字分别表示五个地点完成任务需要

的装卸匚人数，五个地点共需装卸工20人。如果有些装卸工可以跟车走，那么应如何安排跟车人数及各点

的装卸工人数，使完成任务所用的装卸工总人数最少？

点拨一可用尝试法。因为五个地点中需装卸工最多的是5个人，所以如果每辆车跟5名工人，那

么每辆车到达任何一个地点，都能正常进行装卸。山此得到，跟车人数的试探范围是1〜5人。

解法一若每车跟车5人,则各点不用安排人，共需20人：若每左跟车4人，则原来需5人的点还

需各安排1人，共需18人：

若每车跟车3人，则原来需5人的点还需各安排2人，原来需4人的点还需各安排1人，共需

17A;

同理可求出，每车跟车2人，共需18人；每车跟车1人，共需19人。

可见，安排每车跟车3人，原来需5人的两个点各安排2人，原来需4人的点安排1人，这时

所用的装卸工总人数最少，需17人。

点拨二假设有m个地点，n辆车（nWm）,m个地点需要的人数按从多到少排列为

A1/A22A1•…2A・,

则需要的最少总人数就是前n个数之和，即

A+A+…+A。

这时每车的跟车人数可以是An+1至An之间的任一数。

解法二具体到例6,5个点4辆车，5个点中需要人数最多的4个数之和，即5+5+4+3=17（人）

就是需要的最少总人数，因为A,=%=3,所以每车跟车3人。若在例6是只有2辆车，其他条件不变，则

最少需要5+5=10（人），因为k=5,丸=4,所以每车跟车5人或4人。当每车跟车5人时，所有点不再

安排人：当每年跟车4人时，需要5人的两个点各安排1人，其余点不安排人。

说明如果车辆数大于地点数，即n>m,则跟车人数是0,各点需要人数之和就是总共需要的最少

人数.

例7（第四届“希望杯”邀清赛试题）某班40名师生星期天参加梢树活动，师生按身体状况分成甲、

乙、丙三种人员。他们的任务是挖树坑和运树苗两种活，要求挖树坑30人，运树苗则运得越多越好。甲、

乙、丙三种劳动人员的效率，如下表所示，试求最合理的人员分配方案及运树苗总数。

点拔看了题目后，•定会有人觉得这个问题不难解决，可以让甲种人员去挖坑，乙种和丙种人员

去运树苗。这确实是一种方案。山于这种方案满足挖30个坑的要求，并且运树苗为220棵（10X154-7X10）.

但这种方案不是最优方案。我们的目的是在完成挖树坑30个的基础上，使运树苗尽可能多，此时应用的方

法是“相对效率”法。

解先求出各种劳动人员的挖坑及运树的相对效率：

21.20.8

甲==0.1,乙==0.12,丙==0.114

20107

由此得到：甲〈丙〈乙。

因为乙种人员挖坑的相对效率高，所以优先安排乙种人员去挖坑。乙种人员共15人，挖坑

1.2X15=18（个），这不能完成挖30个树坑的任务，再安排相对效率次高的丙种人员去挖坑，丙种人员共

10人，挖坑8个（0.8X10）,还差4个树坑，最后安排2个甲种人员去挖优，这样30个树坑的任务全都安

排好心剩下的13名甲种人员是运树，可运260棵（20X13）树苗。这显然比前面所得220棵要多，如此得

到了最优方案.即由13名甲种人员去运树苗，其余的人员全部去挖树坑.

说明“相对效率”是指一名劳动人员干两种工作的效率之比，如本题中甲种劳动人员挖树坑及运

树苗的效率之比是Z=0.1,它近指甲种劳动人员平均运一棵树，相当7他挖0.I个树坑。又如乙种劳动

20

1?

