2026-2027学年济南章丘区九年级9月份数学月考考试试题以及答案

九年级上学期数学学情调研本试题分选择题和非选择题两部分。选择题部分共2页，满分为40分；非选择题部分共6页，满分为110分。本试题共8页，满分为150分。考试时间120分钟。本考试不允许使用计算器。选择题部分共40分一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每个小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求）1.

如图，以箭头方向为主视方向，那么这个几何体的左视图是（）2.

下列说法错误的是（）

A.平行四边形的对角线互相平分

B.四条边相等的四边形是菱形

C.矩形的对角线互相垂直

D.正方形是轴对称图形也是中心对称图形3.

下列关于

x

的方程是一元二次方程的是（）

A.

2x+5=0B.x2−3x=2C.x+y=1D.x2+1x4.

已知2x=3y(y≠0)，则下面结论成立的是（）

A.xy=32B.

x3=2yC.xy=25.关于

x

的一元二次方程

x2+mx−6=0的一个根为3，则另一个根为（）

A.3B.−2C.5D.−16.下列四幅图形中，表示两棵小树在同一时刻同一地点阳光下影子的图形可能是（）

7.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、BC上，下列所述四个条件中不能判断△CED∽△CAB

的是（）A.∠CED=∠AB.∠CDE=∠BC.CDCB=CECAD.CDCA8.如图，四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，AH⊥BC于点H，则

AH

的长为（）

A.

4B.

4.5C.

4.8D.

59.如图，是某庭院的平面示意图，小院的长为42m，宽为24m。院内从入口到出口的石板路宽度均相等，若水池的占地面积为648m2，求石板路的宽度。设石板路的宽度为x

米，下列说法正确的是（）

A.(42−2x)(24−x)=648B.石板路的宽度为

3

米

C.石板路的面积为380m2D.水池的横向长度为36

米10.如图，正方形ABCD中，点E

为BC的中点，CG⊥DE

于点G，BG

延长交CD于点F，延长

CG

交

BD于点H，交AB于点N。下列结论：①DE=CN；②BHDH=12；③S△DEC=3S△BNH；④∠BGN=60∘∠BGN=60；⑤

GN+EG=3BG。其中正确结论的个数有（A.

2B.

3C.

4D.

5非选择题部分共110分二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11.已知关于

x

的方程(k−3)x∣k∣−1+x+2k+1=0

是一元二次方程，则

k的值应为。12.如图，已知直线

l1∥l2∥l3，AB=10cm，BG=6cm，CD=8cm，那么

CH=

cm。13.

