苏科版七年级数学上册第5章《走进几何世界》练习

1.都匀毛尖茶是我国十大名茶之一，下列毛尖茶包装盒中，属于棱柱的是（）

3.下列选项中，说法正确的是（）

A.五棱柱有7个面和10条棱

B.圆锥的侧面展开图是一个三角形

C.用一个平面去截圆柱，截面不可能是正方形

D.将一个长方形绕它的长旋转一周得到的立体图形是圆柱

4.如图，把一个圆绕虚线旋转一周，得到的几何体是（)

A.

A

5.已知一个直角三角形的两直角边长分别为3和6,将直角三角形绕它的直角边所在直线旋转一周

（1）这个几何体的名称

为，这个现象用数学知识可以

解释为（填序号）；

①点动成线；②线动成面；③面动成体.

（2）求这个几何体的体积结果保留兀）

6.（1）圆形硬币绕它的直径所在直线旋转，形成一个一体，用数学知识可解释为

（2）如图，找出给定三角形绕直线旋转一周后形成的对应几何体.并把它们用线连接.

7.将长和宽分别为4cm和2cm的长方形分别绕图1、图2中的虚线旋转一周得到A,B两个几何

体.

।2cm

4cm

ffll图2

（1）将长方形绕图1、图2的虚线旋转一周得到的两个几何体都是,这能说明的事实

是

A.点动成线B.线动成面C.面动成体

（2）这两个儿何体的体积相等吗？如果不相等，请通过计算说明哪一个体积较大.

8.如图，观察下列几何体并回答问题:

三棱锥四棱锥

（1）71棱柱有个面、条棱、,个顶点，n

棱锥有个面、条棱、个顶点.

（2）所有像三棱柱、四棱柱、六棱柱、三棱锥等这样由四个或四个以上多边形所围成的立体图形

叫作多面体.经过前人们归纳总结发现，多面体的面数F、顶点个数V以及棱的条数E存在着•定的

数量关系，请直接写出这个关系式.

9.下列是我们常见的几何体，员要求将其分类（只填写编号）.

（1）如果按“柱”“徘球”来分，柱体有.，椎体有

（2）如果按“有无曲面”来分，有曲面的有,无曲面的有

10.用彩带捆扎一个圆柱形的蛋糕盒如图，打结处正好是底面圆心，打结用去彩带18cm.

（1）扎这个盒子至少用去彩带多少厘米？

（2）这个蛋糕盒子的体积是多少立方厘米？

（3）蛋糕的直径比盒子直径少3cm,高比盒子矮5cm,张琳打开盒子，沿着蛋糕底面的直径垂直

切开，平均分成两部分，这时蛋糕的表面积增加多少平方厘米？

11.在学习《展开与折叠》这一课时，老师让同学们用若干个正方形和长方形拼成一个长方体的展

开图.拼完后，小明看来看去觉得所拼图形似乎存在问题.

（1）请你帮小明分析一下拼图是否存在问题，若有多余块，则把图中多余块涂黑；若还缺少，则

直接在原图中补全；

（2）长方体共有条棱，若将一个长方体沿某些棱剪开展成（1）中修正后的平面图形，需

要剪开条棱；

（3）根据图中的数据，求出修正后的展开图所折叠而成的长方体的体积.

12,十八世纪瑞•士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的

一个有趣的关系式，被称为欧拉公式.请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：

四面体长方体正八面体正十二面体

（I）根据上面多面体模型得

多面休顶点数（V）面数（F）棱数（E）

四面体446

长方体8612

正八面体6812

正十二面体201230

你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系是.

（2）一个多面体的面数比顶点数大8,且有30条棱，贝I这个多面体的面数是.

（3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而

成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为x个，八边形的个数

为y个，求x+y的值.

13.如图，已知长方形的长为a,宽为b,将这个长方形分另!绕它的长和宽所在直线旋转一周，得到

两个圆柱甲、乙,则甲圆柱体与乙圆柱体的体积比为o

一口

甲•乙

14.如图，大长方形长4B=10cm,宽BC=6cm»小长方形长PQ=6cm,宽尸M=2cm,以两长方

形长边中点连线（图中的虚线1）为轴，将八边形旋转一周得到的几何体的表面积为

15.小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形.于是他在家

用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和

②.根据你所学的知识，回答下列问题:

①②

（1）小明总共剪开了条棱.

