苏科版数学七年级下册 压轴题考点必刷练（二）（29个考点压轴练 共58题 范围：第10-12章） 同步练习 含答案

2024-2025学年苏科版数学七年级下学期期末高频常考压轴题考点分类训练【2024新教材】压轴题考点必刷练（二）（29个考点压轴练共58题范围：第10-12章）同学你好，该份讲义结合最新版本课本内容设定制作，贴合书本内容。题目精选近两年全国各地常考易错真题，压轴题等重点难点题目！题目新颖，考点分类，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，按照考点划分，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！TOC\t"标题2,1"\h\u考点讲练01：构造二元一次方程组求解 2考点讲练02：已知二元一次方程组的解的情况求参数 3考点讲练03：方程组相同解问题 4考点讲练04：三元一次方程组的应用 5考点讲练05：根据几何图形列二元一次方程组 6考点讲练06：方案问题（二元一次方程组的应用） 7考点讲练07：行程问题（二元一次方程组的应用） 8考点讲练08：工程问题（二元一次方程组的应用） 10考点讲练09：分配问题（二元一次方程组的应用） 11考点讲练10：销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 13考点讲练11：几何问题（二元一次方程组的应用） 14考点讲练12：求一元一次不等式的整数解 17考点讲练13：在数轴上表示不等式的解集 17考点讲练14：求一元一次不等式解的最值 18考点讲练15：解型的不等式 19考点讲练16：解特殊不等式组 20考点讲练17：求一元一次不等式组的整数解 22考点讲练18：由一元一次不等式组的解集求参数 23考点讲练19：由不等式组解集的情况求参数 24考点讲练20：不等式组和方程组结合的问题 26考点讲练21：不等式组的经济问题 27考点讲练22：不等式组的分配问题 28考点讲练23：不等式组的方案选择问题 29考点讲练24：一元一次不等式组的其他应用 30考点讲练25：列一元一次不等式解决实际问题 31考点讲练26：用一元一次不等式解决几何问题 32考点讲练27：判断是否为互逆命题 33考点讲练28：反证法证明中的假设 34考点讲练29：用反证法证明命题 35考点讲练01：构造二元一次方程组求解1．（2024·江苏扬州·三模）设是从，0，3这三个数中取值的一列数，若，，则（

）A．154 B．155 C．156 D．1572．（24-25七年级下·山东日照·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别是，．其中a，b满足，将点B向左平移18个单位长度得到点C．(1)求点C的坐标．(2)如图，点M为线段上的一个动点，点F在x轴的正半轴上，点E、D在直线上，，．请直接写出的大小______．(3)如图2，当点M从点B以1个单位长度/秒的速度向左运动时，射线上的动点N同时从点A以2个单位长度/秒的速度向右移动，设运动时间为t秒（0~18）．①点M和点N在同时运动过程中，和的面积比会不会改变？若不会改变、请求出这个比值；若会改变，请说明理由．②是否存在某个时间点t使得线段可看作线段向右平移得到．若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．考点讲练02：已知二元一次方程组的解的情况求参数3．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”．(1)方程组的解与（填“具有”或“不具有”）“友好关系”；(2)若方程组的解x与y具有“友好关系”，求的值；(3)未知数为，的方程组，其中与都是正整数，该方程组的解与是否具有“友好关系”？如果具有，请求出、的值；如果不具有，请说明理由．4．（22-23七年级下·湖南长沙·期末）阅读材料并回答下列问题：当m，n都是实数，且满足，就称点为“郡麓点”．例如：点，令，得，，所以不是“郡麓点”；点，令，得，所以是“郡麓点”．(1)请判断点点，是否为“郡麓点”：______；(2)若以关于x，y的方程组的解为坐标的点是“郡麓点”，求的值；(3)若以关于x，y的方程组的解为坐标的点是“郡麓点”，求正整数a，b的值．考点讲练03：方程组相同解问题（2023七年级下·江苏·专题练习）已知关于x，y的方程组和有相同解，求的值．（24-25七年级下·全国·单元测试）若方程组与方程组的解相同，求的值．考点讲练04：三元一次方程组的应用7．（24-25七年级下·河南焦作·阶段练习）2025年4月1日，开封清明文化节在清明上河园开幕，其间开展了清明踏春巡游、文艺展演等丰富多彩的群众文化活动．开封某校组织七年级的三个班参加清明踏春巡游活动，已知一班、二班的平均人数与三班人数之和为102，二班、三班的平均人数与一班人数之和为98，一班、三班的平均人数与二班人数之和为100，则三个班的总人数为（

）A．150 B．300 C．180 D．708．（24-25七年级下·四川乐山·期中）【阅读感悟】：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知满足①，②，求和的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．【解决问题】：(1)已知二元一次方程组，则______，______；(2)“战疫情，我们在行动”．某爱心公益小组计划为老年公寓捐赠一批防疫物资．已知购买20瓶消毒液、3支测温枪、2套防护服共需1180元；购买30瓶消毒液、2支测温枪、8套防护服共需2170元．若该爱心公益小组捐赠了100瓶消毒液、10支测温枪、20套防护服，那么购买这批防疫物资共需多少元？(3)对于两数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，那么_________．考点讲练05：根据几何图形列二元一次方程组9．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片、、、和一张长方形纸片，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为．(1)用和的代数式表示：正方形的边长为___________，正方形的边长___________，长方形的长为___________，长方形的宽为___________．由图1可得___________．(2)求图2阴影部分的周长．10．（24-25七年级上·福建三明·期末）问题情景：某数学兴趣小组开展了“无盖长方体纸盒的制作”实践活动．(1)综合实践小组利用边长为30厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子．①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为4厘米的小正方形，再沿虚线折合起来，则长方体纸盒的底面积为______平方厘米；②根据图2方式制作一个无盖的长方体纸盒，先在纸板上剪去一个小长方形，再沿虚线折合起来，已知，求该长方体纸盒的体积；小明按照图1的方式用边长为30厘米的正方形纸片制作了一个无盖的长方体盒子，小明想利用这个盒子研究无盖长方体的展开图，他发现其中有一种展开图外围周长为156厘米，求小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长．（求出所有可能的情况）考点讲练06：方案问题（二元一次方程组的应用）11．（24-25七年级下·浙江·期中）某广告公司要利用长为240cm、宽为40cm的板裁切甲、乙两种广告牌，已知甲广告牌尺寸为，乙广告牌尺寸为．(1)若该广告公司用1块板裁切出的甲广告牌的数量是乙广告牌的数量的3倍，在不造成板材浪费的前提下，求此时裁切出的甲、乙广告牌的数量；(2)求1块板的所有无浪费裁切方案；(3)现需要甲、乙两种广告牌各500块，该公司仓库已有488块乙广告牌，还需要购买该型号板材多少块（恰好全部用完）？写出购买数量，并说明如何裁切．12．