苏科版数学七年级下册 12.4 定理 同步练习 含答案

12．4定理（三大题型提分练）题型一三角形内角和定理及其推论的应用1．如图，一张三角形纸片被不小心撕掉一个角，则这个三角形是（）A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形2．如图，在△ABC中，∠ACD=80°，∠B=35°，则∠A的度数为（）A．25° B．35° C．45° D．55°3．将一个含30°角的三角尺和直尺如图放置，若∠1=50°，则∠2的度数是（

）A．30° B．40° C．50° D．60°4．一天，小明和爸爸一起到建筑工地去，看见了一个如图所示的人字架，爸爸说：“小明，我考考你，这个人字架中的∠3=120°，你能求出∠1比∠2大多少吗？请你帮小明计算一下，正确的答案为（）A．50° B．60° C．70° D．不能确定5．如图，已知AB∥DE，∠ABC=75°，∠CDE=140°，则∠BCD的度数为（A．75° B．55° C．45° D．35°6．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BD，CE相交于点F，∠A=70°，则∠BEC+∠BDC的值是（

）A．180° B．185° C．190° D．195°7．形如燕尾的几何图形我们通常称之为“燕尾形”，如图是一个“燕尾形”，已知∠ADC=105°，∠ABC=63°，∠BAD=22°，则∠BCD的度数为（

）A．63° B．20° C．85° D．105°8．在△ABC中，∠A=20°，∠B=4∠C，则∠C=．9．如图，在△ABC中，∠B=70°，若沿图中虚线剪去∠B，则∠1+∠2=

10．如图，AD与CE交于点B，∠C=90°，∠A=36°，∠D=∠E，则∠D=度．11．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=度．12．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=30°，则∠ADE=°．13．三角形的一个外角是100°，则与它不相邻的两内角平分线夹角（钝角）是．14．如图是可调躺椅示意图，AE与BD的交点为C，∠CAB=50°，∠CBA=60°，∠CDF=20°，∠CEF=30°，为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD=135°，且∠CAB、∠CBA、∠E保持不变，则∠D应调整为度．15．某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB与道路CD平行，道路AB与道路AE的夹角为60°，城市规划部门想新修一条道路CE，要求∠C=∠E，求∠C的度数．16．如图所示，在四边形ABCD中，已知∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC交CD于点E，DF平分∠ADC交AB于点F．(1)求证：∠ABC+∠ADC=180°；(2)求证：BE∥DF．17．证明：有两个角互余的三角形是直角三角形．已知：如图，，求证：．证明：18．（1）如图1，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY，XZ分别经过点B、C．若∠A=40°，∠ABX+∠ACX=度；（2）如图2，改变（1）中直角三角板XYZ的位置，使三角尺XYZ的两条直角边XY，XZ仍然分别经过点B．C．∠A=40°，那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX+∠ACX的大小；（3）如果（1）中的其它条件不变，把“∠A=40°”改成“∠A=n°”，则∠ABX+∠ACX＝.19．在△ABC中，AB>AC，说明∠B<∠C．(1)如图①，小明以“折叠”为思路说明∠B<∠C：将△ABC沿AE折叠，使点C落在AB边的点D处，然后可以说明∠B<∠C，请尝试写出小明的思路；(2)在条件不变的情况下，请仍以“折叠”为思路，在图②中通过尺规作图，设计一种不同于小明的折叠方法并说明理由．20．我们称如图①所示的图形为“8字形”(1)如图①，求证：∠A+∠B=∠C+∠D．(2)如图②，在（1）的条件下，作∠A，∠C的平分线AP，CP，且它们的交点设为P．①∠BAP+∠B______∠BCP+∠P．（选填：“>”“=”或“<”）②当∠B=25°，∠D=30°时，直接写出∠P的度数．题型二多边形内角和定理与外角和定理的应用1．若一个n边形的内角和为900°，则n的值是（

）A．4 B．5 C．6 D．72．如图，小伍从A点出发沿直线前进8米到达B点后向左旋转一定角度，再沿直线前进8米，到达点C后，又向左旋转相同角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了96米，则每次旋转的角度为（

）A．30° B．40° C．45° D．60°3．若一个正多边形每个内角的度数都是其相邻外角度数的4倍，则它的边数是（

）A．8 B．9 C．10 D．114．青铜镜，古称“鉴”或“照子”．图2是从八角形铜镜（图1）底部抽象出的正八边形ABCDEFGH，连接HD，则∠HDE的度数为（）A．60∘ B．62.5∘ C．65° 5．如图，两根细绳将一物体E挂在两面互相垂直的墙面AD与AB上，若∠ABC=68°，BC⊥CD，CE∥AD，则∠DCE的度数（）A．92° B．110° C．112° D．120°6．如图1，小亮在公园发现一条由一些不规则的多边形拼接而成的道路．小亮由此抽象出如图2所示的多边形ABCDEF，则这个多边形的内角和为．7．如果一个多边形的每一个外角都是40°，那么这个多边形的边数为．8．若一个多边形的内角和比外角和多720°，则这个多边形的边数为．9．一个多边形从一个顶点出发有七条对角线，那么这个多边形的内角和是度．10．如图，∠1，∠2是四边形ABCD的外角，若∠1=72°，∠2=108°11．一个多边形纸片剪去其中某一个角后，形成的另一个多边形的内角和为900°，那么原多边形的边数为．12．如图1所示的冰裂纹窗棂在古建筑中被广泛应用，图2是这种窗棂中的部分图案．若∠1+∠2+∠3=227°，则∠4+∠5的度数为．13．已知一个多边形的每个内角都比与它相邻的外角的4倍多30°，求这个多边形的边数．14．一个n边形的每个外角都相等，它的内角与相邻外角的度数之比为7：(1)求这个n边形一个内角的度数．(2)求这个n边形的内角和．15．（1）如图1，以四边形的各顶点为圆心画半径为1的圆，且圆与圆之间两两不相交．把四边形与各圆重叠部分（阴影部分）的面积之和记为S，求S的值（结果保留π）．（2）如图2，试探究其中∠1，∠2与16．看图回答问题：(1)内角和为2018°，小明为什么说不可能？(2)小华求的是几边形的内角和？(3)错把外角当内角加一起的那个外角的度数你能求出来吗？它是多少度？题型三反证法的应用1．证明：一个三角形中不能有两个角是直角．已知：△ABC．求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角．证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A和∠B是直角，即∠A=90°，∠B=90°．于是∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°．这与三角形内角和定理相矛盾，因此“∠A和∠B是直角”的假设不成立．所以，一个三角形中不能有两个角是直角．上述证明方法是（