（2）现在小明想将剪断的②更新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方

体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在①上补全.

（3）小明说：他所剪的所有棱中，最长的一条棱是最短的一条棱的5倍.现在已知这个长方体纸

盒的底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是880cm,求这个长方体纸盒的体积.

16.【教材呈现】下图是华师版七年级上册数学教材第104页的部分内容

例5如图3.4.1所示的窗框，上半部分为半圆，下半部分为6个大小一样的长方

形，长方形的长和宽的比为3：2.

设长方形的长为X米，用X表示所需材料的长度（重合部分忽略不计）

图3.4.1

（1）请根据教材提示，结合图341,写出例5中第（1）题完整的解题过程

（2）【结论应用】图①、图②是某设计师设计的两种窗户设计图，图①是由边长4a正方形和直

径4a半圆组成，图②是由一个八边形和直径2a的圆组成°

求图②的面积（用含有a的代数式表示，结果保留冗）.

（3）用铁丝做成图①、图②，这两个图形用的铁丝的长度是否相同，如果相同，请说明理由，

如果不同，请比较出哪个设计图大？

17.古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10...这样的数称为“三角形数”,而把1、4、9、

16...这样的数称为“正方形数”.从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相

邻“三角形数”之和.下列等式中，符合这一规律的是（）

4-1+3y-3+416-6M0

A.13=3+10B.25=9+16C.36=15+21D.49=18+31

18.观察图形，按规律解答，找出几边形的对角线的总数.

图形每个顶点对角线条数（条）对角线总条数（条）

.1角形/

00

1x4

四边形12-2

五边形启

2x5

22=5

六边形3—

10边形——

九边形——

19.如图1,现有一个棱长为20cm的立方体水槽放在桌面上，水槽内水的高度为acm,往水槽里放

入棱长为10cm的立方体铁块.

（1）求下列两种情况下a的值.

①若放入铁块后水面恰好在铁块的上表面，则a=cm；②若放入铁块后水槽恰好盛满

（无溢出），则a=cm；

（2）若gaW7.5,放入铁块后水槽内水面的高度为cm,（用含a的代数式表示）.

（3）如图2,在水槽旁用管子连通一个底面在桌面上的圆柱形容器，内部底面积为

50cm2,管口底部A离水槽内底面的高度为hem（h>a）,水槽内放入铁块，水溢入圆柱形容器后,

容器内水面与水槽内水面的高度差为4cm,若a=15,求h的值.（水槽和容器的壁及底面厚度相同）

20.如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③

是部分②面积的一半，依此类推.

⑵以下是甲，乙两位同学求S=；+为+$+,+算+会的方法;

甲同学的方法：利用已给正方形图形求，S=l-S阴影;

乙同学的方法：S=%+前+a+盘+也+泉①

2s=1+々+也十£十条+*②

②一①即可.

根据两位同学的方法，你认为S=；

1J.1-L1J.1J.U.1-

(3)2+理+/+曾・••+/=——；

计算：；+摄+提+/+…

(4)

请借助甲，乙向学的力法，分别求出/+/+/+/+…十,

(5)的值.

答案解析部分

1.【答案】D

【知识点】棱柱及其特点

【解析】【解答】解：A不是棱柱，不符合题意；

B不是棱柱，不符合题意；

C不是棱柱，不符合题意；

D是棱柱，符合题意；

故答案为：D

【分析】根据棱柱的特征即可求出答案.

