任意角的三角函数

二、任意角的三角函数

1.定义

设a是一个任意大小的角（任意角），角。终边上任意一点P（除端点外）的坐标是（x,y）它

与原点的距离是r,（r>0）.

那么，角a的六个三角函数定义如下：

X

正弦函数sincr=—余弦函数cosa='正切函数tana=?余切函数cota=二

rrx

正割函数sec«=-余割函数csccr=—

xy

2.任意角的三角函数符号

cos(a)CSC

s加(a)csc(a)=1

cos(Q)sec(a)=1

tan(a)cot(a)=1

三、特殊角的三角函数值

函数/a0JTnHJIJI3n2T[

6432T

Sin(a)0j_10-i0

五V3

2

2~T

Cos(a)10-101

V3

~T2

tan(a)0V31V3不存在0不存在0

~T

Cot(a)不存在V310不存在0不存在

T

说明1,上表中锐角三角函数值的记忆可以借助如下的两个直角三角形:

说明2,观察上表中锐角三角函数值发现r有趣的规律:

函数/annJI

643

Siri(a)

■V2A/3

T2V

Cos(a)

V3V2近

~TVT

tan(a)（争净亭

Cot(a)苧身亭

sin{--«)=cos(of),cos{--cr}=sin(tz)

tan{--or}=cot(«),cot{--cr}=tan(a)

说明3,上表中锐角三角函数值的记忆可以借助于三角

函数的图像。

典型例题

例1—二1QJI是（）。

6

（A）第一象限角（B）第二象限角

（C）第三象限角（D）第四象限角

答案:(B)

Em19n-24冗+5n/5n〜5人…

分析:因为——-=----------=-4兀+—=2(-2)n+—=22n+夕

6666

也与况的终边相同，故-②

所以,

666

是第二象限角。

QD

例2已知圆的半径为R,弧长为小的圆弧所对的圆心角等于（)o

4

135°

(A)135°(B)——

JI

145°

(C)145°(D)—

JI

答案:(B)

3R

OD4=3弧度二3蟠二空

分析:弧长为2的圆弧所对的圆心角二

4R44n

例3已知角a的终边通过点P(3,4),则sina+cosa+tana=()

33()

(B)——(c)DT^

20207

答案：（D）

分析：因为点P（3,4）在第一象限，故,sina,cosa,tana均大于零,且根据

勾段定理（特例为勾3股4弦5）,可知

43474747*3+4*521+2041

sina+cosa+tancf=—I--1—=—I—=—I—=----

55353535*315L5

KnJIH

f^ij1sin—4-cos—4-tan—4-cot—=()

6666

।HA/615百

(A)一十-----(B)—+------

2626

17V3

(C)2+3V3(D)

6

答案：（A）

nJTnn

分析：sin—+cos—+tan—+cot—

6666

旦旦百

223

例5与330。角终边相同的角是（）。

(A)-60°(B)390°

(C)-390°(D)930°

答案：（C）

分析：与330°有终边相同的角是十++

。=330。=%*360。，丘z.当A=-2时，

a=33()。+(-2)*360。=(33()。-360。)-360。=-30。-360。=-390。

例6已知sin£<0,tan，>0,则提()sin(9)

（A）第一象限角（B）第二象限角

（C）第三象限角（D）第四象限角，

答案：C-十|1+-

分析：因为sin0<0故0的终边落在第三或第四象限；又因为，tan。>0,故。的终

边落在第一或第三象限。

综上所述。是第三象限角。tan(0)

例7如果cosa*cokz<0,那么。是（）。

（A）第二或第三象限的角

（B）第三或第四象限的角

（C）第一或第二象限的角

（D）第二或第四象限的角

答案：（B）

分析：如果cosa*cota<0,则cosa与cofcz异号,

符号图，可知a是第三或第四象限的角。

例8.1400°=()弧度。

解：1400°=1400*/一二二)乏24.423弧度0

1809

弧度。

例91.5弧度二()度。

解：1.5弧度=1.5*二=用度才85.95。

180兀

10sin600+cos600+lan60°=()

解：sin60°+cos60°+tan6C°=+—+V3=—+(+V3)=—+

222222

例11与角-二终边相同的角的集合为()

6

解：｛«|«=--+2kJi,kGZ).

