苏科版数学八年级下册 期末压轴专题01 选填压轴题50练（压轴题专项训练） 试卷 含答案

期末压轴专题01选填压轴题50练目录TOC\o"1-2"\h\u类型一、平行四边形的性质和判定 2类型二、矩形的性质与判定 8类型三、菱形的性质与判定 18类型四、正方形的性质和判定 25类型五、因式分解的应用 31类型六、分式的混合运算 34类型七、分式方程解的情况求参数 37类型八、分式方程无解问题 41类型九、利用二次根式的性质化简 44类型十、二次根式的混合运算 46类型一、平行四边形的性质和判定1．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，的对角线，交于点，平分交于点，，，连接．下列结论：①；②平分；③；④垂直平分．其中正确的有（

）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④2．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，，于，于，，相交于，延长交的延长线于点．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（

）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个3．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，的对角线，交于点O，平分交于点E，且，，连接．下列结论：①；②；③；④．成立的个数有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个4．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，已知中，，，点为平面内一点，满足，分别以，为边作，连接，则的最小值为______．5．（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图，在四边形中，，，，M是上一点，且．点E从点A出发以的速度向点D运动；点F从点B出发，以的速度向点C运动．当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t，当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为______．类型二、矩形的性质与判定6．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则的值为（）A． B． C． D．7．（24-25八年级下·四川眉山·期末）如图，在矩形中，，的平分线交于点，，垂足为，连结并延长，交于点，连结交于点下列结论：；；；其中正确的有（）A．个 B．个 C．个 D．个8．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，中，，，，点在边上（点不与点，重合），过点作，，垂足分别为点，，连接，为的中线，连接，当是直角三角形时，的长是______．9．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，矩形中，，，动点E、F分别从点A，C同时出发，以相同的速度沿、向终点B、D运动，过点E、F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G．（1）当四边形是矩形时，线段的长为______；（2）在整个运动过程中的最大值为______．10．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在矩形中，，，动点从点出发，沿边，向点运动，，关于直线的对称点分别为，，连接．（1）如图，当在边上且时，的度数是________．（2）当直线恰好经过点时，的长是_______．类型三、菱形的性质与判定11．（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图，菱形的对角线、交于点，，．点是边上的动点，过点作，垂足为点，，垂足为点，连接，则的最小值为（

）A． B． C． D．12．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，矩形中，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线分别交于点E，F，连接和，若，以下结论正确的个数是（

）①四边形是菱形；②；③；④若点是直线上的一个动点，则的最小值是9．A．1 B．2 C．3 D．413．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，是边长为1的等边三角形，取边中点，作，，得到四边形，它的周长记作；取中点，作．，得到四边形，它的周长记作，…，照此规律作下去，则_____．14．（25-26九年级上·广东梅州·期末）如图，菱形的边长为4，E，F分别是边上的动点，，，则下列结论：①；②为等边三角形；③若，则；④．其中正确的有____．（填序号）15．（25-26九年级上·辽宁辽阳·期末）在菱形中，，边长为8，点M是边上一点，点N是边上一点，将沿翻折，点A的对应点恰好落在菱形的一条边上，若，则的长为________．类型四、正方形的性质和判定16．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，正方形纸片中，E是上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在上的点G处，点B落在点H处，折痕交于点F．若，则（

）A．4 B． C． D．17．（25-26八年级上·山东东营·期末）如图，正方形中，，点E在边上，，将沿对折至，延长交边于点G，连接、，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（

）A．4 B．3 C．2 D．118．（25-26九年级上·山西运城·期末）在正方形中，对角线，交于点，延长至点，使，连接，点为的中点，连接．若，则的长为_____________．19．（25-26八年级上·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形的两边在坐标轴上，以它的对角线为边作正方形，再以正方形的对角线为边作正方形…以此类推，则正方形的顶点的坐标是_____．20．（25-26九年级上·河南许昌·期末）边长为4的正方形中，点在边上，且，点在边上．当以点、、为顶点的三角形是直角三角形时，的长为________．类型五、因式分解的应用21．（25-26八年级上·江苏南通·期末）若实数a、b满足，则的最小值为（