）A．归纳法 B．枚举法 C．反证法 D．综合法2．用反证法证明命题：“在△ABC中，∠A≠∠B，则AC≠BC”．应先假设（

）A．AC>BC B．AC<BC C．∠A=∠B 3．若用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，则首先应该假设这个四边形中（）A．至少有一个角是钝角或直角 B．没有一个角是锐角C．没有一个角是钝角或直角 D．每一个角是钝角或直角4．反证法是从反方向证明命题的论证方法．如图、想要证明“如果直线AB,CD被直线EF所截，AB∥CD，那么∠EOB=∠EO′D．”先假设∠EOB≠∠EO′D，过点O作直线A′B′，使∠EOB′=∠EO′D，由“同位角相等，两直线平行”，可得A′B′∥CD．这样过点O就有两条直线AB，A′B′都平行于直线A．两点确定一条直线B．两直线平行，内错角相等C．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与这条直线垂直5．用反证法证明“在△ABC中，若AB=AC，则∠B<90°”时，以下三个步骤正确的排列顺序是（

）步骤如下：①假设在△ABC中，∠B≥90°．②因此假设不成立，∴∠B<90°．③由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，∴∠A+∠B+∠C>180°，这与“三角形三个内角的和等于180°”产生矛盾．A．①③② B．①②③ C．③①② D．③②①7．用反证法证明“三角形中必有一个内角不大于60°”时，应假设．8．用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”（填空）．已知：如图，直线l1，l2被直线l3所截；∠1+∠2求证：直线l1与l2证明：假设l1l则∠1+∠2180°．这与矛盾，故不成立．所以．9．在七年级下册《相交线与平行线》一章中，我们用测量的方法得出了“两直线平行，同位角相等”这一性质．在九年级上册P94页学习反证法时对这一性质进行了证明．请大家阅读下列证明过程并把它补充完整：已知：如图1，直线AB∥CD，直线EF分别与AB、CD交于点O，O′求证：∠1=∠2．(1)完成下面证明过程（将答案填在相应的空上）：证明：假设____________．如图2，过点O作直线A′B∴A′又∵AB∥CD，且直线AB经过点O∴过点O存在两条直线AB、A′B′这与基本事实矛盾，假设不成立∴∠1=∠2．(2)上述证明过程中提到的基本事实是_________．（填序号）①两点确定一条直线；②过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；③平行于同一条直线的两条直线互相平行．10．小明想用反证法证明“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”这条定理的正确性，请帮他将步骤补充完整．已知：直线a，b，c在同一平面内，a∥c，b∥c，求证：．证明：11．已知：两条不重合的直线AB，CD相交．求证：12．求证：在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°．13．用反证法证明：任意三角形的三个外角中至多有一个直角．14．在△ABC中，AB=AC．求证：∠B<90°．（用反证法证明）15．求证：在同一平面内，如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，那么和另一条也相交．16．用反证法证明：(1)已知：a<a，求证：a(2)求证：形如4n+3的整数k（n为整数）不能化为两个整数的平方和．1．用反证法证明命题：“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A>∠B，则a>b”的第一步应假设（

）A．a<b B．a≤b C．∠A<∠B D．∠A≤∠B2．“求证：Rt△ABC的两个锐角∠A，∠B中至少有一个不大于45°．”用反证法证明这个命题时，应先假设（

A．∠A>45°，∠B>45° B．∠A≥45°，∠B≥45° C．∠A<45°，∠B<45° D．∠A≤45°，∠B≤45°3．已知：如图，△ABC．求证：在△ABC中，如果它含直角，那么它只能有一个直角．下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：①∴∠A+∠B+∠C>180°，这与“三角形内角和等于180°”相矛盾．②因此，三角形有两个（或三个）直角的假设不成立．∴如果三角形含直角，那么它只能有一个直角．③假设△ABC有两个（或三个）直角，不妨设∠A=∠B=90°．④∵∠A+∠B=180°，这四个步骤正确的顺序应是（

）A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②4．若一个三角形的三个内角度数的比为2:3:4，则这个三角形是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形5．如图，在△ABC中，点D在边AC上（不与端点重合），连接BD．则∠1，∠2，∠3的大小关系是（

）A．∠1<∠2<∠3 B．∠3<∠1<∠2C．∠3<∠2<∠1 D．∠2<∠1<∠36．如图，已知FB∥EC，则∠A+∠B+∠C+∠D的度数=（

）A．140° B．180° C．200° D．360°7．若一个多边形的每个内角都是135°，则该多边形为（

）A．十边形 B．八边形 C．六边形 D．四边形8．如图，已知∠1+∠2+∠3+∠4=280°，则∠5的度数为（

）A．70° B．80° C．90° D．100°9．如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若∠1=42°，则∠2的度数为（

）A．45° B．30° C．18° D．15°10．在三角形纸片ABC中，∠A=90°，∠C=20°，点D为AC边上靠近点C处一定点，点E为BC边上一动点，沿DE折叠三角形纸片，点C落在点C′处，①如图1，当点C′落在BC边上时，∠ADC′=40°；②如图2，当点C′落在△ABC内部时，∠ADC′+∠BEC′=40°；③如图3，当点A．1 B．2 C．3 D．411．要用反证法证明命题“一个三角形中不可能有两个角是直角”，首先应假设这个三角形中．12．用反证法证明“在同一平面内，已知a∥b，若a⊥c，则b⊥c”，证明时可以先假设．13．求证：两直线平行，内错角相等．如图1，若AB∥CD，且AB，CD被EF所截，求证：

