2027届广西南宁市高三一模高考数学试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页（共=sectionpages33页）试卷第=page11页（共=sectionpages33页）2027届普通高中毕业班摸底测试数学试卷（考试时间：120分钟

试卷满分：150分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，用黑色水性笔将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．，在复平面上对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知平面向量，满足，，则（

）A．-4 B．-3 C．-2 D．-14．如图，已知正方形是圆柱的轴截面，底面圆上的中点为，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．5．函数图象的对称轴方程不可能为（

）A． B． C． D．6．某产粮区实施“智慧农业”管理改革，为了解改革情况，统计了面积相等的100块实验麦田的亩产量（单位：），得到数据如下表：亩产量频数假设数据在组内均匀分布，则估计这100块实验麦田亩产量的分位数为（

）A． B． C． D．7．设分别为双曲线：的左、右焦点，点在的左支上，，若的周长为，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．8．已知函数有4个零点，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列命题为真命题的是（

）A．，B．平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线C．，，D．，一元二次方程有实根10．已知函数，下列说法正确的是（

）A．是函数的极大值点 B．图象的对称中心坐标为C．当时， D．若在上存在最大值，则11．已知为抛物线的焦点，过的直线与交于，两点，点的坐标为，延长线段，与分别交于点，，则（

）A． B．一定为钝角C． D．直线过定点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知直线：与圆：相交于，两点，则________．13．设为等差数列的前项和，已知，当或时，取得最值，则的公差________．14．记表示，，的最大值，表示，，的最小值．已知一个质地均匀的正八面体，八个面上分别写有数字，，，，，，，．现抛掷次该八面体，将其与桌面接触的面上的数字分别记为，，，则满足的情况有________种．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15．某科技公司研发了一款人工智能辅助诊断系统，用于检测疾病．已知疾病的患病率为2%，系统对疾病患者的诊断结果为“阳性”的概率为95%，对非疾病患者的诊断结果为“阴性”的概率为90%．(1)任选一人接受该系统检测，求该人检测结果为“阴性”的概率；(2)某医院引入该智能辅助诊断系统，为评估该系统的性能，邀请3名非疾病患者利用该系统进行检测，用表示诊断结果为“阴性”的人数，求的分布列与期望．16．已知函数（），且函数的最小正周期为．(1)求的值及函数的单调递增区间；(2)求在上的最大值与最小值．17．已知点，在平面的两侧，且三棱锥是正三棱锥，为中点，如图所示．(1)若三棱锥也是正三棱锥，证明：；(2)若，，点满足，其中，，且，求平面与平面夹角余弦值的取值范围．18．已知椭圆：（）的离心率为，左、右焦点分别为、，点到的4个顶点的距离的中位数为2．(1)求的方程；(2)过点作斜率存在且不为零的直线与交于两点，．（ⅰ）若，的斜率分别为，，当时，求；（ⅱ）记线段的中点为，为坐标原点，直线交直线于点，直线与交于、两点，求四边形面积的取值范围．19．已知数列满足，．(1)若，求中所有元素之和；(2)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；(3)证明：．答案第=page11页（共=sectionpages22页）答案第=page11页（共=sectionpages22页）1．C【分析】根据交集的定义，筛选出集合中满足小于2的元素即可求得交集.【详解】已知集合，，依据交集定义，取同时属于集合和集合的元素，只有和0，故.2．D【分析】先利用复数乘法运算法则化简复数，再根据复数的实部、虚部确定复平面对应点坐标，即可判断所在象限.【详解】解：由化简可得，，则在复平面上对应的点为，所以该点位于第四象限.3．B【分析】根据，，求出，再求