人员的相对效率是3=0.12,即乙种人员运一棵树，相当于他挖0.12个树坑。如此可知，虽然乙种人

10

员一天内挖树坑或运树苗的单一效率比甲种人员差，但相对效率却比甲高，这就是说乙种人员在挖树坑时

要比运树苗发挥的能量更大。

练习一

LA、B两个粮店分别有70吨和60吨大米，甲、乙、丙三个居民点分别需要30吨、40吨和50吨大

米。从A、B两根店每运1吨大米到三个居民点的运超如下表所示。如何圈运才能使运费最少？

2.电车公司维修站有7辆电车.需要进行维修。如果用一名工人维修这7辆电车的修豆时间分别为

12分钟、17分钟、8分钟、18分钟、23分钟、30分钟、14分钟。每辆电车每停开1分钟经济损失11元。

现在由3名工作效率相同的维修工人各自单独工作，要使经济损失减到最低程度，最少损失多少元？

3.某蔬菜专业队有甲等劳力15人、乙等劳力23人、丙等劳力15人、丁等劳力25人，他们既要整

地，又要种菜，而且要求每天整出的地要及时种上菜。应如何调配安排劳力，才能使一天种菜25公亩，并

整地尽量多？（各种劳力整地和种菜的效率如下表）

4.A、B两地油井每月各产原油30万吨、50万吨，准备投资修建=座炼油厂，加工A、B两地所产

的原油。炼油厂建于•何处时，才能使运费最省？（两地吨公里运费相同）

5.打字室收到一份共12整页的文件，要求尽快打印。小王每小时能打3页，小红每小时能打4页。

两人同时打字，小王和小红各打多少页完成任务最快？需要多少小时？

6.某水池可以用甲、乙两个水管注水，单放甲管需12小时注满，单放乙管需24小时注满。现在要

求10小时注满水池，并且甲、乙两管合放的时间尽可能的少，那么甲、乙合放最少需多少小时？

7.有一个80人的观光团，其中男50人，女30人，他们住的旅馆芍11人、7人和5人的三种房间。

男、女分住不同房间，而且每个房间都按原定人数住满了旅游团的成员。他们至少要住几个房间？

8.一条单线铁路上有A、B、C、I）、E五个车站，它们之间的距离如下图所示（单位：千米）。两列火

车同时从A、E两站相对开出，从A站开出的火车每小时行60千米，从E站开出的火车每小时行50千米。

由于单线铁路上只有车站才铺有停车的轨道，要使对而开来的列车通过，须在车站停车，才能让开行车轨

道。因此应该安排在（）站相遇,才能使停车等待的时间最短。先到这一站的那列火车至少需要停车（

分钟。

9.某种产品是由一个大零件和两个小零件组成的，师傅抵小时可生产9个大零件或者14个小零件。

徒弟杼小时可生产3个大零件或者10个小零件.现在要生产27个这种产品，两人合作至少用多少小时？

10.建筑工程队给窗户安铁齿，需要长度分别为44cm、36cm、65.5cm的钢筋。现在有一批长800cm

的钢条，每锯断一根需要损耗0.5cm。最好每根800cm长的钢筋锯成44cm的（）根，36cm的（）根，

65.5颌的（）根才不浪费。

11.某缝纫社有甲、乙、丙、丁四个小组，甲组每天能缝制8件上衣或10条裤子：乙组每天能健制

9件上衣或12条裤子：丙组每天能缝制7件上衣或11条裤子：丁组每天能缝制6件上衣或7条裤子。现

在上衣和裤子要配套缝制（每套一件上衣和一条裤子），7天中这四个小组最多可缝制多少套衣服？

12.钢筋原材料毋件长7.3米，每套钢帐架子用长2.9米、2.I米和L5米的钢筋各一段。现在需

要绑好钢筋架子100套，至少要用去原材料几件？截料方法怎样最省？

13.有100名少先队员在岸边准备坐船去湖中离岸边600米的甲岛,等最后•人到达甲岛15分钟后,

再去离甲岛900米的乙岛。现有机船和木船可各坐10人和25人，机船速度为每分钟300米，机船速度是

木船速度的两倍。最后一批少先队员到达乙岛最短需要多长时间？（按小时计算）

14.甲、乙两个服装厂的工人和设备都能全力生产同一规格的西服“甲厂每月用3的时间生产上衣,

