江苏省四校2026届高三下学期4月联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省四校2026届高三下学期4月联考数学试题一､单选题1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】,，即，所以，故选：C.2.已知复数，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由，可得，解得或0，所以是的充分不必要条件.故选：A.3.已知，则向量的夹角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，则，则，因为，所以，即向量的夹角为.4.正多面体共有5种，统称为柏拉图体，它们分别是正四面体､正六面体（即正方体）､正八面体､正十二面体､正二十面体.连接正方体中相邻面的中心，可以得到另一个柏拉图体.已知该柏拉图体的体积为，则生成它的正方体的棱长为（）A.2 B. C. D.4【答案】D【解析】设正方体棱长为，可得该柏拉图体是由两个四棱锥构成，四棱锥的底面为边长为的正方形，高为，则柏拉图体的体积为，解得，∴.故选：D.5.已知动点在圆上，点，当面积最小值时，点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题可知.面积，为点到直线的距离.面积最小时最小，直线：.圆心到直线距离.圆上点到直线的最小距离.过圆心作直线的垂线，斜率，方程.联立得或，由题意取靠近直线一侧的点.6.从甲､乙等五名志愿者中选派四人分别从事翻译､导游､礼仪､司机四项不同工作，若甲和乙只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案的种数为（）A. B. C. D.48【答案】C【解析】若选派的四人中甲乙仅有其中一人，则选派方案的种数为，若选派的四人中甲乙均有，则选派方案的种数为，综上，不同的选派方案的种数为.7.在中，角所对的边分别为，若，，则当角取得最大值时，的周长为（）A.6 B.C. D.【答案】B【解析】由题意，，根据余弦定理，可得，化简得，即，所以，根据基本不等式，可得，所以，当且仅当，即时，等号成立，又，由余弦函数的性质，可知单调递减，所以，所以角的最大值为，且，又由余弦定理得，，所以，又，所以，所以，所以的周长为，所以B正确.8.已知函数，若实数满足，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数的定义域为，可得，令，，所以在上单调递增，又，所以当时，，即，所以在上单调递减，当时，，即，所以在上单调递增，，又，，所以，所以，令，，当时，，所以在上单调递减，当时，，所以在上单调递增，所以当时，取得最小值，最小值为，即的最小值为.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列结论正确的是（）A.一组样本数据通过计算得到线性回归方程为，若，则B.一组数据的第80百分位数是11.5C.已知随机变量，若，则D.在列联表中，若每个数据均变成原来的2倍，则不变（，其中）【答案】AB【解析】选项A：将代入回归方程，得，解得，故A正确；选项B：，则该组数据的第80百分位数为，故B正确；选项C：由，得，所以，解得，故C错误；选项D：若每个数据均变成原来的2倍，则，则改变，故D错误.10.已知抛物线的焦点为，过原点的动直线交抛物线于另一点，交抛物线的准线于点.下列说法正确的是（）A.若为线段中点，则B.若，则C.不存在直线，使得D.面积的最小值为2【答案】ACD【解析】由抛物线的焦点，准线方程为，A，如图所示，当为线段中点，可知的横坐标为，则等于点到准线的距离为，正确；如图所示，当时，的横坐标为，则点或，则，B错误；C，可知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，联立方程组为，消去得，解得或，所以点，当时，可得，可知，则，则，所以无解，即不存在直线，使得，正确；D，如图所示，，由基本不等式可知，当且仅当时，即时取等号，所以，正确；11.已知各项都是正数的数列的前项和为，且，则（）A.是等差数列 B.C. D.【答案】ABD【解析】，，解得：时，，整理得：故是等差数列，选项A正确；，则，，选项B正确；，选项C错误；令，，在递增，，则即，选项D正确；故选：ABD.三､填空题12.已知且，则的展开式中的系数的值为______．【答案】【解析】由且，则，即，则对于，有，有，故的展开式中的系数的值为.故答案为：.13.在角，，，…，的终边上分别有一点，，，…，，如果点的坐标为，，，则______.【答案】【解析】，，，，又，.故答案为：.14.已知菱形，现将沿对角线向上翻折，得到三棱锥，设点是的中点．记的面积为，三棱锥的外接球的表面积为，则的最小值为__________．【答案】【解析】已知菱形，则均为边长为2的等边三角形，连接，则，且，设二面角的平面角为，则平面，为的中点，在等腰中，，由平面，得，，，以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系，则，是中点，，设三棱锥的外接球球心为，则，解得，，，设外接球半径为，则，，，令，则，当且仅当时取最小值，．四､解答题15.设Sn是等比数列{an}的前n项和，已知S2＝4，a32＝3a4．（1）求an和Sn；（2）设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．解：（1）设{an}的公比为q，则，而，所以解得，而，所以，则；（2）bn＝＝＝＝2(－)，∴Tn＝2(－＋－＋…＋－)＝2(－)＝1－．16.近年来某用户保持连续增长，若李明收集了年的年份代码与该在线用户数（单位：万）的数据，具体如下表所示：年份代码在线用户数（单位：万）（1）求样本相关系数（精确到小数点后两位），并判断变量与之间的线性相关关系的强弱；（2）从年中随机抽取三个不同年份所对应的在线用户数据，记最小的数据为，求的分布列及数学期望．注：样本相关系数．解：（1），，，，，接近1，变量与高度线性相关．（2）表示抽取的三个数据的最小值，可能取值为，从5个数据中任取3个，共种，时，含的组合数为种，故；时，不含，含的组合数为种，故；时，不含，不含，含的组合数为种，故；的分布列为：数学期望．17.已知，分别是双曲线：的上顶点，下焦点．（1）求的标准方程；（2）过的直线与的上、下支分别交于两点（异于），直线平分线段与的下支交于点，证明：直线与直线的交点在定直线上．（1）解：由题意，，，所以，所以C的方程为．（2）证明：由题意，直线的斜率存在，设直线方程为：，，．联立，消去，得，由于，同号，所以，，，所以，联立，解得，所以，所以直线的方程为，即，联立，解得，所以直线与直线的交点在定直线上．18.将椭圆面沿着垂直于其所在平面的空间向量平移得到的封闭几何体叫做椭圆柱体.如图所示的椭圆柱体，点和分别为上､下椭圆面的对称中心，椭圆的长轴长，短轴长为均垂直于椭圆面，且，过下底面椭圆的右焦点的动直线交椭圆于两点，是上一点，且满足平面.（1）求的值；（2）求点到平面距离的最大值；（3）若，求直线与平面所成角的正弦值.解：（1）如图，以点为原点建立空间直角坐标系，由题意，椭圆的长轴长，短轴长，则焦距，所以椭圆的方程为，则，，，设，所以，因为平面，平面，平面平面，所以，则存在唯一实数，使得，所以，解得，所以，所以；（2）设，则，，设平面的法向量为，则，可取，又因为，所以点到平面距离，当时，，当时，(当时取等号)，即点到平面的距离的最大值为.（3）因为，所以直线的方向向量，设平面的法向量为，则有，令，则，所以，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.19.设函数，().（1）若曲线在点处的切线方程为，求实数a､m的值；（2）关于x的方程能否有三个不同的实根？证明你的结论；（3）若对任意恒成立，求实数a的取值范围.解：（1），则，故，，解得，.（2）不可能有三个不同的实根，证明如下：令，如果有三个不同的实