2026人教B版高考数学复习讲义：第1章 第二课时 一元二次方程、不等式（含答案解析）

第二课时一元二次方程、不等式

课标要求1.会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函

数的零点与方程根的关系.2.了解一元二次不等式的意义.3.能借助一元二次函数求解一元二次不

等式.

知识诊断自测

【知识梳理】

1.一元二次不等式

形如加+队+80（存0）的不等式称为一元二次不等式

2.三个“二次”间的关系

判别式

J>0J=0J<0

A-b-4ac

二次函数

义

y=ax2-^bx^c\IML

（4>0）的图象

一元二次方程有两相异实

有两相等实根没有实

a^+bx+c^根礼X2

b数根44J

3>0）的根（X[<X2）-J

ax2+bx+c>0

{x\x>X,或％<{3啕

2Xi}R

(公>0)的解集

ax2+bx+c<0

—<r<X2500

(。>0)的解集

3.（x-a）（x-Z>）>0或。-。）（口正<0型不等式的解集

解集

不等式

a<ba=ba>b

(x-6r)(x-Z))>0{小<Q,或x>b}

(x-«)(x-Z?)<0{x\a<x<b}0

4.分式不等式与整式不等式

(1喘>0(〈0)u兆)以为>0(〈0).

［常用结论与微点提醒］

1.绝对值不等式国>。(4>0)的解集为(-8,-q)U(4,+8冰区(7(4>0)的解集为a).

记忆口诀:大于号取两边，小于号取中间.

2.解不等式4炉+队+00(<0)时不要忘记当a=0时的情形.

3.不等式加+2c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定.

⑴不等式加+队+00对任意实数x恒成立=｛:；：=6或"J

⑵不等式加+bx+cYO对任意实数x恒成立=｛：：：=。或弓JJ

【诊断自测】概念思考辨析+教材经典改编

1.思考辨析(在括号内打或"X”)

(1/20等价于(尸。)(厂320.()

(2)若不等式ax2+bx+c<0的解集为3,⑼,则必有a>0.()

(3)不等式的解集为［-迎,返］.()

(4)若方程。工2+&+。=0(。<0)没有实数根，则不等式4x2+bx+c>om<o)的解集为R()

答案(l)x(2)7⑶X(4)X

解析⑴错误.三20等价于(XP)(X-6)20且x^b.

⑶错误.当所0时，其解集为｛0｝；当6/<0时,其解集为。.

(4)若方程尔+云+。=0(。<0)没有实根,则不等式Qf+bx+cAOgvO)的解集为0.

2.(人数A必修一P53练习T1改编)不等式-2x2+xW-3的解集为.

答案(-oo,-i］ug,+oo)

解析由-2炉+工《-3可得2Y2-J-320,

即(2x-3)(x+1)20,

得或x2|,

故不等式的解集为(-8,-1］U［|,+8).

2

3.(北师大必修一P41T1改编)若不等式x+ax+b>0的解集为(-8,-1)u(2,+8),则"b二

答案-3

解析由题意可得+2,加(-1)X2,

即a=~\,b=-2,故a+b=~3.

4.(苏教必修一P69Tli(2)改编)若一元二次不等式2代+履4<°对一切实数x都成立,则实数k的取

O

值范围是.

答案(-3,0)

(k<0,

解析由题意知_4x2kX§V0,

解得-3<%0.

考点聚焦突破

考点一三个二次之间的关系

例1(多选)已知关于x的不等式底+加+。>0的解集为(-8,-2)口(3,+8),则()

A.a>0

B.Q+力+c>0

C.不等式bx+c>0的解集是｛.巾<-6｝

D.不等式cx2~bx+a<0的解集为(一8,-JUQ,+8)

答案ACD

解析关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-8,-2)U(3,+8),

.*.t7>0,A正确；

-2和3是关于r的方程ax2+bx+c=0的两根，

(-2+3

由根与系数的关系得c°

-2x3=-a,

则｛工

.*.t7+b+c=_6a<0,B^i吴；

不等式hx+c>0可化为-奴-6〃>0,得x<-6,C正确；

不等式ex?-8+。<0可化为-6以2+4工+〃<0,即6X2-X-1>0,

解得或x，,D正确.