以下是打乱的用反证法证明的过程：①如图2，过点O作直线A′B′②依据“内错角相等，两直线平行”，可得A′③假设∠AOF≠∠EO④∴∠AOF=EO⑤与“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，假设不成立．证明步骤的正确顺序是．14．某次会议有100人参加，参加会议的每个人都可能是说真话的，也可能是不说真话的，现在知道下面两项事实：①这100人中，至少有1名是不说真话的；②其中任何2人中，至少有1名是说真话的．则这次会议活动中，说真话的人数是．15．若正多边形的一个外角是30°，则它的内角和是．16．在古希腊时期，正九边形被认为是完美和神圣的象征，它代表着和谐与平衡．如图1所示的第四套人民币中1角硬币采用了圆内接正九边形的独特设计，这个正九边形的示意图如图2所示，该正九边形的一个内角∠A的度数为．17．如图，阴影部分是一个喷水池，现要修建两条通向水池的小道PA和QB，要求PA和QB所在的直线互相垂直．为了检验PA和QB是否垂直，小亮同学在水池外的平地上选定一个可直接到达点P和Q的点C，然后测得∠P=25°，∠C=45°，∠Q=20°．请问：这样做PA和QB的位置关系是否垂直（填是或否）．18．如图，已知∠A=60°,∠B=40°,∠C=30°，则∠D+∠E等于．17．将边长相等的正六边形和正五边形按如图所示的方式叠合在一起，则∠ABC的度数为°．18．某市举行了一次无人机表演大赛，参赛者勇勇让自己的微型无人机上升到一定高度时，开始按照如图所示的程序框图在空中完成表演，从开始表演到结束表演，勇勇的无人机飞行的总路程是米．19．某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示：已知AB∥CD，∠BAE=80°，∠DCE=126°，则∠E的度数是20．如图1，2，3：已知△ABC中，∠ABC的n等分线与∠ACB的n等分线分别相交于G1，G2，G3首先得到：当n=2时，如图1，∠BG1C=，当n=3时，如图2，∠BG2C=21．如图，在同一平面内，已知AB⊥直线l于点F,CD与直线l相交（且不垂直）于点E．求证：AB与CD必相交．证明：假设AB与CD不相交，则___________∥___________．∵AB⊥l,∴CD⊥l,这与CD与直线l不垂直相矛盾．∴假设AB与CD不相交___________．∴AB与CD___________．22．用反证法证明：一个三角形中，至少有一个角不小于60°．23．若一个n边形的内角和的16比它的外角和少150°，求n24．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，BE、CD相交于点O．如果∠A=60°，∠ACD=25°，∠ABE=35°，求25．在如图所示的螳螂示意图中，AB∥DE，∠ABC=124°，∠CDE=72°，求26．如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样的图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题：(1)观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；(2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A=36°，直接写出∠ABX＋②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠A=40°，∠DBE=130°，求③如图4，求图中五角星五个“角”的和．27．问题1如图①，一张三角形纸片ABC，点D、E分别是△ABC边上两点．研究（1）：如果沿直线DE折叠，使A点落在CE上的A′点，则∠BDA′研究（2）：如果折成图②的形状，猜想∠BDA′、∠CE研究（3）：如果折成图③的形状，猜想∠BDA′、∠CE猜想：________________；理由：研究（4）：将问题1推广，如图④所示，将四边形ABCD沿EF折叠，使点A、B落在四边形EFCD的内部，∠1+∠2与∠A+∠B之间的数量关系是________________．28．如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．

(1)若∠A=60°，则∠BPC的度数是；(2)如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q，∠A之间的数量关系；(3)如图③，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求∠A的度数．

12．4定理（三大题型提分练）题型一三角形内角和定理及其推论的应用1．如图，一张三角形纸片被不小心撕掉一个角，则这个三角形是（）A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形【答案】D【解析】解：三角形的另一个角的度数为180°−50°−80°=50°，∴这个三角形是等腰三角形，故选：D．2．如图，在△ABC中，∠ACD=80°，∠B=35°，则∠A的度数为（）A．25° B．35° C．45° D．55°【答案】C【解析】解：∵在△ABC中，∠ACD=80°，∠B=35°，∴∠A=∠ACD−∠B=80°−35°=45°．故选：C．3．将一个含30°角的三角尺和直尺如图放置，若∠1=50°，则∠2的度数是（

）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】B【解析】解：如图所示，由题意得∠3=∠1=50°，∠5=90°，∠2=∠4，∴∠2=∠4=180°−90°−∠3=90°−50°=40°，故选：B．4．一天，小明和爸爸一起到建筑工地去，看见了一个如图所示的人字架，爸爸说：“小明，我考考你，这个人字架中的∠3=120°，你能求出∠1比∠2大多少吗？请你帮小明计算一下，正确的答案为（）A．50° B．60° C．70° D．不能确定【答案】B【解析】解：如图：∵∠3=120°，∴∠4=180°−∠3=60°，∴∠1−∠2=∠4=60°，故选：B．5．如图，已知AB∥DE，∠ABC=75°，∠CDE=140°，则∠BCD的度数为（A．75° B．55° C．45° D．35°【答案】D【解析】解：如图，反向延长DE交BC于M，∵AB∥∴∠BMD=∠ABC=75°，∴∠CMD=180°−∠BMD=105°；又∵∠CDE=∠CMD+∠BCD，∴∠BCD=∠CDE−∠CMD=140°−105°=35°．故选：D．6．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BD，CE相交于点F，∠A=70°，则∠BEC+∠BDC的值是（

）A．180° B．185° C．190° D．195°【答案】D【解析】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线BD，CE相交于点F，∴∠ABD=∠BCD=12∠ABC∴∠ABD+∠ACE=1∵∠A=70°，∴∠ABC+∠ACB=110°，∴∠ABD+∠ACE=55°，∵∠BEC=∠A+∠ACE，∠BDC=∠ABD+∠A，∴∠BEC+∠BDC=2∠A+∠ABD+∠ACE=2×70°+55°=195°，故选：D．7．形如燕尾的几何图形我们通常称之为“燕尾形”，如图是一个“燕尾形”，已知∠ADC=105°，∠ABC=63°，∠BAD=22°，则∠BCD的度数为（