5

243

一的时间生产裤子，全月恰好生产900套西服：乙厂每月用一的时间生产上衣，一的时间生产裤子，全

577

月恰好生产1200套西服。现在两厂联合生产，尽且发挥徉自将长多生产西服，那么现在每月比过去多生产

西服多少套？

15.某天然气站要安装天然气管道通往位于一条环形线上的A〜G匕个居民区，每两个居民区间的距

离如右图所示（单位：干米）。管道有粗、细两种规格，粗管可供所有七个居民区用气，每千米8000元：细

管只能供一个居民区用气，每千米3000元。粗、细管的转接处必须在居民区中，问应怎样搭配使用这两种

管道才能使费用最省？

第二讲时钟问题

时钟问题就是研究钟面上时针和分针关系的问题。大家都知道，钟面的一周分为60格，分针每

走60格，时针正好走5格，所以时针的速度是分针速度的5+60=」-0时钟问题经常围绕着两针（指

12

时针及分针）重合、垂直、两针成克线、两针成多少度角提出问题。因为时针及分针的速度不同，并且都

沿顺时针方向转动，所以经常将时钟问题转化为追及问题来解。

例1现在是2点，什么时候时针及分针第一次重合？

分析：如右图所示，2点分针指向12,时针指向2,分针在时针后面

5X2=10（格）。因为时针速度是分针的所以分针走1格，时针走】格，

例2在7点及8点之间，时针及分针在什么时刻相互垂直？

分析：7点时分针指向12,时针指向7（见右图），分针在时针后面5X7=35（格）。时针及分针

垂直，即时针及分针相差15格，在7点及8点之间，布•下图所示的两种情况：

（1）顺时针方向看,分针在时针后面15格。从7点开始,分针要比时针多走35-15=20（格），

需

（2）顺时针方向看，分针在时针前面15格。从7点开始,分针要比时针多走35+15=50（格），

需

例3在3点及4点之间，时针和分针在什么时刻位于•条直线上？

分析：3点时分针指向12,时针指向3（见右.图），分针在时针后面5X3=15（格）。时针及分针

在一条直线上，可分为时针及分针重合、时针及分针成180°角两种情况（见下图）：

（1）时针及分针重合。从3点开始，分针要比时针多走15格，154-

（2）时针及分针成180"角。从3点开始,分针要比时针多走15+30

例4晚上7点到8点之间电视里播出一部动画片，开始时分针及时针正好成一条直线，结束时两针

正好重合。这部动画片播出了多长时间？

分析：这道题可以利用例3的方法，先求出开始的时刻和结束的时刻，再求出播出时间。但在这里,

我们可以简化•下。因为开始时两针成180。，结束时两针垂合，分针比M针多转半圈，即多走30格，所

以播出时间为

例5、3点过多少分时,时针和分针离“3”的距离相等，并且在“3”的两边?

分析；假设3点以后，时针以相反的方向行走，时针和分针相遇的时刻就是本题所求的时刻。这就

变成了相遇问题，两针所行距离和是15个格。

分针速度为每分钟一格，时针速度为每分钟1格，列成算式是：

例6小明做作业的时间不足1时,他发现结束时手表上时针、分针的位置正好及开始时时针、分针

的位置交换了一下。小明做作业用了多少时间？

分析：从左上图我们可以看出，时针从A走到B,分针从B走到A,两针一共走了一圈。换一个角度，

问题可以化为：时针、分针同时从B出发，反向而行，它们在A点相遇。两针所行的距离和是60格，分针

每分钟走」-小格。那么两针相遇时间是

12

练习二

1、时针及分针在9点多少分时第一次重合？

2、王师傅2点多钟开始工作时，忖针及分针正好重合在一起。5点多钟完工时，时针及分针正好

又重合在一起。王师傅工作「多长时间？

3、8点50分以后，经过多长时间，时针及分针笫一次在一条宜线上？

4、小红8点钟开始画一幅画，正好在时针及分针笫三次垂直时完成，此时是几点几分？

5、3点36分时,时钟及分钟形成的夹角是多少度?