故选ACD.

思维建模1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点,也是相应一元二次不等式解集的端

点值.

2.给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以利用

代入根或根与系数的关系求待定系数.

训练1（多选）已知关于X的不等式4（x+l）・（x-3）+l>0（〃W0）的解集是（用,工2）但〈工2）,则下列结论正确

的是（）

A.XI+%2=2B.XIX2<_3

C.-1^XI^X2<3D.X2-XI>4

答案ABD

解析由题意得,a<0,且xi,X2是一元二次方程a（x+1）（厂3）+1=0,

即ax1-2ax^]一3。二0的两根，

所以xi+及二-二也2,故A正确；

a

XiM_3V_3,故B正确；

*3a"a

X+X2

X2-X|=V（12）-4%I%2

=J4-4xJ4-i>4,故D正确；

由X2-X1>4,可得-1q曰2<3是错误的,故C错误.

考点二不等式的解法

例2（1）（多选）下列选项中,正确的是（）

A.不等式/+X-2>0的解集为“,<-2或x>l}

B.不等式音W1的解集为{x|-3Wx<2}

C.不等式|x-2|21的解集为“|1WXW3}

D.设x£R,则“卜-1|<1”是“段<0”的充分不必要条件

答案ABD

解析因为方程x2+x-2=0的解为加=1,X2=-2,

所以不等式x2+x-2>0的解集为{x|x<-2或1},故A正确；

因为主？TWO,即

即(x+3)(x-2)W0(x-2W0),

解得-3«2,

所以不等式的解集为3-3Wx<2},故B正确；

由,2|21,可得厂2<-1或r221,

解得工W1或Q3,所以不等式的解集为{小W1或G3},故C错误;

由可得T<YT〈1,

解得0<x<2,由二<0,可得-4〃<5,

X-3

因此“|x-l|vl”是“二<0”的充分不必要条件，故D正确.

(2)解关于工的不等式加_(4+1)廿1〈0伍£阳.

解原不等式变为("T)(xT)<0,

①当心0时,原不等式可化为

(x-i)(x-l)<0,

所以当时,解得%K1；

当折1时,解集为。；

当时,解得1<X<.

0<67<1­a

②当a=0时,原不等式等价于-x+1vO,

即x>l.

③当a<0时,上1,原不等式可化为

a

(%_?(xT)>0，

解得工>1或内(

综上,当051时，不等式的解集为

卜|1<%<3

当。二1时,不等式的解集为0,

当a>l时,不等式的解集为1|十<x<1],

当a=0时，不等式的解集为{x|x>l),

当4Vo时,不等式的解集为上以或%>1].

思维建模对含参的不等式,应对参数进行分类讨论，常见的分类有:

(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类.

(2)根据判别式/与0的关系判断根的个数.

(3)有两个根时,有时还需根据两根的大小进行讨论.

训练2(1)不等式凶(1-2。>0的解集是()

AB.(03)

C.(-oo,O)uQ,+8)D.(-oo,0)U(oj)

答案D

解析原不等式等价于;北>0,

即xg且xWO,故选D.

(2)解关于x的不等式x2~ax+1<0、a£R.

解当』=/_4W0,即-2<aW2时,原不等式的解集为。，

当/=02_4>0,即a>2或a<-2时，

方程x2~ax+1=0的两根为

a-y/a2-4a+yja2-4

X\=---,X2=~--,

原不等式的解集为卜|上理三<%<竺绊｝.

综上可知,当-时,原不等式的解集为。，

当心2或"-2时,原不等式的解集为

jx|a-^Z4<x<^Z4)

考点三一元二次不等式恒成立问题

角度1在实数集R上恒成立

例3侈选)对任意实数工,不等式2H2+Ax-3<0恒成立,则实数人可以是()

A.OB-24

C-20D.-2

答案ACD

解析当K0时,不等式即为-3<0,不等式恒成立；

当左¥0时,若不等式恒成立，

则匕<?2“八=-24<内0,

于是24<%W0,故选ACD.

