椭圆高考典型题型

椭圆高考典型题型归纳

题型一.定义及其应用

例1.已知一个动圆与圆。：。+4尸+)，2=100相内切，且过点A(4,0),求这个动圆圆心"的轨迹方程;

例2.方程3—If+()，-1产=卜+血1+2|所表示的曲线是,

练习：

1.方程&X-3)2+)，2+:(X+3)2+)，2=6对应的图形是(

A.直线B,线段C椭圆D.圆

2.方程-3f+V+J。+3f+9=1()对应的图形是()

A.直线B.线段C椭圆D.圆

3.方程+()，+3)2+++(y—3)2=io成立的充要条件是()

A.二十工=1B.£+£=lC,工+£=11，

D.—x~十二y~

25162591625925

4.如昊方程Ji+(y+〃?)2++旧+(y—6)2=6+［表示椭圆,则〃？的取值范围是

5.过椭圆9/+4y2=1的一个焦点F］的直线与椭圆相交于A,3两点,则AB两点与椭圆的另一个焦点F,构成

的5的周长等于：

6.设圜*+1)2+)产=25的圆心为。，41,0)是圆内一定点，Q为圆周.上任意一点，线段AQ的垂直平分线与

CQ的连线交于点M,则点M的轨迹方程为；

题型二.椭圆的方程

(一)由方程研究曲线

22

例1.方程工+工=1的曲线是到定点_________和_________的距离之和等于_________的点的轨迹；

1625

(-)分情况求椭圆的方程

例2.己知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P(3,()),求椭圆的方程；

(三)用待定系数法求方程

例3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点《("［)、7?(-73,-72),求椭圆的方程;

例4.求经过点(2,-3)且与椭圆9£+4y2=36有共同焦点的椭圆方程;

注：一般地，与椭圆二十1二i共焦点的椭圆可设其方程为-J+GJ=I伏＞-从）；

a~b~a-+kb~+k

（四）定义法求轨迹方程；

例5在A4BC中,A,8,C所对的三边分别为a,所c,H,求满足。＞a且仇a,c成等差数

列时顶点A的轨迹；

（五）相关点法求轨迹方程；

2

例6.已知x轴上一定点A（1,O）,。为椭圆工+产=1上任一点，求AQ的中点M的轨迹方程；

4

（六）直接法求轨迹方程；

例7.没动直线/垂直于x轴，且与椭圆炉+2），2=4交于43两点，点P是直线/上满足|抬卜|尸耳=1的点，求

点P的轨迹方程；

（七）列方程组求方程

例8.中心在原点，一焦点为尸（0,同）的椭圆被直线y=3x-2截得的弦的中点的横坐标为;，求此椭圆的方

程；

题型三.焦点三角形问题

Y-、广5

例1.已知椭圆一+乙=1上一点P的纵坐标为一，椭圆的上下两个焦点分别为居、%求百|、|尸名|及

16253

；

COS/F[PF2

例2.

题型四.椭圆的几何性质

v2V25

例1.已知P是椭圆二+==1上的点，的纵坐标为三，片、居分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c,

a2lr3

则|尸/讣户用的最大值与最小值之差为

龙一V

例2.椭圆r+==1（。＞/2＞0）的四个顶点为若四边形A8C。的内切圆恰好过焦点，则椭圆的

ab~

离心率为.

Yy2J

例3.若椭圆——+上-=1的离心率为一，则％=________；

k+\42

22

例4.若尸为椭圆夕+齐=1(。＞力＞0)上一点，6、£为其两个焦点，且NP耳乃=15°,/尸死耳=75°,

则椭圆的离心率为

题型五.求范围

例1.方程二十一^=1表示准线平行于X轴的椭圆，求实数4的取值范围；

nr(w-1)2

题型六.椭圆的第二定义的应用

例1.方程2j(x-l)2+(.y-l)2=1+)，+2|所表示的曲线是

例2.求经过点M(l,2),以)，轴为准线，离心率为;的椭圆的左顶点的轨迹方程；

22

例3.辅圆x一+乙V=1上有一点P,它到左准线的距离等于5巳，那么。到右焦点的距离为

2592

22

例4.已知椭圆?+《=1,能否在此椭圆位于)，轴左侧的部分上找到一点M,使它到左准线的距离为它到

两焦点耳，鸟距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找到，请说明理由。

例5.已知椭圆手+工=1内有一点4(1,1),耳、鸟分别是椭圆的左、右焦点，点p是椭圆上一点.求

5

3

\P^^\PF2\的最小值及对应的点P的坐标.

