时间序列移动平均法

第二节移动平均法

移动平均法是根据时间序列资料-，逐项推移，依次计算包含二定项数的序时平均数，

以反映长期趋势的方法。当时间序列的数值由于受周期变动和不规则变动的影响，起伏较大,

不易显示出发展趋势时，可用移动平均法，消除这些因素的影响，分析•，预测序列的长期趋

势。

移动平均法有简单移动平均法，加权移动平均法，趋势移动平均法，分别介绍如下：

一简单移动平均法

设时间序列为Yl,Y2,……YT……；简单移动平均法公式为:

M(=y+"i+ySy—...y”n+i(t2N)

N

式中:Mt为t期移动平均数;N为移动平均数的项数.

这公式表明:当T向前移动一个时期,就增加一个新近数据，去掉一个远期数据，得到一个新的

平均数.由于它不断地“吐故纳新”,逐期向前移动，所以称为移动平均法。

由上式可知：Mt_1=ym+y”2+...+y»n

y(yt-i+yi-2+...yt-ny(y(-yt-N

Mt=-----+----------------+-----=Mt.|+--------

NNNN

yt-yt-N

M产Mp+--------

N

这是它的递堆公式。当N较大时，利用递堆公式可以大大减少计算量。

由于移动平均可以平滑数据，消除周期变动和不规则变动的影响使长期趋势显示出来，因而

可以用于预测：

预测公式为：yt+i=Mt

即以第t期移动平均数作为第t+l期的预测值。

例1：某市汽车配件销售公司，某年1月至12月的化油器销量如表4—1所示。试用简单移

动平均法，预测下年1月的销售量。

解:分别取N=3和N=5按列预公式

Ayt+y(-i+y(-2

y«=---------------

3

Ayt+yt-i+yt-2+yt-3+yt-4

y(+i=-----------------

5

计算3个月和5个月移动平均预测值，其结果如表:

月份实际销售量3个月移动平均预测5个月移动平均预测

值立

tyt值yt

1423//

2358//

3434//

4445405/

5527412/

6429469437

7426467439

8502461452

9480452466

10384469473

II427456444

12446430444

419448

实际销售量

3个月移动平均预测

值

5个月移动平均预测

值

由图可以看出，实际俏售量的随机波动比较大，经过移动平均法计算以后，随即波动显

著减小，即消除随机干扰，而且求取平均值所用的月数越多，即N越大，修匀的程度也越

大，波动也越小。但是，在这种情况下，对实际销售量真实的变化趋势反应也越迟钝。

反之，如果N取的越小，对销仕:晟真实变化趋势反应越灵敏，但修匀性越差，从而把

随机干扰作为趋势反映出来。

因此，N的选择甚为重要，N应取多大，应根据具体情况作出抉择，当N等于周期变

动的周期时，则可消除周期变动影响。

在实用上，一个有效的方法是：取几个N值进行试算，比较它们的平均预测误差，从

中选择最优的。

如：在本例中，要确定化油器销售量预测，究竟是取3合适还是取5合适，可通过计算

这两个预测公式的均方误差MSE,选择MSE较小的那个No

当N=3时12

28X93

MSE=_1_£(y«-yt)----=3210.33

9«=49

当N=5时12

1211143

MSE=E(y«-yi)-,.—1Jzf1I-OQVA

7t>67

计算结果表明：N=5时，MSE较小，故选N=5。

预测下年1月的化油器销售量为448只。

简单移动平均法只适合作近期预测，而且是预测目标的发展趋势变化不大的情况。如果

目标的发展趋势存在其它的变化，系用简单移动平均法就会产生较大的预测偏差和滞后。

二加权移动平均法

在简单移动平均公式中，每期数据在平均中的作用是等同的，但是，每期数据所包含

的信息量并不•样，近期数据包含着更多于未来情况的信息。因此，把各期数据等同看待是

不尽合理的，应考虑各期数据的重要性，对近期数据给予较大的权数，这就是加权平均法的

基本思想。

设时间序列为：yi,y2,....y(....；加权移动平均公式为：

wiy(+w2yt-i+....+wnyt-n+i

M(w-t2N

W1+W2+....+Wn

式中：Mtw为t期加权移动平均数；Wi为yt.i+i的权数，它体现了相应的y在加权平

均数中的重要性。

利用加权移动平均数来作预测,

其预测公式为：

即以第t期加权移动平均数作为第t+1期的预测值。

例：我国1979-1988年原煤产量如图表，试用加权移动平均法预测1989年的产量:

(注：W|=3,W2=2,W3=1)

年份原煤产量三年加权移动平均预相对误差

ty«测值yt(%)

19796.35————

19806.20————

19816.22——

19826.666.246.31

19837.156.449.93

19847.896.8313.43

19858.727.4414.68

19868.948.188.50

19879.288.696.36

19889.809.077.45

解：取wl=3w2=2wl=l预测公式：

A3yt+2yt.i+yt.2

yt+i----------------------------

3+2+1

三年加权移动平均预测值，其结果列于上表中，而1989年的原煤产量预测值为

3x9.80+2x9.28+1x8.94

yi989=------------------------------------------=9.48(亿吨)

6

这个预测值偏低，可以修正，其方法是：先计算各年预测值与实际值的相对误差。例如:

1982年为6.66-6.24

--------------------X100%=6.31%

6.66.

将相对误差列入上表中，再计算总的平均误差：

A

(1-------------)X100%=(1-52.89)X100%

Lyt58.44

=9.50%

由于总预测的平均值比实际值低9.50%,所以将1989年的预测值修正为：

9.48

---------------------=10.48(亿吨)

•1-9.5%)

在加权移动平均法中，Wi的选择，同样具有一定的检验性。

一般原则：近期数据的权数越大，这期数据的权数小。

至于大到什么程度和小到什么程度，完全靠预测者对序列作全面的了解和分析而定。

三趋势移动平均法

前面介绍了的简单移动平均法和加权移动平均法，在时间序列没有明显的趋势变动时,

能准确地反映实际情况。但当时间序列出现直线增加或减少变动趋势时用简单移动平均法和

加权移动平均法来预测就会出现滞后误差。因此，需要进行修正，修正的方法是：作二次移

动平均，利用移动平均滞后误差的规律来建立直线趋势的预测模型。这就是趋势移动平均法。

一次移动平均数为：y,+yp+……+y(.N+I

(,)

Mt=------------------------------------

N

在一次移动平均的基础上，再进行一次移动平均，就是二次移动平均，其计算公式为:

n,<,)

Mt+Mt.i+...+M⑴小+i

(2)

Mt

N

Ml⑴一M⑴i.n

其推出公式：Mg=M⑵E+-----------------

N

下面讨论如何利用移动平均的滞后偏差建立直线趋势预测模型。

设时间序列：｛yj从某时期开始具有直线趋势，且认为未来时期亦按此直线趋势变

化，则可设此直线趋势预测模型为^1T=a<+btTT=l,2,……

其中：t为当前时期数；T为由t至预测期的时期数；6T为t+T期预测值；5为截距;

E为斜率。at,bt又称为平滑指数。

现在，我根据移动平均值来确定讥和b(

由?i+T=5+bT模型可知：

T=0时：at=yt

T=—1时：yt-i=yt-bt

yt-2=yt-2b

T=-N+Iyt-N+i=yt-(N-i)bt

斤以y(+yt-i+....+y(-N+i

(,)

Mt=-------------------

N

yt+(yt-bt)+...[yt-(N—1)bj

N

Nyi-[l+2+……+(N-l)Jb(

N

N-l

因此y-M^=工一b,

2

由yt+T=a(+b(T有：

yw-Mp⑴=^Y~b.(注意b,是常数)

(,)

又yt-yt-i=Mt=E

类似=-b.的推导，可得：

N-l

Mt⑴一⑵=-----b(

2

N-l

于是由j-b,

N-\

M(l)一乂⑵=-----bi

t2

可得％和E的计算公式

〃a(=2Mi⑴-Mi⑵

<b尸:一(Mt⑴一Mi⑵)

、N-\

例：我国1965-1985年的发电总量如表。试预测1986年和1987年的发电总量。

——发电总量

——次移动平均

二次移动平均

表：我国发电总量及•、二次移动平均数计算表单位：亿度

发电总量一次移动平均二次移动平均

年份t

ytMt⑴N=6Mt⑵N=6

19651676

19662825

19673774

19684716

19695940

197061159

197171384

197281524

197391668

1974101688

1975111958

1976122031

1977132234

1978142566

19791528202216.2

19801630062435.8

1981