）A．63° B．20° C．85° D．105°【答案】B【解析】解：连接BD，延长BD到E．∵∠1=∠A+∠ABD，∴∠ADC=∠1+∠2=∠A+∠C+∠ABC，∵∠ADC=105°，∠ABC=63°，∠BAD=22°，∴∠BCD=∠ADC−∠ABC−∠BAD=105°−63°−22°=20°故选：B．8．在△ABC中，∠A=20°，∠B=4∠C，则∠C=．【解析】解：∵∠A=20°，∠B=4∠C，∴在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，∴20°+4∠C+∠C=180°，5∠C=160°，∠C=32°．故答案为：32°．9．如图，在△ABC中，∠B=70°，若沿图中虚线剪去∠B，则∠1+∠2=

【解析】解：∵∠B=70°，∴∠A+∠C=180°−70°=110°∵沿图中虚线剪去∠B后的图形为四边形，且四边形的内角和度数为360°∴∠1故答案为：250°．10．如图，AD与CE交于点B，∠C=90°，∠A=36°，∠D=∠E，则∠D=度．【解析】解：在△ABC中，∠C=90°，∠A=36°，∴∠ABC=90°−36°=54°，在△BDE中，∠D=∠E，∠DBE=∠ABC=54°，∴∠D=∠E=12(180°−故答案为：63．11．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=度．【解析】解：如图：由三角形内角和定理可得：∠B+∠A+∠AGB=180°，∠C+∠D+∠CHD=180°，∠E+∠F+∠EMF=180°,∠HGM+∠GHM+∠HMG=180°，又∵∠AGB=∠HGM，∠CHD=∠GHM，∠EMF=∠GMH，∴∠AGB+∠CHD+∠EMF=180°，∵∠B+∠A+∠AGB=180°，∠C+∠D+∠CHD=180°，∠E+∠F+∠EMF=180°,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=540°−(∠AGB+∠CHD+∠EMF)=360°故答案为：360．12．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=30°，则∠ADE=°．【解析】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠B=90°−∠A=60°，由折叠知∠CED=∠B=60°，∵∠CED=∠A+∠ADE，∴∠ADE=∠CED−∠A=60°−30°=30°，故答案为：30．13．三角形的一个外角是100°，则与它不相邻的两内角平分线夹角（钝角）是．【解析】解：∵∠ACQ是△ABC的外角，且∠ACQ＝100°，∴∠BAC+∠ABC＝100°，∵AD平分∠BAC，BD平分∠ABC，∴∠1=12∠BAC，∠3=1∴∠1+∠3=12（∠BAC+∠∴∠D＝180°﹣（∠1+∠3）＝130°．故答案为：130°．14．如图是可调躺椅示意图，AE与BD的交点为C，∠CAB=50°，∠CBA=60°，∠CDF=20°，∠CEF=30°，为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD=135°，且∠CAB、∠CBA、∠E保持不变，则∠D应调整为度．【解析】解：如图，连接CF，并延长至点M，在△ABC中，∠CAB=50°，∠CBA=60°，∴∠ACB=180°−∠CAB−∠CBA=70°，∴∠DCE=∠ACB=70°，∵∠DFM=∠DCF+∠D，∠EFM=∠ECF+∠E，∴∠EFD=∠DCF+∠ECF+∠D+∠E，∵∠EFD=135°，∠CEF=30°，∴135°=70°+∠D+30°，∴∠D=35°，∴∠D应调整为35°．故答案为：35°．15．某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB与道路CD平行，道路AB与道路AE的夹角为60°，城市规划部门想新修一条道路CE，要求∠C=∠E，求∠C的度数．【解析】解：将图中AE与CD交点命名为F，如下图所示：，∵AB∥CD，∠BAF=60°∴∠DFE=60°，∵∠C=∠E，∴∠C+∠E=60°，∴∠C=30°．16．如图所示，在四边形ABCD中，已知∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC交CD于点E，DF平分∠ADC交AB于点F．(1)求证：∠ABC+∠ADC=180°；(2)求证：BE∥DF．【解析】（1）证明：四边形ABCD中，∠A+∠C+∠ABC+∠ADC=360°，∠A=∠C=90°，∴∠ABC+∠ADC=360°−90°−90°=180°．（2）证明：∵BE平分∠ABC交CD于点E，DF平分∠ADC交AB于点F，∴∠1=∠2,∠3=∠4，∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠1+∠3=90°，∵△ADF中∠5+∠3=90°，∴∠1=∠5，∴BE∥DF．17．证明：有两个角互余的三角形是直角三角形．已知：如图，，求证：．证明：【解析】已知：在△ABC中，∠A＋∠B=90°求证：△ABC是直角三角形，