2.【答案】A

【知识点】点、线、面、体及之间的联系

【解析】【解答】解:

:"［绕轴旋转一周,可得到图中所示的立体图形，

故答案为：A

【分析】本题考查面动成体的几何原理，核心是判断平面图形绕轴旋转后形成的立体图形形状。需

要观察每个选项的平面图形特征，分析其绕轴旋转时，各部分线条形成的空间轨迹，进而匹配题目

中给出的立体图形，找到能旋转出该立体图形的平面图形。

3.【答案】D

【知识点】点、线、面、体及之间的联系：几何体的展开图：截一个几何体：几何体的点、棱、面

【解析】【解答】解：A：•・•五棱柱有两个底面（五边形）和五个侧面（矩形），，面数为7,但棱数

应为上底面5条、下底面5条、侧棱5条，共15条，故A错误；

B：•・•圆锥的侧面展开图是扇形，不是三角形，故B错误；

C：•・•当圆柱的高等于底面直径时，用垂直于底面的平面截圆柱，截面可为1E方形，故C错误；

D：•・,长方形绕其长旋转一周，长作为高，宽作为底面半径，形成圆柱，故D正确.

故答案为：D.

【分析】根据五棱柱的特征可得出A错误；根据圆锥的侧面展开图可得出B错误；根据当圆柱的高

等于底面直径时，用垂直于底面的平面截圆柱，截面可为正方形，可得出C错误；根据圆柱的特征

可得出D正确，即可得出答案。

4.【答案】B

【知识点】立体图形的概念与分类；点、线、面、体及之间的联系

【蟀析】【解答】解：A、此几何体是长方形绕虚线旋转一周，得到的几何体，故A不符合题意；，

B、此几何体是一个圆绕旋转一周，得到几何体，故B符合题意；

C、此几何体是一个直角梯形图绕长底边旋转一周，得到的几何体，故C不符合题意；

D、此几何体是半圆绕直径旋转一周，得到的几何体，故D不符合题意；

故答案为：B.

【分析】利用面动成体，是将一个圆绕虚线旋转一周，不可能得到圆柱、球体，可对A、C、D作出

判断，即可求解.

5.【答案】（I）这个几何体的名称为圆锥，这个现象用数学知识可以解释为③；；③

（2）解：分两种情况：

以直角边3所在直线旋转一周得到的圆锥的体积T"62x3=36兀；

以直角边6所在直线旋转一周得到的圆锥的体积=1兀><32X6=18兀；

综上所述：这个几何体的体积为36兀或187r.

【知识点】点、线、面、体及之间的联系：圆锥的特征；圆锥的体枳

【解析】【分析】（1）利用圆锥的特征分析求解，再利用“点动成线，线动成面，面动成体''分析求解

即可；

（2）分类讨论：①以直角边3所在直线旋转一周；②以直角边6所在直线旋转一周，再利用圆锥

的体积公式求解即可.

6.【答案】解：（1）球；面动成体；

（2）如图：

【知识点】点、线、面、体及之间的联系

【解析】【解答】解：(1)圆形硬币绕它的直径所在直线旋转，形成一个球体，用数学知识可解释为

“面动成体”；

故答案为：球；面动成体.

【分析】(1)利用“点动成线，线动成面，面动成体”分析求解即可；

(2)利用图形旋转的特征并结合图形分析求解即可.

7.【答案】(1)圆柱；C

(2)解：两个圆柱的体积不相等.过程如下：

由题意可得，图1形成的圆柱，底面半径为2cm,高为4cm,则体积为7rx22x4=167T(cm3)；

图2形成的圆柱，底面半径为4cm，高为2cm,则体积为TTx4?x2=327r(cm3)；

V16/r<327r

・•・两个圆柱的体积不相等.

【知识点】点、线、面、体及之间的联系；图形的旋转；圆柱的体积

【解析】【解答】解：(1)由题意可得，长方形绕图1的虚线旋转一周得到的几何体是圆柱，

长方形绕图2的虚线旋转一周得到的几何体是圆柱，则可得两个几何体都是圆柱，这能说明的事实

是面动成体；

故答案为：圆柱，C；

【分析】(1)观察图形旋转，可得几何体为圆柱，说明的事实是面动成体，即可作答.

(2)根据题意，分别确定图1,图2两个圆柱的底面半径和高，然后求出体积，再比较，即可作答.

(I)解：依题意，将长方形绕组1、图2的虚线旋转一周得到的两个几何体都是圆柱，这能说明的

事实是面动成体；

故答案为：圆柱，C；

(2)解：两个圆柱的体积不相等.过程如下：

图1形成的圆柱的体积是2?x九x4=167r(cm3)；

图2形成的圆柱的体积是4?xnx2=327r(cm3)；

167r<327r

・•・两个圆柱的体积不相等.