角度2在给定区间上恒成立

例4(2025•铁岭协作校调研)已知VxW[1,2],VyG[2,3],/-^-^v2^0,则实数tn的取值范围是()

A.[4,+8)B.[0,+°°)

C.[6,+8)D.[8,+8)

答案C

解析因为x£[l,2],y£[2,3],

贝耳6EH，所以衿[1,3],

又jJry-mxy0,可得加2(7)-p

令1气1，3],

则3],

即只需Zn^(/2-/)max,—0T

当b3时,取到最大值,(/2-£)max=9-3=6,

所以实数机的取值范围是[6,+8).故选C.

角度3给定参数范围的恒成立

例5(2024•杭州调研)若不等式/+px>4x+p-3,当0WpW4时恒成立,则x的取值范围是()

A.[-1,3]B.(-oo,-i]

C.[3,+8)D.(-OO,-1)U(3,+OQ)

答案D

解析不等式V+pYMx+p-3,

可化为(丫-1)p+N-4x+3>0,

由已知可得[(r1)夕+44%+3]01加>0(0忘0忘4),

令/S)=(xT)〃+工2-4工+3(0Wp《4),

可彳曰1(0)=好—4无+3>0,

J1/(4)=4(%-1)+产-4x+3>0,

解得x〈T或x>3.

思维建模恒成立问题求参数的范围的解题策略

(1)弄清楚自变量、参数「•般情况下,求谁的范围,谁就是参数.

(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式一元二次不等式在给定区间上恒成立,不能用判别

式4一般分离参数求最值或分类讨论.

训练3已知关于x的不等式

(1)是否存在实数”使不等式对任意x£R恒成立,并说明理由；

(2)若不等式对于x£(l,+8)恒成立，求加的取值范围；

(3)若不等式对于加£[-2,2]恒成立,求实数x的取值范围.

解⑴原不等式等价于相声2户(1r〃)v。，

当m=0时,-2》+1<0不恒成立；

当〃?W0时，若不等式对于任意实数x恒成立，

则需<0且J=4-4加(1-祖)〈0,无解，

所以不存在实数见使不等式恒成立.

⑵因为Q1,所以加碧.

设2厂1二01),/-16产，

所以呼+T*

设以尸T+2,g(l,+8),

显然g⑺在(1,+8)上单调递增.

当/一+8时,r--+2-*+°°,—^―*0,

tt-y+2

所以阳W0.

所以〃，的取值范围是(-8,0].

(3)设处〃尸(声1)机-(2厂1),

当mE[-2,2]时,/(机)<0恒成立.

当且仅当[“2)<°，

aS1Xa(/(-2)<0,

即2/-2%—1<0,①

——2%+3V0.②

由①摩><竽

由②得XV二券或-1+V7

取交集,得笞〃呼.

所以x的取值范围是笞v》v等}.

课时对点精练

一、单选题

1.已知集合力二{小』-6忘0},8二卜后WO},则4n8等于()

A.{x|-l<x^3}B.{x|x<3或x>4}

C.{x-2WxW4}D.{x|-2WxWT}

答案A

解析因为不等式厂-『6<0的解集为{川-2«},

又不等式号<0的解集为{x|T<xW4},

所以力二{x|-2WxW3},B={x|TvxW4},

所以4A8={x|-l<x<3}.

2.(2025•郑州质检)某同学解关于x的不等式/+加+“0缶¥。)时，因弄错了常数c的符号，解得其解

集为(-8,-3)U(-2,+8),则不等式bx2+cx+a>0的解集为()

A.(T，V)

B.(-oo,-l)U(-1,+oo)

c&i)

D.(-8,Ju(l,+8)

答案C

解析由题意可知”0,

且-3+(-2)=。—3X(-2)=-：,

所以力=5〃,c=-6iz,

所以bf+cx+a〉。可化为5x2-6x+l<0,

BP(5A-1)(X-1)<0,解得卜X<1.

