60　第七章　第55课时　空间向量的运算及其应用

2/22第55课时空间向量的运算及其应用[考试要求]1．了解空间向量的概念，了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．3．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量垂直．4．理解直线的方向向量及平面的法向量．5．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系．6．能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理．知识点1空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共线向量(或平行向量)如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量共面向量平行于同一个平面的向量知识点2空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb．(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb．(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底．知识点3空间向量的数量积及坐标运算(1)两个非零空间向量的数量积①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；②a⊥b⇔a·b＝0；③设a＝(x，y，z)，则|a|2＝a2，|a|＝x2(2)空间向量运算的坐标表示向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)向量和a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)向量差a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数乘λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R数量积a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3共线a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0)垂直a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a≠0，b≠0)夹角公式cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝a1b1+知识点4空间位置关系的向量表示(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，那么称向量a为直线l的方向向量．(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则称向量a为平面α的法向量．(3)空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为u，vl1∥l2u∥v⇔u＝λv(λ∈R)l1⊥l2u⊥v⇔u·v＝0直线l的方向向量为u，平面α的法向量为m，l⊄αl∥αu⊥m⇔u·m＝0l⊥αu∥m⇔u＝λm(λ∈R)平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝λm(λ∈R)α⊥βn⊥m⇔n·m＝0[常用结论]1．三点共线：在平面中A，B，C三点共线⇔OA＝xOB＋yOC(其中x＋y＝1，O为平面内任意一点)⇔AB＝λBC(λ≠0)．2．四点共面：在空间中P，A，B，C四点共面⇔OP＝xOA＋yOB＋zOC(其中x＋y＋z＝1，O为空间中任意一点)．1．(人教A版选择性必修第一册P12例1)如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且MN＝12ON，AP＝34AN，则OP＝______________(用向量OA，OB，14OA＋14OB＋＝OA＋＝OA＝1＝14OA2．(苏教版选择性必修第二册P27习题6.2T9)设x为实数，已知a＝(2，－1，3)，b＝(－4，2，x)，且a⊥b，则x＝______________．