（2023·四川达州·模拟预测）我市计划将一批爱心物资运往灾区，这一批爱心物资为甲种货物吨和乙种货物吨，准备租用A、B两种型号的汽车共辆，现有一汽和二汽两家汽车公司竞争这次运输任务，他们均有足够量的A、B型汽车，收费标准如表：一汽二汽A型每辆费用（元）B型每辆费用（元）(1)已知二汽公司每辆B型汽车的费用比每辆A型汽车的费用多元，且在二汽公司租4辆A型汽车和5辆B型汽车的总费用为元．求表格中，的值；(2)已知每辆A型汽车最多可以装甲种货物7吨和乙种货物4吨，每辆B型汽车最多可装甲种货物5吨和乙种货物8吨，按此要求安排同一家汽车公司的A、B两种型号汽车将这批物质一次性运往灾区，请问共有多少种租车方案？从运费最少的角度考虑，怎选择哪家公司来运输这批货物？请说明理由．考点讲练07：行程问题（二元一次方程组的应用）13．（21-22七年级下·河北邯郸·阶段练习）如图，已知直线和交于点，，，垂足为，平分．(1)当时，则______；______；(2)当时，射线从开始绕点逆时针匀速转动，同时，射线从开始绕点匀速转动，且射线的转动速度大于射线的转动速度．①若射线顺时针转动，则射线与射线经过7.5秒第一次重合；若射线逆时针转动，则射线与射线经过37.5秒第一次重合．求射线，绕点转动的速度分别是多少？②若射线，绕点转动的速度与①中转动速度相同，射线顺时针转动，当射线转动一周时，射线也停止转动，当时，直接写出射线转动的时间．14．（21-22七年级上·江苏苏州·期末）点A对应数a，点B对应数b，点C对应数c，xc﹣5y与﹣2xb＋15y的和是﹣6x5y．(1)那么a＝，b＝，c＝；(2)点P为数轴上一点，且满足PA＝3PB＋1，请求出点P所表示的数；(3)点M为数轴上点A右侧一点，甲、乙两点分别从A、M出发，相向而行，2分钟后在途中相遇，相遇后，两点的速度都提高了1单位长度/分，当甲到达M点后立刻按原路向A返行，当乙到达A点后也立刻按原路向M点返行．甲、乙两点在第一次相遇后3分36秒又再次相遇，则A、M两点的距离是单位长度；(4)当甲以4单位长度/分的速度从A出发，向右运动，乙同时从点C出发，以6单位长度/分的速度向左运动，当甲到A、B、C的距离之和为40个单位长度时，假如甲立即掉头返行，请问甲、乙还能碰面吗？若能，求出碰面的地点对应的数；若不能，请说明理由．考点讲练08：工程问题（二元一次方程组的应用）15．（2025七年级下·浙江·专题练习）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做天可以完成，需付费用元，问：(1)甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？(2)已知甲组单独完成需天，乙组单独完成需天，单独请哪个组，商店所需费用最少？(3)若装修完后，商店每天可赢利元，你认为如何安排施工更有利于商店？请你帮助商店决策．（可用（1）（2）问的条件及结论）16．（24-25七年级下·全国·单元测试）下面是学习二元一次方程组时，老师提出的问题和两名同学所列的方程．问题：某个工人一天工作6个小时，可以生产零件一整箱和不足一箱的20个；由于特殊情况，今天他只工作4个小时，生产零件一整箱和不足一箱的4个，问这一箱零件和该工人每小时能生产的零件数分别是多少？小明所列方程：；小亮所列方程：；根据以上信息，解答下列问题．(1)以上两个方程（组）中x意义是否相同？________（填“是”或“否”）；(2)小亮的方程所用等量关系是________（填序号，“①每个小时生产的零件数相等”或“②4个小时生产的零件数相等”）；(3)根据小明所列的方程组完整解答老师提出的问题．考点讲练09：分配问题（二元一次方程组的应用）17．（24-25七年级下·浙江温州·期中）综合与实践．【素材1】某工厂计划日生产件零件．【素材2】现有初级工、高级工两种工人可安排参与生产，生产能力和薪酬如下：工种初级工高级工日生产量（件/人）日薪酬（元/人）【素材3】为了便于调配，工厂安排的工人恰好可以完成生产计划．【问题】(1)若工厂指派名高级工参与生产，则需要安排多少名初级工？(2)该工厂每日计划支付薪酬元，那么需要安排初级工、高级工各多少人？(3)为了保证生产质量，该工厂计划每4名初级工生产时需1名高级工进行指导（不足4名按4名计算，指导的高级工不参与生产，但需要支付日薪酬），请为工厂设计一个成本最低（支出工人的总日薪酬最低）的工人安排方案．18．（22-23八年级下·黑龙江大庆·期末）某商店分两次购进A，B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A，B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨，．购进的台数购进所需要的费用（元）A型B型第一次10203000第二次15104500(1)求第一次购进A，B型两种台灯每台进价分别是多少元？(2)A，B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800元．①求A，B型两种台灯每台售价分别是多少元？②若按照第二次购进A，B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的利润为1000元，求有哪几种购进方案？考点讲练10：销售、利润问题（二元一次方程组的应用）19．（23-24七年级下·江苏苏州·开学考试）今年11月份，某商场用22200元购进长虹取暖器和格力取暖器共400台，已知长虹取暖器每台进价为50元，售价为70元，格力取暖器每台进价为60元，售价为90元．甲生产厂家：格力取暖器出厂价为每台60元，折扣数如下表所示：一次性购买的数量不超过150台的部分超过150台的部分折扣数打九折打八五折乙生产厂家：格力取暖器出厂价为每台50元，当出厂总金额达一定数量后还可按下表返现金．出厂总金额不超过7000元超过7000元，但不超过10000元超过10000元返现金金额0元直接返现200元先返现出厂总金额的2%，再返现296元(1)求11月份两种取暖器各购进多少台？(2)在将11月份购买的两种取暖器从厂家运往商场的过程中，长虹取暖器出现的损坏（损坏后的产品只能为废品，不能再进行销售），而格力取暖器完好无损，商场决定对这两种取暖器的售价进行调整，使这次购进的取暖器全部售完后，商场可获利35%，已知格力取暖器在原售价基础上提高5%，问长虹取暖器调整后的每台售价比原售价多多少元？(3)今年重庆的天气比往年寒冷了许多，进入12月份，格力取暖器的需求量增大，商场在筹备“双十二”促销活动时，决定去甲、乙两个生产厂家都只购进格力取暖器，甲、乙生产厂家给出了不同的优惠措施：（如表格）已知该商场在甲生产厂家购买格力取暖器共支付8610元，在乙生产厂家购买格力取暖器共支付9700元，若将在两个生产厂家购买格力取暖器的总量改由在乙生产厂家一次性购买，则商场可节约多少元？20．（22-23七年级下·重庆九龙坡·阶段练习）某家具店经销A、B两种品牌的儿童床，已知A品牌儿童床的售价为4200元，利润率为，B品牌儿童床的成本价为4200元，而每张B品牌儿童床的售价在成本的基础上增长了．(1)该店销售记录显示，四月份销售两种儿童床共20张，且销售A品牌儿童床的总利润与B品牌儿童床总利润相同，求该店四月份售出两种品牌的儿童床的数量；(2)根据市场调研，该店五月份计划购进这两种儿童床共30张，要求购进B品牌儿童床张数不低于A品牌儿童床张数的，而用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元，请通过计算设计所有可能的进货方案：(3)在（2）的条件下，该店打算将五月份按计划购进的30张儿童床全部售出后，所获得利润的用于购买甲、乙两款教学仪器捐赠给某希望小学．已知购买甲款仪器每台300元，购买乙款仪器每台130元，且所捐的钱恰好用完，求该店捐赠甲，乙两款仪器的数量．考点讲练11：几何问题（二元一次方程组的应用）21．（24-25七年级上·上海·期中）已知是两个边长不相等的正方形纸片，它们的边长之和是，边长之差是．(1)如图，用含的代数式表示两个正方形纸片的面积之和：______；当时，两个正方形纸片的面积之和：______．(2)如图，如果两个正方形纸片的面积之和为，阴影部分的面积为，试求的值．(3)现将正方形纸片并排放置后构成新的正方形（图），将正方形放在正方形的内部（图），如果图和图中阴影部分的面积分别是和，那么两个正方形纸片的面积之和为：______．22．