高中数学必修第三册正切函数图象与性质教学设计

高中数学必修第三册正切函数图象与性质教学设计一教学背景与课标定位本节内容位于人教B版必修第三册第七章三角函数的第七节第三课时，是学生在系统学习正弦函数、余弦函数图象与性质之后，对三角函数家族中最后一种基本初等函数的深度探究。课标对本节的要求为“能借助单位圆中的三角函数线画出正切函数的图象，借助图象理解正切函数在区间上的性质”，这一要求既强调了数形结合思想的延续应用，又明确了正切函数与正余弦函数在性质上的本质差异。正切函数的学习具有承上启下的功能。承上，它是三角函数线、诱导公式、同角三角函数关系的综合应用；启下，正切函数的渐近线思想、周期性中的区别性特征，为学生后续学习正切型函数y=Atan(ωx+φ)及三角函数模型应用奠定基础。从知识结构看，学生已经掌握了正余弦函数“作图三步法”——列表、描点、连线，也经历了从单位圆到函数图象的完整抽象过程，但正切函数的间断性、无最值性、对称中心与对称轴的不对称性，都将对学生的认知产生强烈冲击。本节课的认知起点是学生已有的正切线知识。在第一章三角函数中，学生已经学会在单位圆中作出角α的正切线，但多数学生对于“正切线是一条有向线段”这一抽象事实停留在机械记忆层面，尚未意识到正切线随角的变化而呈现的连续运动过程。因此，本课的首要任务不是直接给图象，而是激活正切线这一认知原点，让学生经历“看线动—想趋势—得形状”的思维链条。二学情分析与教学对策授课对象为普通高中一年级学生，数学基础中等偏上。学生的有利条件是：已经熟练掌握了正弦函数、余弦函数图象的五点作图法，理解了周期函数的概念，具备从函数解析式出发研究定义域、值域、奇偶性、单调性的基本经验。学生的困难集中在三个方面。第一，定义域的障碍。正切函数y=tanx的定义域为{x|x≠π/2+kπ,k∈Z}，这是学生第一次遇到“函数定义域不包含某些孤立点”的情形。多数学生能记住结论，但不能理解为什么这些点必须去掉，更不能在作图时自觉处理图象的间断。教学对策是充分发挥正切线的直观作用：当角的终边落在y轴上时，正切线与x轴平行，没有交点，此时正切值不存在，正切函数在这些点处无定义。第二，渐近线的理解障碍。正切函数图象在x=π/2+kπ两侧无限靠近直线x=π/2+kπ，但永远不相交。学生容易把渐近线误认为图象的一部分，也容易在画图时将两支图象“搭桥”连起来。教学对策是通过几何画板动态演示，让学生亲眼看到当角从左侧趋近π/2时，正切线长度无限增加；当角从右侧趋近π/2时，正切线反向无限延伸。这种视觉经验可以帮助学生建立“无限接近但不相交”的动态观念。第三，周期性中的特殊性。正切函数的最小正周期为π，这比正余弦函数的2π更小。学生容易受思维定势影响，习惯性地从正弦函数的周期性去类推正切函数。事实上，正切函数在每个开区间内单调递增，但在整个定义域内并非单调函数，这一点需要特别强调。教学对策是设计对照表格，将三类三角函数的图象特征进行横向比较。三教学目标与重难点确定依据课标要求和学情诊断，本课教学目标设定为以下四个层面。知识层面，学生能准确说出正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调区间，能正确画出正切函数在一个周期内的图象并扩展至两个完整周期。方法层面，学生能独立运用单位圆中的正切线画函数图象，体会“以线作形、以形识性”的研究路径，理解从特殊到一般、从局部到整体的数学思想。能力层面，学生能借助函数图象解决简单的比较大小、判断符号、求定义域等问题，能区分正切函数与正余弦函数在图象性质上的本质差异。情感层面，通过正切函数图象的“断”与“连”、“散”与“聚”，让学生感受数学图形的对称美和奇异美，激发探索未知函数的兴趣。教学重点确定为正切函数图象的作法及性质归纳。理由是本课的核心知识目标就是让学生掌握正切函数的图象特征和性质结论，这既是课标的基本要求，也是后续应用的基础。教学难点确定为用正切线画函数图象的过程中，如何理解渐近线的形成以及如何处理图象的间断性。突破难点的策略是分步实施：先画单个周期内的图象，再通过周期性平移扩展；在作图过程中，教师先用几何画板演示正切线的动态变化，再让学生在学案上完成关键点的描摹，最后抽象出渐近线。四教学流程设计第一环节温故启新，制造认知冲突上课伊始，教师在黑板左侧画出正弦函数在一个周期内的简图，右侧留出空白。