6、3点过多少分时，时针和分针离“2”的距离相等，并且在“2”的两边？

7、早晨小亮从镜子中看到表的指针指在6点20分，他赶快起床出去地步,可跑步回来妈妈告诉他

刚到6点20分。问：小亮跑步用了多长时间?

第三讲白分数

百分数有两种不同的定义。

（1）分母是100的分数叫做百分数。这种定义着眼广形式，把百分数作为分数的一种特殊形式。

（2）表示一•个数（比较数）是另一个数（标准数）的百分之几的数叫做百分数。这种定义若眼于应

用，用来表示两个数的比。所以百分数乂叫百分比或百分率。

百分数通常不写成分数形式，而采用符号“％”来表示，叫做百分号。

在第二种定义中，出现了比较数、标准数、分率（百分数），这三者的关系如下：

比较数+标准数=分率（百分数），

标准数X分率=比较数，

比较数+分率=标准数。

根据比较数、标准数、分率三者的关系，就可以解答许多及百分数有关的应用题。

例1、纺织厂的女工占全厂人数的80%,一车间的男工占全厂男工的25%。问：-•车间的男工占全

厂人数的百分之儿？

分析及解：因为“女工占全厂人数的80%”，所以男工占全厂人数的180%=20%。

又因为“一车间的男工占全厂男工的25%”,所以一车间的男工占全厂人数的20%X25%=5%.

例2、学校去年春季植树500棵，成活率为85%,去年秋季植树成活率为90%。已知去年春季比

秋季多死了20棵树，那么去年学校共种活了多少棵树？

分析及解：去年春季种的树活了500X85%=425（棵），死了500-425=75（棵）°去年秋季种的树,

死了75-20=55（棵），活了554-（1-90%）X90%=495（棵）。所以，去年学校共种活425+495=920（棵）.