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）【项目式学习】项目主题：数学智慧拼图项目背景：为了缓解同学们的学习压力，提高思维能力，增强学习兴趣，并促进同学们的全面发展．王老师将数学学习小组分成三组，每组领取一些矩形卡片，开展“数学智慧拼图”为主题的项目式学习．任务一：观察建模如图1，第一小组领了8个大小、形状完全相同的小矩形，拼成一个大矩形，每个小矩形的长和宽分别分别为x、y（），小组同学测得拼成的大矩形长为30，宽为16，可得方程组，则：，；任务二：推理分析第二小组也领了8个大小、形状完全相同的小矩形，把它们按图2方式放置在一个大矩形中，求图2中阴影部分的面积；任务三：设计方案第三小组领了A、B、C三种类型的矩形卡片，它们的长为18，宽分别为a、b、c，其中且a、b、c均为正整数，分别取A、B、C卡片2、3、4张，把它们按图3方式放置在一个边长为36的正方形中，则阴影部分的面积为144；若分别取A、B、C卡片3、2、5张，能否把它们放置在边长为36的正方形中（不能有重叠），如果能，请你在图4中画出放置好的示意图，并标注a、b、c的值，如果不能，请说明为什么．考点讲练12：求一元一次不等式的整数解（24-25七年级下·全国·课后作业）当x取哪些正整数时，代数式的值不小于代数式的值？24．（24-25七年级下·河南焦作·阶段练习）若关于x，y的方程组的解满足，则m的最大整数解为．考点讲练13：在数轴上表示不等式的解集25．（24-25七年级下·北京·期中）解下列方程组或不等式．(1)，并把解集在数轴上表示出来．26．（23-24七年级上·江苏南京·期中）在数轴上，点M和N分别表示数m，n，可以用绝对值表示点M，N两点间距离d，即．(1)在数轴上，点A，B，C，D分别表示数，7，x，y，解决以下问题：①_____；②若，则_____；③若，求y的值．在数轴上，点A，B分别表示数a，b，点E是数轴上一点，满足，请在数轴上表示出所有符合条件的点E．（在数轴上把选定区域用铅笔加粗，并标注必要的数据，用含a，b的代数式表示）考点讲练14：求一元一次不等式解的最值（21-22七年级下·海南儋州·期中）已知有关x的方程的解也是不等式2x-3a<5的一个解，求满足条件的整数a的最小值．28．（2022·江苏南通·二模）已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5考点讲练15：解型的不等式29．（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期末）先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题．①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有大于－6而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为．②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有小于－6的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或．(1)的解集为______，的解集为______；(2)已知关于的二元一次方程组的解满足，其中是正整数，求的值．30．（22-23七年级下·福建厦门·期中）阅读理解：例1．解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为．例2．解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．

参考阅读材料，解答下列问题：(1)方程的解为________(2)解不等式：．(3)解不等式：．考点讲练16：解特殊不等式组31．（2025七年级下·全国·专题练习）阅读：我们知道于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法：解：①当，即时，，解得，所以；②当，即时，，解得，所以．所以原不等式的解集为．根据以上思想，请解下列不等式：(1)；(2)．32．（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）阅读下列材料：我们知道，的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数与数对应的点之间的距离．例1：解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为或．例2：解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．参考阅读材料，解答下列问题：(1)方程的解为．(2)解不等式：．(3)解不等式：．考点讲练17：求一元一次不等式组的整数解33．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）我们约定：不等式组，，，的“长度”均为，，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该约定，解答下列问题：(1)不等式组的“长度”________；“整点”为________；(2)若不等式组的“长度”，求的值；(3)若不等式组的“长度，求的值；(4)关于的不等式组恰有4个“整点”，直接写出的取值范围________________．34．（22-23七年级下·北京·期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”．(1)在方程①：②；③中，不等式组的“相依方程”是______；（填序号）(2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围；(3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围．考点讲练18：由一元一次不等式组的解集求参数35．（23-24八年级上·山东济南·期末）我们知道，表示数轴上数所对应的点与原点的距离，表示数轴上数对应的点与数对应的点之间的距离．请据此解决以下问题：(1)若方程有解，求的取值范围；(2)求的最小值；(3)若不等式有且只有100个整数解，求的取值范围．36．（21-22七年级下·河南信阳·期末）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解（两个不等式解集的公共部分），那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”．(1)在不等式①，②，③中，不等式的“云不等式”是_____________．（填序号）(2)若，若关于的不等式与不等式互为“云不等式”，求的取值范围．考点讲练19：由不等式组解集的情况求参数37．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）如图1，已知纸片A是边长为的正方形，纸片B是相邻两边长分别为、的长方形，且纸片A、B的周长相等．(1)当时．①若，则的取值范围为__________；②如图2，以纸片的相邻两边为边长分别向外作正方形、，若纸片的面积比纸片的面积小，求、的面积之和；(2)如图3，将纸片、叠合在一起，记阴影部分的周长为．①__________（用含、的代数式表示）；②若关于的不等式恰有4个正整数解，则的取值范围是__________．38．（24-25七年级下·福建泉州·期中）【新定义】若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”．【举例】方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”．【问题】(1)方程是不是不等式组的“关联方程”？请说明理由．(2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围；(3)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求的取值范围．考点讲练20：不等式组和方程组结合的问题39．（22-23七年级下·山西吕梁·阶段练习）综合与探究对实数x，y，我们定义一种新运算：（其中a，b为常数）．例如：，．已知，．