故选c.

3.若不等式(CL2*+4(〃-2M-12<0的解集为R,则实数a的取值范围是()

A.{MTWa<2}B.{a[7<aW2}

C.{a\-l<a<2}D.{旬―1W〃W2}

答案B

解析当所2时,原不等式为T2vO,满足解集为R;

当时,根据题意得f/-2<0,Sd-16(a-2)2-4(a-2)X(-12)<0,解得Tv〃v2.

综上,故a的取值范围为

4.(2025•厦门调研)“若2],3x%+”0恒成立”是真命题,则实数阿能的取值是()

A.2&B,2V3

C.4D.5

答案A

解析VxW曲2,3A?-ZV+1>0恒成立，

即衣3x+拒成立，

只需k(3x+‘)即可，

\x/min

3x-i=2V3,

XyjX

当且仅当3xf即x=f时等号成立，

故故选A.

5.(2025-1月八省联考)已知函数兀0二冲广。|-2/若当x>2时,人刈>0,则a的取值范围是()

A.(―,1]B.[-2,1]

C.[-1,2]D.[-1,+-)

答案B

解析法一j[x)=x\x-a\-2a'

_(x2-ax—2a2,%2Q,

(-x2+ax-2a2,x<a,

当x<a时,/(x)=-f+aL2〃

此时不满足7W>0;

当x^a时,危尸(%-2。)(工+〃)，

若。二0,.危)三符合题意；

若。<0,则於)在(2〃,p)上为负,”,+8)上为正，所以-〃W2,则心-2;

若«>0,则兀v)在(-a,2a)上为负,(2a,+8)上为正，所以2aW2,则aWL

综上,。£[-2,1].

法二当x>2时,段)>0等价于人(尸。)-Za'O或x(a-x)-2a2>0.

将。看成未知量，上述不等式变形为

(Q+X)(Q-0<0或(a-0+^x2<0.

对于(。-v。，此式不成立,。不存在；

I4/16

对于(〃+x)(a-0<0,解得

故。的取值范围是-2WaW1.

6.(2025•恩施调研)已知关于x的不等式x2-(a+l)x+a<0恰有三个整数解,则实数a的取值范围是

()

A.[-3,-2)U[4,5)B.(-3,-2]U(4:5]

C.(-3,-2]U[4,5)D.[-3,-2)U0.5]

答案D

解析不等式x~~(a+1)x+a<0,可化为(XP)(XT)<0,

当a=i时,不等式f-("1>什4<0的解集为空集,不符合题意；

当时,不等式丁-(4+1)工+〃<0的解集为(1,。)，

要使不等式f-(a+l)x+a〈0恰有三个整数解,则4<aW5;

当a<\时,不等式f-(a+l)x+a<0的解集(a,1),

要使不等式丁-(。+1)/。<0恰有三个整数解,则-3Wa<-2,

综上可得,实数a的取值范围是[-3,-2)U(4,5].

7.关于x的不等式公2-凶+2。20的解集是R,则实数。的取值范围为()

A后,+8)

B.(-8百

c.

D.(-8，一加彳,+

4°°)

答案A

解析不等式加-可+2g0的解集是R,

即对于Vx£R,ax2~\x\+2a^0立，

当x-0时,。20,

|x|_1

当时

[V1

因为

砥、2膈4：

当且仅当因噂,即四二或，

即产土或时,等号成立，所以a

法4,

综上所述,偿,+8）.

8.下面给出了问题：“己知关于工的不等式以2切/。>0的解集为{力24V1},解关于x的不等式

ax-bx^c>0.的一种解法：

因为不等式ax+bx+c>0的解集为{x|-2<x〈l},又不等式ax-bx+c>0可化为。（-工）+仇-x）+c>0,所以

-2<-x<1,即T<x<2.所以不等式ax-bx+c>0的解集为{x|-l<x<2}.

