第2章 特殊三角形 单元测试卷（含答案）初中数学浙教版八年级上册

八年级数学上册第2章特殊三角形单元测试卷浙教版（2024）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.2022年北京冬奥会会徽“冬梦”以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方

文化底蕴与国际化的现代风格融为一体.以卜.是参选的会徽设计的一部分图形，其中是轴对称图形的是

A.13B.17C.13或17D.14

3.等腰三角形的一个外角是95°,则它底角的度数是（）度.

A.85B.47.5或95C.85或47.5D.无法确定

4.下列命题为真命题的是（）

A.三个角对应相等的两个三角形全等

B.等腰三角形的底角必为锐角

C.等腰三角形的顶角一定是锐角

D.每个定理都有逆定理

5.如图，是等边三角形，，4。是灰;边上的中线，点E在/。上，且。石=加。，则乙4属=（）

A.100°B.105°C.110°D.115°

6.如图，在△月BCUJAB=AC,N/l=36",16的垂直平分线。石交力。于点E,交于点、D,连接

BE,则NK8C的度数是（）

7.如图，已知射线OM,以0为圆心，任意长为半径画弧，与射线0M交于点4再以点力为圆心，AO

氏为半径画弧，两弧交于点从画射线06,作4。04垂足为。，那么NO80的度数是（）

8.如图，在RtZL4C8和RtaOCE中，AC=BC=2,CD=CE,NCBD=T50,连接4E,BD交于点、F,

A-2V2B.V2C.2V3D.V3

9.如图，△/8c中，N/8C与N.4cB的平分线交于点凡过点F作DE〃EC交于点、D,交AC于点、E,

那么下列结论：

①△8Q尸和△CEF都是等腰三角形；

②DE=BD+CE；

®/\ADE的周长等于AB与AC的和；

®BF=CF.

其中正确的有（）

D,FE

BV-----------------4c

A.①②③B.①②③④C.①②D.①

10.如图，在△力8c中，BC=15,BP,“分别是N/8。和N,4C8的角平分线，DP〃AC交BC于点、D,

PHLAB于点、H,若PH=3,BH=6,则OC的长是（）

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）

11.如图，AB//CD,DBLBC,Zl=38°,则N2的度数是.

12.已知a,人是等腰三角形的两边长，且满足（。-5）2+狼-7|=0,等腰三角形的周长为.

13.等腰三角形两底角相等的逆命题是.

14.如图，在等边△48C中，D是BC上一点,于点£,若N£ME=45°,则N4OC的度数

为__________

15.如图，在四边形中，/Q〃4C,E是4c上一点，”是46的中点，力。=14,DE=16,若EF工

16.如图，△/Y。和△ECQ都是等腰直角三角形，△川5C的顶点力在△ECO的斜边。七上.下列结论：

①△4CE@ABCD；（2）ZDAB=ZACE；@AE+AC=AD；@AE2+AD2=2AC2,这些结论中正确的

是__________

三、解答题（本大题共8小题，共72分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过

程或演算步骤）

17.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点4,B,C均在小正方形的顶点上.

（1）在图中画出与△45C关于直线/成轴对称的△4EC；

（2）在直线/上找一点P,使得△4PC的周长最小；

18.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离4c为0.7米，

梯子顶端到地面的距离4C为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到

地面的距离为1.5米.

（1）梯子48的长是多少？

（2）求小巷的宽.

19.如图，在等边三角形48c的AC,8c边上各取一点尸，Q,使4P=C0,AO,8P相交于点。.求N

40。的度数.

20.已知：如图，AB=AE,/B=/E,BC=ED,CF=DF.求证：BD=CE.

CFD

21.已知如图，在△44C中，力"是伙:‘边上的高线，是月4边上的中线，DG工CE于G,CD=AE.求

证：CG=EG.

22.如图，△48。中，N4C8=90°,点。是边8c上一点，于点E,点/是线段/O的中点,

连接EECF.

(1)求证：EF=CF,

(2)若/比1C=45°,40=6,求C,E两点间的距离.

23.(1)问题发现

如图1,已知△4C8和△QCE均为等边三角形，点4,D,E在同一直线上，连接8E,求N4E8的度

数.

（2）拓展探究

如图2,若△4C8和△OCE均为等腰直角三角形，/ACB=/DCE=9（）。，点力、D、七在同一直线上,

CM为△OCE中。石边上的高，连接BE：

求：①N/1E8的度数；

②线段CM,AE,8E之间的数量关系，并说明理由.

24.如图，已知△48C中，N8=90°,AB=Scm,BC=6cm,P、0是△48C边上的两个动点，其中点尸

从点力开始沿力一8方向运动，且速度为每秒工〃?，点。从点8开始沿8—。方向运动，巨速度为每秒

2cm,它们同时出发,设出发的时间为/秒.

（1）当f=2秒时，求夕。的长：

（2）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？

（3）若。沿8-C一彳方向运动，则当点。在边。上运动时，求能使△BC。成为等腰三角形的运动

时间.

参考答案

一、选择题（本大题共1。小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.解：A,C,。选项中的图形都不能找到这样的一条直线，值图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能

够互相重介，所以不是轴对称图形；

8选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以

是轴对称图形；

故选：B.