8.【答案】(I)(几+2),3n,2n,(n+1),2n,(n4-1)；

(2)V+F-E=2

【知识点】立体图形的概念与分类；点、线、面、体及之间的联系；长方体的顶点、棱、面的特点

【解析】【解答】3)解：观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳出几棱柱有(九+2)个面，3n

条棱，2九个顶点，n棱锥有(九I1)个面，2n条棱，(nI1)个顶点；

故答案为：("+2),3n»2n»(n4-1),2n»(n4-1)；

(2)用表格分别列出三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱所对应的顶点的个数、棱的条数和面的个

数，如图：

顶点数棱数而数

三棱柱695

四棱锥8126

五棱柱10157

六棱柱12188

根据上表总结出这个关系为V+F-E=2.

【分析】(1)根据题干中立体图形直接求出几何体的面、棱、顶点的数量，再求出规律即可；

(2)根据(1)的计算结果直接分析求解即可.

(I)解：观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳出九棱柱有5+2)个面，3n条棱，2几个顶

点，九棱锥有(几+1)个面，2n条棱，("+1)个顶点；

故答案为：(几+2),3n>2n，(71+1),2九，(n+1)；

(2)用表格分别列出三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱所对应的顶点的个数、棱的条数和面的个

数，如图：

顶点数楂数面数

三棱柱695

四棱柱8126

五楂柱10157

六棱柱1218

根据上表总结出这个关系为V+F-E=2.

9.【答案】(1)(1X2X6)；(3)(4)；(5)

(2)⑵⑶⑸;(1X4X6)

【知识点】立体图形的概念与分类

【解析】【解答】(1)解：•・•(I)是四棱柱，(2)是圆柱，(3)是圆锥，(4)是棱锥，(5)是球,

(6)是三棱柱，

J柱体有(1),(2),(6),锥体有(3),(4),球有(5),

故答案为：(1),(2),(6)；(3),(4)；(5)；

(2)V(2)(3)(5)有曲面，其它几何体无曲面，

・•・按“有无曲面”来分，有曲面的有(2),(3),(5),无曲面的有：(1),(4),(6),

故答案为：(2),(3),(5)；(1),(4),(6).

【分析】(1)根据柱、锥、球体的特征区别即可；

(2)根据组成面的曲或平面区别即可.

10.【答案】⑴解：2(30x2+20x2)4-18=218(cm),

答：扎这个盒子至少用去彩带218cm；

(2)解：由圆柱的体积公式，得

nx(写尸x20=45007r(cm3),

答：这个蛋糕盒子的体积是4500zr(cm3).

(3)解：蛋糕的直径是30・3=27cm,蛋糕的高是20・5=15cm,

截面的面积是27x15x2=810(圳2)

答：蛋糕的表面积增加810平方厘米.

【知识点】立体图形的概念与分类

【解析】【分析】(1)根据图形中的相关数据，列式可求出扎这个盒子至少用去彩带的长度;

(2)利用圆柱体的体积公式进行计算，可求出结果；

(3)分别找出蛋糕的直径和蛋糕的高，然后求出截面的面积.

11.【答案】(1)解：存在问题，有多余块，多余块涂黑如下图所示；

(3)解：根据题意，该长方体的宽和高为：12+4=3cm,

则该长方体的长为17-3x3=8cm,

所以，长方体的体积为：8x3x3=72cm3.

【知识点】几何体的展开图：有理数混合运算的实际应用：几何体的点、棱、面

【解析】【解答】（2）长方体共有12条棱，若将一个长方体沿某些棱剪开展成（1〉中修正后的平面

图形，需要剪开7条棱.

故答案为：12,7；

【分析】（1）根据长方体展开图的特征即可求出答案.

（2）根据长方体展开图的特征即可求出答案.

（3）根据题意求出长方体的长，宽，高，再求出长方体的体积，结合有理数的混合运算即可.求出答

（2）长方体共有12条棱，若将一个长方体沿某些棱剪开展成（1）中修正后的平面图形，需要剪开

7条棱.