）A．0 B．8 C．9 D．1022．（25-26八年级上·福建泉州·期末）小安是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样的一条信息：分别对应下列六个字：安，爱，丽，惠，我，美．现将分解因式，结果呈现的密码可能是（

）A．我爱美 B．惠安美丽 C．我爱惠安 D．我美丽23．（25-26八年级上·山东东营·期末）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：河、爱、我、仙、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（

）A．我爱美 B．仙河游 C．我爱仙河 D．美我仙河24．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）若实数x，y，m满足，，则m的值为______________．25．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列．其中“杨辉三角”（图1）就是一例，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．如图2中虚线标记的一列数：，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，第个数记为，若，则的值是__________．类型六、分式的混合运算26．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）下列计算正确的是（

）A． B．C． D．27．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）已知则等于（

）A． B． C． D．128．（24-25八年级下·重庆万州·期末）给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数）．已知，并规定：．以下结论：①；②；③存在4个整数使得的值为整数．正确的有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个29．（25-26九年级上·四川成都·期末）已知，则的值为_______．30．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）小智同学发现有些分式可以转化为一个整式和一个分式（分子为常数）的和的形式，例．若，则_____，若，则_____．类型七、分式方程解的情况求参数31．（25-26八年级上·湖南株洲·期末）已知关于的分式方程的解是，则常数的值是（

）A． B． C． D．32．（25-26八年级上·福建福州·期末）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（

）A． B．C．且 D．且33．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）若关于x的分式方程的解为非正数，则m的取值范围是（

）A． B． C．且 D．且34．（25-26八年级上·江苏南通·期末）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是____________．35．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）关于x的不等式组有且仅有3个整数解，且关于y的分式方程的解为整数，则满足条件的整数a的和是_______．类型八、分式方程无解问题36．（25-26八年级上·河南周口·期末）若关于的分式方程无解，则的值为（

）A．2 B．0 C． D．37．（25-26八年级上·陕西西安·期末）已知关于的分式方程无解，则的值为（

）A．或 B．10或 C．3或 D．5或1038．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）关于x的方程有增根，则增根是___________，___________39．（25-26八年级上·山东威海·期末）若分式方程有增根，则k的值是________．40．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）若关于x的方程无解，则m的值______．类型九、利用二次根式的性质化简41．（25-26八年级上·湖南常德·期末）若，化简：（

）A． B． C． D．342．（25-26八年级上·河北保定·期末）a，b在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的结果为（

）A． B． C． D．43．（25-26八年级上·福建福州·期末）若，，，其中，，为连续整数，且，则，，的大小关系是（）A． B． C． D．44．（24-25八年级下·福建厦门·期末）已知，是两个连续的正奇数，，令，则的值为_____．45．（25-26八年级上·江苏南通·期末）小明做数学题时，发现；…；按此规律，若（为正整数），则________．类型十、二次根式的混合运算46．（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图是一个程序框图，若输入，则输出y的值为（

）A． B． C． D．47．（25-26八年级上·上海静安·期末）某同学做了以下四道习题，①；②；③；④，其中做错的题有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个48．（25-26八年级上·湖南益阳·期末）对于实数，，规定一种新运算：，例如，则（

）A． B． C． D．49．（25-26八年级上·河南许昌·期末）古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积公式，称为海伦—秦九韶公式.如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积为.在中，，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为（

）A． B． C． D．1650．（25-26八年级上·重庆·期末）已知代数式，其中a，b，c，d，x均为正整数，且x不是完全平方数．若，且m，n为正整数．则下列说法正确的个数（