例3、一次考试共有5道试题。做对第1，2,3,4,5题的人数分别占参加考试人数的85%,95%,

90%,75%,80%。如果做对三道或三道以上为及格，那么这次考试的及格率至少是多少？

分析及解：因为百分数的含义是部分量•占总量的百分之几，所以不妨设息量即参加考试的人数为

100o

由此得到做错第1题的有100X（1-85%）=15（人）：

同理可得，做错第2,3,4,5题的分别有5,10,25,20人。

总共做错15+5+10+25+20=75（题）。

一人做错3道或3道以上为不及格，由75+3=25（人），推知至多有25人不及格，也就是说至少

有75人及格，及格率至少是75%,

例4、育红小学四年级学生比三年级学生多25%,五年级学生比匹年级学生少10%,六年级学生比

五年级学生多10%。姆果六年级学生比三年级学生多38人，那么三至六年级共有多少名学生？

分析：以三年级学生人数为标准量，则四年级是三年级的125%,五年级是三年级的125%X

（1-10%）,六年级是三年级的125%X（1-10%）X（1+10%）。因为已知六年级比三年级多38人，所

以可根据六年级的人数列方程。

解：设三班级有x名学生，根据六年级的人数可列方程：

xX125%X（1-10%）X（1+10%）=x+38,

xX125%X90%X110%=x+38,

L2375x=x+38,

0.2375x=38,

x=160o

三年级有160名学生。

四年级布•学生160X125^=200（名）。

五年级有学生200X（1-10%）=180（名）。

六年级有学生160+38=198（名）。

160+200+180+198=738（名）。

答：三至六年级共有学生738名。

在百分数应用题中有一类叫溶液配比问题。我们都知道，将糖溶于水就得到了精水，其中糖叫溶质，

水叫溶剂，融水叫溶液。如果水的量不变，那么糖加得越多，糖水就越甜，也就是说，糖水甜的程度是由

糖（溶质）及糖水（溶液=锯+水）二者重量的比值决定的，这个比值就叫糖水的含糖量或糖含量。类似地,

酒精溶于水中，纯酒精及酒精溶液二者重接的比值就叫酒精含量0溶质、溶剂、溶液及溶版含量有如下基

本关系：

溶液重量=溶质重量+溶剂重量，

溶质含量=溶质重量+溶液重量,

溶液重量=溶质重量+溶质含量,

溶质重量=溶液重量X溶质含量。

溶质含量通常用百分数表示。

例如，10克白糖溶于90克水中，含糖后（溶质含量）是记%=1°%0

例5、有含糖量:为7%的糖水600克，要使其含糖址加大

到10%,需要再加入多少克糖？

分析及解：在600克含糖量为7%的糖水中，有鼬（溶质）600X7^=42（克）。

设再加x克糖，可使其含糖坦:加大到10%。此时溶质有（424x）克，溶液有（600+x）克，根

据溶质含趾可得方程

答：需要再加入20克糖。

例6、仓库运来含水量为90%的一种水果100千克，一星期后再测，发现含水呈降低到80%。现在

这批水果的总重坡是多少千克？

分析及解：可将水果分成“水”和“果”两部分。一开始，果重

100X（1-90%）=10（千克）.