教师提问：“我们已经研究了正弦函数、余弦函数的图象和性质，现在请同学们回顾一下，我们研究一个函数通常从哪些角度入手？”学生回答定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、对称性等。教师进一步追问：“研究过程中，第一步是什么？”学生回答画图象。教师随即抛出问题：“给出一个函数y=tanx，你能否根据已有经验，先判断这个函数的定义域？”学生陷入思考。有学生尝试用tanx=sinx/cosx来判断，得出cosx≠0，即x≠π/2+kπ。教师表示肯定，并追问：“那么，这个函数在x=π/2附近到底呈现出什么样的变化趋势呢？函数图象在这些点附近是断开的还是连续的？”学生众说纷纭。教师不急于给出结论，而是说：“今天我们就像研究正弦函数那样，从正切线出发，亲自动手画一画正切函数的图象。”这一环节的设计意图在于唤醒学生已有的“割线法”作图和“三角函数线”知识，同时通过定义域的问题设置悬念，激发学生的探究欲望。时间控制在8分钟以内。第二环节动态演示，感知图象生成教师在黑板或投影上展示单位圆，并标记出角α的终边与x轴正半轴的夹角。教师先回顾正切线的作法：过点A(1,0)作x轴的垂线，与角的终边（或终边的反向延长线）交于点T，则线段AT的长度即为tanα的绝对值，方向由点A指向点T。接下来，教师利用几何画板演示：让角α在区间(0,π/2)内逐渐增大，观察正切线AT的长度变化。学生发现：当α接近0时，AT很短；当α增大时，AT逐渐变长；当α接近π/2时，AT变得很长，图形上的点T快速向上移动，几乎“冲”出屏幕。教师此时放慢演示速度，让学生聚焦观察：当α=π/3时，AT长度约为1.73个单位；当α=π/4时，AT长度恰好为1；当α=π/6时，AT长度约为0.58个单位。这些数值帮助学生建立对正切函数取值的直观感知。然后教师将角的终边从第二象限开始，让角α从π/2+δ（δ很小）处开始向π方向转动。此时正切线的方向指向下方，且长度从很大的负值逐渐趋近于0。教师演示完毕后，学生在学案上完成一个具体任务：在给定的单位圆中，作出角α分别为0、π/6、π/4、π/3、2π/3、3π/4、5π/6、π时的正切线，并量出其长度。教师最后总结：“从刚才的演示可以看到，正切线在角趋近π/2的过程中，长度无限增大，但方向发生变化。这意味着函数y=tanx的图象在x=π/2处出现了‘断裂’。数学上，我们把这种‘无限接近但永不相交’的直线称为渐近线。”此环节是突破难点的核心，约需10分钟。第三环节动手作图，建立图象全貌学生在学案上完成作图任务。教师给出作图步骤：第一步，建立直角坐标系，在x轴上标出原点O和单位长度点A(1,0)。在y轴右侧画出单位圆，并作出角α的正切线。第二步，将单位圆中的角α和所对应的正切线平移到直角坐标系中，以(α,tanα)为点的坐标，描出一系列点。第三步，用平滑曲线将同一区间内的点连接起来，注意曲线在x=±π/2处断开，并趋向于渐近线。第四步，先画出区间(0,π/2)内的图象，观察其单调递增且无上界无下界的特点。第五步，利用正切函数为奇函数的性质，画出区间(π/2,0)内的图象。第六步，在一个完整周期(π/2,π/2)内得到图象后，利用周期为π的性质，将图象向左向右平移，得到整个定义域上的图象。学生在作图时，教师巡视指导。发现典型问题及时展示。常见的问题有三种：一是学生将正切线的长度直接当作y值，忽略了符号；二是学生在图象接近渐近线时画得不够陡峭，丧失了“无限趋近”的特征；三是学生将相邻两个周期间的图象错误地连接起来。教师选取一名学生的典型作品和一名优秀作品进行对比展示，让全班同学共同鉴别和修正。教师强调三个要点：第一，正切函数在每一个开区间内单调递增，但图象被渐近线隔开，不是一个连续的整体；第二，图象关于原点对称，即函数是奇函数；第三，渐近线方程为x=π/2+kπ(k∈Z)，图象不能穿过这些直线。此环节是本节课的核心操作部分，约需12分钟。学生通过亲手作图，在操作中内化渐近线、间断点等抽象概念，这比教师单向讲授效果更好。第四环节性质归纳，形成知识结构教师引导学生从图象出发，系统归纳正切函数的性质，并填写学案上的表格。表格内容包含定义域、值域、周期性、奇偶性、单调区间、对称中心、渐近线方程七个方面。