2026初中数学9年级上(湘教)专题3.1 比例线段(讲义)(原卷版)

专题3.1比例线段（举一反三讲义）





1

............................................................................................................................................1



2!"#$

................................................................................................................2



3%&

................................................................................................................................2



4'(

............................................................................................................................................3



5)*+,%&

....................................................................................................................................3



6)*+,'(

....................................................................................................................................4

知识点1比例线段

1.定义：如果=（或=），那就说成比例。两条线段的长度的比叫做两条线段的比.

푎푐

푎:푏푐:푑푏푑푎,푏,푐,푑

对于四条线段如果=（或表示为=），那么叫做成比例线段，简称比例线段．这

푎푐

푏푑

时，线段，푎,是푏,比푐,例푑,外项，线段푎:푏，푐:푑是比例内项.푎,푏,푐,푑

2.性质：푎푑푏푐

基本性质：===,=

푎푐푏푑푐푑

푏푑⟺푎푑푏푐,푎푐푎푏

合比性质：==,==

푎푐푎+푏푐+푑푎푐푎−푏푐−푑

푏푑⟺푏푑푏푑⟺푏푑

等比性质：==k===k

푎푐푎+푐푎푐

푏푑⟺푏+푑푏푑

知识点2黄金分割

如果点把线分割成和（＞）两段，其中是和的比例中项，即这种分割为黄金分割，

点称为线段푃퐴퐵的黄金퐴푃分割点푃퐵.퐴푃푃퐵퐀퐏퐀퐁퐏퐁

푃퐴퐵50.618

与的比值2称为黄金分割数（简称黄金数）.黄金分割数是一个无理数，在应用时取其接近值。

−1

퐴푃푃퐵

【题型1成比例线段】

1

-24-25./01·2345·67819:;7<=>-8

A?=4cm@=6cm@=5cm@=10cm

B?푎=2cm@푏=3cm@푐=4cm@푑=6cm

푎푏푐푑

C?=2cm@=3cm@=4cm@=1cm

D?푎=2cm@푏=3cm@푐=2cm@푑=3cm

AB푎1-1

-24-25푏C/0D·DEFG푐·HIJ8KL푑>@7M@=2@=4@N=?

AB1-2

-24-25C/0D·OPQR·678KL푐푎=푏=9@푎>푐S7M@N푏=

-TT8푎1,푏푐푎푏푐

A?1B?3C?5D?9

AB1-3

-24-25C/0D·UVWX·678KLa@b@c@d>@Y=2@=3@=4@N

d4Z[>-8푎푏푐

A?2B?3C?4D?6

【题型2由比例的性质判断结论正误】

2

KL<=a@b@c@d\]=@N19^B_`a>-TT8

푎푐

푏푑

A?=B?=C?=D?=

22

푎푐푎+푐푎푎푐2푎+푐푎

푑푏+푑푏2푑+푏

푏푏푏1111푑

AB2-1

-24-25b/01·DE·HIJ8c^B×=×deB@#f>-8

205254

11111111

A?:=:B?:=:

204255452520

11111111

C?:=:D?:=:

254205525204

AB2-2

-23-24C/0·DEFG·678KL=@N19Bg#f>-TT8

21524

A?=B?=C?2푎=3푏D?=

33225

푎푎−푏푎+푏푎+

푏푏푏5푏+

AB2-3

-24-25C/0D·DE·HIJ8Y===7-bSdSfhi#j8@N19Bgk_`

푎푐푒

푏

a>-TT8푑푓

5

A?=B?=

7

푎+푏2푎+푐−푒

푎−푏2푏+푑−푓

−6555

C?=D?=

777

푐+푒푎+푎+푐+푒+

푑+푓푏+푏+푑+푓+

【题型3由比例的性质求值】

3

-23-24C/0D·lmnV·6o8KL===@N=-8

2푎2푏2푐

푏+푐

A?1B?±1C?1p푎+푐푎+푏푘D?2푘

11−2

AB3-1

Y==3-b+d+3≠08@N3q?

푎푐푎+푐+

푏푑푏+푑+

1

AB3-2

Y===3r+0@N&i-8

푎푐푒푎−2푐+3푒

푏푏−2푑+3푓

1푑푓1푏−2푑3푓≠15

A?6B?3C?2D?6

2

AB3-3

KL===3@Nsb+d﹣m≠0t@q-TT8

푎푐푛푎+푐−푛

푏푏+푑−푚

푑푚22

A?﹣1B?1C?D?

33

−

【题型4比例的应用】

4

-24-25C/0D·uvwxy·678z{|}~@z€‚~@ƒt„…†‡ˆ‰Š‹†?K

2

L}~ŒŽ†7t@‚~‚‰‘’5“s}~”•–t@‚~‚‰24km?…S‹Ž†—˜

™š›œ-(ž8

AB4-1

KLŸ

¡¢=£

B=@¤7F1,F2,L1@L2hki¥@(F1,F2,L2¦jB§¨L1#f

퐹1퐿2

퐹2퐿1

>()

A?=B?=

퐹1퐹2퐿2

퐿1퐿2퐿1퐹1퐹2

C?=D?=

퐹2퐿2퐹1

1퐹11퐹2퐿2

AB퐿4-2

-23-24©/0D·ª«¬V·¬

­®8_¯°±(²³´†?(µ4>퐿3+œ#²¶²³@

·±960¸@¹ºd(µ4i2+œ#²¶²³@·±™š¸

AB4-3

-24-25C/0D·DE»¼·678¹½@¾Q¿À42ÁÁ¿Â18ÁÁ¿ÃÄÅ

?Á¿-30Á8ÆÁ¿ÇQ@Á¿ÆÁ¿-60Á8ÇQ?YÁ¿Ȉi퐵7000É/+?%퐶

퐴퐵퐶퐷퐴

(1)Á¿Ȉ“

(2)ÊËÀÌ͈Î-Ïf”퐷0.1%8

【题型5由黄金分割求值】

5

-24-25./01·uvwЫ·678CSD>ŽË)*+,@Y=2@N4

퐴퐵퐴퐵퐶퐷

i-8

A?5B?22C?25D?2

AB3−5-1

-24-25C/0D·−4ÑwÒÓ·678¹½@−4C@D>3−ŽË)*+,@C

-Ô>pk>8_Ë)*+,?퐴퐵

퐴퐷

5

AB5-2

-24-25C/0D·wÕÖ×·HIJ8ØÆ4>2Ù¶Ú)*Ù¶@)*Ù¶ÛÜÝ

−1

Þßàáâ@ãä:åæ™çèéêiëìíîïðñº@òó()*Ù¶ôõ?KL<µ¶

>)*Ù¶<@P>µD_@r=45°@N=-8퐴퐵퐶퐷

푃퐷

퐷퐶

5(퐴퐵퐵퐶)1퐴퐷∠푃퐵퐶5

A?2B?2C?4D?1

−13−

2

AB5-3

¹½@AB4i1@ABDëP1\]ÀBAP1qBP1•AB@NAP14öi“

22

AP1DëP2\]ÀBAP2qP1P2•AP1@AP2DP3\]ÀBAP3qP2P3•AP2@÷øÞù

úû@APn4öi?

【题型6黄金分割的应用】

6

-24-25C/01·ümýþ·HIJ8_ËÿĀāĂ㥹)*+,ĆíćìĈ?¹ºĄ

ą4i18œ@ÿĀāĉăĂăĆ@NĊ'ċšČč