103[因为a⊥b所以a·b＝－8－2＋3x＝0，解得x＝103．3．(北师大版选择性必修第一册P106习题3－2A组T8)如图，已知PA⊥平面ABC，垂足为A，∠ABC＝2π3，PA＝AB＝BC＝6，则|PA＋AB＋BC|12[因为|PA＋AB＋BC|2＝PA2＋AB2＋＝|PA|2＋|AB|2＋|BC|2＋2|AB||BC|·cos〈AB，BC〉＝62＋62＋62＋2×6×6×12所以|PA＋AB＋BC|4．(人教A版选择性必修第一册P7例2改编)如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AB＝4，AD＝3，AA'＝5，∠BAD＝90°，∠BAA'＝∠DAA'＝60°，则AA'·AB＝______________，AC'的长为_______．1085[AA'·AB＝|AA'|·|AB|·cos60°＝5×4×12因为AC'＝所以|AC'|2＝(AB＋AD＋AA')2＝|AB|2＋|AD|2＋|AA'|2＋＝16＋9＋25＋2×0+4×5×所以|AC'|＝85，即AC'的长为85．]5．(人教A版选择性必修第一册P33练习T1改编)已知平面α，β的法向量分别为n1＝(2，3，5)，n2＝(－3，1，－4)，则()A．α∥β B．α⊥βC．α，β相交但不垂直 D．以上均不对C[∵n1≠λn2，且n1·n2＝－23≠0，∴α，β相交但不垂直．]考点一空间向量的线性运算及共线、共面定理[典例1](1)(多选)(2025·庆阳期末)下列说法中正确的是()A．对于空间四个点P，A，B，C，若PC＝14PA＋34B．若{a，b，c}是空间的一个基底，则{b＋c，b－c，a}也是空间的一个基底C．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若OP＝34OA＋18OB＋D．若P，A，B，C为空间四点，且有PA＝λPB＋μPC(PB，PC不共线)，则λ＋μ＝1是A，(2)(2025·广州期末)我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥P-ABCD为阳马，PA⊥平面ABCD，且EC＝2PE，若DE＝xAB＋yAC＋zAP，则x＋y＋z＝()A．1 B．2C．13 D．(1)ABD(2)A[(1)对于选项A，对于空间四个点P，A，B，C，PC＝由共线向量定理可知A，B，C三点共线，故选项A正确；对于选项B，b＋c与b－c不共线，且a不能用b＋c和b－c表示，即b＋c，b－c，a不共面，故选项B正确；对于选项C，由A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若OP＝因为34＋18＋18＝1，由空间向量基本定理的推论可得P，A对于选项D，若P，A，B，C为空间四点，且有PA＝λPB＋μPC(PB，当λ＋μ＝1时，即μ＝1－λ，可得PA－PC＝λ(PB－PC由共线向量定理可得A，B，C三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件，故选项D正确．故选ABD．(2)因为EC＝2PE，所以PE＝所以DE＝AE－＝AP＋13＝23AP＋1＝23＝23又DE＝xAB＋yAC＋zAP，所以x＝1，y＝-23，z＝23通性通法：(1)空间向量的线性运算以向量的加法、减法、数乘运算为主，具体求解过程中要注意结合图形，依据三角形法则、平行四边形法则合理运算．(2)应用共线(面)向量定理证明点共线(面)的方法比较三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面PA＝λPBMP＝xMA＋yMB对空间任一点O，OP＝OA＋对空间任一点O，OP＝OM＋xMA＋对空间任一点O，OP＝xOA＋(1－x)OB对空间任一点O，OP＝xOM＋yOA＋(1－x－y)OB[多维变迁]1．在空间直角坐标系中，已知点A(2，3，5)，B(1，1，2)，C(0，a，b)，若A，B，C三点共线，则a＋b的值为()A．－2 B．－1C．0 D．1A[由点A(2，3，5)，B(1，1，2)，C(0，a，b)，得AB＝(－1，－2，－3)，BC＝(－1，a－1，b－2)，由于A，B，C三点共线，所以AB∥BC，所以a－1＝－2，b－2＝－3，解得a＝－1，b＝－1，故a＋b＝－2．故选A．]2．(2025·淮安期末)若{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且e1＋e2，e2－e3，3e1＋te3共面，则实数t的值是()A．0 B．1C．2 D．3D[因为e1＋e2，e2－e3，3e1＋te3共面，所以存在有序数对(x，y)使得e1＋e2＝x(e2－e3)＋y(3e1＋te3)＝3ye1＋xe2＋(yt－x)e3，所以1故选D．]考点二空间向量的数量积及其应用[典例2]如图所示，已知空间四面体ABCD的每条棱长都为1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点．(1)求EF·(2)求证：EG⊥AB．[解]设AB＝a，AC＝b，AD＝c．(1)由题意得，|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°．