湖南省炎德英才名校联考联合体湖南2026年秋季下学期高二年级10月第二次联考数学+答案

时量120分钟。满分150分。一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)CC2.已知命题p:Vx∈R,x²-2x+3>0,则命题p的否定为A.3x∈R,x²-2x+3≤0B.Vx∈R,C.Vx∈R,x²-2x+3<0D.3x∈R,x²-2x+3>0A.BDB.DBC.AC4.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是A₁D₁的中点，则 A.1B.25.如图，四棱锥M-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，MA=2,MA1平面ABCD,N是AB的中点，则异面直线MN与AC所成角的余弦值为CDABCDA6.在空间四边形ABCD中，若向量AB=(-1,4,3),CD=(-5,2,5),点7.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点E在线段PD上，且DE=2EP.若AB=a,AD=b,AP=c,则CE=A.b>a>cB.b>c>aC二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)C.z=-1-2iD.zi的虚部为1D.某校高一年级共有学生1000人，其中男生400人、女生600人.为调查该年级的数学成绩，采用分层随机抽样从男、女生中按相同比例共抽取50人，得到男生样本平均分为120分、女生样本平均分为105分，则估计该校高一年级全体学生数学平均分约为111分 AP=xAB+yAD+zAA₁(x,y,z∈[0A.若y=z=1,则APICDB.若x+y+z=1,则点P轨迹的面积C.若x+y+z=2,则AP的最小值为三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，点M满足CM=3MC₁,平面α经过点B,且AM1平面α.若点N是平面α上一点，且点N在长方体内或其表面上，已知点A(1,2),B(3,1),C(4,m(2)若直线ABIBC,判断直线AC与BD的位置关系，并说明如图，在四棱锥P-ABCD中，PA1平面ABCD,底面ABCD是矩形，是AB,A₁B₁,BC的中点，且AB=3,AC=4,AA₁=2.(2)求直线AC₁与平面A₁B₁F所成角的(3)设直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的内切球球心为O1,三棱柱ADC-A₁EC₁的外接球球心P不在平面BCED上).(i)证明：平面PBC1平面BCED;(ii)求四棱锥P-BCED的体积.(2)翻折过程中，是否存在点P使得平面PBD与平面PCE夹角的余弦值为?若存在，求此时二面角P-DE-B的余弦值；若不存在，请说明理由.对于定义在R上的函数f(x),若存在实数x₀,使得f(f(x₀)=x₀,则称x₀为f(x)的一个二阶不动点；若还满足f(x₀)≠x₀,则称x₀为f(x)的一个真二阶不动点.若f(x)存在真二阶不动点，求实数a的取值范围.题号123456789CACBBBDD2.A【解析】由全称量词命题的否定原则知，命题p的否定为“3x∈R,x²—2x+3≤0”.4.B【解析】以D为原点，分别以DA,DC,DD₁为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所示，故AC·AO=(一2)×(一1)+2×0+0×2=2.第4题图则A(0,0,0),N(1,0,0),M(0,0,2),C(2,2,0),(一1,0,2),第5题图则7.D【解析】由DE=2EP,,由底面ABCD为平行四边形，知DC8.D【解析】由a=22,b=2√2=2²,,y=2²在定9.ABC【解析】因为z=-1+2i,则|z|=√(-1)²+2²=√5,故A正确；复数10.ABD【解析】对于A,10个数据从小到大排列，由10×40%=4,则第40百分位数为5,故A正确；对于C,从1,2,3,4,5中取两数的基本事件有{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{2,3},{2,4},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5},共10个，其中两个数均为偶数的只有{2,4}这一个，故取到的两个数均为偶数的概率为：,故C错误；对于D,按人数比例·,男、女生各抽20,30人，用样本估计总体，则总体平均分约为则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0由于AP=xAB+yAD+zAA₁,错误；[0,1],故点P的轨迹是△A₁BD及其内部，轨迹面积即为△A₁BD的面积，易得△A₁BD是边长为√2的等边三角形因此点P的轨迹面积为,故B正确；这是因为当且仅当时取等号，因此|AP|的最小值为,故C正确；考虑平面ABCD,取z=0,则,故该球与正方形ABCD交于一段圆弧，且该段圆弧与正方形四边的交点在BC,CD上，设交点分别为E,F,如图，同理，与正方形ABB₁A₁、正方形ADD₁A₁都是交于一段长的圆弧，考虑平面A₁B₁C₁D₁,取z=1,则故该球与正方形A₁B₁CD₁的交线是以点A₁为圆为半径的圆弧，长度4因此点P的轨迹与正方体表面交线的长度为,故D错误.则A(0,0,0),M(3,3,3),B(3,0,0),A₁(0,0,4),AM=(3,设N(x,y,z),则0≤x≤3,0≤y≤3,0≤z≤4,则BN=(x—3,y,z),AŇ=(x,y,z),得x+y+z=3,由x≥0,y≥0,得0≤z≤3,x所以d(AN,A₁M=|x-3|+|y-3|+|z+1|=3-x+3-y+z+1=7—(x+y)+zx由0≤z≤3,得d(AN,A₁M∈[4,10].15.