(1)a＝，b＝．(2)已知x，y为非负整数，求关于x，y的方程的解．(3)若关于x，y的方程组的解满足，且m为非负整数，求m的值．(4)若关于x的不等式恰好有3个正整数解，求n的取值范围．40．（21-22七年级下·湖北荆门·期末）已知关于，的方程组．(1)若原方程组的解也是二元一次方程的一个解，求的值；(2)若原方程组的解，满足，①求的取值范围；②求不等式组的解集．考点讲练21：不等式组的经济问题41．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）为庆祝2025年五四青年节，某校拟举行“青春与梦想”主题演讲比赛，准备购买甲、乙两种纪念品奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买1个甲种纪念品和2个乙种纪念品共需20元，购买2个甲种纪念品和5个乙种纪念品共需45元．(1)求购买一个甲种纪念品和一个乙种纪念品各需多少元；(2)若要购买这两种纪念品共100个，所花资金不少于666元又不多于700元，有多少种购买方案？(3)在（2）的前提下，哪种方案所花资金最少？最少花费资金是多少？42．（2025七年级下·全国·专题练习）发奋识遍天下字，立志读尽人间书．2025年4月23日是第30个“世界读书日”，某校为提高学生的阅读种类，进一步建设书香校园，准备购买A，B两种图书，已知购买1本A种图书比1本B种图书多5元；购买6本A种图书与购买7本B种图书的价格相同．(1)求这两种图书的单价；(2)现决定购买A，B两种图书共70本，若购买A种图书的数量不少于所购买B种图书数量的一半，且购买两种图书的总价不超过2225元．请问有哪几种购买方案？考点讲练22：不等式组的分配问题43．（2025七年级下·河南·专题练习）快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件．快递员的提成取决于送件数和揽件数．某快递公司快递员小李若平均每天的送件数和揽件数分别为80件和20件，则他平均每天的提成是160元；若平均每天的送件数和揽件数分别为120件和25件，则他平均每天的提成是230元．(1)求快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是多少元；(2)已知快递员小李一周内平均每天的送件数和揽件数共计200件，且揽件数不大于送件数的．如果他平均每天的提成不低于318元，求他平均每天的送件数．44．（24-25八年级上·浙江金华·期末）某商店决定采购A、两种型号的纪念品，若采购A型10件，型5件，需要1000元；若采购A型5件，型3件，需要550元．(1)求采购A型，型两种纪念品每件各需多少元？(2)考虑到市场需求，要求采购A型纪念品的数量不少于型纪念品数量的6倍，且不超过型纪念品数量的8倍，若两种纪念品一共花费4000元，求A型、型纪念品各采购几件？考点讲练23：不等式组的方案选择问题45．（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）吉祥物“滨滨”和“妮妮”两个东北虎卡通形象是由哈尔滨工业大学美术学院团队为2025年第九届亚冬会创作的．某商场看好“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物造型的钥匙扣挂件的市场价值，经调查：“滨滨”造型钥匙扣挂件进价每个m元，“妮妮”造型钥匙扣挂件进价每个n元．(1)该商场在进货时发现：若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件10个和“妮妮”造型钥匙扣挂件5个共需要170元；若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件6个和“妮妮”造型钥匙扣挂件10个共需要200元，求m，n的值；(2)该商场决定每天购进“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物钥匙扣挂件共100个，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买“滨滨”造型钥匙扣挂件a个，有哪几种购买方案？46．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）合肥45中举办经典诵读比赛，需采购诗词手册和书签两种道具作为班级奖励．首次采购时，购买1套诗词手册和2套书签共需50元；第二次采购时，购买3套诗词手册和3套书签共需105元．(1)求每套诗词手册和书签进价各是多少元？(2)比赛筹备组计划再次采购两种道具共80套．供应商调整价格：诗词手册进价上涨30%；书签进价降至原价的八折．若学校要求总费用不超过1548元，且诗词手册的数量不低于书签的数量，求满足条件的方案有哪几种？考点讲练24：一元一次不等式组的其他应用47．（2025七年级下·河南·专题练习）五四运动是一次伟大的反帝反封建的爱国运动，爱国是五四精神的主旋律，五四运动中积极倡导民主和科学的精神，进而推动了全社会的思想大解放．某校举办纪念·五四运动的演讲活动．同学们用青春的声音和故事，弘扬五四精神，彰显青春风采，展现拼搏风貌，深情地演绎了对党和祖国的热爱之情．为表彰在此次演讲活动中表现优秀的同学，该校需要购买一些书包和文具盒．若购买3个书包和2个文具盒，共需275元；若购买2个书包和4个文具盒，共需250元．(1)求每个书包和每个文具盒的价格分别是多少元?(2)该校决定购买书包和文具盒共10个，总费用不超过500元，那么最多可以购买多少个书包？（22-23八年级下·重庆江北·期中）某工厂为扩大生产规模，决定分三批采购A，B，C三种型号的设备，以加大生产力度，已知B型设备的单价是A型设备单价的2倍．第一批购进A，B，C三种设备的数量分别为10台，10台，15台，第二批购进A，B，C三种设备的数量分别比第一批对应数量增加了，采购总价比第一批采购总价提高了，第三批购进三种设备的总数量是第一批的倍，其中采购C型设备的数量最多，采购A型设备的数量最少，同时第三批的采购总价是第二批采购总价的倍，则该工厂第三批采购的A型设备与C型设备数量之比是．考点讲练25：列一元一次不等式解决实际问题49．（2024七年级上·全国·专题练习）有下列两种移动电话计费方法：月使用费元主叫限定时间主叫超时费（元被叫套餐免费套餐免费（月使用费固定收，主叫不超过限定时间不再收费，主叫超过部分加收超时费，被叫免费）(1)若张老师选用套餐，9月份主叫时间分钟，则他9月份的通话费用为元．(2)若王老师选择套餐，李老师选择套餐，10月份两位老师的主叫时间与通话费用恰好都相同，求两位老师10月份的主叫时间．(3)设主叫时间为分钟，直接写出满足什么条件时，选择套餐省钱．（24-25七年级上·重庆渝北·自主招生）三峡之巅·诗橙奉节，奉节脐橙是重庆市奉节县特产，中国地理标志产品，营养丰富，橙香味浓．每年12月是奉节脐橙大批量上市的时候，奉节脐橙品种较多，主要包含纽荷尔脐橙、福本脐橙、奉园脐橙．某超市准备购进纽荷尔脐橙、福本脐橙、奉园脐橙，三种品种的橙子共1000件（每件均为同一品种的脐橙），其中奉园脐橙每件12个，福本脐橙每件8个，纽荷尔脐橙每件6个．为了推广，超市还计划将三个品种的脐橙各取出来，拆开后重新组合包装，制成甲、乙两种套装进行特价销售：甲套装为每件奉园脐橙4个、福本脐橙4个；乙套装为每件奉园72-1脐橙4个、纽荷尔脐橙2个，取出的件数和套装的件数均为正整数，若纽荷尔脐橙的进货量（件）不低于总进货量（件）的，则福本脐橙最多购进多少件？考点讲练26：用一元一次不等式解决几何问题51．（22-23七年级上·北京·阶段练习）对于数轴上的点P，Q，给出如下定义：若点P到点Q的距离为），则称d为点P到点Q的追击值，记作．例如，在数轴上点P表示的数是5，点Q表示的数是2，则点P到点Q的追击值为．(1)点M，N都在数轴上，点M表示的数是1，且点N到点M的追击值，则点N表示的数是______（用含a的代数式表示）．(2)如图，点C表示的数是1，在数轴上有两个动点A，B都沿着正方向同时移动，其中A点的速度为每秒3个单位，B点的速度为每秒1个单位，点A从点C出发，点B表示的数是b，设运动时间为．①当时，问t为何值时，点A到点B的追击值；②当时间t不超过3秒时，要想使点A到点B的追击值都满足不大于7个单位长度，请直接写出b的取值范围．