题型七.求离心率

x2v2

例1.椭圆r+J=l(。＞人＞。)的左焦点为G(-c,0),A(—a,0),8(0,份是两个顶点，如果耳到直线A3的

a~b~

距离为£

则椭圆的离心率e=

例2.若P为椭圆£+==1(。＞人＞0)上一点，巴、F2为其两个焦点，且NP"鸟=。，/尸鸟耳=2。，则

椭圆的离心率为

例3.匕、鸟为椭圆的两个焦点，过尸2的直线交椭圆于P，Q两点，尸片LPQ，且归用则椭圆的离

心率为；

题型八.椭圆参数方程的应用

22

例1.椭圆上+乙二1上的点户到直线x—2y+7=0的距离最大时，点P的坐标

43-------

例2.方程x'sina-y'cosa=l（0＜。＜万）表示焦点在），轴上的椭圆，求a的取值范围；

题型九直线与椭圆的关系

（1）直线与椭圆的位置关系

例1.当〃z为何值时，直线/:y=x+机与椭圆91+]6）/=144用切、相交、相离？

例2.曲线2/+丁2=2/（。＞0）与连结A（-1,1）,3（2,3）的线段没有公共点，求。的取值范围。

例3.过点。（一6，0）作直线/与椭圆3炉+4）户=12相交于AB两点，。为坐标原点，求AOAB面枳的最大值

及此时直线倾斜角的正切值。

分析：若直接用点斜式设/的方程为），-0=2（x+6）,则要求/yA

的斜宓一定要存在，但在这里/的斜率有可能不存在，因此要讨论.P一

斜率不存在的情形，为了避免讨论，我们可以设直线/的方程为J°*

x=w-V3,这样就包含了斜率不存在时的情形了，从而简化

了运算。

解：设《知,）,8（工2，%），/：元=7型一百

5.盘二：|00"）"+；|0户卜旧1=6（及/+及21）=6（、一）,2）

把％=阳-石代入椭圆方程得:3（m2y2-26阳+3）+4/-12=0,即

66m

(3〃/+4)y2-6y[3my-3=0,3

y+为，y)’2=

3tn2+43〃/+4

108m12—J—7144X2+48

22+2

I%f1=(3W+4)3/ZZ+43加2+4

4也〃，十3_475•，3〃『十1_4'•J3M2十146〃？<4V5

3m2+43/772+4(3m2+1)+3」3m?+1+[3-2M

J3m2+1

S<x2=，此时J3m2十1=/3=，…见

2J3〃r+1

令直线的倾角为a,则tana==±迈即AOAB面积的最大值为V3,此时直线倾斜角的正切值为土逅

限22

例4.求直线xcos0+ysin0=2和椭圆/+3)。=6有公共点时，。的取值范围(OW〃W/r)。

(-)弦长问题

例1.已知椭圆Y+2/=12,4是x轴正方向上的一定点，若过点A,斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为

4^^,求点A的坐标。

3

分析：若直线y=Ax+。与圆锥曲线/(x,y)=。相交于两点?(*,y)、Q(x2,y2),

则弦PQ的长度的计算公式为IPQ|=J1+公।用一为1=,1+5I厉-%I，

而|x[-工21=+，2尸_4中2，因此只要把直线y=kx-\-b的方程代入圆锥曲线f(x,y)=0方程，消去y

(或)),结合一元二次方程根与系数的关系即可求出弦长。

解:设4%,0)(x0>0),则直线/的方程为y=x—/，设直线/与椭I员I相交于P(王，,)、。(马，)’2)，由

/=X7A°，可得3/_4玉/+2/2_]2=0,

x~+2y~=12

4x02X(/-12

M+/=寸，M•/=-------，则

8%248=336一24

1%1_121=+占)2一例为2=

3

「・号±=_为I，即出乎二亚彳・小36_2/2

2

x0=4,又玉)>0,/.x0=2,/.A(2,0)；

例2.椭圆of+勿~=1与直线%+)，=1相交于A,B两点,。是AB的中点,

若|AB=2及，。为坐标原点，0C的斜率为N二，求。力的值。

2

例3・椭圆卷+为=1的焦点分别是耳和鸟，过中心。作直线与椭圆交于AB两点，若\ABF.的面积是20,

求直线方程。

(三)弦所在直线方程

例1.已知椭圆工+工=1,过点P(2,0)能否作直线/与椭圆相交所成弦的中点恰好是产；

164

例2.已知一直线与椭圆4Y+9y2=36相交于A8两点，弦4/?的中点坐标为求直线A8的方程;

例3.椭圆E中心在原点。，焦点在x轴上，其离心率e=A，过点C(—1,0)的直线/与椭圆E相交于A8两点,

且C分有向线段通的比为2.

(1)用直线/的斜率/Aw0)表示钻的面积；

(2)当AOAS的面积最大时，求椭圆匕的方程.

解：⑴设椭圆石的方程为£+卓=1,由e=/J]，a2=3b2

故椭圆方程f+3y2=3/；

设4%,州),8(々,必)，由于点。(-1,0)分有向线段通的比为2.

玉十2勺—一

,3Kn用+1=-2区+1)

..，即、

一+2%二03二-2)，2

3

曰1"十"3b消去y整理并化简得(3k2+i)x2+6k2x+3k2-3b2=0

[)，=攵(x+1)

口直线I与椭圆E相交于4(内，%),8(/,%)两点

A=36/-4(3/+1)(3/-2b2)>0

③

6k2

x.+x=---；——

123火2+1

④

3k2-3b2

⑤

II333_

而&38=31乂一%1=51-2%-81=51%1=5伏*2+1)1=51眉1/+11⑥

日①④得：X2+1=一羡J，代入⑥得：S,8=*g(人0).