）①若，则，②若，且，则不存在任何的m，n满足条件；③若，则M，N共有4种结果．A．0 B．1 C．2 D．3

期末压轴专题01选填压轴题50练目录TOC\o"1-2"\h\u类型一、平行四边形的性质和判定 2类型二、矩形的性质与判定 8类型三、菱形的性质与判定 18类型四、正方形的性质和判定 25类型五、因式分解的应用 31类型六、分式的混合运算 34类型七、分式方程解的情况求参数 37类型八、分式方程无解问题 41类型九、利用二次根式的性质化简 44类型十、二次根式的混合运算 46类型一、平行四边形的性质和判定1．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，的对角线，交于点，平分交于点，，，连接．下列结论：①；②平分；③；④垂直平分．其中正确的有（

）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④【答案】D【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的性质和垂直平分线的判定的知识，掌握以上知识是解题的关键．本题先证得是等边三角形，由等边三角形的性质得出，，求得，即，即可得到，可以判断①正确；依据，，可得②正确；假设③正确，那么，即，那么不能构成，可判断③错误；根据点是的中点，点是的中点，进而得出是的中位线，则可得出，可判断④正确；然后即可求解．【详解】解：在中，，，平分，点是的中点，∴，∴，∴，∴是等边三角形，∴，，∴点是的中点，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故①正确，符合题意；∵，，∴，∴平分，故②正确，符合题意；已知：，，假设③正确，那么，即，那么不能构成，∴③错误，不符合题意；∵点是的中点，点是的中点，∴是的中位线，∴，∴，∴，∵点是的中点，∴垂直平分，故④正确，符合题意；综上所述，正确的为①②④，故选：D．2．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，，于，于，，相交于，延长交的延长线于点．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（