52．（21-22七年级下·江苏南通·期末）在平面直角坐标系xOy中，，．(1)若，，则AB＝______；(2)若，小智同学认为AB的长度是定值，你同意他的观点吗？若同意，求出AB的长；若不同意，请说明理由；(3)在（2）的条件下，点，，线段MN上存在点P，使得的面积等于4，直接写出b的取值范围．考点讲练27：判断是否为互逆命题53．（24-25八年级上·安徽六安·期中）（1）完成下面的推理说明：已知：如图，，，分别平分和．求证：．证明：，分别平分和（已知），_____，_____（_____________）．（已知），（_______________），（___________），（等式的性质），（_____________）．（2）指出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题．54．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）（1）已知：如图，直线被直线所截，．求证：．你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？请把这两个真命题写出来．考点讲练28：反证法证明中的假设55．（23-24八年级下·福建漳州·期中）用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：，这与三角形内角和为相矛盾，不成立；所以一个三角形中不能有两个直角；假设三角形的三个内角（，，）中有两个直角，不妨设．正确顺序的序号为（）A． B． C． D．56．（2023八年级下·江苏·专题练习）用反证法证明下列问题：如图，在中，点D、E分别在上，相交于点O．求证：和不可能互相平分．考点讲练29：用反证法证明命题57．（24-25八年级上·福建漳州·期中）阅读下列材料：“为什么不是有理数”，完成证明过程．证明：假设是一个有理数，那么它可以表示为两个整数的商，设（p，q是互质的正整数）．由的意义，可知．，∴_______________．是一个偶数，是一个偶数．∴_______________．设（k是正整数），，_____________，是一个偶数．∴_______________．∴p和q均为偶数．这与__________________的假设矛盾．这个矛盾表明假设“是一个有理数”不成立，所以不是有理数．58．（23-24七年级下·福建莆田·期末）人教版七年级下册数学课本第页的“阅读与思考”：为什么说不是有理数．(1)【阅读与思考】假设是有理数，那么存在两个互质的正整数和，使得，两边平方得，即．①故是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以也是偶数．设，代入①得，．即．所以也是偶数，则和都是偶数，不互质．这与假设和互质矛盾．这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数．(2)【运用并解决】类比上述的阅读与思考，推理说明不是有理数．

2024-2025学年苏科版数学七年级下学期期末高频常考压轴题考点分类训练【2024新教材】压轴题考点必刷练（二）（29个考点压轴练共58题范围：第10-12章）同学你好，该份讲义结合最新版本课本内容设定制作，贴合书本内容。题目精选近两年全国各地常考易错真题，压轴题等重点难点题目！题目新颖，考点分类，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，按照考点划分，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！TOC\t"标题2,1"\h\u考点讲练01：构造二元一次方程组求解 2考点讲练02：已知二元一次方程组的解的情况求参数 5考点讲练03：方程组相同解问题 9考点讲练04：三元一次方程组的应用 10考点讲练05：根据几何图形列二元一次方程组 12考点讲练06：方案问题（二元一次方程组的应用） 17考点讲练07：行程问题（二元一次方程组的应用） 21考点讲练08：工程问题（二元一次方程组的应用） 25考点讲练09：分配问题（二元一次方程组的应用） 27考点讲练10：销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 31考点讲练11：几何问题（二元一次方程组的应用） 35考点讲练12：求一元一次不等式的整数解 39考点讲练13：在数轴上表示不等式的解集 40考点讲练14：求一元一次不等式解的最值 43考点讲练15：解型的不等式 44考点讲练16：解特殊不等式组 47考点讲练17：求一元一次不等式组的整数解 50考点讲练18：由一元一次不等式组的解集求参数 55考点讲练19：由不等式组解集的情况求参数 57考点讲练20：不等式组和方程组结合的问题 62考点讲练21：不等式组的经济问题 64考点讲练22：不等式组的分配问题 67考点讲练23：不等式组的方案选择问题 69考点讲练24：一元一次不等式组的其他应用 71考点讲练25：列一元一次不等式解决实际问题 73考点讲练26：用一元一次不等式解决几何问题 75考点讲练27：判断是否为互逆命题 79考点讲练28：反证法证明中的假设 80考点讲练29：用反证法证明命题 82考点讲练01：构造二元一次方程组求解1．（2024·江苏扬州·三模）设是从，0，3这三个数中取值的一列数，若，，则（

）A．154 B．155 C．156 D．157【答案】D【思路引导】本题考查的是数字的变化规律和二元一次方程组的应用，熟练掌握上述知识点是解题的关键．根据题意，设这一列数中有个，个3，可列，即可求出与的值，再将其代入中计算即可．【完整解答】解：设这一列数中有个，个3，可列，解得：，，故选：D．2．（24-25七年级下·山东日照·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别是，．其中a，b满足，将点B向左平移18个单位长度得到点C．(1)求点C的坐标．(2)如图，点M为线段上的一个动点，点F在x轴的正半轴上，点E、D在直线上，，．请直接写出的大小______．(3)如图2，当点M从点B以1个单位长度/秒的速度向左运动时，射线上的动点N同时从点A以2个单位长度/秒的速度向右移动，设运动时间为t秒（0~18）．①点M和点N在同时运动过程中，和的面积比会不会改变？若不会改变、请求出这个比值；若会改变，请说明理由．②是否存在某个时间点t使得线段可看作线段向右平移得到．若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)(3)①和的面积比不会改变，这个比值为；②．【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用，解一元一次方程．（1）利用绝对值和平方的非负性，列出二元一次方程组，求解得到，，再利用平移的性质即可求得；（2）由题意设，则，设，则，根据，求得，据此即可求得的大小；（3）①由题意得，，利用三角形面积公式求得，，据此即可得到和的面积比不会改变，这个比值为；②根据平移的性质得到，据此列式得到，计算即可求解．【完整解答】（1）解：∵，∴，得，将代入①得，∴，，∵将点B向左平移18个单位长度得到点C，∴；（2）解：如图，∵，∴设，则，即，∵，∴设，则，，∴，∵，∴，整理得，∵，∴，故答案为：；（3）解：①和的面积比不会改变，这个比值为；由题意得，，则，∵，，∴，②由平移的性质得到，∵，，∴，解得．考点讲练02：已知二元一次方程组的解的情况求参数3．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”．(1)方程组的解与（填“具有”或“不具有”）“友好关系”；(2)若方程组的解x与y具有“友好关系”，求的值；(3)未知数为，的方程组，其中与都是正整数，该方程组的解与是否具有“友好关系”？如果具有，请求出、的值；如果不具有，请说明理由．【答案】(1)具有，理由见解析(2)或(3)具有“友好关系”，或【思路引导】（1）求出方程组的解，再根据“友好关系”的定义判断即可求解；（2）求出方程组的解，根据“友好关系”的定义列出方程解答即可求解；（3）由方程组可得，再根据都是正整数求出方程组的解，再根据“友好关系”的定义判断即可求解；本题考查了解二元一次方程组，方程组的解，理解定义是解题的关键．