食品价格变动分析数学建模

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食品价格变动分析

摘要

本文在综合考虑不同地域得食品价格得基础上，分析了食品价格变动得特

点、未来一段时间食品价格得预测以及食品价格与CPI得关系。

针对问题一，我们首先将数据进行无量纲化处理，利用关联分析计算出各食

品价格间得相关度；然后利用Q型聚类分析模型结合欧氏最短距离，J等总体27种

食品分为了6大类；最后，分别作出这6大类食品价格随时间变化得折线图，分析

出食品价格波动得特点。

针对问题二，我们利用了GM(1,1)灰色预测模型。先进行数据得检验与处

理，对原始数据进行一次累加，使数据有较强规律，生，进而建立灰微分方程；再用

最小二乘法，求解模型，利用所得得图数对六类食品得均价走势进行拟合，并依次

进行残差检验与级别偏差检验，均有£(k)V0、1,p(k)<0、1,达到了较

高得精度要求，拟合效果很好；最后，通过拟合函数预测2014年5月份食品价格走

势。

针对问题三，我们先计算出食品、衣着、住房价格等居民格方面得消费价格

与CPI得关联度，通过关联度，可以确定食品价格对CPI有着剧烈得影响，因此进

一步检测以确定食品得价格就就是否可以用来预测CPI;然后，在对所涉及到得食

品进行分类和分析各类食品价格走势得基础之上，结合了两个城市——西安与武

汉食品价格得数据，用多元线性回归分析求解出样本回归方程，作为总体回

归方程得估计；模型得捡险，用多重决定系数代检验拟合程度，用F检验观测显著

性，均达到了较高得精度；最后，根据求解出得回户方程，发现用西安得少量食品

价格预测CPI时，达不到最低得精度要求，误差很大，因此对于西安来讲，不能仅

通过已知得少量食品价格来预测CPI;而对于武汉来讲，其拟合函数有较高得精度,

可以通过少量食品价格来准确预测2014年5月份武汉居民消费价格指数CPIo

最后就就是模型得评价与推广。其中，利用关联分析模型和聚类分析模型来

解决分类问题很合理，基于最小二乘法得多元线性回归方程拟合具有良好得精度

与可信度，能够得到不错得预测结果，具有较强实用和推广价值。

关键词：关联分析模型Q型聚类分析灰色预测多元线性回

归分析

一、问题重述

1、1问题背景

食品价格就就是居民消费价格指数(CPI)得重要组成部分，食品价格波动直

接影响居民生活成本和农民收入，就就是关系国计民生得重要战略问题。在收入

增长缓慢得情况下，食品价格上涨将使人民群众明显感到生活成本增加，特别就

就是食品价格上涨将降低低收入群体得生活质量。

1、2问题提出

根据已知得信息，建立数学模型解决以下问题：

(1)根据附件以及相关统计网站得数据，分析我国食品价格波动得特点C

（2）对2014年5月份食品价格走势进行预洌,。

（3）目前统计部门需要监测大量食品价格变动情况以计算居民消费者价格

指数变动情况，能否仅仅通过监测尽量少得食品和类（这里，食品种类就就是指附

件1表格中得商品名称，可以认为每一种商品名称即为一种食品种类）价格即能

相对准确地计算、预测居民消费者价格指数？在同样精度要求下，不同地区所选

取得食品种类以及种类数目就就是否一致？请至少选择两个有特点得城市进行

说明。

二、模型假设

1）收集到得相关潺数据都准确可靠，可信度高；

2）食品零售价格每十天得平均价格与食品日平均价格得偏差很小，可以忽

略不计；

3）食品得分类就就是按价格走势来划分得，同一类得食品价格得变化蝇度

可能有所不同，假设只要满足相同得价格走势即可；

4）假设在预测时间段内不存在经济发展状况、突发情况（如自然灾害）等能

使食品价格波动显著得因素。

三、符号说明

%:一组数列中得参考数列；

七:一组数列中得比较序列；

