湖南省娄底市部分普通高中2025-2026学年高一上学期期末数学试题（解析版）

湖南省娄底市部分普通高中2025-2026学年高一上学期期末数学试题命题人：陈元审稿人：郭强国试题总分：150分考试时量：120分钟一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合，集合，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据集合交集运算求解即可【详解】因为，，所以故选：A2.命题“”的否定是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题进行求解即可.【详解】因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以“”的否定是.故选：A3.函数，则（）A.B.0C.1D.4【答案】D【解析】【分析】应用分段函数解析求解函数值.【详解】函数，则.故选：D.4.函数的定义域是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】列出所满足的不等式组，求解即可.【详解】由，解得，所以函数的定义域是.故选：C.5.下列函数是偶函数且在上是增函数的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用奇偶函数的定义判断奇偶性，再利用图象判断函数的单调性.【详解】对于A，，故为偶函数，由其图象知其在单调递增；对于B，，故不是偶函数，故B错误；对于C，在上不单调，故C错误；对于D，，时，其在单调递减，故D错误.故选：A6.已知，则a，b，c的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的单调性进行求解即可.【详解】因为函数是实数集上的增函数，所以，即，因为函数是正实数集上的增函数，所以，即，所以.故选：D.7.已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，若它的终边过点，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据正切函数的定义，结合两角和的正切公式、二倍角的正切公式进行求解即可.【详解】因为角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，若它的终边过点，所以，所以，所以.故选：A8.如图，函数的图象为折线ACB，则不等式的解集是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用图象法可求得不等式的解集.【详解】在同一坐标系中画出的图象，当时，，又时，设，由图象可得且，解得，所以，当时，可得，所以两函数交于点，由图象可得不等式的解集是.故选：B.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.下列命题中不正确的是（）A.若，则B.若，则C若，则D.若，则【答案】CD【解析】【分析】利用不等式的性质可判断AB，利用赋值法可判断CD.【详解】对于A，因为，所以，又因为，所以，故A正确；对于B，因为，所以，所以，故B正确；对于C，取，满足，但，故C错误；对于D，取，满足，可得，此时，故D错误.故选：CD.10.已知，则下列说法正确的是（）A.的弧度数为B.与角终边相同C.角的终边在直线上D.【答案】ACD【解析】【分析】将转化为弧度，判断A；利用终边相同角的概念判断B、C；根据诱导公式求，判断D.【详解】，所以A正确；，与的终边关于轴对称，所以B不正确；与的终边相同，所以角的终边在直线上，所以C正确；.所以D正确.故选：ACD.11.设函数，其中表示x，y，z中的居中者，下列说法正确的是（）A.有最大值，无最小值B.的值域为C.为偶函数D.在上单调递增【答案】BC【解析】【分析】根据题中定义，结合一元二次不等式的解法化简函数的解析式，最后根据函数值域的性质、偶函数的定义、函数的单调性逐一判断即可.【详解】在同一直角坐标系内，画出函数的图象，如下图所示：根据题中定义，得：当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；画出函数的图象如下图所示：由数形结合思想可以判断：函数有最小值为，无最大值，函数的值域为；图形关于纵轴对称，是偶函数，函数在不单调递增.故选：BC三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上）12.函数且的图象恒过定点__________.【答案】【解析】【分析】根据指数函数恒过定点，利用图象变换可得函数且的图象所过定点.【详解】指数函数且恒过定点.因为函数的图象可由向右平移个单位，并向上平移个单位得到，定点平移后到达点，所以函数且的图象恒过定点.故答案为：.13.__________.【答案】2【解析】【分析】根据指数幂运算与对数运算法则直接求解即可.【详解】，故答案为：.14.已知函数满足，当时，，若函数在上恰有8个不同的零点，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】根据函数的周期性，作出函数在上的图象，将函数的零点个数问题转化为函数的图象的交点个数问题，数形结合，可得答案.【详解】由题意知满足，故是以8为周期的函数，结合，作出函数在上的图象，如图所示：因为，故时，即或，则在上恰有8个不同的零点，即等价于的图象和直线有8个不同的交点，由图象可知，和的图象有6个不同的交点，则和的图象需有2个不同的交点，即，故，则实数的取值范围为，故答案为：.四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（1）已知，求的值.（2）已知函数，求函数的值域.【答案】（1）1；（2）【解析】【分析】（1）由诱导公式可求得，进而由三角函数齐次式求解即可；（2）配方，结合二次函数的性质可求得函数的值域.【详解】（1）由得，；（2），∴当时，；又当时，；的值域为.16.设全集，集合，.（1）若，求集合；（2）命题，命题，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围．【答案】（1）或，（2）【解析】【分析】（1）根据补集的定义和并集的定义进行求解即可；（2）根据充分不必要的定义进行求解即可.【小问1详解】，，所以或，；【小问2详解】因为是的充分不必要条件，所以且，所以，其中等号不同时成立，解得，所以实数取值范围是.17.为美化校园环境，我校计划在教学楼之间修建一个周长为16米的扇形景观区域．（1）若要使该景观区域的面积不小于，求半径的取值范围？（2）请问怎样设计能使该扇形区域面积最大，最大面积为多少？并求此时扇形圆心角的弧度的大小？【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据扇形的面积公式，结合一元二次不等式的解法进行求解即可；（2）根据扇形的面积公式，结合基本不等式和弧长公式进行求解即可.【小问1详解】设该扇形的弧长为，，∴半径的取值范围在.【小问2详解】，，当且仅当时取得最大值，所以当半径为，扇形的弧长为时，最大面积为，且圆心角.18.已知函数.（1）求函数的最小正周期，以及当取得最大值时自变量的取值集合；（2）求函数的单调递增区间；（3）若，求的值.【答案】（1）；（2）（3）【解析】【分析】（1）利用辅助角公式进行化简，进而求得函数的最小正周期，先求得的最大值，再利用整体代入法即可求得取最大值时的集合.（2）利用整体法可求得的单调递增区间；（3）由已知求得，利用同角的平方关系求得，进而利用两角差的余弦公式可求得的值.【小问1详解】，，当时，有最大值4，此时，即，所以函数取得最大值时自变量的取值集合为；小问2详解】由（1）知，，由得，所以的单调递增区间为.【小问3详解】，，又..19.对于定义在R的函数，都有，且满足，当时，.（1）求的值；（2）证明：函数为R上的增函数；（3）若，求关于的不等式的解集.【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】【分析】