）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【答案】B【分析】先证明是等腰直角三角形，即可判断①，利用平行四边形对角相等、直角三角形两个锐角互余以及同角或等角的余角相等即可判断②，证明，即可判断④和③，利用平行四边形对边相等进一步可以判断⑤．【详解】解：∵中，，于，∴，∴，是等腰直角三角形，∴，故①正确；∵于，于，∴，∴，∵在中，∴，故②正确；∵，，，∴，故④错误；∴，∵在中，，∴，故③正确；∵，故⑤正确；故选：B．3．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，的对角线，交于点O，平分交于点E，且，，连接．下列结论：①；②；③；④．成立的个数有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】A【分析】本题考查平行四边形的性质、三角形中位线的性质、等边三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．根据平行四边形的性质得出、，进而得到是等边三角形，又根据，证得，易证得是的中位线，进而得到；利用得到，进而得到；根据勾股定理求出的长即可．【详解】解：，，四边形是平行四边形，、，平分，，是等边三角形，，，，，，点E是的中点，是的中位线，、，，故①正确；，，故②正确；、，，，，故③正确；在中，，由勾股定理得，，，在中，，由勾股定理得，，，故④正确；综上所述，正确的有①②③④，共有4个，故选：A．4．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，已知中，，，点为平面内一点，满足，分别以，为边作，连接，则的最小值为______．【答案】【分析】在延长线上截取，连接，，由平行四边形的判定和性质得出四边形是平行四边形，进而得出且，再证明是等腰直角三角形，由勾股定理得出，再由三角形三边关系得出，进而可求出的最小值．【详解】解：在延长线上截取，连接，，四边形是平行四边形，，，，四边形是平行四边形，且，，，，是等腰直角三角形，，，，的最小值为．故答案为：．5．（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图，在四边形中，，，，M是上一点，且．点E从点A出发以的速度向点D运动；点F从点B出发，以的速度向点C运动．当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t，当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为______．【答案】或【分析】本题考查了动点问题，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，合理分类是解题的关键．分F在M的右侧和左侧两种情况讨论即可．【详解】解∶∵，，∴，∵，∴当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，，当F在M的右侧时，，又，∴，∴；当F在M的左侧时，，又，∴，∴；综上，当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为或，故答案为：或．类型二、矩形的性质与判定6．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查矩形的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，作于点，连接，先由矩形的性质证明，再根据勾股定理求得，由三角形的面积公式求出，由即可求出答案．【详解】解：作于点，连接，∵四边形是矩形，，，，，，，，解得：，，，，故选：C．7．（24-25八年级下·四川眉山·期末）如图，在矩形中，，的平分线交于点，，垂足为，连结并延长，交于点，连结交于点下列结论：；；；其中正确的有（）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】D【分析】此题重点考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明及≌是解题的关键．由矩形的性质得，，因为，所以，则，则，则，可求得，而，所以，可判断正确；由，得，则，所以，可求得，则，所以，则，所以，再证明，则，可判断正确；再证明≌，得，，可判断正确；由，，推导出，而，则，可判断正确，于是得到问题的答案．【详解】解：四边形是矩形，，，，的平分线交于点，，，，，，，，∵，，，故正确；，垂足为，，，，，，，，，，，，，，故正确；，，，，，，，，在和中，，≌，，，故正确；，，，，，，故正确，故选：D．8．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，中，，，，点在边上（点不与点，重合），过点作，，垂足分别为点，，连接，为的中线，连接，当是直角三角形时，的长是______．【答案】或【分析】本题考查了勾股定理、矩形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质、二次根式的应用等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键．连接，先证出四边形是矩形，经过的中点，利用勾股定理求出，再分两种情况：①当时，②当时，利用三角形的面积公式和勾股定理求出的长，则可得的长，然后利用勾股定理求解即可得．【详解】解：如图，连接，∵为的中线，∴点是的中点，∵，，，∴，∴四边形是矩形，∴与互相平分，且，∴经过的中点，∵在中，，，，∴，①如图，当时，是直角三角形，则，∴，∴，∴，又∵四边形是矩形，∴，∴在中，；②如图，当时，是直角三角形，过点作于点，同理可得：，，又∵四边形是矩形，∴，∴垂直平分，∴，∴，∴，∴，∴在中，；综上，的长为或，故答案为：或．9．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，矩形中，，，动点E、F分别从点A，C同时出发，以相同的速度沿、向终点B、D运动，过点E、F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G．（1）当四边形是矩形时，线段的长为______；（2）在整个运动过程中的最大值为______．【答案】4【分析】本题考查矩形性质，全等三角形的判定，勾股定理，熟练掌握相关性质和定理，是解题的关键．（1）根据矩形的性质，得到，，进而得到的长即为的长即可；（2）勾股定理求出的长，进而求出的长，圆周角定理得到点G在以为直径的圆上，进而得到当为直径时最大，即可求解．【详解】（1）解：∵四边形是矩形，∴，，，，∵动点E、F分别从点A，C同时出发，以相同的速度沿、向终点B、D运动，∴，当四边形是矩形时，则：，，∴，∴，∵，∴E，G两点重合，∴；故答案为：4；（2）解：∵，，，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∵，∴点G在以为直径的圆上，∴当为直径时，最大，此时为，故答案为：．10．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在矩形中，，，动点从点出发，沿边，向点运动，，关于直线的对称点分别为，，连接．（1）如图，当在边上且时，的度数是________．（2）当直线恰好经过点时，的长是_______．【答案】3或1.5【分析】（１）画出图形，证明是等腰直角三角形，得到，由对称性知，最后根据即可求解；（２）分类讨论①当在边上时，根据轴对称的性质知，点在上，利用三角形全等求解，②点在边上时，利用勾股定理，列方程即可求解．【详解】解：（1）∵四边形是矩形，∴，,∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴．由对称性知，∴；（2）①如图2，当在边上时，根据轴对称的性质知，点在上，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴；②如图3，点在边上时，∵，，∴，∴，∵，在中，设，则，根据勾股定理，得，∴，解得，∴，∴，综上所述，的长为3或1.5．类型三、菱形的性质与判定11．（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图，菱形的对角线、交于点，，．点是边上的动点，过点作，垂足为点，，垂足为点，连接，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、垂线段最短，根据菱形的性质可知，，，利用勾股定理即可求出，根据有三个角是直角的四边形是矩形，可知四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得：，根据垂线段最短可知当时，最短，利用三角形的面积公式即可求出的最小值．【详解】解：如下图所示，连接，四边形是菱形，，，，，，，，，四边形是矩形，，当时，最短，设中边上的高为，，，，的最小值是，即的最小值是.故选：A．12．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，矩形中，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线分别交于点E，F，连接和，若，以下结论正确的个数是（