一星期后含水量变为80%,“果”及“水”的比值为

因为“果”始终是10千克，可求出此时“水”的重量为

所以总重成是10+40=50（千克）。

练习三

1.某修路队修一条路，5天完成了全长的20%。照此计算，完成任务还需多少天？

2.服装厂一车间人数占全厂的25%,二车间人数比一车间少20%,三车间人数比二车间多30%。

已知三车间有156人，全厂有多少人？

3.有三块地，第二块地的面积是第一块地的80%,第三块地的面枳比第二块多20%,三块地共69

公顷，求三块地各多少公顷。

4.某工厂四个季度的全勤率分别为90%,86%,92%,94%。问：全年全勤的人至少占百分之几？

5.有酒精含量为30%的酒精溶液若干，加了一定数量的水后稀择成酒精含量为24%的溶液，如果

再加入同样多的水，那么酒精含量将变为多少？

6.配制硫酸含量为20%的酸酸溶液1000克，需要用硫酸含量为18%和23%的硫酸溶液各多少克？

7.IT•堆含水质14.5%的煤，经过•段时间的风干，含水送降为10%,现在这堆煤的重质是原来

的百分之几？

第四讲浓度问题

在百分数应用题中有一类叫溶液配比问题，即浓度问题。我们知道，将糖溶于水就得到r糖水，其

中糖叫溶质，水叫溶剂，糖水叫溶液。如果水的量不变，那么糖加得越多，糖水就越甜，也就是说糖水甜

的程度是由糖（溶质）及糖水（溶液=糖+水）二者质量的比值决定的。这个比值就叫糖水的含糖量或精含

量。类似地，酒精溶于水中，纯酒精及酒精溶液二者质坦的比值叫酒精含量。因而浓度就是溶质质量及溶

液质量:的比值，通常用百分数表示，即，

浓度=溶质质量/溶液质量X100%=溶质质量/（溶质质量+溶剂质量）X100%

解答浓度问题，首先要弄清什么是浓度。在解答浓度问题时,根据题意列方程解答比较容易，在列

方程时，要注意寻找题目中数量问题的相等关系。

浓度问题变化多，有些题目琲度较大，计算也较豆杂。要根据题目的条件和问题逐一分析，也可以

分步解答。

【例题1】有含糖量为7%的糖水600克，要使其含糖量加大到1C%,需要再加入多少克糖？

【思路导航】根据题意，在7%的糖水中加糖就改变门京来糖水的浓度，糖的质量增加八糖水的

质贷也增加了，但水的质量并没有改变.因此，可以先根据原来糖水中的浓度求出水的质量，再根据后来

糖水中的浓度求出现在糖水的质量，用现在糖水的质量减去原来糖水的质量就是增加的糖的质量。

原来糖水中水的成星：600X<1-7%）-558（克）

现在糖水的质量：558+—=620（克）

加入糖的质量：620-600=20（克）

答：需要加入20克糖。

练习1：

1.现在有浓度为20%的糖水300克，要把它变成浓度为40%的糖水，需要加糖多少克？

2.有含盐15%的献水20千克，要使处水的浓度为20%,露加盐多少千克。

3.有甲、乙两个瓶子，甲瓶里装了200军升清水，乙瓶里装了2C0充升纯酒精。第一次把20左升

纯酒精由乙瓶倒入甲瓶，第二次把平瓶中20是升溶液倒回乙的，此时甲瓶里含纯酒精多，还是乙瓶里含水

多？

【例题2】一种35%的新农药，如稀释到1.75%时，治虫最有效。用多少千克浓度为35%的农药加

多少千克水，才能配成1.75%的农药800千克？

【思路导航】把浓度高的溶液经添加溶剂变为浓度低的溶液的过程称为稀释。在这种稀释过程中，

溶质的质量是不变的。这是解这类问题的关键。

800千克1.75%的农药含纯农药的质珏为800X1.75%=14（千克）

含14T•克纯农药的35%的农药质量为144-35^=40（T•克）

由40千克农药稀释为800千克农药应加水的质战为800—40=76C（千克）

答：用40千克的浓度为35%的农药中添加760千克水，才能配成浓度为1.75%的农药800千克。

练习2：

1.用含氨0.15%的氨水进行油菜追肥。现有含氨16%的氨水30千克，配置时需加水多少千克？

2.仓库运来含水量为90%的一种水果100千克。一星期后再测，发现含水量降低到80%。现在这

批水果的质量是多少千克？

3.一容器内装有10升纯酒精，倒出2.5升后，用水加满：再倒出5升，再用水加满。这时容器内

溶液的浓度是多少？

【例题3］现有浓度为10%的盐水20千克。再加入多少千克浓度为30%的盐水，可以得到浓度为

22%的掂水？

【思路导航】这是一个溶液混合问题.混合前、后溶液的浓度改变了，但总体上溶质及溶液的总质

量没有改变。所以，混合前两种溶液中溶质的和等于混合后溶液中的溶H的量。

20千克10%的盐水中含盐的质成2OX1O%=2（千克）

混合成22%时，20千克溶液中含盐的质量20X22%=404（千克）

需加30%盐水溶液的质量（4.4-2）+（30%—22%）=30（千克）

答：需加入30千克浓度为30%的盐水，可以得到浓度为22%的盐水。

练习3：

1.在100千克浓度为50%的硫酸溶液中，再加入多少千克浓度为£%的硫酸溶液就可以配制成25%

的硫酸溶液？

2.浓度为70%的酒精溶液500克及浓度为50%的酒精溶液300克混合后所得到的酒精溶液的浓度

是多少？

3.在20%的盐水中加入10丁克水，浓度为15%。再加入多少T•克盐，浓度为25%?