EF＝12BD＝12c－所以EF·BA＝12c＝－12a·c＋12a2＝－12×1(2)证明：EG＝AG－12AB＝12(AC所以EG·AB＝12(a·b＋a·c－a2)故EG⊥AB．[母题探究]1．(变结论)在本例条件下，求|EG|．[解]由本例(2)知，EG＝－12a＋12b＋1|EG|2＝14a2＋14b2＋14c2－12a·b＋12b·c－12c·a＝142．(变结论)在本例条件下，求AG与CE夹角的余弦值[解]AG＝12b＋12c，CE＝CA＋AE＝－b＋12a，所以AG·CE＝12b+12c·-b+12a＝－12b2＋14所以cos〈AG，CE〉＝AG·通性通法：空间向量的数量积运算有两条途径，一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算．[多维变迁](多选)(2025·兰州期末)已知空间向量a＝(1，2，3)，a＋2b＝(－3，0，5)，c＝(2，4，m)，且a∥c，则下列说法正确的是()A．|b|＝6 B．m＝6C．(2b＋c)⊥a D．cos〈b，c〉＝－21ABD[设b＝(x，y，z)，因为a＝(1，2，3)，所以a＋2b＝(－3，0，5)＝(1，2，3)＋2(x，y，z)＝(1＋2x，2＋2y，3＋2z)，即1＋2x＝－3，2＋2y＝0，3＋2z＝5，解得b＝(－2，－1，1)，则|b|＝4+1+1＝6，因为a∥c，所以a＝λc，即1解得λ＝1因为2b＋c＝(－2，2，8)，a·(2b＋c)＝－2×1＋2×2＋8×3＝26≠0，所以C错误；cos〈b，c〉＝b·c|b|·|c|＝故选ABD．]考点三向量法证明平行、垂直[典例3](多选)(2025·全国一卷)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为BC的中点，则()A．AD⊥A1C B．B1C1⊥平面AA1DC．AD∥A1B1 D．CC1∥平面AA1DBD[法一：对于A，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，则AA1⊥AD，则A1A·因为△ABC是正三角形，D为BC的中点，所以AD⊥BC，所以DC·AD＝又A1所以A1C·AD＝(A1A则AD⊥A1C不成立，故A错误；对于B，因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，则AA1⊥BC，因为△ABC是正三角形，D为BC中点，则AD⊥BC，又AA1∩AD＝A，AA1，AD⊂平面AA1D，BC⊄平面AA1D，所以BC⊥平面AA1D，又BC∥B1C1，所以B1C1⊥平面AA1D，故B正确；对于C，因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1∥AB，假设AD∥A1B1，则AD∥AB，这与AD∩AB＝A矛盾，所以AD∥A1B1不成立，故C错误；对于D，因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1∥AA1，又AA1⊂平面AA1D，CC1⊄平面AA1D，所以CC1∥平面AA1D，故D正确．故选BD．法二：如图，建立空间直角坐标系，设该正三棱柱的底边为2，高为h，h>0，则D(0，0，0)，A(3，0，0)，A1(3，0，h)，C(0，－1，0)，C1(0，－1，h)，B(0，1，0)，B1(0，1，h)，对于A，AD＝(－3，0，0)，A1C＝(－3，－1，－h则AD·A1C＝(－3)×(－3)＋0＝则AD⊥A1C不成立，故A错误；对于B，D，B1C1＝(0，－2，0)，CC1＝(0，0，h)，AA1＝(0，0，h)，AD＝(－设平面AA1D的法向量为n＝(x，y，z)，则AA1·n＝hz＝0，AD·n＝-3x＝0，得x＝z＝0所以B1C1＝(0，－2，0)＝－2n，CC1则B1C1⊥平面AA1D，CC1∥平面AA1D，故BD正确；对于C，AD＝(－3，0，0)，A1B1＝(－3，1，则-3-3≠01，显然AD∥A1B1不成立，故C通性通法：(1)证明线面平行：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②利用向量平行的条件证明直线的方向向量与平面内一条直线的方向向量是平行向量．注意需要验证直线不在平面内．(2)证明线线垂直：找出两直线的方向向量，再证明两方向向量的数量积为0．(3)证明线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线．【教用·备选题】1．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2AD＝2，M是AB的中点，N是棱AA1上一点．(1)若N是AA1的中点，求证：DB1⊥平面MNC．(2)若BD1∥平面MNC，求AN的长．[解](1)证明：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz．由题意，得B(2，2，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，B1(2，2，2)，D1(0，0，2)，M(2，1，0)，N(2，0，1)．所以DB1＝(2，2，2)，MC＝(－2，1，0)，MN＝(0，－1，1由DB1·MC＝2×(－2)＋2×1＋2×0＝0，DB1·MN＝2×0＋2×(－1)＋2×1＝又MC∩MN＝M，MC，MN⊂平面MNC，所以DB1⊥平面MNC．(2)设AN＝h，则0<h≤2，N(2，0，h)，MN＝(0，－1，h)．设平面MNC的法向量为n＝(x，y，z)，则n·MC＝-2得n＝1，因为BD1＝(－2，－2，2)，且BD1∥平面所以BD1⊥n，即BD1·n＝－2－2解得h＝23，即AN的长为22．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝22AD，设E，F分别为PC，BD的中点．(1)EF∥平面PAD；(2)平面PAB⊥平面PDC．[证明](1)如图，取AD的中点O，连接OP，OF．因为PA＝PD，所以PO⊥AD．又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，所以PO⊥平面ABCD．又O，F分别为AD，BD的中点，所以OF∥AB．又四边形ABCD是正方形，所以OF⊥AD．因为PA＝PD＝22AD，所以PA⊥PD，OP＝OA＝a以O为坐标原点，OA，OF，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则Aa2，0，0，F0，a2，0因为E为PC的中点，所以E-a易知平面PAD的一个法向量为OF＝因为EF＝OF·EF＝且EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD．(2)因为PA＝CD＝(0，－a，0)，所以PA·CD＝a2，0，-a2·所以PA⊥CD，所以PA⊥CD．又PA⊥PD，PD∩CD＝D，PD，CD⊂平面PDC，所以PA⊥平面PDC．又PA⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PDC．1．(链接考点二)(多选)(2025·乐山期末)已知空间向量a＝(－2，1，2)，b＝1，-12A．|a|＝9B．若a⊥b，则m＝5C．若a∥b，则m＝1D．若m＝1，则cos〈a，b〉＝－1BD[∵a＝(－2，1，2)，∴|a|＝4+1+4＝3，A错误；若a⊥b，则a·b＝－2－12＋2m＝0，解得m＝54，若a∥b，则-21＝1-12＝若m＝1，则cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝-2-1故选BD．]2．(链接考点一)(苏教版选择性必修第二册P16习题6.1T5改编)在四面体OABC中，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，若OG＝13OA＋x4OB＋x4OCA．1 B．2C．23 D．A[由题意得，ON＝若G与M，N共线，则存在实数λ，使得OG＝λON＋(1－λ)OM＝λ2(又OG＝所以2(1-λ)3＝3．(链接考点三)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．求证：(1)平面A1B1D⊥平面ABD；(2)平面EGF∥平面ABD．[证明]以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0，0，0)，D(0，2，2)，B1(0，0，4)，E(0，0，3)，F(0，1，4)．设BA＝a，则A(a，0，0)，Ga2，1，4，A1(a，(1)因为BA＝(a，0，0)，BD＝(0，2，2)，B1D＝(0，2，－2)，所以B1D·BA＝0，B1D·BD＝0．所以B1D⊥BA，B1D⊥BD，即B1D⊥BA，B1D⊥BD．又BA∩BD＝B，BA，BD⊂平面因为B1D⊂平面A1B1D，所以平面A1B1D⊥平面ABD．(2)因为EG＝a2，1，1，EF＝(0，1，1)，B1D＝(0，2，－所以B1D⊥EG，B1D⊥EF．因为EG∩EF＝E，EG，EF⊂平面EGF，B1D⊄平面EGF，所以B1D⊥平面EGF．由(1)知，B1D⊥平面ABD，所以平面EGF∥平面ABD．课时作业(五十五)空间向量的运算及其应用一、单项选择题1．(2025·溧阳期末)下面四个结论中正确的是()A．设{a，b，c}是空间的一个基底，则{a－b，b＋c，a＋c}也是空间的一个基底B．若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面C．已知{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底D．