北师大版数学 专题5.2 一元一次方程的解法（知识梳理+6个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题） 同步练习 含答案

专题5.2一元一次方程的解法（知识梳理+6个考点讲练+中考真题演练+难度分层练共43题）知识梳理技巧点拨TOC\o"1-2"\h\u 1知识点梳理01：求解一元一次方程的一般步骤 1知识点梳理02：求解特殊的一元一次方程 2优选题型考点讲练 2考点1：解一元一次方程(一)——合并同类项与移项 2考点2：解一元一次方程(二)——去括号 3考点3：解一元一次方程(三)——去分母 3考点4：已知一元一次方程的解求参数 4考点5：一元一次方程解的关系 5考点6：绝对值方程 6中考真题实战演练 7难度分层拔尖冲刺 8基础夯实 8培优拔高 9知识点梳理01：求解一元一次方程的一般步骤变形名称具体做法注意事项去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数(1)不要漏乘不含分母的项(2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号(1)不要漏乘括号里的项(2)不要弄错符号移项把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)(1)移项要变号(2)不要丢项合并同类项把方程化成ax＝b(a≠0)的形式字母及其指数不变系数化成1在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解．不要把分子、分母写颠倒易错点拨：（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化．(2)去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行.（3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆．知识点梳理02：求解特殊的一元一次方程1.含绝对值的一元一次方程解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义．易错点拨：此类问题一般先把方程化为的形式，再分类讨论：(1)当时，无解；（2）当时，原方程化为：；（3）当时，原方程可化为：或.2.含字母的一元一次方程此类方程一般先化为最简形式ax＝b，再分三种情况分类讨论：（1）当a≠0时，；（2）当a＝0，b＝0时，x为任意有理数；（3）当a＝0，b≠0时，方程无解．考点1：解一元一次方程(一)——合并同类项与移项【典例精讲】（2025七年级上·全国·专题练习）解下列方程：(1)−x+3x−6x=4；(2)x−1【变式训练1】（2025七年级上·全国·专题练习）解方程．(1)5x−2.5x+3.5x=−18(2)y−1【变式训练2】（2025七年级上·全国·专题练习）解下列方程：(1)x(2)12考点2：解一元一次方程(二)——去括号【典例精讲】（2025七年级上·全国·专题练习）解方程：45【变式训练1】（2025六年级上·全国·专题练习）解方程：4x−32x−3【变式训练2】（25-26七年级上·广东江门·期中）解方程：3x−2=1−2x+1考点3：解一元一次方程(三)——去分母【典例精讲】（2025七年级上·全国·专题练习）解方程：0.3x+0.80.5−0.02x+0.3【变式训练1】（2025七年级上·全国·专题练习）解方程：2x−x−1【变式训练2】（2025七年级上·全国·专题练习）解下列方程：(1)1−(2)0.4x−1考点4：已知一元一次方程的解求参数【典例精讲】（25-26七年级上·江苏淮安·期中）定义：使等式a−b=ab+1的一对有理数a，b称为“共生数对”，记为a,b．(1)下列数对：①−2,1，②4,35，③(2)若m,n是“共生数对”，则−n,−m______“共生数对”（填“是”或“不是”）；(3)若m,n是“共生数对”，且关于x的方程mx+n=3的解为x=−1，求mn的值．【变式训练1】（25-26七年级上·安徽安庆·期中）若关于x的一元一次方程ax=b的解满足x=b+a，则称该方程为“友好方程”．例如：方程2x=−4的解为x=−2，而−2=−4+2，则该方程为“友好方程”．(1)在方程①−2x=4；②4x=−163；③(2)若关于x的一元一次方程3x=b是“友好方程”，求b的值；(3)若关于x的一元一次方程−2x=mn+nn≠0是“友好方程”，且它的解为x=n，求n【变式训练2】（25-26七年级上·安徽合肥·期中）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称为这两个方程为“致真方程”．如方程2x=4和3x+6=0为“致真方程”．