定义域方面，学生能直接从图象看出图象在x=π/2+kπ处断开，因此定义域为{x|x≠π/2+kπ,k∈Z}。值域方面，图象在每条渐近线两侧分别向上向下无限延伸，因此值域为R。周期性方面，图象每隔π个单位重复出现一次，因此最小正周期为π。奇偶性方面，图象关于原点对称，且tan(x)=tanx，因此函数为奇函数。单调性方面，图象在每个开区间(π/2+kπ,π/2+kπ)(k∈Z)内从左向右上升，因此正切函数在每一个开区间内单调递增。教师特别强调：“注意，我们不能说正切函数在定义域内是增函数，因为整个定义域并不是一个连续的区间。例如，tan(π/4)=1，tan(π/2)无定义，tan(3π/4)=1，显然不能比较单调性。”对称性方面，图象的对称中心为(kπ/2,0)(k∈Z)。教师提问：“为什么这些点都是对称中心？”学生观察后回答，图象绕这些点旋转180度后能与自身重合，包括渐近线的交点也构成对称中心。教师补充：“对称中心分为两类，一类是图象上的点，如(0,0)、(π,0)；另一类不是图象上的点，如(π/2,0)。这与正弦函数的对称轴和对称中心有所不同。”此时教师组织学生完成三个即时练习。练习一：比较tan1、tan2、tan3的大小关系。学生需要先将1、2、3转化为弧度制，判断它们分别位于哪个开区间内。1≈57.3°在(0,π/2)内，2≈114.6°在(π/2,π)内，3≈171.9°在(π/2,π)内。因为2和3都在(π/2,π)内，且正切函数在该区间内单调递增，又因为2<3，所以tan2<tan3<0。而tan1>0，因此tan1最大。教师追问：“如果不用单调性，你能根据正切线的几何意义直接判断吗？”学生思考后，有学生回答，在单位圆中，角1的终边在第一象限，正切线方向向上；角2和角3的终边在第二象限，正切线方向向下。这个回答体现了学生对正切线符号的深入理解。练习二：求函数y=tan(2x+π/4)的定义域。学生需要将2x+π/4视为一个整体，令2x+π/4≠π/2+kπ，解得x≠π/8+kπ/2(k∈Z)。这道练习帮助学生实现从基本函数到复合函数的迁移。练习三：判断函数y=tanx在区间(0,π/2)内是否有最大值和最小值。学生回答，该区间内函数值从0增大至正无穷，没有最大值，但有下确界0但取不到。教师纠正：“严格来说，该函数在(0,π/2)内没有最小值，因为0是一个极限值但不在函数值内。我们只能说函数值能够无限接近0但始终大于0。”这一辨析加深了学生对函数值域的理解。此环节约需12分钟，通过“图象观察—结论归纳—即时练习”的闭环，确保知识当堂落实。第五环节对照辨析，深化概念理解教师展示一个三行四列的对照表格，将正弦函数、余弦函数、正切函数在五个维度上的性质进行横向比较。表格第一行是函数名称与图象轮廓，第二行是定义域，第三行是值域，第四行是最小正周期，第五行是单调区间。学生对照表格，很快发现：正切函数的值域是实数集R，而正弦余弦函数的值域是[1,1]；正切函数的最小正周期为π，而正弦余弦函数的最小正周期为2π；正切函数没有对称轴，而正弦余弦函数都有对称轴。这些差异是本课最核心的认知收获。教师针对周期差异提出一个问题：“为什么正切函数的周期是π而不是2π？”学生思考后，有学生从定义出发回答：tan(x+π)=tanx对定义域内的任意x都成立，因此π是正切函数的一个周期；又因为不存在小于π的正数T使得tan(x+T)=tanx恒成立，所以最小正周期为π。教师进一步用图象解释：在区间(0,π/2)内的图象与在区间(π,3π/2)内的图象完全一致，而区间(0,π/2)与(π,3π/2)相差π个单位长度。此环节约需8分钟，表格的使用帮助学生建立系统化的知识网络，避免三类函数性质的混淆。第六环节课堂小结与作业布置教师请三名学生分别从知识、方法、思想三个层面进行小结。知识层面，正切函数的定义域排除π/2+kπ，值域为全体实数，周期为π，为奇函数，在每个开区间上单调递增，对称中心为(kπ/2,0)。方法层面，我们利用正切线动态生成函数图象，这称为“三角函数线作图法”，与之前学习的“五点作图法”不同，更有助于理解函数的变化趋势。思想层面，我们运用了数形结合、转化与化归、从特殊到一般的数学思想。作业分三层布置。基础题：教材习题第1、2、3题，巩固定义域和基本性质。