【例题4】将20%的盐水及5%的盐水混合，配成15%的盐水60C克，需要20%的盐水和5%的盐

水各多少克？

【思路导航】根据题意，将20%的盐水及5%的盐水混合配成15%的盐水，说明混合前两种盐水中

盐的质量和及混合后盐水中盐的质球是相等的。可根据这一数地间的相等关系列方程解答。

解：设20%的盐水需x克，则5%的盐水为600-x克，那么

20%x+（600-x）X5%=600X15%

X=400

600-400=200（克）

答：需要20%的盐水400克，5%的盐水200克。

练习4：

1.两种钢分别含银5%和40%,要得到140吨含锲30%的钠，需要含镶5%的钢和含锲40%的钢

各多少吨？

2.甲、乙两种酒各含酒精75%和55%,要配制含酒精65%的酒3000克，应当从这两种酒中各取

多少克？

3.甲、乙两只装糖水的桶，甲桶有糖水60千克，含糖率为40%；乙桶有糖水40千克，含糖率为

20%。要使两桶糖水的含糖率相等，需把两桶的糖水相互交换多少千克？

【例题5】甲、乙、丙3个试管中各盛有10克、20克、30克水，把某种质量分数的盐水10克倒入

甲管中,混合后取10克倒入乙管中，再混合后从乙管中取出10克倒入丙管中。现在丙管中的盐水的质量

分数为0.5%。最早倒入甲管中的盐水质量分数是多少？

【思路导航】混合后甲、乙、丙3个试管中应有的盐水分别是20克、30克、40克。根据题意，可

求出现在内管中盐的质量。又因为内管中原来只有30克的水，它的盐是从10克盐水中的乙管里取出的。

由此可求出乙管里30克盐水中盐的质量。而乙管里的盐又是从10克盐水中的甲管里取出的，由此可求出

甲管里20克盐水中盐的质量。而甲管里的盐是某种浓度的盐水中的盐，这样就可得到最初倒入甲管中盐水

的质量分数。

丙管中盐的质量：（30+10）X0.5%=02（克）

倒入乙管后,乙管中盐的质量:0.2X[（20+10）4-10]=0.6（克）

倒入甲管，甲管中盐的质量:0.6X[（10+10）+10]=1.2（克）

1.2-r10-129-6

答：最早倒入甲管中的盐水质量分数是12%。

练习5：

1.从装满100克80%的盐水中倒出40克盐水后，再用清水将杯加满,搅拌后再倒出40克盐水，

然后再用清水将杯加满。如此反复三次后，杯中盐水的浓度是多少？

2.甲容器中又8%的盐水330克，乙容器中有12.5%的盐水120克。往甲、乙两个容器分别倒入等

他的水，使两个容器中盐水的浓度一样。每个容器应倒入多少克水？

3.甲种酒含纯酒精40%,乙种酒含纯酒精36%,两种酒含纯酒秋35%。将三种酒混在一起得到含

酒精38.5%的酒11千克。已知乙种酒比丙种酒多3千克，那么甲种酒有多少千克？

第五讲商业中的数学

市场经济中有许多数学问题。同学们可能都有和父母一起去买东西的经历，都知道商品有定价，但

是这个价格是怎样定的？这就涉及到商品的成本、利润等听起来有■些陌生的名词。

这一讲的内容就是小学数学知识在商业中的应用。

利润=售出价-成本，

例如，一件商品进货价是80元，售出价是100元，则这件商品的利涧是100-80=20（元），利润率

是

在这里我们用“进货价”代替了“成木”，实际上成本除了进货价，还包括运输费、仓储贽、损耗

等，为简便，有"时就忽略不计了。

例1、某商品按每个7元的利润卖出13个的钱，及按籽个11元的利润卖出12个的钱一样多。这种

商品的进货价是每个多少元？

解：设进货价是每个x元。由“售出价=进货价♦利润”，根据前、后两次卖出的钱相等，可列方程

（x+7）X13=（x+11）X12,

13x+91=12+132

x=4L

答：进货价是每个41元。

例2、租用仓库堆放3吨货物，每月租金7000元。这些货物原计划要销售3个月，由于降低了价

格，结果2个月就销售完了,由于节省了租仓库的租金,所以结算下来,反而比原计划多赚了1000元。问:

每千克货物的价格降低/多少元？

分析及解：原计划租仓库3个月，现只租用了2个月，节约了1个月的租金7000元。如果不降低价

格，那么应比原计划多赚7000元，但现在只多赚了1000元，说明降价损失是7000T000-6000（元）。

因为共有3吨,即3000千克货物，所以每千克货物降低了6000+3000=2（元）。

例3、张先生向商店订购了每件定价100元的某种商品80件。张先生对商店经理说：“如果你肯

减价，那么每减价1兀，我就多刊购4件。'‘的店经埋算了一卜，若减价5%,则由于张先生多"购，获

得的利润反而比原来多100元。问：这种商拈的成本是多少元？

分析及解：设这种商品的成本是x元。臧价5%就是每件减1OOX5%=5（元）,张先生可多买4X

5=20（件）。由获得利润的情况，可列方程

（100-x）X80+100=（100-5-x）X（80+20）,

8000-80x+100=9500-100x,

20x=1400.