如图，某数学兴趣小组在凉亭的右边点

E

处放置了一平面镜，并测得BE=8

米，然后沿着直线BE

后退到点D

处，使得眼睛恰好看到镜子里凉亭的顶端A，并测得DE=2

米，眼睛到地面的距离CD=1.7

米(此时∠AEB=∠CED)，那么凉亭AB

的高为米。14.黄金分割具有比例性、和谐性，通过黄金分割比例优化笔画分布，可使字形呈现动态平衡美感，如图，“寸”字的横画与竖钩的交界处B

点恰好是横画AC

的黄金分割点(AB>BC)，若横画

AC

的长为2cm，则

AB

的长为cm

(结果保留根号)。15.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=5，E

是CD上一点，将△BCE

沿BE

折叠，点C

恰好落在AD

边上的点

F

处，连接CF

交

BE

于点G，点

H

为AF

的中点，连接

HG，若CE=3，则

GH

的长为。三、解答题（本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）16.（本小题满分7分）

解方程：（1）x2−8x−11=0（2）(y−1)2+2y(1−y)=017.（本小题满分7分）如图，在菱形ABCD

中，E，F分别是边AB，BC上的点，且AE=CF。求证：AF=CE。18.（本小题满分7分）在如图的方格纸中，△O1A1B1与

△OAB是关于点

PP

为位似中心的位似图形。

（1）在图中标出位似中心P

的位置；

（2）以原点

O为位似中心，在第三象限画出

△OAB的一个位似

△OA2B2，使它与△OAB

的位似比为2:1；

（3）已知

△OAB的面积为2.5，则

△OA2B2的面积为________。19.（本小题满分8分）已知关于x

的方程

x2−(2k−2)x+k2+3=0有两个实数根。

（1）求k

的取值范围；

（2）设方程的两个实数根分别为

x1，x2，且

(x1−1)(x2−1)=14，求实数k

的值。20.（本小题满分8分）如图，在四边形

ABCD中，AC

平分∠BAD，∠ACD=∠B=90∘。

（1）求证：△ACD∽△ABC；

（2）若AB=3，AD=4，求AC

的长。21.（本小题满分9分）如图，在

△ABC中，∠ACB=90∘，CD

是△ABC

的中线，分别过C，B

作

AB，CD

的平行线交于点E。

（1）求证：四边形

CDBE

是菱形；

（2）连接

DE，若∠BAC=30∘，BC=4，求

DE

的长。22.（本小题满分10分）根据以下素材，探索完成任务1和任务2：主题：

奶茶销售方案制定问题背景：

当下年轻人喜欢喝奶茶，在入夏之际某奶茶品牌店推出水果茶“满杯杨梅”。素材1：

经统计，该奶茶店5月份的“满杯杨梅”水果茶销售量为1000杯，7月份的销售量为1440杯；素材2：为了去库存，决定8月份对“满杯杨梅”作降价促销，已知该水果茶的成本为每杯9元。当每杯售价21元时，月销售量1600杯，经试验，发现该款水果茶每降价1元，月销售量就会增加100杯。问题解决：任务1：

确定水果茶的销售量月平均增长率。该店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？任务2：拟定降价幅度。

为了使该店8月份“满杯杨梅”的利润达到16000元，该款水果茶应该降价多少元？23.（本小题满分10分）菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或矩形的“接近度”。

（1）如图1，已知菱形ABCD

的边长为2，设菱形

ABCD

的对角线

AC，BD

的长分别为m，n。若我们将菱形的“接近度”定义为

∣m−n∣（即“接近度”=∣m−n∣），于是

∣m−n∣

越小，菱形就越接近正方形。

①若菱形的“接近度”=

________，菱形就是正方形；

②若菱形的一个内角为

60∘，求“接近度”。

（2）如图2，已知矩形

ABCD的对角线AC，BD相交于点O，设AB，AD的长分别为

m，n，我们将矩形的“接近度”定义为mn（即“接近度”=mn）。

①若矩形的“接近度”=

________，矩形就是正方形；24.（本小题满分12分）如图，在

△ABC中，AB=6cm，BC=12cm，∠B=90∘。点P

从点A

开始沿

AB边向点

B以

1cm/s的速度移动，点

Q

从点

B开始沿

BC边向点

C以

2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，设移动时间为

t(s)。

（1）当

t=2时，求

△PBQ的面积；

（2）当

t为多少时，△PBQ的面积是

8cm2？

（3）当

t为多少时，△PBQ与

△ABC相似？25.（本小题满分12分）小丽在学习全等三角形的知识时，发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成。在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形。它们类似大手拉着小手，这种模型称为“手拉手模型”。小丽进行了如下操作：

（1）问题发现

如图1，在

△OAB和

△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40∘，连接AC，BD交于点M。小丽发现这就是手拉手模型，易证

△AOC≌△BOD，进而可以得知：

①

ACBD的值为________；

②

∠AMB的度数为________。

（2）类比探究

如图2，在

△OAB和

△OCD中，若

∠AOB=∠COD=90∘，CODO=AOBO=3，连接AC

交

BD

的延长线于点M，AO

与BM

交于点P。小丽发现不等腰的三角形也可得到手拉手模型。请你求出此时

ACBD的值及

∠AMB的度数，并说明理由；

（3）拓展延伸答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每个小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求）1.

如图，以箭头方向为主视方向，那么这个几何体的左视图是（B）2.

下列说法错误的是（C）

A.平行四边形的对角线互相平分

B.四条边相等的四边形是菱形

C.矩形的对角线互相垂直

D.正方形是轴对称图形也是中心对称图形3.

下列关于

x

的方程是一元二次方程的是（B）

A.

2x+5=0B.x2−3x=2C.x+y=1D.x2+1x4.

已知2x=3y(y≠0)，则下面结论成立的是（A）

A.xy=32B.

x3=2yC.xy=25.关于

x

的一元二次方程

x2+mx−6=0的一个根为3，则另一个根为（B）

A.3B.−2C.5D.−16.下列四幅图形中，表示两棵小树在同一时刻同一地点阳光下影子的图形可能是（A）

7.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、BC上，下列所述四个条件中不能判断△CED∽△CAB

的是（D）A.∠CED=∠AB.∠CDE=∠BC.CDCB=CECAD.CDCA8.如图，四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，AH⊥BC于点H，则

AH

的长为（C）

A.