）①四边形是菱形；②；③；④若点是直线上的一个动点，则的最小值是9．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据矩形的性质得到，，求得，根据作图过程可知：是的垂直平分线，得到，根据线段垂直平分线的性质得到，，，，根据全等三角形的性质得到，推出四边形是菱形；在中，利用勾股定理可得，从而得到，再由勾股定理可得；根据菱形的面积可得；根据是的垂直平分线，可得，从而得到，即可求解．【详解】解：设交于点四边形是矩形，，，，由作法得：是的垂直平分线，，，，是的垂直平分线，，，，，在和中，，，，，四边形是菱形，故①正确；在中，，∴，∴，故②正确；，故③错误；是的垂直平分线，∴，∴，即的最小值是9，故④正确；故选：C．13．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，是边长为1的等边三角形，取边中点，作，，得到四边形，它的周长记作；取中点，作．，得到四边形，它的周长记作，…，照此规律作下去，则_____．【答案】【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形的中位线的性质，菱形的性质和判定，找出周长的规律是解题的关键；根据三角形的中位线求解，找规律可得，据此规律可求解．【详解】解：∵是边长为1的等边三角形，∴，∵E是边中点，，∴是的中位线，∴，∵，∴四边形是菱形，∴，同理：以此方法得到的四边形都为菱形，且边长为前一个菱形边长的，即，，……，，∴．故答案为：．14．（25-26九年级上·广东梅州·期末）如图，菱形的边长为4，E，F分别是边上的动点，，，则下列结论：①；②为等边三角形；③若，则；④．其中正确的有____．（填序号）【答案】①②④【分析】①根据菱形的性质，证明和是等边三角形，得出相等的角和边，证明即可；②根据得出相等的边和角，然后根据菱形的性质即可证明为等边三角形；③过点作于点，过点作于点，根据角平分线的性质得出高相等，求出三角形的面积比即可得出结论；④根据三角形的外角定理进行证明即可．【详解】解：①∵四边形为菱形，且，∴，∴和是等边三角形，∴，，又∵，∴，故①正确；②由①得，∴，∵是等边三角形，∴，∴，∴为等边三角形，故②正确；③如图所示，过点作于点，过点作于点，∵四边形为菱形，且边长为4，∴平分，，∴，，∴，∴，故③错误，不符合题意；④由①得，∴，又∵，∴，∵和为等边三角形，∴，∴，∴，故④正确，符合题意；综上，正确的选项为①②④，故答案为：①②④．15．（25-26九年级上·辽宁辽阳·期末）在菱形中，，边长为8，点M是边上一点，点N是边上一点，将沿翻折，点A的对应点恰好落在菱形的一条边上，若，则的长为________．【答案】6或7【分析】本题考查菱形的性质，折叠的性质，矩形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，熟练掌握相关知识点，利用分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键．分落在上和落在上两种情况进行讨论求解即可．【详解】①当落在上时，如图，∵菱形中，，边长为8，∴，，∴，∵折叠，∴，∴为等边三角形，∴，∵，∴，∴；当落在上时，如图：作交的延长线于点，作于点，∵菱形，∴，∴，∴，四边形为矩形，∴，∵，∴，∴，∵折叠，∴，设，则，在中，由勾股定理，得，解得，∴；综上：或；故答案为：6或7．类型四、正方形的性质和判定16．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，正方形纸片中，E是上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在上的点G处，点B落在点H处，折痕交于点F．若，则（