(2)因S,°A8二旦8-33

MAS3X+13RI+—262

RI

当且仅当攵=±走，SA0八&取得最大值.

*JVZ/1U

T+2Y

此时％+x,=-1,XV——--=-=—1,/.x（=-l,x>=-2；

将%,看及&2=1代入⑤得3b2=5，，椭圆方程X2+3）,2=5.

3

22

例4.已知44），）3（1,%）,。（%,力）是椭圆5+q=1上的三点，尸为椭圆的左焦点，且|AF|,忸耳,|C目成

等差数列，则AC的垂直平分线是否过定点？请证明你的结论。

（四）关于直线对称问题

例1.已知椭圆『+!=1,试确定〃?的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点关于直线），=4x+"z对称;

例2.已知中心在原点，焦点在），轴上，长轴长等于6,离心率e=半，试问是否存在直线/,使/与椭圆交于

不同两点A8,且线段A5恰被直线工=-，平分？若存在，求出直线/倾斜角的取值范围；若不存在，请说明

2

理由。

题型十.最值问题

例1.若尸（-2,逐），工为椭圆三十二二1的右焦点，点M在椭圆上移动，求|明+|"周的最大值和最小值。

分析：欲求|MP|十|M闾的最大值和最小值

可转化为距离差再求。由此想到椭圆第一定义

|幽=2-网,6为椭圆的左焦点。

解：MH+|MK|=|"H+2aTM/m连接尸"，延长尸耳交椭圆于点Mi,延长6P交椭圆于点%由三角形三

边关系知一|尸耳区|明一|班回历|

当且仅当M与历।重合时取右等号、M与M,重合时取左等号。

因为%=10,归周=2,所以（|四+|皿闾）_=所,（|画+|"图）*=8；

结论1：设椭圆二+二=1的左右焦点分别为月，月，2（玉）,凡）为椭圆内一点，M（x,y）为椭圆上任意一点，则

a~b~

\MF\+1"段的最大值为2a+\PF.\最小值为2a-\PF\x

2v2

例2.产（一2,6）,居为椭圆二r十上―=1的右焦点，点M在椭圆上移动，求|M"+|咋|的最大值和最小值。

2516

分析：点尸在椭圆外，PF2交椭圆7M，此点使+周值最小，求最大值方法同例1。

解：|.必耳+|昨|=|网+2〃一|"用，连接班并延长交椭圆于点Mi，

则M在Mi处时•|期一|"用取最大值|P用；

+周最大值是10+折，最小值是如。

X2V2

结论2设椭圆r+==1的左右焦点分别为石，K，p*。,%）为椭圆外一点，M（x,y）为椭圆上任意一点，则

a~b~

|MP|+|咋|的最大值为为十|心|,最小值为"

2.二次函数法

22

例3.求定点43（））到椭圆12=1上的点之间的最短距离。

ab

分析：在椭圆上任取一点，由两点间距离公式表示|PA|,转化为的函数求最小值。

解：设P(x,)，)为椭圆上任意一点，

=(x-«)2+y2=(x-a)2+\-^x2=^(x-2a)2+1-/

由椭圆方程知x的取值范围是［-应,五］

(1)若同V孝，则X=2z时，网面=J-2

(2)若〃＞等厕工=加时忙儿血二,一友|

⑶若公-孝，则附L=,十码

22

结论3：椭圆「十==1上的点M(x,y)到定点A(m,O)或B(O,n)距离的最值问题，可以用两点间距离公式表示

a~b~

IMA|或|MB|,通过动点在椭圆上消去y或x,转化为二次函数求最值，注意自变量的取值范围,

3.三角函数法

2

例4.求椭圆1+y=1上的点M(x,y)到直线/:1+2)，=4的距离的最值；

4~

Em-，卜+2〉一4|x2,,［x=2cos。/、

解：三角换元d=！——・-1-：—+y2=l・••令《

V542［)，=sinO

则八|2•。号诬小二20,尔。，)_之

V5V54

当sin(e+马=1时4.=递］叵；当sin(6+C)=-l时，4皿=拽三亚结论4：若椭圆

454'5

X?y2

I+1=1上的点到非坐标轴上的定点的距离求最值时，可通过椭圆的参数方程，统一变量转化为三角函数求

a-b-

最值。

4.判别式法

例4的解决还可以用下面方法

把直线平移使其与椭圆相切，有两种状态，一种可求最小值，另一种求最大值。

解。令直线加：工+2)，+。=0将工=-2)，一。代入椭圆方程整理得8产+4€7+。2-4=0,由4=0解得「=±2近,

c=-2V2时直线m:x+2y-2x/2=0与椭圆切于点P,

则P到直线/的距离为最小值，且最小值就是两平行直线加与/的距离，

46-2布

所以=—

c=2及时直线〃?：工+2），+2&=0与椭圆切于点Q,则Q到直线1的距离为最大值，且最大值就是两平行直

线m与1的距离，所以4加=4"+2所。

结论5：椭圆上的点到