x=70,

这种商品的成本是70元。

由例2、例3看出，商品降汾后，由于增加了销售战，所以获得的利润有■时反而比原来多。

例4、某商店到单果产地去收购单果，收购价为每千克L20元。从产地到商店的距离是400千米，

运费为每吨货物每运I千米收1.5。元。如果在运输及销售过程中的损耗歪10%,商店要想实现25%的利

润率，零售价应是每千克多少元？

分析及解：本题的成本包括收购价、运费、损耗。每T•克的收购价加运费是1.20+1.50X400+

1000=1.80（元）。

因为有因％的损耗,所以每千克的成本为1.80+（1-10%）=2.00（元）。

售出价=成本X（利润率+1）

=2.00X(25%+1)

=2.50（元），

即零售价应是每千克2.50元。

例5、小明到商店买了相同数量的红球和白球，红球原价2元3个，白球原价3元5个。新年优惠，

两种球都按1元2个实，结果小明少花了8元钱。问：小明共买了多少个球？

例6、某厂向银行申请甲、乙两种贷款共40万元，每年需付利息5万元。甲种贷款年利率为12%,

乙种贷款年利率为14%。该厂申请甲、乙两种贷款的金额各是多少？

解:设申请甲种贷款x万元，则申请乙种贷款（40-x）万元。根据需付利息可得方.程

xX12%+（40-x）X14%=5,

0.12x+5.6-0.14x=5.

0.02x=0.6.

x=30（万元）。

40-30=10（万元）.

答：申请甲种贷款30万元，乙种贷款10万元。

练习五

L商店进了一批钢笔，用零将价10元卖出20支及用零皆价11元卖出15支的利润相同。这批钢笔

的进货价每支多少元？

2.某种蜜瓜大量上市，这几天的价格每天都是前一天的80%。妈妈笫一天买了2个，笫二天买了3

个，第三天买了5个，共花了38元。若这10个蜜瓜都在第三天买，则能少花多少钱？

3.商店以每双13元购进一批凉鞋，售价为14.8元，卖到还剩5双时，除去购进这批凉鞋的全部开

销外还获利88元。问：这批凉鞋共多少双？

4.体白用品商店用3000元购进50个足球和40个篮球。本告时足球加价9%,篮球加价11%,全

部卖出后获利润298元。问：每个足球和篮球的进价是多少元？

5.某种商品的利润率是20%。如果进货价降低20%,售出价保持不变，那么利润率将是多少？

6.某商店到苹果产地去收购苹果，收购价为每千克1.20元。从产地到商店的距离是400千米，运

况为每吨货物每运1千米收责1.5。元。如果不计损耗，那么商店要想实现25%的利润率，零售价应是每

千克多少元？

减价10元出售，全部售完，共获利润3000元。书店共售出这种挂历多少本？

第六讲分数百分数巩固及练习

1

1、水结成冰时，体积增加1°,当冰融成水后，体积要减少几分之几？

2,某商店同时卖出两件商品，每件各得30元，其中一件赚20乐另一件亏本20舟,这个商店卖出这

两件商品是赚钱还是亏本？

3、某处摆着甲、乙两盆花，一群蜜蜂飞来，在甲花上落了4,在乙花上落了3.假如这群蜜蜂中

再有两盆花上蜜蜂之差的3倍的蜜蜂落在花上，则剩下2只蜜蜂，这群蜜蜂共有多少只？

_1_

4、小牛乘汽车从县城到省城需2天，他第一天走了全程的2又72千米，第二天走的路程等于第一

_1_

天的2,求县城到省城的距离。

7

5、光明小学六年级有学生360人，其中女生占12,后来又转来了几名女生，这样女生占六年级总

人数的60%,转来的女生有多少人。

6、甲乙两个养猪专业户共养猪2000头，如果甲卖掉他原TI猪的4,已卖掉110头，则甲、乙两户

剩余的猪的头数相等，甲两户原来积各养猪多少头？

7、人民机械厂加工一批零件，甲车间加工这批零件的20%,乙车间加工余卜的25%,丙车间加工再

余下的40%,还剩下3600个没加工，这批零件共有多少个？

3_1_

8、庆丰文具店运来的毛笔比钢笔多1万支，其中毛笔的7及钢笔