线线角-线面角-二面角的讲义

线线角与线面角

一、课前预习

1.在空间四边形ABCD中，AD=BC=2,E、F分别为AB、CD的中点且

EF=6,AD、BC所成的角为

2.如图，在长方体ABCD-AIB1C1D1中B1C和C1D与底面所成的角分

别为6()。和45o,那么异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为

()

巫逅"@/-----A

(A).~(B).~(C)V(D),T

D1

3.平面。与直线。所成的角为那么直线。与平面。内所有BL—-^

B1C1

p

直线所成的角的取值范围是/K

4.如图,ABCD是正方形,PD_L平面ABCD,PD=AD,那么PA与D\\(

BD所成的角的度数为/-----Y

(A).3()o(B),45o(C).6O。(D).9O。

5.有一个三角尺ABC,ZA=30o,ZC=90。,BC是贴于桌面上，

当三角尺与桌面成45o角时,AB边与桌面所成角的正弦值

是A

二、典型例题L---------'

例1.(96•全国)如图,正方形ABCD所在平面与正方形

ABEF所在平面成60o角，求异面直线AD与BF所成角的余弦值.

【备课说明：1.求异面直线所成的角常作出所成角的平、-----•(面图

形.作法有：

FE

①平移法:在异面直线的一条上选择“特殊点”作另一条直线平行线或利

用中位线.②补形法:把空间图形补成熟悉的几何体淇目的在于容易发现两条

异面直线的关系.2.解立儿计算题要先作出所求的角，并要有严格的推理论证过

程，还要有合理的步骤

例2.如图在正方体AC1中，（1）求BC1与平面ACC1A1所成的角；（2）求

A1B1与平面A1C1B所成的角.

备课说明:求直线与平面所成角的关键是找直线在此平面上

的射影，为此必须在这条直线上找一点作平面的垂Ai^w7线.作垂

线的方法常采用:①利用平面垂直的性质找平面的垂D线.②点

的射影在面内的特殊位置.B

例3.直三棱住ABC-AIBlCl,AB=AC,F为棱BB1上一点,BF:FBI=2:

1,BF=BC=2〃.⑴假设D为BC的中点,E为线段ADA上不同

C

于A、D的任意一点,证明：EF1FC1;⑵试问:假设AB=勿，

在线段AD上的E点能否使EF与平面BB1C1C成60（Jg。角，为

什么?证明你的结论.1

备课说明:这是一道探索性命题，也是近年高考热点问题，解

决这类问题，常假设命题成立，再研究是否与条件矛盾，

从而判断命题是否成立.

一、知识与方法要点：

1.斜线与平面所成的角就是斜线与它在平面内的射影的夹角。求斜线与

平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，即确定过斜线上一点向平面所

作垂线的垂足，这时经常要用面面垂直来确定垂足的位置。假设垂足的位置难

以确定，可考虑用其它方法求出斜线上一点到平面的距离。

2.二面角的大小用它的平面角来度量，求二面角大小的关键是找到或作

出它的平面角（要证明）。作二面角的平面角经常要用三垂线定理，关键是过二

面角的一个面内的一点向另一个面作垂线，并确定垂足的位置。假设二面角的

平面角难以作出，可考虑用射影面积公式求二面角的大小。

3.判定两个平面垂直，关键是在一个平面内找到一条垂直于另一个平面

的直线。

两个平面垂直的性质定理是：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直

Ci

c

⑵求BM与平面A1BD成的角的正切值.

解：⑴连AC,•・・C1C_L平面ABCD,

AC1C1BD.

又AC_LBD,・・・AC1_LBD.同理AC1_LA1B

VAlBnBD=B.・・・AC1JL平面A1BD.

⑵设正方体的棱长为。，连ADI,AD1交AID于E,连结ME,在ADIAC1

中，ME/7AC1,

•・・AC1_L平面A1BD.・・・ME_L平面A1BD.

连结BE,那么NMBE为BM与平面AIBD成的角.在心&0项中,

ME=^-=-atanZMBE=—=—

22V26BE2

P

例2.如图，把等腰直角三角形ABC以斜边AB为轴旋转,

使C点移动的距离等于AC时停止，并记为点P.

⑴求证：面ABPJ^ABC；⑵求二面角C-BP-A的余弦值.

证明（1）由题设知AP=CP=BP..••点P在面ABC的射影D应是△

ABC的外心，BPDEAB.VPD1AB,PDu面ABP,由面面垂直的判定定理

知，[ffiABC.

（2）解法1取PB中点E,连结CE、DE、CD.VABCP为正三角形，A

CE1BD.aBOD为等腰直角三角形，・・・DEJ_PB.JNCED为二面角C-BP-A

的平面角.又由（1）知，ABP±[fflABC,DC±AB,=ABPC面ABC,

由面面垂直性质定理，得DC_L面ABP.・・.DC_LDE.因此4CDE为直角三角

形.