证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°（三角形三个内角的和等于180°）．

∴∠C=180°−∠A+∠B（等式性质）．∵∠A＋∠B=90°∴∠C=180°−90°=90°（等量代换），

∴△ABC是直角三角形．18．（1）如图1，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY，XZ分别经过点B、C．若∠A=40°，∠ABX+∠ACX=度；（2）如图2，改变（1）中直角三角板XYZ的位置，使三角尺XYZ的两条直角边XY，XZ仍然分别经过点B．C．∠A=40°，那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX+∠ACX的大小；（3）如果（1）中的其它条件不变，把“∠A=40°”改成“∠A=n°”，则∠ABX+∠ACX＝.【解析】解：（1）∵∠A=40°，∴∠ABC+∵在直角三角板中，∠YXZ=90°，∴∠XBC+∴∠ABX+∠ACX=∠ABC+∠ACB即∠ABX+（2）不发生变化，理由如下：∵∠A=40°，∴∠ABC+∵在直角三角板中，∠YXZ=90°，∴∠XBC+∴∠ABX+∠ACX=∠ABC+∠ACB即∠ABX+（3）∵∠A=n°，∴∠ABC+∵在直角三角板中，∠YXZ=90°，∴∠XBC+∴∠ABX+∠ACX=∠ABC+∠ACB即∠ABX+19．在△ABC中，AB>AC，说明∠B<∠C．(1)如图①，小明以“折叠”为思路说明∠B<∠C：将△ABC沿AE折叠，使点C落在AB边的点D处，然后可以说明∠B<∠C，请尝试写出小明的思路；(2)在条件不变的情况下，请仍以“折叠”为思路，在图②中通过尺规作图，设计一种不同于小明的折叠方法并说明理由．【解析】（1）证明：由折叠的性质得：∠ADE=∠C，∵∠ADE为△DBE的外角，∴∠ADE=∠B+∠DEB，∴∠ADE>∠B，即∠B<∠C．（2）证明：作∠BAC的角平分线AE，将△ABC沿AE折叠，使点B落在AC的延长线上的点D处，如图所示：由折叠的性质得：∠D=∠B，∵∠ACB为△DCE的外角，∴∠ACB=∠D+∠CED，∴∠ACB>∠D，即∠B<∠C．20．我们称如图①所示的图形为“8字形”(1)如图①，求证：∠A+∠B=∠C+∠D．(2)如图②，在（1）的条件下，作∠A，∠C的平分线AP，CP，且它们的交点设为P．①∠BAP+∠B______∠BCP+∠P．（选填：“>”“=”或“<”）②当∠B=25°，∠D=30°时，直接写出∠P的度数．【解析】（1）证明：∵∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD=180°，∠AOB=∠COD，∴∠A+∠B=∠C+∠D．（2）解：①如图，AP与BC交于点M，∵∠BAP+∠B+∠AMB=∠BCP+∠P+∠CMP=180°，∠AMB=∠CMP，∴∠BAP+∠B=∠BCP+∠P．故答案为：=；②由①知∠BAP+∠B=∠BCP+∠P，同理可得∠DCP+∠D=∠DAP+∠P，两式左右分别相加，得：∠BAP+∠B+∠DCP+∠D=∠BCP+∠P+∠DAP+∠P，又∵∠A，∠C的平分线AP，CP相交于点P，∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，∴∠D+∠B=2∠P，∵∠B=25°，∠D=30°，∴∠P=1题型二多边形内角和定理与外角和定理的应用1．若一个n边形的内角和为900°，则n的值是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【解析】解：这个多边形的边数是n，则(n−2)⋅180°=900°，解得：n=7．故选：D．2．如图，小伍从A点出发沿直线前进8米到达B点后向左旋转一定角度，再沿直线前进8米，到达点C后，又向左旋转相同角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了96米，则每次旋转的角度为（

）A．30° B．40° C．45° D．60°【答案】A【解析】解：由题意得：小伍从出发到第一次回到出发地点形成的轨迹为正多边形，∵96÷8=12，∴轨迹为正十二边形，∴每次旋转的角度为360°÷12=30°．故选：A．3．若一个正多边形每个内角的度数都是其相邻外角度数的4倍，则它的边数是（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【解析】解：设多边形的每个外角为n°，则其内角为：4n°，n°+4n°=180，解得：n=36，即这个多边形是：360故选：C．4．青铜镜，古称“鉴”或“照子”．图2是从八角形铜镜（图1）底部抽象出的正八边形ABCDEFGH，连接HD，则∠HDE的度数为（）A．60∘ B．62.5∘ C．65° 【答案】D【解析】解：∵八边形ABCDEFGH是正八边形，∴∠CDE=(8−2)×180°∴由对称性可知∠HDE=∠HDC=1故选：D．5．如图，两根细绳将一物体E挂在两面互相垂直的墙面AD与AB上，若∠ABC=68°，BC⊥CD，CE∥AD，则∠DCE的度数（）A．92° B．110° C．112° D．120°【答案】C【解析】解：∵∠ABC=68°，BC⊥CD，AD⊥AB，∴∠A=∠BCD=90°，∴∠ADC=360°−2×90°−68°=112°，∵AD∥∴∠DCE=∠ADC=112°；故选：C．6．如图1，小亮在公园发现一条由一些不规则的多边形拼接而成的道路．小亮由此抽象出如图2所示的多边形ABCDEF，则这个多边形的内角和为．【解析】解：由题意得，多边形ABCDEF为六边形，∴这个多边形的内角和为6−2×180°=720°故答案为：720°．7．如果一个多边形的每一个外角都是40°，那么这个多边形的边数为．【解析】∵∴这个多边形的边数为9．故答案为：9．8．若一个多边形的内角和比外角和多720°，则这个多边形的边数为．【解析】解：∵多边形的内角和比外角和多720°，∴多边形的内角和为360°+720°=1080°，设多边形的边数为n，则180°×n−2解得：n=8．故答案为：8．9．一个多边形从一个顶点出发有七条对角线，那么这个多边形的内角和是度．【解析】解：设这个多边形是n边形，由题意得：n−3=7，∴n=10，∴这个多边形的内角和=10−2故答案为：1440．10．如图，∠1，∠2是四边形ABCD的外角，若∠1=72°，∠2=108°【解析】解：∵∠1=72°，∴∠ABC=180°−∠1=108°，∴∠A+∠C=360°−∠ABC−∠ADC=180°，故答案为：180°．11．一个多边形纸片剪去其中某一个角后，形成的另一个多边形的内角和为900°，那么原多边形的边数为．【解析】解：设原多边形为n边形，则当n多边形截去一个角后，可形成(n−1)或n或(n+1)边形，∴(n−1−2)×180°=900°或(n−2)×180°=900°或(n+1−2)×180°=900°，解得n=8或7或6，故答案为：8或7或6．12．如图1所示的冰裂纹窗棂在古建筑中被广泛应用，图2是这种窗棂中的部分图案．若∠1+∠2+∠3=227°，则∠4+∠5的度数为．【解析】解：由图2可知，∠4+∠5+180°−∠1+180°−∠2+180°−∠3=5−2整理得：∠4+∠5−∠1+∠2+∠3∴∠4+∠5=∠1+∠2+∠3=227°，故答案为：227°．13．已知一个多边形的每个内角都比与它相邻的外角的4倍多30°，求这个多边形的边数．【解析】解：设这个多边形的每个外角为x°，则每个内角为4x+30°，依题意得，4x°+30°+x°=180°解得x=30，∴360°÷30°=12，∴这个多边形的边数为12．14．一个n边形的每个外角都相等，它的内角与相邻外角的度数之比为7：(1)求这个n边形一个内角的度数．(2)求这个n边形的内角和．【解析】（1）解：∵一个n边形的每个外角都相等，它的内角与相邻外角的度数之比为7：∴180°×7∴该n边形的一个内角的度数为140°；（2）解：∵一个n边形的每个外角都相等，它的内角与相邻外角的度数之比为7：∴180°×27+2=40°∴9−2×180°=1260°则这个n边形的内角和为1260°．15．（1）如图1，以四边形的各顶点为圆心画半径为1的圆，且圆与圆之间两两不相交．把四边形与各圆重叠部分（阴影部分）的面积之和记为S，求S的值（结果保留π）．（2）如图2，试探究其中∠1，∠2与【解析】解：（1）由图可知，四个阴影部分的圆心角的度数之和为四边形的四个内角之和，即为360°，∴四个阴影部分的面积构成一个整圆的面积，即：π×1（2）∠1+∠2=∠3+∠4，理由如下：由四边形的内角和是360°可知：∠3+∠4+∠5+∠6=360°，∵∠1+∠5=180°，∴∠1+∠2+∠5+∠6=360°，∴∠1+∠2=∠3+∠4．16．看图回答问题：(1)内角和为2018°，小明为什么说不可能？(2)小华求的是几边形的内角和？(3)错把外角当内角加一起的那个外角的度数你能求出来吗？它是多少度？【解析】（1）∵2018°不是180°的整数倍，∴小明说不可能．（2）设这个多边形的边数为n，由题意，得2018°−180°<n−2解得1219∵n为整数，∴n=13．∴小华求的是13边形的内角和．（3）∵当n=13时，13−2×180°=1980°2018°−1980°=38°，∴这个外角为38°．题型三反证法的应用1．证明：一个三角形中不能有两个角是直角．已知：△ABC．求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角．证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A和∠B是直角，即∠A=90°，∠B=90°．于是∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°．这与三角形内角和定理相矛盾，因此“∠A和∠B是直角”的假设不成立．所以，一个三角形中不能有两个角是直角．上述证明方法是（