(1)若关于x的方程5x+m=0与方程2x−4=x+1是“致真方程”，求m的值；(2)若关于x的方程2x+3m−2=0和3x−5m+4=0是“致真方程”，求这两个方程的解．考点5：一元一次方程解的关系【典例精讲】（24-25七年级上·河南郑州·期末）我们知道，无限循环小数都可以转化为分数．例如：把无限循环小数0.6化为分数的过程如下，由10×0.6−0.6=6.6−0.6=6，即【变式训练1】（2023七年级上·湖南邵阳·竞赛）（1）讨论关于x的方程ax=b的解的情况，其中a，（2）解关于x的方程：16【变式训练2】（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）已知关于x的方程x−2−ax6=考点6：绝对值方程【典例精讲】（25-26七年级上·北京·期中）（1）画出数轴，并在数轴上表示下列有理数：−4，−112，−−2（2）若点A对应−4，点B对应2，且点C到点B的距离是点C到点A距离的3倍，直接写出点C对应的数是．【变式训练1】（25-26七年级上·江苏常州·期中）【问题情境】数学活动课上，王老师出示了一个问题∶点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=a−b(1)数轴上表示3和−1的两点之间的距离是_________；数轴上表示x和−2的两点之间的距离表示为__________；(2)试用数轴探究∶当m−1=3时m【实践探究】利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究∶(3)当式子x+1+x−5取最小值时，相应的(4)若x+5+x−3=14【变式训练2】（25-26七年级上·重庆·期中）已知3个多项式分别为：A=3x①若C=2，则x=0②无论x取何值，一定都有A>B；③若mA+C的值与x2无关，则m=−1④代数式A−3B+C化简后共有3种不同的表达式．其中正确的是1．（2024·吉林长春·中考真题）已知两个多项式A=x2+3x+3，B=①若A−B=4，则x=1；②3A−2B=x③若A+2B+ax2−bx的值与x④若A−B−1=1，则满足等式的2．（2024·福建泉州·中考真题）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3加1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述运算，经过有限次的步骤，必然进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．如果对于正整数m，经过n步变换，第一次到达1，就称为n步“雹程”．如取m=3，由上述运算法则得出：3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过7个步骤变成1，得n=7．则下列命题正确的是．（填序号）①当m=7时，n=15；②当m=7时，则经过2025次运算后，得到的运算结果是2③若n=2，则m只能是4；④若n=5，则m的值可能有两种情况．3．（2024·全国·中考真题）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程2x−1=3和x+1=0为美好方程．若关于x的方程12024x+1=0与12024x−1=3x+k是“美好方程”，则关于y4．（2024·浙江嘉兴·中考真题）某数学兴趣小组成员在讨论两个实数m，n满足关系m−n=m+n时，有以下两种观点：①若m与n的和为正数，则m，n都为正数；②若m与n的差为0，则m，n都为0．则下列判断正确的是（A．①错②对 B．①对②错 C．①②都对 D．①②都错5．（2024·湖北黄冈·中考真题）已知多项式2ax4+5ax3−8xA．2029 B．2037 C．2049 D．2053基础夯实1．（25-26七年级上·云南曲靖·期中）若−2x2m+1y6与13A．−1,2 B．1,−2 C．1，2 D．−1,−22．（25-26七年级上·湖北武汉·月考）若−m=−7，则m的值是（A．7 B．−7 C．7或−7 D．0或73．（25-26七年级上·重庆·期中）下列在解方程的过程中，变形正确的是（