6

例12要在半径为100cm的圆形金属板上，截取一块弧长为112cm的扇形板，问应当截取的圆心角

的度数是多少？

(精确到1°)

解：根据弧长公式，彗弧度=型*幽k64。

10025n

注意：根据公式|a|二』求得的1切的度量单位是弧度，而不是角度。

r

例13已知角a的终边经过点P(V3a,a)

其中awO,求sina,cosa,tana的值。

解：由已知得，r=J(同2+a2=21a|o

根据任意三角函数的定义得：当a>0时，r=2a>0,

a1x

sincr=—=■—=一;cosa=—=叵=昱"—旦

r2a2rla21J3a3

当a<0时，厂-2a>0,

a1x_V3a_J3yaV3

sintz=—=:——=一,cosa=—==——；tana=—=—；==——

r2a2r2a2xV3a3

当a<0时,r=-2a>0,

.ya1x_V3aV3yaV5

sincr=—=:-----=—,cosa=—=------；tana=—=-==——

r-2a2r-2a2xV3a3

说明：解题时一定要注意r>0.

补充例题3

例1liml()x=()

XT-00

(A)0(B)—

10

(01(D)10

答案：(A)

分析：画出/(x)=10、的函数图像，观图可以得出结论。

例2()

(A)1(B)2

(C)-(D)

2

答案：(D)

分析：画出/'(幻=!的图像,

尸

观图可以得出结论。

例3在点x=0处不连续的函数是()o

(A))，=/(B)y=x2

(C)y=x(D)^=—

x

答案：(D)

分析：分别画出

四个函数的图像,

观图可知，应当选

(D)o

例4函数y=(l—2x)2的导数是()。

(A)2-4x(B)4x-2(C)8x-4(D)4-8x

答案：(C)

分析：先把函数y=(l-2幻2展开为多项式，然后用“和、差、积求导数法则”分解计算,

最后再代入“基本导数公式”求出结果。

y=(l-2x)2=12-2(2x)+(2式＞=1-4x+4x2,

y=(l)-(4x2)1+(4x)=0-4(x),+4(x2)’=4*1+4*(2x)=-4+8x

例5(x*ev)'=()

(A)—(B)—

xxe'

(C)e'+x*，(D)-+

x

答案：(C)

分折：利用“乘积的求导数法则”，

左导右不导加上右导左不导；或者，前导后不导加上后导前不导。

(x*e‘)=(x)+x*(er)=l*e"+x*e'=ex+x*ex

注意：/(x)二产是以常数e为底数的

指数函数，这个常数e>0它是一个无理数，也即无限不循环G

数，e=2.7045.....

这个常数在高等数学中具有非常重要的作用，学员们将来在高等数学

的学习中，将有机会更深入地了解这个常数的来龙去脉，及其应用。

本例解题完毕。

例6与曲线)，=2x-V相切，且与直线y=x平行的直线有()。

(A)3条(B)2条(C)1条(D)0条

答案：(B)

分析：曲线)，=2x—/上任意一点(苍2不一丁)的切线斜率为y=(2x)-(x3)1=2-3x2而直线y=x的

斜率为Z=1故根据J知条件，应当满足,

222

2-3x=k=l,3x=2—1=\yx=—,x=±^-.y{±^-}=土

3999

也即，过曲线y=上两点｛斗，浮｝与｛.乎，.手｝可以作两条与该曲线相切，且与直线)=%

平行的直线。

例7.求lim—7—=()

2r-1

解：lim—-=0

J002x-1

例8.曲线y=/-3/+1,在点p(2,-3)

处的切线方程是()

y=(^)-(3x2)+(l)'=3x2-6x,

解：,

y⑵=3*272-6*2=0

曲线y=x3_3.d+i,在点p(2,-3)处的切线方程

y=-3.

例9当xw（）时函数），=3、-/是增函数。

解：了=（3工）'一（丁），=3-3/=3（1-/）,