）A．归纳法 B．枚举法 C．反证法 D．综合法【答案】C【解析】解：由证明过程可知，证明方法是反证法，故选：C．2．用反证法证明命题：“在△ABC中，∠A≠∠B，则AC≠BC”．应先假设（

）A．AC>BC B．AC<BC C．∠A=∠B 【答案】D【解析】∵命题：“在△ABC中，∠A≠∠B，则AC≠BC”，∴假设为：AC=BC，故选：D．3．若用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，则首先应该假设这个四边形中（）A．至少有一个角是钝角或直角 B．没有一个角是锐角C．没有一个角是钝角或直角 D．每一个角是钝角或直角【答案】C【解析】用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时第一步应假设：四边形中没有一个角是钝角或直角．故选：C．4．反证法是从反方向证明命题的论证方法．如图、想要证明“如果直线AB,CD被直线EF所截，AB∥CD，那么∠EOB=∠EO′D．”先假设∠EOB≠∠EO′D，过点O作直线A′B′，使∠EOB′=∠EO′D，由“同位角相等，两直线平行”，可得A′B′∥CD．这样过点O就有两条直线AB，A′B′都平行于直线A．两点确定一条直线B．两直线平行，内错角相等C．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与这条直线垂直【答案】C【解析】解∶根据题意知∶材料中的基本事实是经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故选：C．5．用反证法证明“在△ABC中，若AB=AC，则∠B<90°”时，以下三个步骤正确的排列顺序是（

）步骤如下：①假设在△ABC中，∠B≥90°．②因此假设不成立，∴∠B<90°．③由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，∴∠A+∠B+∠C>180°，这与“三角形三个内角的和等于180°”产生矛盾．A．①③② B．①②③ C．③①② D．③②①【答案】A【解析】解：反证法的基本步骤：先假设结论的反面成立，再证明结论的反面与已知或公理，定理等互相矛盾，再否定假设，从而得到结论；∴以上步骤排序为：①③②，故选：A．6．用反证法证明命题“若a2<4，则|a|<2”时，应假设【解析】解：用反证法证明“若a2<4，则|a|<2”时，应假设故答案为：|a|≥2．7．用反证法证明“三角形中必有一个内角不大于60°”时，应假设．【解析】解：第一步应假设结论不成立，即每一个内角都大于60°．故答案为：每一个内角都大于60°．8．用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”（填空）．已知：如图，直线l1，l2被直线l3所截；∠1+∠2求证：直线l1与l2证明：假设l1l则∠1+∠2180°．这与矛盾，故不成立．所以．【解析】解；已知：如图，直线l1，l2被直线l3求证：直线l1与l证明：假设l1则∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）．这与∠1+∠2≠180°矛盾，故假设不成立．所以直线l1与l故答案为：≠；不平行；∥；=；两直线平行，同旁内角互补；∠1+∠2≠180°；假设；直线l1与l9．在七年级下册《相交线与平行线》一章中，我们用测量的方法得出了“两直线平行，同位角相等”这一性质．在九年级上册P94页学习反证法时对这一性质进行了证明．请大家阅读下列证明过程并把它补充完整：已知：如图1，直线AB∥CD，直线EF分别与AB、CD交于点O，O′求证：∠1=∠2．(1)完成下面证明过程（将答案填在相应的空上）：证明：假设____________．如图2，过点O作直线A′B∴A′又∵AB∥CD，且直线AB经过点O∴过点O存在两条直线AB、A′B′这与基本事实矛盾，假设不成立∴∠1=∠2．(2)上述证明过程中提到的基本事实是_________．（填序号）①两点确定一条直线；②过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；③平行于同一条直线的两条直线互相平行．【解析】（1）证明：假设∠1≠∠2．如图2，过点O作直线A′B′∴A又∵AB∥CD，且直线AB经过点O∴过点O存在两条直线AB、A′B′这与基本事实矛盾，假设不成立故答案为∶∠1≠∠2；同位角相等，两直线平行；（2）解：上述证明过程中提到的基本事实是过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；故答案为：②．10．小明想用反证法证明“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”这条定理的正确性，请帮他将步骤补充完整．已知：直线a，b，c在同一平面内，a∥c，b∥c，求证：．证明：【解析】解：由命题的结论得：a∥b，故答案为：a∥b，证明：假设a，b相交于点A，则过A点有两条直线a，b都平行于c，这与“在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”相矛盾，所以假设是错误的，所以a∥b．11．已知：两条不重合的直线AB，CD相交．求证：【解析】证明：假设AB，CD交于两点O与那么过O，O′这与“两点确定一条直线”矛盾，所以假设不成立，则AB，12．求证：在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°．【解析】已知：在Rt△ABC中，∠C=90°求证：∠A、∠B中至少有一个锐角不大于45°．证明：假设原命题不成立，则∠A>45°，∠B>45°，∵∠C=90°，∴∠A+∠B+∠C>180°．∵这与“三角形内角和等于180°”相矛盾，∴假设不成立．∴∠A、∠B中至少有一个锐角不大于45°．13．用反证法证明：任意三角形的三个外角中至多有一个直角．【解析】证明：假设△ABC的三个外角中至少有两个直角，则△ABC的三个内角中至少有两个直角，不妨设∠B=∠C=90°，所以∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形内角和等于180°相矛盾，所以任意三角形的三个外角中至多有一个直角．14．在△ABC中，AB=AC．求证：∠B<90°．（用反证法证明）【解析】解：假设∠B≥90°，∵AB=AC，∴∠B=∠A，∴∠A+∠B≥180°，∴∠A+∠B+∠C>180°，与三角形内角和定理等于180°相矛盾，∴假设∠B≥90°不成立，∴∠B<90°．15．求证：在同一平面内，如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，那么和另一条也相交．【解析】已知：在同一平面内，直线a∥b，直线b与求证：a与c相交．证明：假设a与c不相交，则a∥∵a∥∴b∥又∵已知直线b与c相交，∴假设a与c不相交不成立，∴a与c相交．16．用反证法证明：(1)已知：a<a，求证：a(2)求证：形如4n+3的整数k（n为整数）不能化为两个整数的平方和．【解析】（1）证明：假设a≥0，则a=a，这与已知a<∴假设不成立，∴a必为负数；（2）证明：假设4n+3的整数部分k能化成两个整数的平方和，不妨设这两个整数为α，则4n+3=α∵n+22∴假设不成立，∴4n+3的整数k不能化为两个整数的平方和．1．用反证法证明命题：“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A>∠B，则a>b”的第一步应假设（