）．A．将x−23−x=1B．将2x−x−2=1C．将x=2x−3移项，得x+2x=−3D．将2x=3系化为1，得x=4．（2025七年级上·全国·专题练习）已知关于x的方程x3⋅a=x+24−5．（25-26七年级上·四川广元·期中）若代数式6x−12与4+2x的值互为相反数，则x的值为．6．（25-26七年级上·江苏常州·期中）若x=2是方程x−10=a的解，则a=．7．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）方程−5x=20的解为．8．（2025七年级上·全国·专题练习）解方程：0.3x+0.20.29．（2025七年级上·全国·专题练习）解方程：0.03x−0.10.0210．（2025七年级上·全国·专题练习）解下列方程：(1)4(2)8x+7+2x=1+11x−6培优拔高11．（25-26七年级上·重庆·期中）我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作x，又把x−x称为x的小数部分，记作x，则有x=x+x．如：1.3=1①2.8=2；②−5.3=−5；③若1<x<2，且x=0.4④方程4x+1=x+3x的解为A．1 B．2 C．3 D．412．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）若两个有理数的和等于这两个有理数的积，则称这两个有理数互为相依数．例如：有理数32与3，因为32+3=32×3，所以有理数32与3是互为相依数．对于有理数aa≠0,1对它进行如下操作：取a的相依数，得到a1；取a1的倒数，得到a2；取a2的相依数，得到A．32 B．23 C．−13．（25-26七年级上·重庆·月考）已知两个多项式A=x2+2x+2，B=①若A−B=12，则x=3；②若A+B+ax2−bx的值与x③若|A−B−8|+|A−B+4|=12，则−1≤x≤2；④若关于y的方程(m−1)y=A+B−2x2的解为整数，则符合条件的非负整数A．1个 B．2个 C．3个 D．4个14．（2025七年级上·全国·专题练习）若关于x的方程m3x+1=n2+15．（25-26七年级上·重庆·月考）已知关于x的方程2−x3−1−mx2=1的解是整数，则满足条件的所有整数m16．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知3个多项式分别为A=3x2+3x+1，B=−①若C=−4，则x=−2；②多项式A−3C化简后是二次三项式；③若关于x的整式mB+nC（m，n是不为0的有理数）化简后不含一次项，则m=n；④若B的值是14，则A的值也是1其中正确的有（填序号）17．（25-26七年级上·广东深圳·期中）若代数式9x2−4mx−y+3−9nx218．（2025七年级上·全国·专题练习）解方程：x+10.319．（2025七年级上·全国·专题练习）解方程：3220．（2025七年级上·全国·专题练习）解关于x的方程a−x+73=25−x，小刚去分母时忘记了将右边乘以3，其他步骤都是正确的，巧合的是他求得的结果仍然是原方程的解，即小刚将求得的结果代入原方程后，左边与右边竟然也相等！你能求出使这种巧合成立的

专题5.2一元一次方程的解法（知识梳理+6个考点讲练+中考真题演练+难度分层练共43题）知识梳理技巧点拨TOC\o"1-2"\h\u 1知识点梳理01：求解一元一次方程的一般步骤 1知识点梳理02：求解特殊的一元一次方程 2优选题型考点讲练 2考点1：解一元一次方程(一)——合并同类项与移项 2考点2：解一元一次方程(二)——去括号 4考点3：解一元一次方程(三)——去分母 5考点4：已知一元一次方程的解求参数 7考点5：一元一次方程解的关系 10考点6：绝对值方程 12中考真题实战演练 15难度分层拔尖冲刺 19基础夯实 19培优拔高 22知识点梳理01：求解一元一次方程的一般步骤变形名称具体做法注意事项去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数(1)不要漏乘不含分母的项(2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号(1)不要漏乘括号里的项(2)不要弄错符号移项把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)(1)移项要变号(2)不要丢项合并同类项把方程化成ax＝b(a≠0)的形式字母及其指数不变系数化成1在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解．不要把分子、分母写颠倒易错点拨：（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化．(2)去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行.（3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆．知识点梳理02：求解特殊的一元一次方程1.含绝对值的一元一次方程解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义．易错点拨：此类问题一般先把方程化为的形式，再分类讨论：(1)当时，无解；（2）当时，原方程化为：；（3）当时，原方程可化为：或.2.