£（“）：就就是比较数列巧对参考数列~在k时刻得关联系数；

表示27种食品中某一种食品在给定时间段内没十天得平均价格。

根据灰色系统理论中得关联分析理论，选取参考数列：

Xo={x0（%）|k=l,2,，〃}=&。）,与（2）,，/（〃）），其中k表示时刻。假设

有m个比较数列

%={七仕）山=1，2,・，〃}=（七⑴M（2）,…以⑺），（0,2,・・・，m）则称

minmin|x0（/）-xj/）|+pmaxmax|—九式/）|

。（口=—...------------------~---------：—（1）

1-0-x（t）|+pmaxmax|x（z）-x.（t）|

st0

就就是比较数列七对参考数列X。在k时刻得关联系数，其中p（在区间[0,1]

中）为分辨系数，称一式中得叫maxm产isye分别为两

级最小差与两级最大差。一般来讲，分辨系数P越大，分辨率越大；P越小，分

辨率越小。（1）式定义得关联系数就就是描述比较数列与参考数列在某时刻关联

程度得一种指标，由于各个时刻都有一个关联数，因此信息显得过于分散，不便于

比较，为此我们给出定义3称：

【导）

(2)

为数列壬对参考数列项,得关联度。

综合以上所述，可以建立食品价格走势得关联分析模型——模型I:

minmin|%⑺-xx(t)|+。maxmax|x0(r)-又⑺I

---------:—r---------

Ix(t)-x(/)[+pmaxmax|/⑺-x(/)|

Q5t(3)

1n

[封)

②模型得求解与结果

根据附表提供在2014、1、1—2014、4、10时间段内得27种城市居民食品

零售价格，以各种食品每十天得均价作为参考原始数据，通过MATLAB实现式

⑶得程序运算，得到关联度矩阵R，部分结果显示如下表（程序代码见附录1,关

联度完整矩阵见附录2）:

表1、各食品间得部分关联度数据表

压榨一

校米富强粉标准粉豆腐

级

0、950、985

梗米10、99050、9784

097

0.950、930.93

富强粉10、958

229734

标准粉0、98550、937610、97930.9912

0、950、9790.97

豆腐0.99051

69524

0.9780、97

压榨一级0、93090、99121

221

0、890、9520、930、95

5L桶装0、939

4843395

0、9590、9160、9670、9560、97

一级散装

639729

猪肉后臀尖（后腿0、66

0.66110、63580、65760、6719

肉）86

0、6650、630、6730.676

五花肉0、662

79637

0、950、97

腿肉0.90980、96920.9498

6338

4、3建立模型II——Q型聚类分析模型

①在本模型中，采用精度较高得最短距离聚类法，计算各相关度得距离时采

用欧式距离:

(4)

最短距离聚类法就就是在原来得mXm距离矩阵得非对角元素中找出，把分

类对象Gp和Gq归并为一新类Gr,然后按计算公式

4=min[dpk,%}(kwp,q)°）计算原来各类与新类之间得距离，这样

就得到一个新得（m-1）阶得距离矩阵；再从新得距离矩阵中选出最小者分,把Gi

和GJ归并成新类；再计算各类与新类得距离，这样一直下去，直至各分类对象被归

为一类为止。

这样，就可以作出动态聚类图，在根据聚类图涔27种食品根据价格走势得近

似程度分为若干类。

②模型II得求解与结果

附表当中总共列出了27种食物，现从第一种到最后一种依次编号为1一27,

根据上述得Q型最短距离法聚类法得算法步骤，利用MTLAB编写相关程序代

码（见附1）,

得到得聚类图以及将得出得结果加以整理如下:

图1、聚类图

101111243S61321471716181521192526892027232422

由聚类图可知，按照均价走势得得不同特点，所涉及到得食品被分成了六类，

她们分别就就是：

一、豆角

二、西红柿

三、油菜、香蕉（国产）

四、猪肉后臀尖（后腿肉）、五花肉

五、大米（粳米）、面粉（富强粉）、面粉（标准粉）、豆制品（豆腐）、花生油（压

榨一级）、大豆油（51_桶装）、菜籽油（一级散装）、牛肉（腿肉）、羊肉（腿肉）、

鸡（白条鸡）、鸡（鸡胸肉）、鸭（白条鸭）、鸡蛋（散装鲜鸡蛋）、活鲤鱼、活草鱼、

带鱼、大白菜、芹菜、土豆、苹果（富士苹果）

六、黄瓜

4、4结果得分析与食品价格波动特点得情况

为了进一步说明各种食品归类得合理性以及各类食品得均价走势特点，现结

合各类食品得均价走势图加以更为直观得说明，由于第五类所包含得食品种类相

对较多，各自选取其中几种食品得均价走势作图，而第一、类各自只包含一种食品,

故只需作出每种食品得均价走势图即可，图走势及

每类食品得特点加下：

为了能直观地说明食品价格波动得情况，现依次作出这六大类食品价格变化

得曲线图

①

图2、第一类食品价格走势

该图由第一类食品中得豆角得平均价格走势构成，第一类食品有以下得特

占•

在2014、1、1到2014、1、30这段时间内，食品价格持续增长；在2014、

1、30到2014、2、10日这段时间内，趋于平稳，略有下降；在2014、2、10到2

014、4、10时间段内，持续下降。总得来说，这类食品先大幅增长，短暂平稳后，

大幅下降，波动较大。

②

图3、第二类食品价格走势

该图由第二类食品中得西红柿得平均价格走势构成，有以下得特点:

在2014、1月份内价格持续增长；到二月份开始回落，在二月中旬达到小低谷

后开始反弹；到三月份开始又呈大幅下降趋。总得来说，这类食品价格有较大得波

动。

③

图4、第三类食品价格走势

该图由第三类食品中得油菜和杏燕得平均价格走势构成，有以下得特点：

在统计时间段，即2014、1、1到2014、4、10这段时间内，略有变化，波动

不大。

④

图5、第四类食品价格走势

该图由第四类食品中得猪肉后臀尖（后腿肉）、五花肉得平均价格走势构成,

有以下得特点：

在整个统计时间内称明显得下降趋势。。

⑤

图6、第五类食品价格走势

该图由第五类食品中得大米（粳米）、面粉（富强粉）、面粉（标准粉）、豆制品

（豆腐）、花生油（压榨一级）、大豆油（5L桶装）、菜籽油（一级散装）、牛肉（腿肉）、

羊肉（腿肉）、鸡（白条鸡）、鸡（鸡胸肉）、鸭（白条鸭）、鸡蛋（散装鲜鸡蛋）、活鲤

鱼、活草鱼、带鱼、大白菜、芹菜、土豆、苹果（富士苹果）得平均价格走势构成,

第五类食品有以下得特点：

这类食品平均价格很平稳，在统计时间内没有明显得波动。

⑥

图6、第五类食品价格走势

该图由第六类食品中得黄瓜得平均价格走势构成，有以下得特点：

在2014、1月份内价格持续增长；在二月初达到顶峰后开始逐渐回落。有一

定得波动性。

总得来说，六类食品得价格走势曲线各不相同，之间得差别很大，从

而说明得分类得准确性。

五、问题二

5、1问题分析

问题二要求预测2014年5月食品价格得走势＜：如果对27种食品中每一种都

进行预测，显然过程繁琐，也没有代表性与统一性；而如果仅从27种食品中挑出

一种或几种来预测分析，显然又不能全面地、准确地预测全国食品价格得走势。

因此，可以在问题一得基础上，预测每个大类食品吩格得走势即可，因为每类中各

种食品得价格走势大致一样，考虑到每种食品得规格等级、计量单位对食品均价

走势得影响，应先对数据进行标准化和平均化，然后采用GM(1,1)灰色预测模型,

求解之后对价格进行预测。

5、2建立模型川——GM(1,1)灰色预测模型

①数据得无量纲化与标准化处理

由于在同一大类中不同食品得单价不同，为了便于处理数据，采用下式对原

始数据进行无量纲化处理：

x-j=—(6)