4B.

4.5C.

4.8D.

59.如图，是某庭院的平面示意图，小院的长为42m，宽为24m。院内从入口到出口的石板路宽度均相等，若水池的占地面积为648m2，求石板路的宽度。设石板路的宽度为x

米，下列说法正确的是（D）

A.(42−2x)(24−x)=648B.石板路的宽度为

3

米

C.石板路的面积为380m2D.水池的横向长度为36

米10.如图，正方形ABCD中，点E

为BC的中点，CG⊥DE

于点G，BG

延长交CD于点F，延长

CG

交

BD于点H，交AB于点N。下列结论：①DE=CN；②BHDH=12；③S△DEC=3S△BNH；④∠BGN=60∘∠BGN=60；⑤

GN+EG=3BG。其中正确结论的个数有（A.

2B.

3C.

4D.

5非选择题部分共110分二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11.已知关于x

的方程(k−3)x∣k∣−1+x+2k+1=0

是一元二次方程，则

k的值应为﹣3。12.如图，已知直线

l1∥l2∥l3，AB=10cm，BG=6cm，CD=8cm，那么

CH=

3.2cm。13.

如图，某数学兴趣小组在凉亭的右边点

E

处放置了一平面镜，并测得BE=8

米，然后沿着直线BE

后退到点D

处，使得眼睛恰好看到镜子里凉亭的顶端A，并测得DE=2

米，眼睛到地面的距离CD=1.7

米(此时∠AEB=∠CED)，那么凉亭AB

的高为6.8米。14.黄金分割具有比例性、和谐性，通过黄金分割比例优化笔画分布，可使字形呈现动态平衡美感，如图，“寸”字的横画与竖钩的交界处B

点恰好是横画AC

的黄金分割点(AB>BC)，若横画

AC

的长为2cm，则

AB

的长为（5﹣1）cm

(结果保留根号)。15.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=5，E

是CD上一点，将△BCE

沿BE

折叠，点C

恰好落在AD

边上的点

F

处，连接CF

交

BE

于点G，点

H

为AF

的中点，连接

HG，若CE=3，则

GH

的长为702三、解答题（本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）16.（本小题满分7分）

解方程：（1）x2−8x−11=0（2）(y−1)2+2y(1−y)=0解：x=8±64﹣4×x1=4+33，x2=4﹣33 y1=1，y2=﹣117.（本小题满分7分）如图，在菱形ABCD

中，E，F分别是边AB，BC上的点，且AE=CF。求证：AF=CE。证明：∵四边形

ABCD

是菱形，∴AB=CB。

∵AE=CF，

∴

AB−AE=BC−CF，即BE=BF。

在

△ABF和△CBE

中，BF=BE∠B=∠BBA=BC

∴

△ABF≌△CBE

(SAS)，18.（本小题满分7分）在如图的方格纸中，△O1A1B1与

△OAB是关于点

PP

为位似中心的位似图形。

（1）在图中标出位似中心P

的位置；

（2）以原点

O为位似中心，在第三象限画出

△OAB的一个位似

△OA2B2，使它与△OAB

的位似比为2:1；

（3）已知

△OAB的面积为2.5，则

△OA2B2的面积为________。（1）如图所示（2）如图所示（3）1019.（本小题满分8分）已知关于x

的方程

x2−(2k−2)x+k2+3=0有两个实数根。

（1）求k

的取值范围；

（2）设方程的两个实数根分别为

x1，x2，且

(x1−1)(x2−1)=14，求实数k

的值。解：(1)根据题意得

Δ=(2k−2)2−4(k2+3)⩾0，

解得

k⩽−1，

即

k

的取值范围为k⩽−1；(2)根据根与系数的关系得

x1+x2=2k−2，x1x2=k2+3，

∵

(x1−1)(x2−1)=14，

∴

x1x2−(x1+x2)+1=14，

∴

k2+3−(2k−2)+1=14，

整理得

k2−2k−8=0，

解得

k1=4，k2=−2，

∵

k⩽−1，

∴

k

的值为

−2。20.（本小题满分8分）如图，在四边形

ABCD中，AC

平分∠BAD，∠ACD=∠B=90∘。

（1）求证：△ACD∽△ABC；

（2）若AB=3，AD=4，求AC

的长。(1)证明：∵

AC

平分

∠BAD

∴

∠CAD=∠BAC

又∵

∠ACD=∠B=90∘

∴

△ACD∽△ABC(2)解：∵

△ACD∽△ABC

∴ADAC=ACAB​

将

AB=3，AD=4代入得：

AC2=AB·AD

AC2=3×4=12

∵AC>0

∴AC=221.（本小题满分9分）如图，在

△ABC中，∠ACB=90∘，CD

是△ABC

的中线，分别过C，B

作

AB，CD

的平行线交于点E。

（1）求证：四边形

CDBE

是菱形；

（2）连接

DE，若∠BAC=30∘，BC=4，求

DE

的长。证明：由

CE∥AB，且

D、B在AB

上，得

CE∥DB。

又

BE∥CD，故四边形

CDBE为平行四边形。

因为

∠ACB=90∘，CD为斜边

AB上的中线，所以CD=AB2，DB=AB2。

因此

CD=DB。(2)连接

DE，交

CB于点O，如图。

在

Rt△ABC中，∠BAC=30∘，BC=4，故

AB=2BC=8，CD=AB2=4。

故∠COD=90∘，CO=BC2=2，DE=2DO。

在

Rt△COD中，由勾股定理得DO2=CD2−CO2=42−22=12。

所以DO=23，

DE=2DO=4322.（本小题满分10分）根据以下素材，探索完成任务1和任务2：主题：

奶茶销售方案制定问题背景：

当下年轻人喜欢喝奶茶，在入夏之际某奶茶品牌店推出水果茶“满杯杨梅”。素材1：

经统计，该奶茶店5月份的“满杯杨梅”水果茶销售量为1000杯，7月份的销售量为1440杯；素材2：为了去库存，决定8月份对“满杯杨梅”作降价促销，已知该水果茶的成本为每杯9元。当每杯售价21元时，月销售量1600杯，经试验，发现该款水果茶每降价1元，月销售量就会增加100杯。问题解决：任务1：

确定水果茶的销售量月平均增长率。该店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？任务2：拟定降价幅度。

为了使该店8月份“满杯杨梅”的利润达到16000元，该款水果茶应该降价多少元？任务1:解：

设该店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率为

x。

1000(1+x)2=1440(1+x)2=1.44

1+x=±1.2

x1=0.2=20%x2=﹣2.2（舍去）

答：该店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是

20%。任务2解答

解：

设该款水果茶应该降价

y

元。

(21−y−9)(1600+100y)=16000

(12−y)(1600+100y)=16000

19200+1200y−1600y−100y2=16000

y2+4y−32=0

(y+8)(y−4)=0

解得

y1=4，y2=−8（不符合题意，舍去）

答：该款水果茶应该降价

4

元。23.（本小题满分10分）菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或矩形的“接近度”。

（1）如图1，已知菱形ABCD

的边长为2，设菱形

ABCD

的对角线

AC，BD

的长分别为m，n。若我们将菱形的“接近度”定义为

∣m−n∣（即“接近度”=∣m−n∣），于是

∣m−n∣

越小，菱形就越接近正方形。

①若菱形的“接近度”=

________，菱形就是正方形；

②若菱形的一个内角为

60∘，求“接近度”。

（2）如图2，已知矩形

ABCD的对角线AC，BD相交于点O，设AB，AD的长分别为

m，n，我们将矩形的“接近度”定义为mn（即“接近度”=mn）。

①若矩形的“接近度”=

________，矩形就是正方形；(1)①

0

②解：∵菱形

ABCD边长为

2，一个内角为

60∘

∴较短对角线长为

2

较长对角线长为

2×22﹣12=23

∣m−n∣=∣2−23∣=23−2(2)①

1

②解：∵四边形ABCD

是矩形

∴

OA=OD

∵

∠AOD=60∘

∴

△AOD是等边三角形

∴

AD=OA

∴

AC=2OA=2AD

在

Rt△ABC中，AB=3AD

mn=ABAD=3

答：矩形的“接近度”为

3。24.（本小题满分12分）如图，在

△ABC中，AB=6cm，BC=12cm，∠B=90∘。点P

从点A

开始沿

AB边向点

B以

1cm/s的速度移动，点

Q

从点

B开始沿

BC边向点

C以

2