）A．4 B． C． D．【答案】D【分析】由折叠性质可知，进而利用同角的余角相等证明，由此即可得出，进而确定．在中，根据勾股定理列方程求解即可．【详解】解：如图，连接交于点，过点作，垂足为，则，∵正方形，∴，，∴四边形是矩形，∴，由折叠可知，∴，∴，又∵，∴，∴，∵∴，设正方形边长为，则，∵，∴，在中，，即解得：或（不合题意舍去）∴．故选：D17．（25-26八年级上·山东东营·期末）如图，正方形中，，点E在边上，，将沿对折至，延长交边于点G，连接、，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】本题考查了正方形和折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形面积公式及平行线的判定．先根据正方形和折叠的性质分析图形中的边和角关系，再通过全等三角形的判定、勾股定理、面积计算及平行线判定逐一验证四个结论的正确性．【详解】解：如图，由题意可知，，，，在和中，，∴，故①正确；∵正方形边长是12，，设，则，，由勾股定理得：，即：，解得：，，，，故②正确；，故③错误；，，，，，，故④正确；∴①②④正确，故选：B．18．（25-26九年级上·山西运城·期末）在正方形中，对角线，交于点，延长至点，使，连接，点为的中点，连接．若，则的长为_____________．【答案】【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，斜边上的中线等于斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，运用正方形的性质证明，，又因为点为的中点，得出，再根据勾股定理得，代入数值计算，即可作答．【详解】解：∵四边形是正方形，∴，，∴，∵点为的中点，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故答案为：．19．（25-26八年级上·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形的两边在坐标轴上，以它的对角线为边作正方形，再以正方形的对角线为边作正方形…以此类推，则正方形的顶点的坐标是_____．【答案】【分析】首先根据图形的规律，计算出的长度，再根据与轴正半轴夹角的变化规律，得出所在的位置，最后根据正方形对角线和边长的关系，求出坐标【详解】解：∵正方形的边长为，∴，∵正方形以正方形的对角线为边，∴，同理可得，，∴，∴，由图可得，，，∴在轴的正半轴上，∴正方形顶点的坐标为，故答案为：．20．（25-26九年级上·河南许昌·期末）边长为4的正方形中，点在边上，且，点在边上．当以点、、为顶点的三角形是直角三角形时，的长为________．【答案】或2【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键．分别计算当、或为直角时的长度．【详解】解：正方形的边长为4，，点在边上，且，，令，则，在中，，，在中，，，在中，，，当时，，，解得，，；当时，，，解得，，；当时，，，解得，（不合题意，舍去）综上所述，的长为或．故答案为：或．类型五、因式分解的应用21．（25-26八年级上·江苏南通·期末）若实数a、b满足，则的最小值为（

）A．0 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】先对已知等式移项凑因式分解形式，得到变量的约束条件，再分别代入目标式，结合平方的非负性找到最小值，确定最终答案．【详解】解：∵，∴，因式分解得，∴或．情况1：当时，，∵，∴表达式的最小值为；情况2：当时，，∵，∴，表达式的最小值为．22．（25-26八年级上·福建泉州·期末）小安是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样的一条信息：分别对应下列六个字：安，爱，丽，惠，我，美．现将分解因式，结果呈现的密码可能是（

）A．我爱美 B．惠安美丽 C．我爱惠安 D．我美丽【答案】C【分析】灵活运用提取公因式法和平方差公式进行因式分解是解题的关键．先对式子提取公因式，再利用平方差公式分解，最后结合已知的式子与汉字的对应关系，得出结果呈现的密码信息．【详解】解：，又根据平方差公式可得，，原式，已知对应关系为对应安，对应爱，对应惠，对应我，四个因式对应的汉字为我、爱、惠、安，结果呈现的密码信息是我爱惠安．23．（25-26八年级上·山东东营·期末）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：河、爱、我、仙、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（