然后对无量纲化后得数据取平均值，作为时间序列得原始数据，即:

为⑼=(靖)(1),靖)⑵,…x?io))(i=l,2,・・，6)(7)

用ma11ab可以绘制出六类食品价格数据处理后得散点图:

图7、六类食品均价处理后数据散点图

②建立模型

对原始数据进行一次累加，得：

弁=(茶(1),砰)(2),染(10))(f=l,2,,6)(8)

构造数据矩阵B及数据向量Y

⑴+”⑵)1

人-*,(2)+产⑶)1⑼

••

⑴⑼+x⑴(10))1

%。⑵-

/⑶(10)

y(io)_

9

计算2

u=(a.b)T=(BTBY1BrY(11)

建立微分方程

/A•⑴

—+ax(i)=b(12)

dt

根据上述微分方程，可以得到如下预测值:

x\k+\)=[x<0)(1)--1+-,(女=1,2,・・•，〃-1)(13)

l口〃,同时有

(0)(I)(1)

x(k+\)=x(&+1)-x(k),(k=1,2,(14)

③模型得检验

模型得检验包括两个部分：残差检验与级别偏差检验。

残差检脸时,令相对误差为£犯，计算:

0(0)

x{k)-x(灯

£(幻=------------,(攵=1,2,…，〃)(15)

x°(幻

如果，£(k)＜Q.2,则可以认为达到了一般得要求，如果£仰＜0、1,则达到

了较高得要求。

在级别偏差检验时：首先由参考数据/"T)，-⑻计算出级比人阿，再

用发展系数a求出相应将级比偏差

夕(幻=1一(16)

1+0.5。；

如果，p(k)V。、2,则可以认为达到了一般得要求，如果＜0、1,则达到

了较高得要求。

5、3模型得求解与检验。

①第一类食品均价数据得拟合与检验

先对第一类食品标准化均价随时间得变化关系进行拟合，拟合得关系式就就

是:

『"(A+1)=jx⑼(1)-2]"小+2,(k=1,2,-,/?-l)(13)

Ia)a

由Matlab求解出第一类食品拟合曲线得参数a,b及曲线方程

a二0、0274,b=k3425,

y=-47.9529e(F027455〃Y)+48.9529

为脸证拟合函数得合理性，对第一类食品价格走势得曲线拟合进行检脸，各

个不同得相对误差与级别方差如下所示：

表2、第一类食品均价数据得相对误差与级别方差

123456789W

原1、31、

1、1、1、21、11、11、0、9

始174189

061336693177060120355555

值24

模1、11、

1、1、261、1、1、1、1、

型162041

297222228194813110040707

值57

相00、0、00、0、030、00、00、0、0、0

对227661064227330007034902

•口

7天238

差

级0、00、2。、-0、-0.0、0-0..o、-0、

别8334400855007511403430305

偏63224744

从表中得数据可知，k取不同得值时，均有相对误差与级别方差小于0、2,

达到了较高得要求，因此可以认为模型有较高得准确性

②第二类食品均价数据得拟合与检验

先对第二类食品标准化均价随时间得变化关系进行拟合，拟合得关系式就就

是:

x\k+\)={x(0)(1)--1,伏=1,2,…，〃-1)(13)

