辽宁省鞍山市部分高中2025-2026学年高一上学期1月期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省鞍山市鞍山市部分高中高2025-2026学年高一上学期1月期末考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】“，”的否定是：，，故选：C.2.下列各图中，一定不是函数图象的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】四个选项中，只有B选项存在一个对应两个，不符合函数概念，即不符合每一个自变量的值都有唯一的值与它对应，所以B的图象一定不是函数图象.故选：B.3.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当时，若，则，即“”不是“”充分条件；当时，，即“”是“”必要条件，综上所述，“”是“”的必要不充分条件，故选：B.4.设，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，即.故选：D.5.已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以.故选：C.6.已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为是定义在上的偶函数，且在上单调递减，所以，在上单调递增.所以当时，，，当时，，当时，，，当时，，，综上，不等式的解集是故选：A.7.下列说法错误的是（）A.一组数据的众数和中位数相同B.对A，B，C三种个体按的比例分层随机抽样调查，如果抽取A的个体数为9，则样本容量为18C.一组数据为，则这组数据的分位数为10D.若样本数据，，，的标准差和平均数均为8，则数据，，…，的标准差为16，平均数为15【答案】C【解析】对于A，将这组数据按从小到大的顺序排列为，所以众数为出现次数最多的3，中位数为中间两个数的平均数，即，众数和中位数相同，故A说法正确；对于B，由知A在样本中所占比例为，所以样本容量为，故B说法正确；对于C，将这组数据按从小到大的顺序排列为，共8个数，因为，所以这组数据的分位数为第6，第7个数据的平均数，即，亦即这组数据的分位数为11，故C说法错误；对于D，因为样本数据，，，的标准差和平均数均为8，则数据，，…，的标准差为，平均数为，故D说法正确.故选：C.8.纯电动汽车现阶段使用的锂离子电池有“日历寿命”，即电池使用随着时间的增长其容量会发生衰减．某品牌某型号的锂离子电池使用时长数x（每单位代表4年）与剩余电池容量占比在某阶段（剩余电池容量占比）近似满足如下函数关系式：．依此，理论上当剩余电池容量占比为时，该电池大约使用了（）（参考数据：，，）A.48年 B.68年 C.76年 D.80年【答案】B【解析】因为，令，则，所以，所以.，所以该电池大约使用了年.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，“点数为奇数”记为事件A，“点数小于5”记为事件B，“点数大于5”记为事件C．下列说法正确的是（）A. B.C.与对立 D.【答案】AD【解析】样本空间为，事件，事件，事件.，A正确；，B错误；∵，∴与互斥，但，所以与不是对立事件，故C错误；∵，∴，即，故D正确.故选：AD.10.下列说法错误的是（）A.不等式的解集为B.不等式的解集为C.不等式的解集为D.若，则函数的最小值为2【答案】ABD【解析】选项A：不等式等价于，解得或，故原不等式的解集为或，故A错误；选项B：不等式等价于，解得，故原不等式的解集为，故B错误；选项C：不等式等价于或，解得或,故原不等式的解集为，故C正确；选项D：函数，由于，即不成立，故上述不等式不能取等号，即函数的最小值不为2.故D错误.故选：ABD.11.下列说法正确的是（）A.当时，不等式恒成立，则实数k的取值范围是B.幂函数在上是减函数的充要条件是C.已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为D.若，设函数的零点为m，的零点为，则【答案】BCD【解析】A，当时，，此时不等式的解集为，当时，要使不等式对任意恒成立，则，解得，综上，实数k的取值范围是，故A错误；B，幂函数在上是减函数，则，解得，所以幂函数在上是减函数的充要条件是，故B正确；C，函数在上单调递增，当时，是单调递增函数，由，则，解得.所以要使函数在上单调递增，则，解得，所以实数a的取值范围为，故C正确；D，因为函数的零点为m，的零点为，则，，则分别是和与交点的横坐标，由于和互为反函数，图像关于对称，由于与的交点为，因此，解得：，故D正确；故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，．若，则______．【答案】【解析】因为向量，,又，所以，得到.故答案为：.13.甲、乙两人进行投篮比赛，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，且甲、乙两人投中与否互不影响．若甲、乙各投一次，则两人至少有一人投中的概率是______．【答案】【解析】根据题意，则甲､乙两人各投一次，两人都没有投中的概率为，则至少有一人投中的概率；故答案为：.14.对于实数x，符号表示不超过x的最大整数，例如，．若函数，则函数的值域为______．【答案】【解析】因为，令，则的值域等价于的值域，配方得，所以.又，所以，所以，即，因为，即，所以取遍该区间的所有值时，的整数取值为，所以函数的值域为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合，．（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围．解：（1），当时，，或，∴或；（2）由可得，∴，解得，∴实数的取值范围是.16.如图，在平行四边形ABCD中，，，设，．注：本小题几何方法求解不得分．（1）用，表示，；（2）用平面向量证明：E，F，C三点共线．解：（1）由题意知，向量可得，又由，可得，所以，（2）因为，可得，所以，且，可得，所以三点共线.17.某校某次数学考试全体学生的成绩都在内．某个数学兴趣小组对成绩分布进行统计研究，随机抽取100位学生的成绩作为样本，并作出样本的频率分布直方图如下，其中成绩分组区间是：，，，，．（1）求图中的值；（2）根据样本的频率分布直方图，估计该校该次考试全体学生成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代替）和分位数；（3）从成绩区间是，的两组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求在成绩区间是的这组中恰好抽到1人的概率．解：（1）由题意，可知，所以；（2）该校该次考试全体学生成绩的平均数为：；成绩在的频率为，的频率为，的频率为，的频率为，因为，，所以第分位数在之间，设为，则，解得，所以该校该次考试全体学生成绩的分位数为；（3）根据题意，成绩区间是：，的两组的人数分别为人，人，按照分层抽样的方式抽取的人数分别为3人，2人，分别记为，设从5人中随机抽取2人为：共10个基本事件；其中成绩区间是的这组中恰好抽到1人为：共6个基本事件,从而在成绩区间是的这组中恰好抽到1人的概率为.18.已知函数是定义域为的奇函数，且.（1）求的解析式；（2）判断在区间上的单调性，并用定义证明；（3）求关于x的不等式的解集.解：（1）由题意可知，即，解得，∴，是奇函数，符合题意，所以，.（2）在区间上单调递增.设任意，，且，则，∵，，且，∴，，，若，则；若，则；若，显然有.所以，，时，，，∴，即，即，故在区间上单调递增.（3）是定义域为的奇函数，则，不等式可化为，由（2）可得，，解得，∴不等式的解集为.19.已知函数．（1）若函数的图象过点，求的值；（2）当时，存在使不等式成立，求实数的取值范围；（3）是否存在实数，使得函数在上的最大值为，若存在，请求出的