）A．我爱美 B．仙河游 C．我爱仙河 D．美我仙河【答案】C【分析】先对原式进行因式分解，再根据因式与汉字的对应关系得到密码信息即可．【详解】解：∵，∵对应我，对应爱，对应仙，对应河，∴结果呈现的密码信息可能是：我爱仙河．24．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）若实数x，y，m满足，，则m的值为______________．【答案】3【分析】先把两个等式相加，再进行配方，根据非负数的性质求出x、y的值，再代入求解．【详解】解：，，两式相加，得：，，，，，，．25．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列．其中“杨辉三角”（图1）就是一例，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．如图2中虚线标记的一列数：，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，第个数记为，若，则的值是__________．【答案】【分析】本题考查数的规律探索，关键是根据规律推导得出的表达式，再通过代数运算建立方程求解．【详解】解：观察图2中虚线标记的一列数：可知：，，，，；则，当时，整理化简得，为正整数，，解得；故答案为：．类型六、分式的混合运算26．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）下列计算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了分式的运算，掌握相关知识点并正确计算是解题的关键．根据分式的运算法则，逐一验证每个选项的计算是否正确，即可求解．【详解】解：A、，，故选项A错误，不符合题目要求；B、，故选项B错误，不符合题目要求；C、，故选项C错误，不符合题目要求；D、，计算正确.，故选项D正确，符合题目要求．故选：D．27．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）已知则等于（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】本题主要考查了数字的变化规律与分式的混合运算．先根据分式的混合运算顺序和运算法则计算出，据此得出其循环规律，再进一步求解可得．【详解】解：由此得到序列每3项重复一次，∵，∴，故选：B．28．（24-25八年级下·重庆万州·期末）给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数）．已知，并规定：．以下结论：①；②；③存在4个整数使得的值为整数．正确的有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【分析】本题主要考查了分式的混合运算、代数式化简、整数解的存在性问题等知识点，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键．①先根据题意求得即可判定①；②设，进而得到、，然后求和即可判断②；需逐一验证三个结论的正确性；③先求出，进而得到，即为整数，据此确定x的可能取值即可判定③．【详解】解：①由递推式，代入得：，故结论①正确．②设，由递推式得．初始值．依次计算：，求和得：，故结论②错误．③：由，故．比值需为整数．变形为：，要求为整数，即为的约数（）．解得为整数且分母非零的情况有：，解得：；，解得：；，解得：；共3个整数解，但题目中结论为“存在4个整数”，故结论③错误．综上，仅结论①正确．答案选B．29．（25-26九年级上·四川成都·期末）已知，则的值为_______．【答案】【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可．【详解】解：，．30．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）小智同学发现有些分式可以转化为一个整式和一个分式（分子为常数）的和的形式，例．若，则_____，若，则_____．【答案】/【分析】本题主要考查了分式化简，对于第一个分式，通过将分子表示为分母的倍数加上常数，化简后比较可得的值；对于第二个分式，变形为，然后对比即可得出的值．【详解】解：∵，又∵，∴；∵，又∵，∴．故答案为：；．类型七、分式方程解的情况求参数31．（25-26八年级上·湖南株洲·期末）已知关于的分式方程的解是，则常数的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】已知分式方程的解，将解代入原方程，得到关于a的一元一次方程，求解后检验即可得到a的值．【详解】∵分式方程的解是，∴将代入原方程，得，整理得，交叉相乘，得，解得，检验：当时，原方程分母，，符合分式方程要求，∴的值为，故选D．32．（25-26八年级上·福建福州·期末）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（

）A． B．C．且 D．且【答案】D【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求值，解一元一次不等式．先通过去分母求解分式方程，得到解的表达形式，再根据解为正数且分母不为零的条件，列不等式求参数范围．【详解】解：，去分母，得，解得：；∵分式方程的解为正数，∴，即，在分式方程中，分母，，即，故，得出，综上，的取值范围是且．故选：D．33．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）若关于x的分式方程的解为非正数，则m的取值范围是（