Ia)ci

由MatIab求解出第二类食品拟合曲线得参数a,b与曲线方程

a=0、0152b=1、1641

y2=-75.4886/■°/52I97，Y)+76.4886

通过拟合曲线图观察到拟合度相当高，与实际相符，故拟合曲线趋势变化符

合实际。为险证拟合函数程合理性，对第二类食品价格走势得曲线拟合进行检睑、

表3、第二类食品均价数据得相对误差与级别方差

12345678910

原1、1、0、

1、1、1、01、11、0、9

始101169

14215088494450786797

值3936265

模1、1、

1、1、1、11、081、01、040

型1071、025009

140212306935677

值295

相00、00、0、00、000.00、00、03。、0、

对9710166389413927675104620

•口

沃896

差

级0、050、0、0-0、0、。、-0、-0、

别231036227044043039045108430、

偏71104

差15

从表中得数据可知，k取不同得值时，均有相对误差与级别方差小于0、2,达

到了较高得要求，因此可以认为模型有较高得准确性

③第三类食品均价数据得拟合与检脸

先对第三类食品标准化均价随时间得变化关系进行拟合，拟合得关系式就就

是:

x\k+1)=f(A=1,2,…，”7)

(13)

IaJa

由Matlab求解出第一类食品拟合曲线得参数a,b与曲线方程

a=0、0207b=1、0588

%=-50.2518ds的8OT>+5j2518

通过拟合曲线图观察到拟合度相当高，与实际相符，故拟合曲线趋势变化符

合实际。为验证拟合函数得合理性，对第三类食品价格走势得曲线拟合进行检验、

表4、第三类食品均价数据得相对误差与级别方差

12345678910

原1、0、90、

0、1、020、960、0、0、88

始10214185

989118959233912176

值4298

模0、

0、0、

型1、01、0、90.90、900、8887

1I985926

值27500646574677910

96

9

相00、0、010、0、0、00、00、00、0010、

对0388503003905103049701

沃48629

差

级0、0。、0、02-0、-0s0、0、00-0、0-0

别0970518010321009001584066、

偏0

差11

2

从表中得数据可知，k取不同得值时，均有相对误差与级别方差小于0、2,

达到了较高得要求，因此可以认为模型有较高得准确性

④第四类食品均价数据得拟合与检脸

先对第四类食品标准化均价随时间得变化关系进行拟合，拟合得关系式就就

是：

J底+1)=Q。)⑴—纬3(k=1,2,.,〃7)

(13)

I3。

由Matlab求解出第一类食品拟合曲线得参数a,b与曲线方程

a=0、0006b=1、1168

”=-2016.36/-°”攻％*>+2017.36

通过拟合曲线图观察到拟合度相当高，与实际相符，故拟合曲线趋势变化符

合实际。为险证拟合函数得合理性，对第四类食品价格走势得曲线拟合进行检验、

表5、第四类食品均价数据得相对误差与级别方差

1234567891

0

原1、

始0

0、1、121、1、1、161、151、08

值11、1332

99792318451609092415

7

9

模1、11、

1、111、1、1、1、1、111、11

型11311

611531147114111292316

值51

相00、0、0、0、010、00、00、0、020、

对1100605896740941403487808

•D

伏84209

差

级-0、00、-0、0、0、0-0、0一0、0—

别016111405310449024000696490、

偏660

差5

16

从表中得数据可知，k取不同得值时，均有相对误差与级别方差小于0、2,达

到了较高得要求，因此可以认为模型有较高得准确性

⑤第五类食品均价数据得拟合与检验

先对第五类食品标准化均价随时间得变化关系进行拟合，拟合得关系式就就

是：

x(，)(^+l)=fx(0)(l)--L-tt*+-,供=1,2,・一，〃一1)(13)

IaJa

由Matlab求解出第一类食品拟合曲线得参数a,b与曲线方程

a=-0>0156b=1、0043

%=-65.2010--0""I)一64.2010

通过拟合曲线图观察到拟合度相当高，与实际相符，故拟合曲线趋势变化符

合实际。为验证拟合函数得合理性，对第五类食品价格走势得曲线拟合进行检脸、

表6、第五类食品均价数据得相对误差与级别方差

12345678910

原1、1

0、1、051、1、11.01、1、081、

始142

981211469137711052106218

值2

模1、

1、1、1、01、01、091、111、11、

理1165

02804426077744416292147

值1

相00、00、0、0、030、0、00、0450、0、

对4700026021856600420

、D

97575243

差5

级

-0、0-0.-0.。、

别0、0、0-0、00、0、

350560047

偏052968246011039

423415

4

⑥第六类食品均价数据得拟合与检验

先对第六类食品标准化均价随时间得变化关系进行拟合，拟合得关系式就就

是：

x(，)(A:+l)=fx(0)(l)--L-tt*+-,供=1,2,・・・，〃一1)(13)