）A．a<b B．a≤b C．∠A<∠B D．∠A≤∠B【答案】B【解析】解：原命题的条件是“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A>∠B”，结论是“a>b”，∴根据反证法的证明方法，在原命题的条件下，假设结论不成立，即a≤b，故选：B．2．“求证：Rt△ABC的两个锐角∠A，∠B中至少有一个不大于45°．”用反证法证明这个命题时，应先假设（

A．∠A>45°，∠B>45° B．∠A≥45°，∠B≥45° C．∠A<45°，∠B<45° D．∠A≤45°，∠B≤45°【答案】A【解析】解：求证：Rt△ABC的两个锐角∠A，∠B中至少有一个不大于45°用反证法证明这个命题时，应先假设∠A>45°，∠B>45°．故选：A．3．已知：如图，△ABC．求证：在△ABC中，如果它含直角，那么它只能有一个直角．下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：①∴∠A+∠B+∠C>180°，这与“三角形内角和等于180°”相矛盾．②因此，三角形有两个（或三个）直角的假设不成立．∴如果三角形含直角，那么它只能有一个直角．③假设△ABC有两个（或三个）直角，不妨设∠A=∠B=90°．④∵∠A+∠B=180°，这四个步骤正确的顺序应是（）A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②【答案】D【解析】解：根据反证法解答题目的一般步骤，可得本题所给的步骤正确顺序是③④①②，故选：D．4．若一个三角形的三个内角度数的比为2:3:4，则这个三角形是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形【答案】A【解析】解：∵一个三角形的三个内角度数的比为2:3:4，∴这个三角形最大的内角度数为180°×4∴这个三角形是锐角三角形，故选：A．5．如图，在△ABC中，点D在边AC上（不与端点重合），连接BD．则∠1，∠2，∠3的大小关系是（

）A．∠1<∠2<∠3 B．∠3<∠1<∠2C．∠3<∠2<∠1 D．∠2<∠1<∠3【答案】A【解析】解：由三角形外角的性质可知：∠3>∠2>∠1，即：∠1<∠2<∠3，故选：A．6．如图，已知FB∥EC，则∠A+∠B+∠C+∠D的度数=（

）A．140° B．180° C．200° D．360°【答案】D【解析】解：∵FB∥EC，∴∠BGH+∠CHG=180°，∵∠A+∠B+∠AGB=180°，∴∠A+∠B=∠BGH，同理可得∠C+∠D=∠CHG，∴∠A+∠B+∠C+∠D=∠BGH+∠CHG=180°，故选：D．7．若一个多边形的每个内角都是135°，则该多边形为（

）A．十边形 B．八边形 C．六边形 D．四边形【答案】B【解析】解；设这个多边形的边数为n，由题意得，180⋅n−2解得：n=8，∴该多边形的边数为8，即该多边形为八边形，故选：B．8．如图，已知∠1+∠2+∠3+∠4=280°，则∠5的度数为（

）A．70° B．80° C．90° D．100°【答案】B【解析】解：由题意得：∠1+2+∵∠1+2+∴∠5=360°−280°=80°故选：B．9．如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若∠1=42°，则∠2的度数为（