.【详解】由于，，故，所以.4．A【分析】设正方形边长为，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出两条异面直线的方向向量，利用向量夹角公式计算向量夹角余弦，再取绝对值得到异面直线所成角的余弦值．【详解】设正方形边长为，建立空间直角坐标系，底面圆心为原点，在轴，，因为是的中点，所以，，，所以，因为异面直线所成角的范围为，所以异面直线与所成角的余弦值为．5．C【分析】结合正切函数的对称轴方程可得是函数图象的对称轴方程即可求解.【详解】令，解得：,当时，，所以是函数图象的对称轴方程，当时，，所以是函数图象的对称轴方程，若，解得：，所以函数图象的对称轴方程不可能为当时，，所以是函数图象的对称轴方程，6．D【详解】根据题意可知这块实验麦田亩产量的分位数在区间内，所以分位数7．C【分析】先利用向量关系设线段长，结合双曲线定义表示，由三角形周长求出；再利用共线，两个邻补角余弦互为相反数，借助余弦定理建立的方程，求出离心率．【详解】设，由，得，，，，周长为，即，解得，所以，，，，在中，，；在中，，，因为三点共线，且在之间，所以，余弦值互为相反数，设焦距，在中，，在中，因为，所以，两边同乘得，化简得，所以．8．A【分析】为偶函数，转化为时，方程有两个解，即和的图象在时有两个交点，令，利用导数求得函数单调性与最值，画出函数的图象，结合图象，列出不等式，即可求解.【详解】由函数，可得其定义域为，且，所以函数为偶函数，图象关于轴对称，所以有4个零点，等价于当时，有2个零点，当时，令，即，若，则方程为，不符合题意，所以，则方程可变形为，令，则问题转化为和的图象在时有两个交点，又由，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以在处取得极大值，也是最大值，最大值为，当时，，所以；当时，的增长速度远小于，所以，当时，，解得，即当时，；当时，，画出函数的图象，如图所示，要使得和的图象在时有两个交点，结合图象，满足，解得，所以实数的取值范围为.9．AC【详解】对于A，时，，故，，故A是真命题；对于B，平面内两条相交直线垂直于同一条直线，则这两条直线平行，故B是假命题；对于C，当时，，故C是真命题；对于D，易知时，一元二次方程为无实根，故D是假命题．10．ABD【分析】求导得到函数单调区间与极值，A根据单调性判定极大值点；B利用中心对称定义验证对称中心；C结合区间单调性比较函数值大小；D结合函数单调性，列出不等式求解使开区间存在最大值的参数范围.【详解】展开，求导得.令，解得和，据此可得到函数单调性：时，，单调递增；时，，单调递减；时，，单调递增.选项A：根据上述单调性分析，在左侧递增、右侧递减，符合极大值点的定义，且代入得，是局部最大值，A正确；选项B：若函数关于点对称，则满足.代入，验证：，完全满足对称中心的性质，因此关于中心对称，B正确；选项C：当时，，，此时.区间上，，在上单调递减.自变量越大，函数值越小：，C错误；选项D：结合函数单调性可知，函数的极大值为，解方程，即，解得或.当时，，函数在上单调递增，因此若区间上存在最大值，则最大值只能是极大值.要使区间内取得该最大值，需要满足极大值点在区间内，且区间右端点不超过.若，区间中将出现，此时，函数值大于极大值，区间就不存在最大值；若时，区间为，取不到，区间上最大值仍为，满足题意.列不等式组，解得，D正确.11．BCD【分析】根据题意，得到，可判定A错误；设直线方程为，联立方程组，求得，结合，可判定B正确；根据抛物线的定义和焦半径公式，求得和，可判定C正确；设，求得的方程，联立方程组，求得且，求得直线的方程，求得过定点，可判断D正确.【详解】对于A，由抛物线的焦点为，可得，解得，所以A错误；对于B，设过点的直线方程为，且由选项A知，抛物线的方程为，联立方程组，整理得，则，且，因为，可得，则，可得向量和的夹角为钝角，所以为钝角，所以B正确；对于C，由抛物线的定义，可得，则，，因为和在直线上，且满足可得，，所以，且，所以，所以C正确；对于D，设，且直线的方程为，设，直线的方程为，联立方程组，整理得，则，即，同理可得：，则，且，又由直线的斜率为，所以直线的方程，将代入，可得，化简得，令，可得，所以直线过定点，所以D正确.12．【详解】圆：，圆心为，半径，则圆心到直线的距离，．13．【分析】利用等差数列前项和的二次函数特征确定对称轴，结合已知的的值列方程求解公差.【详解】等差数列的首项为，公差为，则，前项和，，因为当或时，取得最值，所以对于二次函数，其图象的对称轴为，则，解得.14．【分析】先确定满足差值为的最值配对共组，对每组通过计数原理计算符合要求的情况数，求和得到总情况数.【详解】要满足，只可能是如下几类情形：①当，，若第三个数是或时，分别有种情况，总计种情况；若第三个数是，，时，分别有种情况，总计种情况.②当，，则若第三个数是或时，分别有种情况，总计种情况；若第三个数是，，时，分别有种情况，总计种情况.③当，，同理，总计种情况；④当，，同理，总计种情况；综上所述，总计种情况.15．(1)(2)的分布列为：期望为【分析】(1)问使用全概率公式，把“检测结果为阴性”拆分为患病检测阴性、未患病检测阴性两个互斥事件，分别求出两个事件的概率再相加；(2)问判断随机变量服从二项分布，确定单次试验检出阴性的概率，利用二项分布概率公式计算各个取值对应的概率，再用二项分布期望公式求出期望.【详解】（1）设事件为“患有疾病”，事件为“不患有疾病”，事件为“检测结果为阴性”.由题意，，，系统对患者诊断阳性概率为，所以患者检测阴性的概率，非患者检测阴性概率.根据全概率公式得：所以任选一人检测，检测结果为阴性的概率为；（2）每一名非疾病患者检测结果为阴性的概率为，3人的检测相互独立，则.的所有可能取值为：.，，，.所以的分布列为：，，，所以.16．(1)，单调递增区间为(2)最大值为，最小值为【分析】（1）利用三角恒等变换先化简，再利用周期求出，令，解出即可求解；（2）由，得，进而利用正弦函数的性质求解最值.【详解】（1）由题意得：，又，所以，所以，令，解得，所以的单调递增区间为；（2）由（1）得，又，得，所以，，所以的最大值为，最小值为.17．(1)证明：三棱锥是正三棱锥，故底面为等边三角形，，因为为中点，所以，，因为平面，，所以⊥平面，三棱锥也是正三棱锥，同理可得，故平面，所以平面，故；(2)【分析】（1）作出辅助线，得到，⊥平面，同理可得，故平面，平面，故；（2）先得到两两垂直，建立空间直角坐标系，设，求出的关系式，从而，求出两平面的法向量，得到两平面夹角余弦值，根据求出取值范围.【详解】（1）略（2）由题意得，，故，所以，同理可得，即两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，设，由得，所以，故，其中，，又，故，两边平方得，化简得，，，，解得，设平面的法向量为，，，则，令，则，，故，设平面的法向量为，，则，令，则，所以，设平面与平面夹角为，则其中，所以，因为，所以，故，，故平面与平面夹角余弦值的取值范围是.18．(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ）【分析】（1）利用离心率先得到，然后借助左焦点到四个顶点的距离的中位数即可求得.（2）（ⅰ）设点坐标，由两点斜率公式结合求出点横坐标，再联立过焦点的直线与椭圆，利用弦长公式即可计算弦长；（ⅱ）先求出弦的中点，得到与点，证得，写出四边形面积的表达式，通过换元转化为二次函数，即可得到面积的取值范围.【详解】（1）因为椭圆的离心率为，即，即，又因为左焦点到左右两个顶点的距离为，到上下两个顶点的距离都是，即四个距离分别为，代入得，按从小到大排列为，则中位数为，即，，所以，则椭圆的标准方程为.（2）（ⅰ）由（1）知，，设点，则，因为，则，因为，所以，即，代入椭圆方程，即，解得.设过点的直线为：，联立方程组，得，所以，又，则，所以，所以.（ⅱ）由（ⅰ）知，线段的中点满足，所以直线为，交于点.因为直线过和，且，所以方程为，因为，所以，即，由（ⅰ）知，同理可得，所以四边形面积为，令，，令，则分母为开口向下的二次函数，对称轴为，所以最大值为，而时，，当时，，即，所以.19．(1)6；(2)证明：，故，而，所以为公比为2的等比数列，首项为，所以，所以；(3)证明：令，，则，故在上单调递减，所以，即，当且仅当时，等号成立，令得，即，故，，设，，则，其中，故，所以在上恒成立