八DE2

cosNCED=—=-f='=—

CEy/33

CE=—DE=-

设3c=1,那么2,2,2

例3.如下图，在正三棱柱加0一4田6中，EW,截面.Cl侧面4G.⑴

求证：跖二硒；（2）假设他=入与，求平面入叱与平面,

所成二面角（锐角）的度数.

证明：在截面A1EC内，过E作EG_LAy,G是垂足，

ABE/7AA',AFG/7AA',AAA'C^AFGC.

VAF=FC,・・.FG=；AA】=

BPBE=|BBP故BE=EB[.

解：⑵分别延长CE和C1B1交于点D,连结A】D.

VEB^OCpEB1=|BB,=1ccp

•\DBj=-DC]=B)C)=A|B).

,.•ZB'A'C'=ZB'C'A>=60°,

>

/DA]B]=/AiDB1=：(180・-ZDB1Al)=30,

AZDA'C=ZDA'B+ZB'A'C=90°,即DA'±A'C.・.・€：0_1_面

A'CB',

由三垂线定理得DA】_LA】C,所以NCA1。是所求二面角的平面角.且/

A'C'C=90°.

•・・CO=AAi=AB=AC,・・・NCAC=45°,即所求二面角为45°.

说明：如果改用面积射影定理，那么还有另外的解法.

三、作业：

1.平面的一条斜线a与平面成角，直线b,且a,b异面，那么a

与b所成的角为(A)

nn

A.有最小值，有最大值彳B.无最小值，有最大值彳。

C.有最小值，无最大值D.有最小值，有最大值。

2.以下命题中正确的卷项是(D)

A.过平面外一点作该平面的垂面有且只有一个

B.过直线外一点作该直线的平行平面有且只有一个

C.过直线外一点作该直线的垂线有且只有一条

D.过平面外的一条斜线作该平面的垂面有且只有一个

3.一条长为60的线段夹在互相垂直的两个平面之间，它和这两个平面所

成的角分别为

45°和30°,这条线段的两个端点向平面的交线引垂线，那么垂足问

的距离是(A)

A.30B.20C.15D.12

4.设正四棱锥S—ABCD的侧棱长为后，底面边长为右，E是SA的中

点，那么异面直线BE与SC所成的角是(C)

A.30°B.45°C.60°D.90°

5.正三棱锥的侧面与底面所成的二面角为绅加1)2及，那么它的侧棱与底

面所成的角为血

6.A是aBCD所在平面外的点，ZBAC=ZCAB=ZDAB=60°,AB=3,

AC二AD二2.

(I)求证：AB±CD；(II)求AB与平面BCD所成角的余弦值.

7.正四面体ABCD中，E是AD边的中点，求：CE与底面BCD所成角

的正弦值.

解过A,E分别作EO_LjSfBCD,H,O为垂足，

AAH12OE,AH,OE确定平面AHD,连结OC,A

NECO即为所求.VAB=AC=AD,AHB=HC=HD/\\

:△BCD是正三角形，，H是ABCD的中心，

连结DH并延长交BC于F,F为BC的中点，

图1-49

八口2“26V3

DH=—DF=—x——a=——a

3323,在Rt^ADH中，

AH=VAD2-DHJ=卜=¥a.

VOE^^AH.sV6a

-2.EO召J32

llsinZE00=7=r=--

,~\娓娓CE2一

..OE=-*—a=—a,a

236

8.在四面体ABCD中，ZABC=90°,AE1CD,AFI

DB.

求证：⑴EF1DC；：2)平面DBC_L平面AEF.

(3)若AD=a,AB=a,AC=V3a,求二面角B・DC.AW正弦值.

证明如图1-83.(1)VADlffiABC.AAD1BC.又

VZABC=90°.ABC!AB.

・・・8(2_1面DAB.・・・DB是DC在面ABD内的射影.二

AF±DB..・.AF_LCD〔三垂线定理).

VAE±CD.・・・CD_L平面AEF.ACD±EF.

(2)VCD±AE,CD1EF.ACDlffiAEF.VCDU面BCD.・••面AEF

_L面BCD.

(3)由EFJLCD,AE1CD，NAEF为二面角B-DC-A的平面

角，在RtZ\ADB中BD=/i・・.AF=

4

3aJ?