故答案为：12,7；

（3）根据题意，该长方体的宽和高为：12+4=3cm,

则该长方体的长为17-3x3=8cm,

所以，长方体的体积为：8x3x3=72cm3.

12.【答案】（1）V+F-E=2

（2）20

（3）解：•・•有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线，

・•・共有24x3+2=36条棱，

A24+F-36=2,

解得尸=14：

设该多面体外表三角形的个数为x个，八边形的个数为y个.则x+y即为多面体的面数，

/.x+y=14

【知识点】点、线、面、体及之间的联系

【解析】【解答】（1）74+4-6=2

8+6-12=2,

6+8-12=2,

20+12-30=2,

AV+F-E=2,

故答案为：V+F-E=2.

(2)由题意得：F-8+F-30=2,

解得F=20.

故答案为：20.

【分析】(1)根据表格中的数据分析即可得出顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系；

⑵根据(1)的结论求解即可；

(3)先求得棱数，再代入(1)的关系式求解即可.

13.【答案】b：a

【知识点】点、线、血、体及之间的联系；圆柱的体积

2

【解析】【解答】解：甲圆柱：以宽b为底面半径，长a为高，体积：VI(1=7tba；乙圆柱：以长a为

V.2

底面半径，宽b为题体积：Vz.=7ta2b；体积比为：2：=E=b：a

故答案为：b：a或、

【分析】根据题意分别表示甲圆柱与乙圆柱的体积，在计算甲圆柱体与乙圆柱体的体积比，注意分

清两个圆柱半径和高表示的字母.

14.【答案】1227r

【知识点】点、线、面、体及之间的联系；几何体的表面积；几何体的展开图

【释析】【解答】解：由题意可得：大圆柱的侧面积=4X10X6=60〃on?；

小圆柱的侧面积=Jrx6x2=12TTcm2：

大圆柱上下圆的面积为：27rx5?=50万，

・♦.几何体的表面积=607T+12TT+507r=122ncm2.

故答案为：1227r.

【分析】本题考杳圆柱的表面积计算，根据长方形旋转后形成圆村)求出大圆柱的侧面积和小圆柱

的侧面积，再加上大圆柱的上下两圆的面积，列出算式，进行计算，即可得出答案.

15•【答案】(1)8

(2)解：如图，四种情况.

（3）解：•・•长方体纸盒的底面是一个正方形，

，设最短的棱长高为acm,则长与宽相等为5acm,

•・•长方体纸盒所有校长的和是880cm,

A4（a+5a+5a）=880,解得a=20cm,

・•・这个长方体纸盒的体积为：20x100x100=200000cm3.

【知识点】几何体的展开图；棱柱及其特点

【解析】【解答】解：（1）小明共剪了8条棱，

故答案为8.

【分析】（1）根据长方体总共由12条棱，由4条棱未剪开，即可得出剪开的棱的条数；

（2）根据长方体的展开图的情;兄可知由4种情况；

（3）设最短的棱长高为acm,则长与宽相等为5acm,根据长方体纸盒所有棱长的和是880cm,列出

方程4（a+5a+5a）=880,求解即可。

16.【答案】⑴解：由题意，得Ux+9号X+7TX=（17+7T）X（米）

（2）解：7ta2+2ax4a+2ax2a=7ta2+12a2=（n+12）a2

（3）解：图①的周长为4ax4+27ta=（16+2兀）a

图②的周长为2兀a+4ax4=（16+2兀）a

*/（16+2兀）a=（12+2兀）a

，两个图形用的铁丝回样多

答：两个图形用的铁丝同样多

【知识点】平面图形的初步认识

【解析】【分析】（1）6个长方形的周长、圆周长的一半、3条半径的总和即为所求；

（2）将图形看成一个直径为4a的圆、一个长4a、宽2a的长方形和一个边长为2a的正方形的面积

的和求解。

（3）分别计算出这两个图形的周长，即可解答。

17.【答案】C

【知识点】探索图形规律

【解析】【分析】古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6.10...这样的数称为“三角形数”，即I、

3、6、1（）、15、21、28等数构成“三角形数”，而根据题意任何一个大于1的“正方形数”都可以看作

两个相邻“三角形数”之和,而把1、4、9、16...这样的数称为“正方形数”,所以25=10