）A．45° B．30° C．18° D．15°【答案】C【解析】解：如图：

∵正六边形的一个外角的度数为：360°6∴正六边形的一个内角的度数为：180°−60°=120°，即：∠4=60°，∠2+∠5=120°，∵一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，∠1=42°，∴∠3=∠1=42°，∴∠5=∠3+∠4=102°，∴∠2=120°−∠5=18°；故选：C．10．在三角形纸片ABC中，∠A=90°，∠C=20°，点D为AC边上靠近点C处一定点，点E为BC边上一动点，沿DE折叠三角形纸片，点C落在点C′处，①如图1，当点C′落在BC边上时，∠ADC′=40°；②如图2，当点C′落在△ABC内部时，∠ADC′+∠BEC′=40°；③如图3，当点A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】根据题意可得∠C=20°，，①如图1，当点C′落在BC根据折叠性质可得∠C=∠DC∴∠ADC②如图2，当点C′落在△ABC根据折叠性质可得∠C=∠D∴∠AD=180°×2−=360°−2=360°−2=2∠C=40°，故②正确；③如图3，当点C′落在△ABC根据折叠性质可得∠C=∠D∴∠BE=180°−∠CE=180°−2∠CED−=360°−2=360°−2=2∠C=40°，故③正确；④当C′∵∠A=90°，∴∠B=70°，∵C′∴∠CEC根据折叠性质可得∠CED=∠C∴∠CED=1∴∠CDE=180°−35°−20°=125°；当C′∵∠A=90°，∴∠B=70°，∵C′∴∠BEC根据折叠性质可得∠CED=∠C′ED∴∠DFC=∠BEC∴∠CDF=70°，∴∠CDE=1综上∠CDE=35°或∠CDE=125°；故④正确；故选：D．11．要用反证法证明命题“一个三角形中不可能有两个角是直角”，首先应假设这个三角形中．【解析】解：∵命题“一个三角形中不可能有两个角是直角”的结论为，∴反证法即第一步应假设结论的反面成立，即首先假设三角形中有两个角是直角，故答案为：有两个角是直角．12．用反证法证明“在同一平面内，已知a∥b，若a⊥c，则b⊥c”，证明时可以先假设．【解析】：原命题“在同一平面内，已知a∥b，若a⊥c，则b⊥c”，用反证法时应假设结论不成立，即假设c与b不垂直．故答案为：c与b不垂直．13．求证：两直线平行，内错角相等．如图1，若AB∥CD，且AB，CD被EF所截，求证：

以下是打乱的用反证法证明的过程：①如图2，过点O作直线A′B′②依据“内错角相等，两直线平行”，可得A′③假设∠AOF≠∠EO④∴∠AOF=EO⑤与“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，假设不成立．证明步骤的正确顺序是．【解析】证明：③假设∠AOF≠∠EO①如图2，过点O作直线A′B′②依据“内错角相等，两直线平行”，可得A′⑤与“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，假设不成立．④∴∠AOF=EO故答案为：③①②⑤④．14．某次会议有100人参加，参加会议的每个人都可能是说真话的，也可能是不说真话的，现在知道下面两项事实：①这100人中，至少有1名是不说真话的；②其中任何2人中，至少有1名是说真话的．则这次会议活动中，说真话的人数是．【解析】解：假设这100人中，有2人是不说真话的，这与其中任何2人中，至少有1名是说真话的相矛盾，所以，这100人中，最多有1人是不说真话的，所以，这100人中，有1人是不说真话的，有99人是说真话的，故答案为：99．15．若正多边形的一个外角是30°，则它的内角和是．【解析】解：依题意可得：多边形的边数=360°÷30°=12，∴这个正多边形的内角和=12−2故答案为：1800°．16．在古希腊时期，正九边形被认为是完美和神圣的象征，它代表着和谐与平衡．如图1所示的第四套人民币中1角硬币采用了圆内接正九边形的独特设计，这个正九边形的示意图如图2所示，该正九边形的一个内角∠A的度数为．【解析】解：∵正九边形的内角和为：9−2×180°=1260°又∴正九边形的九个内角都相等，∴∠A=1260°÷9=140°．故答案为：140°．17．如图，阴影部分是一个喷水池，现要修建两条通向水池的小道PA和QB，要求PA和QB所在的直线互相垂直．为了检验PA和QB是否垂直，小亮同学在水池外的平地上选定一个可直接到达点P和Q的点C，然后测得∠P=25°，∠C=45°，∠Q=20°．请问：这样做PA和QB的位置关系是否垂直（填是或否）．【解析】解：延长PA，QB交于点D，PA的延长线与CQ交于点F，如图所示：则∠PFQ=∠P+∠C=25°+45°=70°．∴∠PDQ=∠PFQ+∠Q=70°+20°=90°．∴PA⊥QB．故答案为：是．18．如图，已知∠A=60°,∠B=40°,∠C=30°，则∠D+∠E等于．【解析】如图，连接BC．设DC与BE交于点F，∵∠A=60°,∠ABE=40°,∠ACD=30°，∴∠1+∠2=180°−∠A−∠ABE−∠ACD=180°−60°−40°−30°=50°．∵∠D+∠E+∠DFE=180°，∠1+∠2+∠BFC=180°，∠BFC=∠DFE,∴∠D+∠E=∠1+∠2=50°，故答案为：50°．17．将边长相等的正六边形和正五边形按如图所示的方式叠合在一起，则∠ABC的度数为°．【解析】解：由题意得：正六边形的每个内角都等于6−2×180°正五边形的每个内角都等于5−2×180°∴∠ABC=120°−108°=12°，故答案为：12．18．某市举行了一次无人机表演大赛，参赛者勇勇让自己的微型无人机上升到一定高度时，开始按照如图所示的程序框图在空中完成表演，从开始表演到结束表演，勇勇的无人机飞行的总路程是米．【解析】解：由流程图可得，无人家的飞行轨迹是正多边形，多边形外角为30°，∴边数为：360°30°∴无人机飞行的总路程是：12×5=60（米），故答案为：60．19．某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示：已知AB∥CD，∠BAE=80°，∠DCE=126°，则∠E的度数是【解析】解：如图，延长DC交AE于F，∵AB∴AB∥∴∠CFE=∠BAE=80°，∵∠DCE=126°，∴∠E=∠DCE−∠CFE=126°−80°=46°，故答案为：46°．20．如图1，2，3：已知△ABC中，∠ABC的n等分线与∠ACB的n等分线分别相交于G1，G2，G3首先得到：当n=2时，如图1，∠BG1C=，当n=3时，如图2，∠BG2C=【解析】解：∵当n=2时，∠G∴∠BG∵当n=3时，∠G∴∠BG由n=2，n=3可知，故答案为：90°+121．如图，在同一平面内，已知AB⊥直线l于点F,CD与直线l相交（且不垂直）于点E．求证：AB与CD必相交．证明：假设AB与CD不相交，则___________∥___________．∵AB⊥l,∴CD⊥l,这与CD与直线l不垂直相矛盾．∴假设AB与CD不相交___________．∴AB与CD___________．【解析】证明假设AB与CD不相交，则AB∥CD．∵AB⊥l,∴CD⊥l,这与C