【完整解答】（1）解：具有“友好关系”，理由如下：，①②得，，解得，将代入②得，，解得，∴方程组的解为，，方程组的解与具有“友好关系”，故答案为：具有；（2）解：，②①得，，∴方程组的解与具有“友好关系”，，解得或，的值为或；（3）解：，①得，，解得，由②得，∴∵方程组的解具有“友好关系”；∴∴∴其中与都是正整数，∴或∴或时，此时方程组的解具有“友好关系”．4．（22-23七年级下·湖南长沙·期末）阅读材料并回答下列问题：当m，n都是实数，且满足，就称点为“郡麓点”．例如：点，令，得，，所以不是“郡麓点”；点，令，得，所以是“郡麓点”．(1)请判断点点，是否为“郡麓点”：______；(2)若以关于x，y的方程组的解为坐标的点是“郡麓点”，求的值；(3)若以关于x，y的方程组的解为坐标的点是“郡麓点”，求正整数a，b的值．【答案】(1)不是“郡麓点”，是“郡麓点”；(2)10(3)或或或．．【思路引导】（1）根据“郡麓点”的定义分别判断即可；（2）先关于x，y的方程组的解，直接利用“郡麓点”的定义得出关于方程，解方程求出的值进而得出答案．（3）先关于x，y的方程组的解，直接利用“郡麓点”的定义得出关于、的二元一次方程求出正整数解即可．【完整解答】（1）解：点，令，得，，不是“郡麓点”，点，令，得，，是“郡麓点”；故答案为：B．（2）解：方程组的解为，点，是“郡麓点”，，，，，解得的值为10．（3）解：方程组的解为，点是“郡麓点”，，，，，解得，a，b为正整数，或或或．【考点评析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解、二元一次方程的正整数解求法，点的坐标知识，同时考查了阅读理解能力及迁移运用能力．掌握二元一次方程的正整数解求法是解（3）的关键．考点讲练03：方程组相同解问题5．（2023七年级下·江苏·专题练习）已知关于x，y的方程组和有相同解，求的值．【答案】【思路引导】先求出方程组的解，再把代入得出，求出a、b的值，最后把a、b的值代入计算即可．【完整解答】解：∵关于x，y的方程组和有相同解，∴解方程组得：，把代入得：，解得：，∴．【考点评析】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解本题的关键．6．（24-25七年级下·全国·单元测试）若方程组与方程组的解相同，求的值．【答案】【思路引导】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组、求代数式的值，由题意可得，解方程组求出，再求出、的值，代入计算即可得解，熟练掌握解二元一次方程组的解法是解此题的关键．【完整解答】解：由题意，得，解得，将代入得，解得，∴．考点讲练04：三元一次方程组的应用7．（24-25七年级下·河南焦作·阶段练习）2025年4月1日，开封清明文化节在清明上河园开幕，其间开展了清明踏春巡游、文艺展演等丰富多彩的群众文化活动．开封某校组织七年级的三个班参加清明踏春巡游活动，已知一班、二班的平均人数与三班人数之和为102，二班、三班的平均人数与一班人数之和为98，一班、三班的平均人数与二班人数之和为100，则三个班的总人数为（

）A．150 B．300 C．180 D．70【答案】A【思路引导】本题考查了三元一次方程组的应用，根据“一班、二班的平均人数与三班人数之和为102，二班、三班的平均人数与一班人数之和为98，一班、三班的平均人数与二班人数之和为100”列出三元一次方程组，再根据整体思想求解，掌握整体思想是解题的关键．【完整解答】解：设一班为人，二班有人，三班由人，则：，方程组可化为：，①②③得：，，故选：A．8．（24-25七年级下·四川乐山·期中）【阅读感悟】：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知满足①，②，求和的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．【解决问题】：(1)已知二元一次方程组，则______，______；(2)“战疫情，我们在行动”．某爱心公益小组计划为老年公寓捐赠一批防疫物资．已知购买20瓶消毒液、3支测温枪、2套防护服共需1180元；购买30瓶消毒液、2支测温枪、8套防护服共需2170元．若该爱心公益小组捐赠了100瓶消毒液、10支测温枪、20套防护服，那么购买这批防疫物资共需多少元？(3)对于两数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，那么_________．【答案】(1)；5(2)购买这批防疫物资共需6700元(3)【思路引导】（1）直接把两个方程相加或相减，即可求出答案；（2）根据题意，列出方程组，然后利用整体思想代入计算，即可得到答案；（3）根据题意，利用新定义进行计算，然后利用整体的思想即可求出的值．【完整解答】（1）解：，由得：；由，得，∴．（2）解：设的消毒液单价为m元，测温枪的单价为n元，防护服的单价为p元，依题意，得：，由可得，∴．答：购买这批防疫物资共需6700元．（3）解：依题意，得：，由可得：，∴．【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用，解二元一次方程的方法，以及利用整体的思想进行解题，解题的关键是熟练掌握利用整体思想进行解题．考点讲练05：根据几何图形列二元一次方程组9．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片、、、和一张长方形纸片，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为．(1)用和的代数式表示：正方形的边长为___________，正方形的边长___________，长方形的长为___________，长方形的宽为___________．由图1可得___________．(2)求图2阴影部分的周长．【答案】(1)；；；；2(2)20【思路引导】本题考查了整式的混合运算．（1）根据题意可表示出正方形、的边长，长方形的长和宽，再根据图1中长方形的周长为，可求出的值；（2）根据图2的周长可得，从而求出，然后可求出阴影部分的周长．【完整解答】（1）解：∵正方形的边长为，正方形的边长为，∴正方形的边长为，正方形的边长为，长方形的长为，长方形的宽为，由图1可得，∴，故答案为：；；；；2；（2）解：如图2：由题意得：，∴，阴影部分的周长．10．（24-25七年级上·福建三明·期末）问题情景：某数学兴趣小组开展了“无盖长方体纸盒的制作”实践活动．(1)综合实践小组利用边长为30厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子．①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为4厘米的小正方形，再沿虚线折合起来，则长方体纸盒的底面积为______平方厘米；②根据图2方式制作一个无盖的长方体纸盒，先在纸板上剪去一个小长方形，再沿虚线折合起来，已知，求该长方体纸盒的体积；(2)小明按照图1的方式用边长为30厘米的正方形纸片制作了一个无盖的长方体盒子，小明想利用这个盒子研究无盖长方体的展开图，他发现其中有一种展开图外围周长为156厘米，求小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长．（求出所有可能的情况）【答案】(1)①484；②立方厘米；(2)4厘米，或7厘米，或8厘米【思路引导】本题考查展开图折叠成几何体，二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，长方体的底面积，长方形的体积等知识点，运用了分类讨论的思想．解题的关键根据展开图得出长方体长宽高．（1）①根据题意，首先求得长方体纸盒底的长与宽，再根据长方形面积公式计算即可；②设，，根据长方体展开图的性质，列二元一次方程组并求解，即可得到答案；（2）长方体展开图的性质，分5种情况分析，列一元一次方程并求解即可．