Ia7a

由MatIab求解出第一类食品拟合曲线得参数a,b与曲线方程

a=-0、0004b=1、0175

”=-2821.95/-0360685,T).2820.95

通过拟合曲线图观察到拟合度相当高，与实际相符，故拟合曲线趋势变化符

合实际。为脸证拟合函数得合理性，对第六类食品价格走势得曲线拟合进行检验、

表7、第六类食品均价数据得相对误差与级别方差

12345678910

原

1、001、01、1、021、1、011、0191、0

始11、018

34235031350186814198

值

模1、

1、1、01、1、1、01、020

型1011、02061、021

018184019101951992

值88

相。、0、

0、0、0、0、00、0、00、001

对0014011

0050042000801700220121

误59

差

级

0、-0、-0.

别0、010、-0、-0.0、

003005000、001

偏92007007800040001

1109

差

5、4根据求解模型结果预测

有所得得

表8、2014年5月份食品价格预测值

月份五月五月五月四月四月

食品种下旬中旬上旬下旬中旬

第一类豆角11、12、12、412、7713、

7609212

第二类西红柿7、387、497、617、737、85

第三类国产5、125、235、345、455、56

油菜,3、663、743、813、893、98

第四类猪肉后臀尖（后腿29、1429、129、129、1929、2

肉）670

五花肉29、1129、129、1429、129、17

25

第五类粳来7、467、347、237、127、0

1

富强粉6、906、806、696、596、49

标准粉5、675、585、495、415、33

豆腐5、55、45、415、335、24

89

压榨一级34、4133、8733、32、8332、

3532

5L桶装14、113、9413、7213、513、30

61

腿肉83、82、3281、0479、78、

617854

腿肉83、7582、81、1779、978、67

462

白条鸡23、623、2822、22、22、2

592561

鸡胸肉26、25、725、3724、924、

187859

白条鸭20、20、320、019、719、46

71976

散装鲜鸡蛋12、6712、412、12、11、

8280991

活鲤鱼17、517、2817、016、7516、4

518

活草鱼20、720、4320、19、19、49

51180

带鱼38、37、4936、9136、335、

08477

大白菜2、662、622、582、542、50

土豆5、375、285、205、125、04

富士苹果13、13、713、513、13、

98753414

芹莱6、996、886、786、676、57

一级散装17、3617、0916、8316、5616、3

1

第六类黄瓜6、106、096、096、096、09

（相关得MatIab程序见附录1）

六、问题三

6、1问题分析

在问题三中，要判断能否仅用少量食品得价格指数来预测CPI,只需判断一下

食品价格指数与CPI之间得关联程度，当该关联度很高时，就可以认为食品价格

指数能显著影响CPI,进而可以认为，可以通过食品价格相对准确地计算、预测居

民消费者价格指数。在判定食品价格可以准确地计算、预测之后，再判定具沐一

种食品价格与CPI得关联程度，根据关联程度得大小选择关联度较高得几种食品,

用多元线性回归得方法求出这几种食品价格与CPI之间得函数关系，进而达到

通过少量食品价格预测CPI得目得。

6、2模型得建立

①由于在问题一中已经给出了求出变量间相关度得模型，在这里就不累述。

②多元线性回归模型——模型IV——得建立如下:

设y表示CPI,（x1,x2,…，xn）表示有n种食品用于预测CPI,（BO,B2,…,

Bn）表示n种食品变量前得系数，£表示常数项，则建立一下回归方程:

y=用+如+…+&/+£

(17)

£〜7V(0,o-2)

其中，（B0,02,…，Bn）,4都就就是与（x1,x2,…，xn）无关得未知参

数，其