含字母的一元一次方程此类方程一般先化为最简形式ax＝b，再分三种情况分类讨论：（1）当a≠0时，；（2）当a＝0，b＝0时，x为任意有理数；（3）当a＝0，b≠0时，方程无解．考点1：解一元一次方程(一)——合并同类项与移项【典例精讲】（2025七年级上·全国·专题练习）解下列方程：(1)−x+3x−6x=4；(2)x−1【答案】(1)x=−1(2)x=−21【思路点拨】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解．（1）方程左右两边合并同类项，将x系数化为1，即可求出解；（2）方程左右两边合并同类项，将x系数化为1，即可求出解；【规范解答】（1）解：−x+3x−6x=4，合并同类项得：−4x=4，解得：x=−1；（2）解：x−1合并同类项得：43解得：x=−21．【变式训练1】（2025七年级上·全国·专题练习）解方程．(1)5x−2.5x+3.5x=−18(2)y−1【答案】(1)x=−3(2)y=6【思路点拨】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解．（1）方程左边合并同类项，将x系数化为1，即可求出解；（2）方程左边合并同类项，将x系数化为1，即可求出解；【规范解答】（1）解：5x−2.5x+3.5x=−18，合并同类项得：6x=−18，解得：x=−3；（2）解：y−1合并同类项得：16解得：y=6．【变式训练2】（2025七年级上·全国·专题练习）解下列方程：(1)x(2)12【答案】(1)x=−(2)x=【思路点拨】本题主要考查了解一元一次方程：（1）直接合并同类项，系数化为1，即可求解；（2）直接合并同类项，系数化为1，即可求解．【规范解答】（1）解：合并同类项得，56x的系数化为1得，x=−1（2）解：合并同类项得，−9x的系数化为1得，x=13考点2：解一元一次方程(二)——去括号【典例精讲】（2025七年级上·全国·专题练习）解方程：45【答案】x=【思路点拨】本题考查了解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先去括号，移项，然后合并同类项，将系数化为1，即可作答．【规范解答】解：4整理得4去括号，得15移项，得1合并同类项得−3将系数化为1，得x=35【变式训练1】（2025六年级上·全国·专题练习）解方程：4x−32x−3【答案】x=5【思路点拨】本题主要考查解一元一次方程，掌握去括号，移项，合并同类项，系数化为1的方法是解题的关键．先去括号，再移项，合并同类项，系数化为1即可求解．【规范解答】解：4x−32x−3去括号，得4x−6x+9=8−x−4，移项、合并同类项，得−x=−5，化系数为1，得x=5．【变式训练2】（25-26七年级上·广东江门·期中）解方程：3x−2=1−2x+1【答案】x=【思路点拨】先去括号，再移项后合并同类项，最后系数化为1即可；本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键，需要注意括号前为负号，去括号后要变号．【规范解答】解：3x−2=1−2x−23x+2x=1−2+25x=1x=1考点3：解一元一次方程(三)——去分母【典例精讲】（2025七年级上·全国·专题练习）解方程：0.3x+0.80.5−0.02x+0.3【答案】x=1【思路点拨】本题主要考查解一元一次方程，将原方程变形为3x+85−2x+3030−【规范解答】解：0.3x+0.80.5方程整理得：3x+85−2x+30去分母得：63x+8去括号得：18x+48−2x−30−30=8x−4，移项得：18x−2x−8x=30+30−48−4，移项合并得：8x=8，系数化为１，得：x=1．【变式训练1】（2025七年级上·全国·专题练习）解方程：2x−x−1【答案】x=0.2【思路点拨】本题考查了解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化1，即可作答．【规范解答】解：2x−x−1去分母，得8x−去括号，得8x−x+1=8−6+2x，移项，得8x−x−2x=8−6−1合并同类项得5x=1系数化1得x=0.2．【变式训练2】（2025七年级上·全国·专题练习）解下列方程：(1)1−(2)0.4x−1【答案】(1)x=−6(2)x=13.75【思路点拨】此题考查解一元一次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键，（1）根据去分母、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出方程的解；（2）根据去分母、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出方程的解；【规范解答】（1）解：去分母得：3−7x=2x+57，移项合并得：−9x=54，解得：x=−6；（2）去分母得：8x−5=160−4x，移项合并得：12x=165，解得：x=13.75．