）A． B． C．且 D．且【答案】D【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，先解方程得到，再根据分式方程的解为非正数且分母不为0得到不等式组，解之可得答案．【详解】解:去分母得：，整理得，解得，∵关于x的分式方程的解为非正数，∴，解得：又∵∴∴且∴且故选：D．34．（25-26八年级上·江苏南通·期末）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是____________．【答案】且【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程是解题的关键．解分式方程得，检验，将代入，解得，，由题意知，计算求解，然后作答即可．【详解】解：，，解得，，检验，将代入，解得，，∵分式方程的解为正数，∴，解得，，∴m的取值范围为且，故答案为：且．35．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）关于x的不等式组有且仅有3个整数解，且关于y的分式方程的解为整数，则满足条件的整数a的和是_______．【答案】【分析】根据不等式组的整数解的个数确定a的取值范围，再根据分式方程的整数解以及增根的定义进一步确定a的取值范围，确定符合条件的整数a的值即可．【详解】解：解不等式，得，解不等式，得，∵关于x的不等式组有且仅有3个整数解，∴，解得，将关于y的分式方程的两边都乘以得，，解得，∵关于y的分式方程的解为整数，∴或或，解得或或或或或，又∵分式方程的增根是，∴，即，解得，又∵，∴符合条件的整数a的和为．类型八、分式方程无解问题36．（25-26八年级上·河南周口·期末）若关于的分式方程无解，则的值为（

）A．2 B．0 C． D．【答案】B【分析】本题考查的是分式方程的无解问题，分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解的情况，把方程的增根代入去分母后的整式方程求解即可．【详解】解：∵原分式方程为，∴两边同乘（），得，整理得，∵分式方程无解，且整式方程必有解，∴是原方程的增根，将代入，得，解得．故答案为：B37．（25-26八年级上·陕西西安·期末）已知关于的分式方程无解，则的值为（

）A．或 B．10或 C．3或 D．5或10【答案】A【分析】本题考查分式方程无解的判定，需结合增根的定义，分析整式方程的解为原分式方程增根的情况，熟练掌握分式方程增根的性质是解题关键．【详解】解：∵原分式方程分母为、、∴最简公分母为去分母，两边同乘得：展开整理得：∵分式方程无解，且整理后的整式方程为一元一次方程（系数不为0，必有解）∴仅需考虑整式方程的解为原分式方程的增根的情况令原分式方程分母为0，得增根或①将代入，得，∴②将代入，得，∴综上，的值为或，故选∶A．38．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）关于x的方程有增根，则增根是___________，___________【答案】【分析】熟练掌握增根的定义是解题关键，增根是分式方程化为整式方程后，使原分式方程分母为的根，先根据定义求出增根，再将增根代入化为整式方程的方程求解的值．【详解】解：分式方程的最简公分母为，令分母，解得，因此增根为，方程两边同乘最简公分母，化为整式方程得：，将增根代入整式方程得：，解得．39．（25-26八年级上·山东威海·期末）若分式方程有增根，则k的值是________．【答案】1【分析】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出k的值．【详解】解：，，因为方程有增根，所以，所以，所以把代入整式方程，得，解得，故答案为：1．40．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）若关于x的方程无解，则m的值______．【答案】，，【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解的定义是解题的关键．分式方程无解的情况有两种：整式方程无解或整式方程的解为增根．先化为整式方程，再分别讨论系数为0时整式方程无解，以及解为增根1或2的情况．【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得整理得移项得当且时，整式方程无解解得；当整式方程的解为增根时，原方程无解，增根为或若，代入整式方程得解得；若，代入整式方程得解得；综上，的值为，，．类型九、利用二次根式的性质化简41．（25-26八年级上·湖南常德·期末）若，化简：（

）A． B． C． D．3【答案】A【分析】本题考查二次根式的化简，需利用的性质，结合已知判断绝对值内式子的正负，再根据绝对值的代数意义去掉绝对值符号进行计算．【详解】解：∵，∴，，∴，，则原式．故选：A．42．（25-26八年级上·河北保定·期末）a，b在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的结果为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了数轴，利用二次根式的性质化简，化简绝对值等知识点，解题的关键是正确从数轴得到的大小关系以