【完整解答】（1）解：①结合题意，得长方体纸盒底的长宽均为（厘米），∴长方体纸盒的底面积（平方厘米）；故答案为：484；②如图，设，，∵能折成一个无盖长方体纸盒，且，∴，∴，，即，∴，∴，∴该长方体纸盒的体积为立方厘米；（2）解：设小明剪去的小正方形的边长为m厘米，展开方式1如下图：∵无盖长方体展开图的外围周长为156厘米，∴，该方程无解；展开方式2如下图：∵无盖长方体展开图的外围周长为156厘米，∴，∴；展开方式3如下图：∵无盖长方体展开图的外围周长为156厘米，∴，∴，展开方式4如下图：∵无盖长方体展开图的外围周长为156厘米，∴，∴，展开方式5如下图：∵无盖长方体展开图的外围周长为156厘米，∴，∴，综上所述，小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长为4厘米，或7厘米，或8厘米．考点讲练06：方案问题（二元一次方程组的应用）11．（24-25七年级下·浙江·期中）某广告公司要利用长为240cm、宽为40cm的板裁切甲、乙两种广告牌，已知甲广告牌尺寸为，乙广告牌尺寸为．(1)若该广告公司用1块板裁切出的甲广告牌的数量是乙广告牌的数量的3倍，在不造成板材浪费的前提下，求此时裁切出的甲、乙广告牌的数量；(2)求1块板的所有无浪费裁切方案；(3)现需要甲、乙两种广告牌各500块，该公司仓库已有488块乙广告牌，还需要购买该型号板材多少块（恰好全部用完）？写出购买数量，并说明如何裁切．【答案】(1)裁切甲广告牌9块，乙广告牌3块(2)有三种裁切方案：方案1：甲广告牌16块，乙广告牌0块；方案2：甲广告牌9块，乙广告牌3块；方案3：甲广告牌2块，乙广告牌6块(3)需要购买该型号板材33张；裁切办法：用其中29张板材裁切甲广告牌464张，用4张板材裁切甲广告牌36张和乙广告牌12块；或者用其中31张板材裁切甲广告牌496块，用2张板材裁切甲广告牌4块和乙广告牌12块【思路引导】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出二元一次方程和二元一次方程组．（1）根据“甲乙广告牌的尺寸”和“用1块板裁切出的甲广告牌的数量是乙广告牌的数量的3倍”，建立等量关系，列出二元一次方程求解即可；（2）设一张该板裁切甲广告牌m块，乙广告牌n块，可得，求出非负整数解即可；（3）根据题意，需裁切甲广告牌500块，乙广告牌块，且板材恰好全部用完，可分三种情况讨论，①单独采用方案3，直接列示求解即可得购买板材数量；②采用方案1和2相结合，设用x张板材裁切，每张裁切甲广告牌16块，用y张板材裁切，每张裁切甲广告牌9块和乙广告牌3块，可得二元一次方程组，解方程组可得答案；③采用方案1和3相结合，设用x张板材裁切，每张甲广告牌16块，用y张板材裁切，每张裁切甲广告牌2块和乙广告牌6块，同样的方法求解即可．最后对比即可得出结论．【完整解答】（1）解：设裁切甲广告牌x块，乙广告牌y块，依题意得：解得答：裁切甲广告牌9块，乙广告牌3块．（2）解：设该板材裁切甲广告牌m块，乙广告牌n块，根据题意得：可得，∵，为非负整数，∴或或答：有以下三种裁切方案：方案1：甲广告牌16块，乙广告牌0块；方案2：甲广告牌9块，乙广告牌3块；方案3：甲广告牌2块，乙广告牌6块．（3）解：①采用方案3，根据题意，得：（张）（张）（张）需要购买该型号板材252张，用其中250张板材裁切甲广告牌500块，用2张板材裁切乙广告牌12块．②采用方案1和2相结合，设用x张板材裁切，每张裁切甲广告牌16块，用y张板材裁切，每张裁切甲广告牌9块和乙广告牌3块，根据题意，得：解得：（张）（张）（张）（张）需要购买该型号板材33张，用其中29张板材裁切甲广告牌464张，用4张板材裁切甲广告牌36张，乙广告牌12块．③采用方案1和3相结合，设用x张板材裁切，每张甲广告牌16块，用y张板材裁切，每张裁切甲广告牌2块和乙广告牌6块根据题意,得：解得：（张）（张）（张）（张）需要购买该型号板材33张，用其中31张板材裁切甲广告牌496块，用2张板材裁切甲广告牌4块和乙广告牌12块．综上，采用②③两种情况购买，需要购买该型号板材33张；裁切办法：用其中29张板材裁切甲广告牌464张，用4张板材裁切甲广告牌36张和乙广告牌12块；或者用其中31张板材裁切甲广告牌496块，用2张板材裁切甲广告牌4块和乙广告牌12块．12．（2023·四川达州·模拟预测）我市计划将一批爱心物资运往灾区，这一批爱心物资为甲种货物吨和乙种货物吨，准备租用A、B两种型号的汽车共辆，现有一汽和二汽两家汽车公司竞争这次运输任务，他们均有足够量的A、B型汽车，收费标准如表：一汽二汽A型每辆费用（元）B型每辆费用（元）(1)已知二汽公司每辆B型汽车的费用比每辆A型汽车的费用多元，且在二汽公司租4辆A型汽车和5辆B型汽车的总费用为元．求表格中，的值；(2)已知每辆A型汽车最多可以装甲种货物7吨和乙种货物4吨，每辆B型汽车最多可装甲种货物5吨和乙种货物8吨，按此要求安排同一家汽车公司的A、B两种型号汽车将这批物质一次性运往灾区，请问共有多少种租车方案？从运费最少的角度考虑，怎选择哪家公司来运输这批货物？请说明理由．【答案】(1)表格中的值为，的值为(2)共有3种租车方案，选择二汽公司来运输这批货物，总费用最少，见解析【思路引导】本题考查了一元一次不等式组和二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题关键.（1）依题意得：，即可求解；（2）设需租用辆A型汽车，则租用辆型汽车，依题意得：，即可求解【完整解答】（1）解：依题意得：，解得：．答：表格中的值为，的值为．（2）解：设需租用辆A型汽车，则租用辆型汽车，依题意得：，解得：，取整数，．共有3种租车方案．每辆A型汽车的费用小于每辆B型汽车的费用，租用30辆A型汽车，10辆B型汽车更省钱．选择一汽公司所需总费用为：（元）；选择二汽公司所需总费用为：（元）．，选择二汽公司来运输这批货物，安排辆A型汽车，辆B型汽车时，总费用最少．考点讲练07：行程问题（二元一次方程组的应用）13．（21-22七年级下·河北邯郸·阶段练习）如图，已知直线和交于点，，，垂足为，平分．(1)当时，则______；______；(2)当时，射线从开始绕点逆时针匀速转动，同时，射线从开始绕点匀速转动，且射线的转动速度大于射线的转动速度．①若射线顺时针转动，则射线与射线经过7.5秒第一次重合；若射线逆时针转动，则射线与射线经过37.5秒第一次重合．求射线，绕点转动的速度分别是多少？②若射线，绕点转动的速度与①中转动速度相同，射线顺时针转动，当射线转动一周时，射线也停止转动，当时，直接写出射线转动的时间．【答案】(1)60°，75°(2)①射线绕点转动的速度是，射线绕点转动的速度是；②射线转动的时间为3或12或21或30．【思路引导】（1）利用互余可知，利用互补及角平分线的性质可知；（2）①先根据，可知，则两种情况可以类比二元一次方程应用中的路程问题，根据相遇、追击两种情况列出方程组，求解即可；②分两种情况：在直线0E的左边和右边，根据其夹角列4个方程可得时间．【完整解答】（1）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，故答案为：60°，75°；（2）①设射线绕点转动的速度是，射线绕点转动的速度是，由题意列方程组为，解得，答：射线绕点转动的速度是，射线绕点转动的速度是；②设射线转动的时间为t秒，由题意得：或或或，解得：或或或，综上所述：射线转动的时间为3或12或21或30．【考点评析】本题考查了对顶角相等，邻补角互补的定义，解二元一次方程组，角平分线的定义，角的计算，第二问有难度，难点在于要分情况讨论．14．（21-22七年级上·江苏苏州·期末）点A对应数a，点B对应数b，点C对应数c，xc﹣5y与﹣2xb＋15y的和是﹣6x5y．(1)那么a＝，b＝，c＝；(2)点P为数轴上一点，且满足PA＝3PB＋1，请求出点P所表示的数；(3)点M为数轴上点A右侧一点，甲、乙两点分别从A、M出发，相向而行，2分钟后在途中相遇，相遇后，两点的速度都提高了1单位长度/分，当甲到达M点后立刻按原路向A返行，当乙到达A点后也立刻按原路向M点返行．甲、乙两点在第一次相遇后3分36秒又再次相遇，则A、M两点的距离是单位长度；(4)当甲以4单位长度/分的速度从A出发，向右运动，乙同时从点C出发，以6单位长度/分的速度向左运动，当甲到A、B、C的距离之和为40个单位长度时，假如甲立即掉头返行，请问甲、乙还能碰面吗？若能，求出碰面的地点对应的数；若不能，请说明理由．