2.解：已知一个等腰三角形的两条边长分别是3和7,则：

当3为腰时，3+3V7,不符合三角形三边关系，

当7为腰时，等腰三角形的三边为：7、7、3,可以构成三角形，

・•・等腰:三角形的周长为：7+7+3=17,

故选：B.

3.解：如果等腰三角形底角的一个外角是95°,

工它底角的度数是180°-95°=85°；

如果等腰三角形顶角的外角是95°,

・,•它底角的度数是枭95°=47.5°,

・•・等腰三角形底角的度数是47.5°或85°.

故选：C.

4.解：A.三个角对应相等的两个三角形不一定全等，是假命题；

B.该说法正确，是真命题；

C.等腰三角形的顶角不一定是锐角，也可以是直角或钝角，所以该命题是假命题；

D.每个定理不一定有逆定理，是假命题；

故选：B.

5.解：。是等边三角形，

・・・N8/C=60°，

•・•力力是8C边上的中线，

AZBAD=y-X.BAC=^°,ADA,BC,BD=CD=^BC,

AZCD£=90°，

'：DE=^rBC.

2

：.DE=DC,

AZDEC=ZDCE=45°,

：・NAEF=NDEC=45°,

・•・ZAFE=180°-/BAD-ZAEF

=180°-30°-45°

=105°,

故选：B.

6.解:'：AB=AC,

/.ZABC=ZC,

VZJ=36*,

AZABC=^-(180°-ZA)=T-X(180°-36°)=72°,

22

•・・OE是48的垂直平分线，

；・AE=BE,

AZABE=ZA=36°,

：・/CBE=NABC-/ABE=36°.

故选：C.

:.4OAB是等边三角形，

AZ(95/1=60°,

•；BD1OA,

AZC)BD=^ZOBA=^X6()>=30。

22

故选：D.

8.解：•・•/ACB=NECD=90°,

/.ZACE=ZBCD,

在△4CE和△灰为中，

AC=BC

•ZACE=ZBCD，

CE=CD

:,AACE必BCD(SAS),

；・/CAE=/CBD,

:・/BFA=/ACB=90°,

VZJCZ?=90<>,AC=CB=2,

AZABC=450,AB=?M，

VZCTD=15°,

/=60°,

；・NB4F=30°,

1.BF=^4B=痘,

故选：B.

9.解：,:DE〃BC,

:./DFB=/FBC,/EFC=4FCB,

•••4”是//出。的平分线，C”是N4C4的平分线，

:・/FBC=/DFB,NFCE=4FCB,

VZDBF=ZDFB,NEFC=/ECF,

:.△DFB,△MC都是等腰三角形.

:・DF=DB,FE=EC,即有DE=DF+FE=DB+EC,

:AADE的周长AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC.

故选：A.

1().解：'：DP//AC,

:・NCPD=NACP,

•・。平分N/C8,

:,NPCD=NACP,

：,4PCD=4CPD,

:・CD=PD,

过P作于设。C=x,

；・BP平分4BC,PHL4B于点、H,

:.PM=PH=3,

•:PB=PB,

；,RtAPBMgR3BH(HL),

:・BM=BH=6,

:・MD=BC-MB-CD=15-6-x=9-x,

由勾股定理得到：PD?=PM2+MD，

"=32+(9-X)2,

/•x=59

：.DC=5.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）

・・・N1+N3=9O°.

VZ1=38°,

/.Z3=90°-38°=52°.

■:AB"3、

・・・N2=N1=52°.

故答案为：52°.

12.解：V(d-5)2+|Z>-7|=0,

：.a-5=0,b-7=(),

**•t/=5»h=l9

当等腰三角形的腰长是5时，

V5+5>7,满足三角形三边关系定理，

・••此时等腰三角形的周长=5+5+7=17；

当等腰三角形的腰长是7时;

V54-7>7,满足三角形三边关系定理，

••・此时等腰三角形的周长=5+7+7=19,

・•・等腰三角形的周长是17或19.

故答案为：17或19.

13.解：命题等腰三角形两底角相等的条件是如果一个三角形是等腰三角形，结论是这个三角形的两底角

相等，

故等腰三角形两底角相等的逆命题为：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形,

故答案为：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.

14.解：•••△/出。为等边三角形，

AZC=60°,

ZDAE=45°,

・・・N4QC=1800-ZDAC-ZC=I8O°-45°-60°=75°.

故答案为：75°.

15.解:延长D尸交C8的延长线于点〃，如图所示：

,:AD〃BC,EF工DF,

:.AD//BH,EF1DH,

:・/H=4FDA,NFBH=NA,

丁方是48的中点,

：.BF=AF,

在△BFH和AAFD中,

'NH=NFDA

,NFBH=NA，

BF=AF

:•△BFH仝XAFD(AAS)，

：・BH=AD=14,FH=FD,

,:EFLDH,FH=FD,

是〃。的垂直平分线，

：」IE=DE=\6,

：,BE=HE-BH=\6-14=2.

故答案为：2.

