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2026年线性代数期末考试冲刺押题卷及答案一、单项选择题（每题3分，共15分）1.设A为n阶方阵，且|A|=A.2B.(C.−D.(答案：B解析：由行列式性质|kA|2.设A,B均为n阶方阵，且A.A=OB.|A|C.BD.|答案：B解析：由AB=O，两边取行列式得|A|3.设A为m×n矩阵，A.存在r阶非零子式B.所有r+C.A的行秩等于列秩等于rD.若r=m<答案：D解析：若r=4.设ξ1,ξ2是齐次线性方程组Ax=0A.kB.ηC.ηD.η答案：C解析：非齐次方程的通解等于一个特解加上导出组Ax=05.设A为n阶方阵，若A与B相似，则下列结论错误的是（）A.|B.A与B具有相同的特征值C.A与B具有相同的特征向量D.tr答案：C解析：相似矩阵具有相同的特征值、行列式和迹，但特征向量一般不共享，故C错误。二、填空题（每题3分，共15分）6.已知D=12答案：0解析：第二行是第一行的2倍，行列式两行成比例，值为零。7.设A=12答案：1解析：利用二阶逆矩阵公式ab8.设向量组α1=(1,答案：2解析：α3=α9.设A为3阶方阵，且|A|=3，A*答案：9解析：对于n阶方阵，|A*|10.已知二次型f(答案：1解析：二次型矩阵为对称矩阵，对角线元素为平方项系数，交叉项系数的一半填在对应位置。三、计算题（每题10分，共50分）11.计算行列式D答案：12解析：该行列式为范德蒙德行列式，其中x1D代入数值计算：$$\begin{aligned}

D&=(2-1)(3-1)(4-1)(3-2)(4-2)(4-3)\\

&=1\cdot2\cdot3\cdot1\cdot2\cdot1\\

&=12

\end{aligned}$$12.设矩阵A=10答案：特征值为λ1=0，λk属于λ2k解析：计算特征多项式|令其为零，得λ1=0当λ=0时，解(0⋅I−A当λ=2时，解1化简得x1=x3，x213.求非齐次线性方程组x的解。答案：x解析：对增广矩阵作初等行变换：1→回代得x3=−2514.设向量组α求该向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。答案：向量组的秩为3。一个极大线性无关组为α1其余向量表示为：α解析：以α1A作行初等变换化为行阶梯形：1非零行数为3，故秩为3。前三列线性无关，选α1,α15.用正交变换化二次型f为标准形，并写出所用的正交变换。答案：标准形为：f正交变换为：x解析：二次型对应的实对称矩阵为：A求其特征值：|λI−当λ=4时，解(4p当λ=1时，解(I−A)x=0，得基础解系ξp令正交矩阵Q=(p1,四、证明题（每题10分，共20分）16.设A为n阶方阵，且A2=A。证明：A的特征值只能是0或1；若A答案：证明：（1）设λ为A的任一特征值，对应特征向量为x，满足Ax=λx，其中A即(因为x≠0，所以λ2−λ（2）若A可逆，则A−A两边同时左乘A−1，得17.设A为m×R其中R表示矩阵的秩。答案：证明：考虑齐次线性方程组Ax=0若x满足Ax=0

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