【答案】(1)﹣24，﹣10，10(2)点P所对应的数是﹣或-(3)36(4)能，碰面的地点对应的数为﹣44【思路引导】（1）根据合并同类项的法则可知，c-5=b+15＝5，且+（﹣2）＝﹣6，解之即可；（2）设点P所对应的点为x，根据题意，需要分两种情况：①当点P在线段AB上时，②当点P在点B的右侧时，根据PA＝3PB+1，分别列出方程求解即可；（3）设提速前甲、乙的速度分别为m单位长度/分，n单位长度/分，AM两点间的距离为s单位长度，则提速后甲、乙的速度分别为（m+1）单位长度/分，（n+1）单位长度/分，根据题意可知，，利用消元法消去m和n，即可解得s的值．（4）设甲运动后所对应的点为D，乙运动后所对应的点为E，甲、乙运动的时间为t分，若甲、乙碰面，则有4t+6t＝10﹣（﹣24），解题t＝3.4．当点D在AB之间时，0＜t＜，则有，AD＝4t，BD＝14﹣4t，CD＝34﹣4t，所以4t+14﹣4t+34﹣4t＝40，解得t＝2；甲，乙作追击运动，甲和乙能碰面．【完整解答】（1）解：xc﹣5y与﹣2xb＋15y的和是﹣6x5y．∴c-5=b+15＝5，+（﹣2）＝﹣6，解得a＝﹣24，b＝﹣10，c＝10．∴点A对应数﹣24，点B对应数﹣10，点C对应数10．故答案为：﹣24，﹣10，10．（2）设点P所对应的点为x，根据题意，需要分两种情况：①当点P在线段AB上时，PA＝x+24，PB＝﹣10﹣x，∴x+24＝3（﹣10﹣x）+1，解得x＝﹣；②当点P在点B的右侧时，PA＝x+24，PB＝10+x，∴x+24＝3（10+x）+1，解得x＝-．∴点P所对应的数是﹣或．（3）设提速前甲、乙的速度分别为m单位长度/分，n单位长度/分，AM两点间的距离为s单位长度，则提速后甲、乙的速度分别为（m+1）单位长度/分，（n+1）单位长度/分，根据题意可知，，解得s＝36．故答案为：36．（4）甲和乙能碰面，此时对应的数为﹣44．理由如下：设甲运动后所对应的点为D，乙运动后所对应的点为E，甲、乙运动的时间为t分，若甲、乙碰面，则有4t+6t＝10﹣（﹣24），解题t＝3.4．当点D在AB之间时，0＜t＜，则有，AD＝4t，BD＝14﹣4t，CD＝34﹣4t，∴4t+14﹣4t+34﹣4t＝40，解得t＝2；∵2＜3.4，当t＝2时，甲在﹣16处，乙在﹣2处，甲改变运动方向，甲、乙同向运动，﹣16﹣4（t﹣2）＝﹣2﹣6（t﹣2），解得t＝9．此时﹣16﹣4×（9﹣2）＝﹣44，∴甲和乙能碰面，此时对应的数为﹣44．【考点评析】本题考查了一元一次方程的应用以及二元一次方程组的应用和数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．考点讲练08：工程问题（二元一次方程组的应用）15．（2025七年级下·浙江·专题练习）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做天可以完成，需付费用元，问：(1)甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？(2)已知甲组单独完成需天，乙组单独完成需天，单独请哪个组，商店所需费用最少？(3)若装修完后，商店每天可赢利元，你认为如何安排施工更有利于商店？请你帮助商店决策．（可用（1）（2）问的条件及结论）【答案】(1)甲、乙两组工作一天，商店各应付元和元(2)单独请乙组需要的费用少(3)甲、乙两组合作同时施工8天损失费用最少【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数加法、乘法的实际应用．熟练掌握二元一次方程组的应用，有理数加法、乘法的实际应用是解题的关键．（1）设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元．依题意得，，计算求解，然后作答即可；（2）由题意知，单独请甲组需要的费用：（元），单独请乙组需要的费用：（元），由，判断作答即可；（3）分别计算甲、乙单独完成时的损失，然后计算甲乙合作完成时的损失，最后比较大小并作答即可．【完整解答】（1）解：设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元．依题意得，，解得，答：甲、乙两组工作一天，商店各应付元和元；（2）解：由题意知，单独请甲组需要的费用：（元），单独请乙组需要的费用：（元），∵，∴单独请乙组需要的费用少；（3）解：由题意知，甲组单独做天，需费用元，少赢利（元），相当于损失（元）；乙组单独做天，需费用元，少赢利（元），相当于损失（元）；甲乙两组合作同时施工8天，需费用元，少赢利（元），相当于损失（元）；∵，∴甲、乙两组合作同时施工8天损失费用最少．16．（24-25七年级下·全国·单元测试）下面是学习二元一次方程组时，老师提出的问题和两名同学所列的方程．问题：某个工人一天工作6个小时，可以生产零件一整箱和不足一箱的20个；由于特殊情况，今天他只工作4个小时，生产零件一整箱和不足一箱的4个，问这一箱零件和该工人每小时能生产的零件数分别是多少？小明所列方程：；小亮所列方程：；根据以上信息，解答下列问题．(1)以上两个方程（组）中x意义是否相同？________（填“是”或“否”）；(2)小亮的方程所用等量关系是________（填序号，“①每个小时生产的零件数相等”或“②4个小时生产的零件数相等”）；(3)根据小明所列的方程组完整解答老师提出的问题．【答案】(1)是(2)②(3)一箱零件数是28个，该工人每小时能生产的零件数是8个【思路引导】本题主要考查了一元一次方程和二元一次方程组的应用，正确理解所列方程的意义是解题的关键．（1）根据所列方程分别得到小明和小亮所列方程中x的意义即可得到答案；（2）根据小亮所列方程的意义求解即可；（3）利用解二元一次方程组的方法求解即可．【完整解答】（1）解：由小明所列方程的意义可知，小明方程中x表示的是这一箱零件的个数，而由小亮所列方程的意义可知，小亮方程中的x表示的是这一箱零件的个数，∴以上两个方程（组）中x意义相同，故答案为：是；（2）解：根据小亮所列方程的意义可知小亮的方程所用等量关系为4个小时生产的零件数相等，故答案为：②；（3）解：设一箱零件数是个，该工人每小时能生产的零件数是个，根据题意得，，得：，解得，把代入①得：，解得，∴这一箱零件和该工人每小时能生产的零件数分别是28个、8个．考点讲练09：分配问题（二元一次方程组的应用）17．（24-25七年级下·浙江温州·期中）综合与实践．【素材1】某工厂计划日生产件零件．【素材2】现有初级工、高级工两种工人可安排参与生产，生产能力和薪酬如下：工种初级工高级工日生产量（件/人）日薪酬（元/人）【素材3】为了便于调配，工厂安排的工人恰好可以完成生产计划．【问题】(1)若工厂指派名高级工参与生产，则需要安排多少名初级工？(2)该工厂每日计划支付薪酬元，那么需要安排初级工、高级工各多少人？(3)为了保证生产质量，该工厂计划每4名初级工生产时需1名高级工进行指导（不足4名按4名计算，指导的高级工不参与生产，但需要支付日薪酬），请为工厂设计一个成本最低（支出工人的总日薪酬最低）的工人安排方案．【答案】(1)若工厂指派名高级工参与生产，则需要安排名初级工(2)需要安排初级工5人，高级工人(3)应安排初级工名，高级工8名【思路引导】本题考查了二元一次方程组得应用，二元一次方程的应用以及一元一次方程的应用．找准等量关系，列出正确的等式是解题的关键．（1）设需要安排名初级工，根据需要日生产件零件，可列出关于的一员一次方程，解之即可；（2）设需要安排初级工x人，高级工y人，根据日生产件零件且该工厂每日支付薪酬元，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可；（3）设需要安排参与生产的初级工人，高级工人，根据日生产件零件，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为非负整数，可得出各安排方案，结合每4名初级工生产时需要1名高级工进行指导（不足4名按4名计算，指导的高级工不参与生产，但需要支付日薪酬），可列表得出具体安排方案，再求出选择各方案需支出工人的总日薪酬，比较后即可得出答案．【完整解答】（1）解：设需要安排名初级工，根据题意得：，解得：，答：若工厂指派名高级工参与生产，则需要安排名初级工．（2）解：设安排初级工x人，高级工y人，解得答：需要安排初级工5人，高级工人．（3）解：设参与生产的初级工人，高级工人则，化简得，则为5