已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p，总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zcC[对于A，由向量的加法法则可知，a－b＝－(b＋c)＋(a＋c)，所以{a－b，b＋c，a＋c}不能构成空间的一个基底，故A错误；对于B，三个向量a，b，c中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故B错误；对于C，已知{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，a＋c}可以作为基底，则{a，b，m}也是空间的一个基底，故C正确；对于D，只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p＝xa＋yb＋zc，故D错误．故选C．]2．(2025·大同期末)已知PA＝(2，1，－3)，PB＝(－1，2，3)，PC＝(λ，6，－9)，若P，A，B，C四点共面，则λ＝()A．3 B．－3C．7 D．－7C[因为P，A，B，C四点共面，所以PA，不妨设PC＝xPA＋yPB＝(2x－y，x＋2y，－3x＋3y)＝(λ，6，－9)，所以2解得x＝4，y3．(2026·济南模拟)如图，在四面体A-BCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，点G是线段EF上靠近点E的一个三等分点，令AB＝a，AC＝b，AD＝c，则AG＝()A．13a＋16b＋16c B．16a＋1C．13a－16b＋16c D．16a－1A[连接EC，ED，如图所示，AG＝AE＋EG＝AE＋13EF＝AE＋1故选A．]4．(2025·丽江期末)如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，则点M的坐标为()A．(1，1，1) B．2C．22，22C[设AC，BD交于点O，连接OE，∵正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，∴AM∥OE，又AO∥EM，∴四边形OAME是平行四边形，∴M是EF的中点，∵E(0，0，1)，F(2，2，1∴M22故选C．]5．(2025·合肥月考)设空间两个单位向量OA＝(m，n，0)，OB＝(0，p，n)，OB与向量OC＝(1，1，1)的夹角等于π3，A．14 B．C．－14 D．－D[由题意得OB·OC＝p＋n，|OA|＝m2+n2＝1，|OB|＝p2+n∴p＋n＝1×3×cosπ3∵p2＋n2＝1，∴OA·OB＝np＝(p则向量OA，cos〈OA，OB〉＝OA·OB|OA|·|6．(2025·南通月考)已知三棱柱ABC-A1B1C1中，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，BA⊥CA，AB＝AC＝AA1＝2，M是B1C1的中点，则|AM|＝()A．7 B．22C．10 D．23C[由题意得AM＝AA1＋所以AM2＝AA12＋14所以|AM|＝AM＝A＝A＝2＝10．故选C．]二、多项选择题7．(2025·哈尔滨月考)已知空间向量a＝(2，2，2)，b＝(1，－1，1)，c＝(1，7，1)，则()A．a∥b B．a·b＝2C．|a|＝23 D．a，b，c是共面向量BCD[空间向量a＝(2，2，2)，b＝(1，－1，1)，c＝(1，7，1)，对于A，若a∥b，则存在λ∈R使得a＝λb，即2＝λ，2＝－λ，2＝λ，无解，故A错误；对于B，a·b＝2－2＋2＝2，故B正确；对于C，|a|＝4+4+4＝23，故C正确；对于D，由选项A可知a与b不共线，故若a，b，c是共面向量，则存在λ，μ∈R使得c＝λa＋μb＝λ(2，2，2)＋μ(1，－1，1)＝(2λ＋μ，2λ－μ，2λ＋μ)，即2λ＋μ＝1，2λ－μ＝7，解得λ＝2，μ＝－3，故a，b，c是共面向量，D正确．故选BCD．]8．(2025·资阳期末)如图，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝π2，∠BAA1＝2π3，∠CAA1＝π3，AB＝AC＝1，AA1＝2，点O是B1C与BC1的交点，则下列结论正确的是A．AO＝B．|AO|＝6C．AO⊥BCD．平面ABC⊥平面B1BCC1ABD[对于A，AO＝AB＋BO＝AB＋12(对于B，不妨设AB＝a，AC＝b，AA1＝c，则{a，b，c}则依题意知|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，b·c＝1，a·c＝－1，由选项A可得AO＝12(a＋b＋则|AO|2＝14(a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c)＝32，即|AO|＝62对