参考上述解法，解答问题：

若关于x的不等式5-+*0的解集为{x|-2<xvT,或l<x<3}.则关于x的不等式/=+把]<0的解

x+mx+cmx-1cx-1

集为（）

A・（T，-加&1）

B.(-l,1)U(1,3)

C.(-3,-l)U(l,2)

D-(-1，-加&1)

答案A

解析因为户0不是不等式白卜竺彳<0的解,

mx-1ex-1

所以不等式新+胃0等价于

所以-2<二<-1或1<-^<3,

XX

解得或卜<1.

二、多选题

9.（2025・兰州诊断）下列说法正确的是（）

A.不等式4/-5x+l>0的解集是国2<1}

B.不等式6W0的解集是{小或X22}

C.若不等式尔+8办+21<0恒成立，则a的取值范围是。

D.若关于x的不等式2x%px-3Vo的解集是（％1）,则p+q的值为［

答案CD

解析对于A,4X2-5X+1>0,即（尸1）（以-1）>0,解得xv］或X>1,故A错误；

对于B,2x~-6W0,即（厂2）（2x+3）W0,解得-|WxW2,故B错误；

对于C,若不等式以2+8级+21Vo恒成立，

当『0时,2K0是不可能成立的，所以只能窗<?jn而该不等式组无解,故C正确;

（d=64a—84a<0,

对于D,由题意得q,1是一元二次方程2f+px-3=0的两根，

(P=1,

解得〃3

0,^=-7

而当片1时,一元二次不等式为2x2+x-3<0,即（x7）（2x+3）vO,

解得~|<xvl满足题意，

所以p+q的值为3,故D正确.

10.（2025・绍兴质测）己知a£R,关于x的不等式（6-2）（工+2）>0的解集可能是（）

A.{%x>:或％<-2}B.{x|x>-2}

C.x|-2<x<D.^%^<%<-2j

答案ACD

解析当。二0时,3-2）（工+2尸-2（廿2）>0,解得x<-2;

当Q〉0时,3-2)(工+2)二〃(工-：)(x+2)>0,解得或x<-2,故A正确；

当6/<0时,(0¥-2)(工+2尸〃(%—\)(x+2)>0,

若女-2,则斫T,则解集为空集;

a

若父-2,则Tqvo,则不等式的解集为卜|；<x<-2},故D正确；

若衿2,解得质-L则不等式的解集为核卜2V%V：},故C正确.

11.(2025•淮南联考)若存在m,〃(〃K〃T),使得OWJ+ov+bWc-x的解集为{x|〃7WxW〃?+l或产〃},贝|

下列结论正确的是()

A.f+ax+820的解集为或

B.x^ax+b^c-x的解集为"|"?+lWxW〃}

C.c=-n

D.a-2a>Ab-4c

答案AD

解析对于A,B,因为m<n~\,

所以m+1<〃，

由题意得下+ax+8Wc-x的解集为{x|mWxW〃},x'+ax+620的解集为{x|xWm+l或x2〃},A正确,B

错误；

对于C,f+m+Dx+Zj-.O的两个根分别为m,«,x2+ax+b=0的两个根分别为m+1,〃，

故m-n=~a-l,mn-h-cy

"[+]+〃二”，("[+])〃=/),

由于〃〃尸Z?-c,(〃?+1)〃=b,

故力-c+〃=b,所以n=cyC曲吴；

对于D,因为7/-w>l,n-m=

y/(rn4-n)2—4mn=y/(—a—I)2—4(b—c),

所以J(一a-1)2-4(b-c)>1,

两边平方得/+2a>4b-4c,D正确.

三、填空题

12.不等式邑22的解集为.

答案{x|-2<x^i]

解析因为击22,

则三-2呼20,

x+2x+2

等价于(1-2x)(x+2)20(x*2),

解得-2VxW小

即不等式六22的解集为卜卜2<1}.

13.一般地，把力〃称为区间(〃")的“长度”.己知关于工的不等式V-丘+2M0有实数解，且解集区

间长度不超过3个单位,则实数k的取值范