【解析】(1)由A(1,2),B(3,1),得,………………2分法一：由B(3,1),C(4,m),得…………………4分法二：由A(1,2),C(4,m),得…………………4分(2)由直线AB⊥BC,知kAB·RBc=-1,…………………解得m=3,即C(4,3).…………………因为kAc=kB,且A,C,B,D不共线(AC与BD是两条不同的直线),则A(0,0,0),B(3,0,0),C(3,4,0),D(0,4,0),P(0,0,4),E(0,2,2),………………2分PB=(3,0,—4),PE=(0,2,—2),3分所以点E到直线PB的距………7分(2)因为AD//BC,且BCC平面BCE,ADC平面BCE,故AD//平面BCE,所以直线AD到平面BCE的距离等于点A到平面BCE的距离.…………………9分设平面BCE的法向量n=(x,y,z),则取x=2,得n=(2,0,3),……………………12所以点A到平面BCE的距离即直线CD到平面BCE的距离…………15分所以PB=BD=5,PD=4√2,……………设点E到直线PB的距离为d,……………7分(2)取PA的中点F,连接EF,BF,即平面BCE就是平面BCEF,且BCC平面BCEF,ADC平面BCEF,故AD//平面BCEF,所以直线AD到平面BCE的距离等于点A到平面BCEF的距离.……9分由PA⊥BC,AB⊥BC,知BC⊥平面PAB,又A又BC∩BF=B,所以AH⊥平面BCEF,即AH就是点A到平面BCEF的距离，……………11分分即直线AD到平面BCE的距离为.…………15分C(0,4,0),A₁(0,0,2),B₁(3,0,2),C(0,4,2),,……………………2分B₁易知平面AA₁CC的法向量可取n₁=(1,0,0),设平面DEF的法向量n₂=(a,b,c),易知b=0,c=0,取a=1知平面DEF的一个法向量为n₂=(1,0,0),4分所以n₁//n₂,又点丈平面AA₁C₁C,所以平面DEF//平面AA₁C₁C.………………5分设平面A₁B₁F的法向量m=(x,y,z),则设直线AC与平面A₁B₁F所成的角为θ,即直线AC₁与平面A₁B₁F所成角的正弦值为……………10分(3)直三棱柱ABC-A₁B₁C底面△ABC是直角三角形，直角边AB=3,AC=4,斜边BC=5,其内切圆半径r=,又棱柱高AA₁=2,半高为1,恰等于内切圆半径，故内切球存在且半径r=1,则点O₁的坐标为易知三棱柱ADC-A₁EC₁是直三棱柱，且底面△ADC是直角三角形，则其外接球球心是CE的中点，则点O₂的坐标为………………………14分.…………15分又DFC平面AA₁C₁C,ACC平面AA₁C₁C又DF∩DE=D,所以平面DEF//平面AA₁C₁C.5分(2)取AC的中点M,连接A₁M交AC₁于点N,过点A作AH⊥A₁M交A₁M于点H,由F,M分别为BC,AC的中点，得FM//AB//A₁B₁,即点M在平面A₁B₁F上，点N是直线AC与平面A₁B₁F的交点，即∠ANH为直线AC₁与平面A₁B₁F所成的角，即直线AC₁与平面A₁B₁F所成角的正弦值为……………10分(3)直三棱柱ABC-A₁B₁C底面△ABC是直角三角形，直角边AB=3,AC=4,斜边BC=5,其内切圆半径r=,又棱柱高AA₁=2,半高为1,恰等于内切圆半径，故内切球存在且半径r=1.……12分易知三棱柱ADC-A₁EC₁是直三棱柱，且底面△ADC是直角三角形，其直角边,AC=4,直角三角形的外所以O,O₂两点高度相同，过O,O₂且平行于底面的平面截三棱柱ABC-A₁B₁C₁所得截面如图，15分……………15分高二数学一(A卷)参考答案(26秋L)-618.【解析】法一：取DE的中点O,BC的中点F,因,所以DE//BC,故在等腰直角三角形ABC中，A,O,F三点共线，且AF⊥BC,AO⊥DE.所以在四棱锥P-BCED中，PO⊥DE,OF⊥DE,故∠POF为二面角P-DE-B的平面角，以O为原点，OD,OF分别为x,y轴，过点O垂直平面BCED的直线为z轴建立空间直角坐标则O(0,0,0),D(2,0,0),B(3,1,0),E(-2,0,0),C(-3,1,0)2分(1)(i)因为二面角P-DE-B等于60°,所以∠POF=60°,P(0,1,√3)3分因为点P,B,C三点的y坐标均为1,故平面PBC的一个法向量为m₁=(0,1,0)4分又平面BCED的一个法向量为m₂=(0,0,1)5分(ii)因为P(0,1,√3),所以四棱锥P-BCED的高为√37分所以四棱锥P-BCED的体积……9分(2)设二面角P-DE-B的平面角∠POF=α,a∈(0,π),则点P的坐标为(0,2cosa,2sinα),又D(2,0,0),B(3,1,0),E(-2,0,0),C(—3,1,0),则CE=(1,—1,0),BD=(一1,—1,0),EP=(2,2cosa,2sina),DP=(-2,2cosa,2sina)10分设平面PCE的法向量为n₁=(x₁,y₁,z1),则设平面PBD的法向量为n₂=(x₂,y₂,z2),则设平面PBD与平面PCE的夹角为φ,则解得cosα=0,所以存在点P使得平面PBD与平面PCE夹角的余弦值为,此时二面角P-DE-B的余弦值为0…………17分法二：(1)(i)取DE的中点O,BC的中点F,故在等腰直角三角形ABC中，A,O,F三点共线，且AF⊥BC,AO⊥DE.所以在四棱锥P-BCED中，PO⊥DE,OF⊥DE,故∠POF为二面角P-DE-B的平面角，所以∠POF=60°, 所以四棱锥P-BCED的体积.……9分解得x=0或x=±1.…………………2分所以f(x)的所有二阶不动点为0,1,—1,