在RIAADC中CD=2aAE=---=-r-a

_'d2

又,.,AF_LDB,AF±CD,BDGCD=D，AF_L平面DBC,

点

-a底

AF2

-*

又EF在平面DBC内，AF1EF在RtAAEF中，smAEF=—走3

AEa

2

故二面角B-DC-A的正弦值为当

二面角题目:

如下图，幺■!■面ABC',5,叱=5,%踩=夕，二面角心比'-A

的平面角为夕，求证：Scos=£

2.如图，在空间四边形488中，凶8是正三角形，MBD

是等腰直角三角形，且N8AD=90,又二面角A-C为直二

面角，求二面角4-C。-4的大小。

例3.设A在平面88内的射影是直角三角形88的斜边8。的中点0,

AC=BC=l,CD=69

求(1)AC与平面BCD所成角的大小；

(2)二面角的大小；

(3)异面直线AB和CD所成角的大小。

例4.在正方体加8-48。。中，M为4V的中点，求截面夕与底面

ABCD所成较小的二面角的大小。

选用：如图，正方体的棱长为1,9CC|8C=°

求:

⑴A。与AC所成角;

⑵A。与平面A88所成角的正切值;

⑶平面AO3与平面AOC所成角.

解：（1）VXCUAC，AO与AC所成角就是NOAC

•；OCA-OB.ABL^BC：.OCLOA（三垂线定理）

0C=—,AC=V2

在RtMOC中，2.・.ZOAC=30

（2）作纺_L8C,平面8C」平面A6CZ）

・・.OE_L平面ABC。,/OAE为O人与平面人BCO所成角

OE=；,AE=』+（夕泻jn/OAEq邛

在RtbOAE中,

⑶0C104℃-1-OB：.OCJ_平面AOB

又・・・OCu平面AOC.・・平面AO8,平面AOC

即平面AO8与平面AOC所成角为90.

二面角大小的求法

二面角的类型和求法可用框图展现如下：

L定义法

一三垂线法

±I可见棱型I■电

二一垂面注

转

面一®积法一

角化

T

不见慢里

一、定义法:

直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线,

得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；

例、如图，二面角Q-a-B等于120°,PAJ.Q,A£Q,PBJ.B,BWB.求

ZAPB的大小.

例、在四棱锥P-ABCD中,ABCD

PA_L平面ABCD,PA=AB=a,求二面

二、三垂线定理法:

二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二

面角的平面角;

角的正切值.

例、AABC中，ZA=90°,ABM,AC=3,平面ABC外一点P在平面ABC内

的射影是AB中点M,二面角P—AC—B的大小为45，。求（1）二面角P—BC

一A的大小；（2）二面角C—PB—A的大小

例、（2006年陕西试题）如图4,平面a_L

平面夕，aA£=/,AGa,B£夕，点A在直线/上的射影为A”点B在/的射

影为Bi，AB=2,AAi=l,BB产啦，求：二面角/-AB-Bi的大小.

三、垂面法:

二面角内一点到两个面的垂线时.，过两垂线作平面与两个半平面的交线所

成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直;

例、空间的点P到二面角a-/-/?的面。、夕及棱/的距离分别为4、3、浮,

求二面角a—/-£的大小.八.P

四、射影法：（面积法）

利用面积射影公式s8l=s原cose,其中。为平面角的大小，此方法不必

在图形中画出平面角；

例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA_L平面ABCD,PA=AB=a,

求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。

B

例、如图，设M为正方体ABCD-AECD的棱CG的中点，求平面BM»与底

面ABCD所成的二面角的大小。

五、平移或延长（展）线（面）法

对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱,

然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。

例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PAJL平面ABCD,

PA=AB=a,求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。

课前预习

R冗y/6

1.6002.A3.[J]4.C5.7

典型例题

例1解:，・・CB〃AD

・•・ZCBF为异面直线AD与BF所成的角.连接CF、CE设正方形ABCD

的边长为J那么BF=^VCB±AB,EB1ABAZCEB为平面ABCD与平面

ABEF所成的角

V2

AZCBE=Z60o・・.CE=aFC=^AcosZCBF=4

例2解:⑴设所求的角为先证BD_L平面ACC1A1,那么sin。=sin/

OB1

OClB=fiC>=2,^a=30o.(2)AAlBCl是正三角形，且A1B1=B1C1=BBL.•.棱

锥B1-A1BC1是正三棱锥.过B1作B1H_L平面A1BC1,连A1H,NB1A1H是直

叵

线A1B1与平面A1C1B所成的角.设A1B1=。那么A1B二亿得A1H=3".故

A"V6V6

COSZB1A1H==3.所求角为3

例3解:(1)连接OF,容易证明人口上面BB1C1C,DF是EF在面B1C1CB

的射影，且DF1FC1,

・・・FC1_LEF.(2)・.・AD_L而BB1C1C,NEFD是EF与平面BB1C1C所成的

角.在AEDF中，假设NEFD=60o,那么ED=DF-tan60o-石二而。，・.・

AB=BC=AC=2«,AD=.*.•^a>.：.E在DA的延长线上，而不在线段

AD上;故线段AD上的E点不可能使EF与平面BBIC1C成60。角.

反应练习

4、存

1.D2.D3.94.35460。，90。]6.45o

7.解:(1)作DD'_L。于D',连接AD',BD'.CAJ_“，・,・CA〃DD'.四边形

CAD，D是直角梯形,NCAD'