16.解:①依题意得：AC=BC,EC=DC,NECD=NACB=90°,

：.4ECD-NACD=ZACB-NACD,

・•・NACE=NBCD,

在△彳C£和△8CQ中，

AC=BC

,NACE=/BCD，

EC=DC

:•△ACEWABCD(SAS),

故结论①正确；

②设N/CE=N88=a,

由等腰直角三角形性质得：/E=NCDE=NCAB=45°,

在中，ZCJ£=180°-(ZE+ZECJ)=180°-(45°+a)=135°-a,

*.*/\ABC的顶点A在△EC。的斜边DE上，

AZDAB+ZCAB+ZCAE=\^°,

・・・NO/4=180°-(ZCAB+ZCAE)=180°-(45°+135°-a)=a,

:・/DAB=NACE=a,

故结论②正确；

③不妨假设AE+AC=AD,

在。4上截取4)=力£,连接CK如图所示：

E

A

由等腰直角三角形性质得：NCDF=NE=45：

在△C。/和△CE4中，

FD=AE

<ZCDF=ZE，

,CD=CE

:,△CDFmXCEA(SAS),

：,FC=AC,

•：AD=AF+DF=AF+AE,AE-^AC=AD,

：.AE+AC=AF+AE,

：.AC=AF,

：,FC=AC=AF,

是等边三角形，

：.ZCAF=60°,

；・/DAB=/CAF-/CAB=15°,

由结论②正确得：NACE=NDAB=15°,

根据已知条件得：/4CE不一定等于15°,

故结论③不一定正确；

④在RI△力BC中，AC=BC,NACB=9。。,

由勾股定理得：AB2=AC2+BC2=2AC2,

由结论①正确得：AACE”ABCD,

；・NE=NBDC=45°,AE=BD,

；・NADB=/CDE+/BDC=90°,

•••△力4。是直角三角形，

在中，由勾股定理得：AB2=BD2+AD2,

：,BD2+AD2=2AC2,

":AE=BD,

：,AE2+AD2=2AC2,

故结论④正确；

综上所述：结论正确的是①②④.

故答案为：①②④.

三、解答题(本大题共8小题，共72分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过

程或演算步骤)

17.解:(1)如图,△彳夕。即为所求；

（2）如图，点。即为所求；

1117

（3）△/8c的面积=2X4-2X2X1-±X1X4-W"X1）<3=^.

2222

18.解：（1）在RtZ\ZC8中，

•:/ACB=90°,BC=0.7米,力。=2.4米，

，/5=0.72+2.42=6.25（米）.

：.AB=2.5（米）.

答：梯子的长是2.5米

（2）在RtATBZ）中,

■N4乙8=90°,40=2米，BD2+A'D2=A'B2,

・・・83+IS2=6.25,

•・.4Q2=4.

:.BD=2米.

，CO=8C+8£>=0.7+2=2.7（米）.

答：小巷的宽度。。为2.7米.

19.解：•••△48C是等边三角形，

AZBAP=ZACQ=ZABQ,AB=AC=BC,

•・•在2和△力C0中，

rAB=AC

-ZBAP=ZACQ>

AP=CQ

(SAS),

AZABP=ZCAQ,ZBAQ+ZCAQ=60°,

:・/BAQ^/ABP=60°,

ZBOQ=ZBAQ+ZABP,

:・NBOQ=60°.

20.证明：连接力(7,AD,如图所示：

在△48C和△4TO中，

rAB=AE

<ZABC=ZAED.

BC=ED

:•△AB8AAED(SAS),

：,AC=AD,ZACB=ZADE,

在△力CO中，AC=AD,

JNACD=NADC,

，N4CB+NACD=ZADE+ZADC,

即/BCD=NCDE,

在△BC。和△£QC中，

rBC=ED

</BCD二NCDE，

,CD=DC

:.△BCD@/\EDC(SAS),

:,BD=CE.

21.证明：如图，连接。G

•••力。是8C边上的高线，CE是43边上的中线，

：・DE=±AB=AE=CD,

2

•・・OG_LCE于G,

由“等腰三角形三线合一“知，CG=EG.

22.(1)证明：〈DEUB,

：.ZDEA=90Q,

在RtAJZsD和RtAJCZ)中，

丁点尸是斜边力。的中点，

••・所=当。，。/=当。，

22

：・EF=CF；

(2)解：连接CE,由(1)WEF=AF=CF=^AD=3,

乙

:・NFEA=NFAE,NFCA=NFAC,

:./EFC=2/FAE\2NFAC=2NI3AC=2XA50=90°,

22

:・CE=7EFCF=732+32=3版•

即C,E两点间的距离是3a.

23.解：（1）•••△4CB和△£）€*£是等边三角形，

:・CA=CB,CD=CE,N4CB=NDCE=60°,

:・/BCD=NDCE-/BCD,

/.ZACD=ZBCE,

在△力CQ和△4CE中，

AC=BC

­ZACD=ZBCE»

CD=CE

:.4CD二4BCE(SAS),

••・ZADC=/BEC,

•••△CQE是等边三角形，

：,ZCDE=ZCED=60°,

AZ/iDC=180°-NCDE=120°,

AZ^£C=120°,

: