广西壮族自治区贵港市平南县2025-2026学年高一下学期4月期中考试数学试题（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广西壮族自治区贵港市平南县2025-2026学年高一下学期4月期中试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第五章，必修第二册第六、七章．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若，则的虚部为（）A.2 B. C. D.【答案】B2.已知向量，，则（）A. B. C. D.【答案】B3.要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度【答案】A4.在平行四边形中，是线段的中点，，则（）A. B.C. D.【答案】C5.设的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的形状是（）A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不确定的【答案】A6.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C7.设点，，，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B8.已知函数（）在上恰有3个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.如图，向量，对应的复数分别为，，则下列选项正确的是（）A.，间的距离为B.为纯虚数C.在复平面内对应的点位于第一象限D.在复平面内对应的点位于第四象限【答案】ABD10.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，若满足条件的有且只有一个，则a的值可能是（）A.5 B.6 C. D.7【答案】BD11.在中，的角平分线交于点D，，O为的外心，则（）A. B.C. D.【答案】BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是____．【答案】13.已知码头B在码头A的正北方向，两码头相距100海里，从码头A测得海上某渔船C位于北偏东方向，从码头B测得渔船C位于北偏东方向，从码头A还测得另一艘货船D位于南偏东方向，且货船D到码头A的距离为海里，则渔船C与货船D之间的距离为______海里．【答案】14.如图，某小区要利用一面足够长的围墙，用总长20米的护栏围成一个扇形花坛，扇形的圆心角小于，忽略护栏的厚度与接头损耗，则该扇形花坛的面积的最大值是____平方米．【答案】50四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知平行四边形的三个顶点A，B，C的坐标分别是，，．（1）求顶点D的坐标；（2）求与的夹角的余弦值．【答案】解：（1）设顶点D的坐标为．因为，，，所以，．又，所以，即，解得.所以顶点D的坐标为.（2）由（1）知，则，，所以，所以，故与的夹角的余弦值为．16.已知复数，，其中．（1）当时，求的值；（2）若，求实数m的值；（3）若的实部大于1，求a的取值范围．【答案】解：（1）当时，，则，故．（2）因为，，所以．依题意得，解得．（3）由题意可得．因为的实部大于1，所以，解得．17.在中，角，，的对边分别是，，，．（1）求；（2）若是边的中点，且，求面积的最大值．【答案】解：（1）因为，所以，即．由余弦定理可得，则，所以．因为，所以．（2）因为D是边的中点，所以，所以，即．因为，所以，即，当且仅当时，等号成立，则的面积，即当时，的面积取得最大值．18.某沿海潮汐发电站的水位y（单位：米）是时间t（单位：小时，）的函数，某观测员记录了一个周期内的五个时间点对应的水位（最高、最低水位都被记录），并绘制得到如下表格：时间t036912水位y69636已知该发电站水位y与时间t满足函数关系式．一般情况下，发电站要求水位不低于7.5米时才能高效发电．（1）求该发电站的水位y关于时间t的函数解析式；（2）求某天下午5点与上午7点该发电站的水位之差；（3）求该发电站一天内（）高效发电的时长．【答案】解：（1）由表格数据可得，时，取到最大值；，取到最小值；，.从最大值到最小值经历了半个周期，，则，，，，当时，，，解得，，，该发电站的水位y关于时间t的函数解析式为.（2）下午5点对应，；上午7点对应，；水位之差为，即某天下午5点与上午7点该发电站的水位之差为3米．（3）由题意可得，即，整理得；，解得；，当时，；当时，；高效发电的时长为(小时)，即该发电站一天内（）高效发电的时长为8小时.19.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）若，求；（2）当取得最大值时，求的值；（3）记的面积为S，求的最大值．【