考点4：已知一元一次方程的解求参数【典例精讲】（25-26七年级上·江苏淮安·期中）定义：使等式a−b=ab+1的一对有理数a，b称为“共生数对”，记为a,b．(1)下列数对：①−2,1，②4,35，③(2)若m,n是“共生数对”，则−n,−m______“共生数对”（填“是”或“不是”）；(3)若m,n是“共生数对”，且关于x的方程mx+n=3的解为x=−1，求mn的值．【答案】(1)②③(2)是(3)−4【思路点拨】本题考查有理数的运算、一元一次方程的解，理解题意是解答的关键．（1）根据题中定义判断即可；（2）根据题中定义求解即可；（3）根据定义得到m−n=mn+1，再根据方程的解满足方程得到−m+n=3，进而求解即可．【规范解答】（1）解：①−2,1，∵−2−1=−3，−2×1+1=−2+1=−1，∴−2−1≠−2×1+1，故数对−2,1不是“共生数对”；②4,35，∵4−3∴4−35=4×③0,−1，∵0−−1=0+1=1，∴0−−1=0×−1故答案为：②③；（2）解：∵m,n是“共生数对”，∴m−n=mn+1，则−n−−m∴数对−n,−m是“共生数对”，故答案为：是；（3）解：∵m,n是“共生数对”，∴m−n=mn+1，∵关于x的方程mx+n=3的解为x=−1，∴−m+n=3，即m−n=−3，∴−3=mn+1，∴mn=−4．【变式训练1】（25-26七年级上·安徽安庆·期中）若关于x的一元一次方程ax=b的解满足x=b+a，则称该方程为“友好方程”．例如：方程2x=−4的解为x=−2，而−2=−4+2，则该方程为“友好方程”．(1)在方程①−2x=4；②4x=−163；③(2)若关于x的一元一次方程3x=b是“友好方程”，求b的值；(3)若关于x的一元一次方程−2x=mn+nn≠0是“友好方程”，且它的解为x=n，求n【答案】(1)②(2)b=−(3)n=−【思路点拨】此题主要考查一元一次方程的解，掌握一元一次方程解题的方法，结合题目中“友好方程”的概念，是解题的关键；（1）先求出一元一次方程的解，再检验方程的解是否满足“友好方程”的概念，即可判断求解；（2）先表示出含参数的一元一次方程的解，利用“友好方程”的条件，即可列出等式，求得参数的值；（3）根据已知方程的解，代入方程，求得m的值，再结合方程是“友好方程”，列出等式，即可求得n的值．【规范解答】（1）解：①−2x=4，解得：x=−2，因为−2+4=2≠−2，所以该方程不是“友好方程”；②4x=−163，解得：因为4−16所以该方程是“友好方程”；③12x=−1，解得：因为12所以该方程不是“友好方程”；故答案为：②（2）解：3x=b，解得：x=因为关于x的一元一次方程3x=b是“友好方程”，所以3+b=b解得：b=−9（3）解：因为x的一元一次方程−2x=mn+nn≠0的解为x=n所以−2n=mn+n，因为n≠0，所以m=−3，因为一元一次方程−2x=mn+nn≠0所以−2+mn+n=n，所以−2−3n+n=n，解得：n=−2【变式训练2】（25-26七年级上·安徽合肥·期中）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称为这两个方程为“致真方程”．如方程2x=4和3x+6=0为“致真方程”．(1)若关于x的方程5x+m=0与方程2x−4=x+1是“致真方程”，求m的值；(2)若关于x的方程2x+3m−2=0和3x−5m+4=0是“致真方程”，求这两个方程的解．【答案】(1)m=25(2)方程2x+3m−2=0的解为x=−2，方程3x−5m+4=0的解为x=2【思路点拨】本题考查了一元一次方程的解的应用，解题的关键是掌握“致真方程”的定义．（1）根据解一元一次方程的步骤，可用m表示出方程5x+m=0的解，再解出方程2x−4=x+1的解，最后结合“致真方程”的定义和相反数的定义，可得出关于m的方程，解出m的值即可；（2）根据解一元一次方程的步骤，可用m表示出两个方程的解，结合“致真方程”的定义和相反数的定义，可得出关于m的方程，解出m的值即可．【规范解答】（1）解：2x−4=x+12x−x=1+4x=5；5x+m=05x=−mx=−m∵方程5x+m=0与方程2x−4=x+1是“致真方程”，∴5+−解得m=25．（2）解：2x+3m−2=02x=2−3mx=2−3m3x−5m+4=03x=5m−4x=5m−4∵方程2x+3m−2=0和3x−5m+4=0是“致真方程”，∴2−3m2去分母，得32−3m去括号，得6−9m+10m−8=0，移项，合并同类项，得m=2，则2−3m25m−43故方程2x+3m−2=0的解为x=−2，方程3x−5m+4=0的解为x=2．考点5：一元一次方程解的关系【典例精讲】（24-25七年级上·河南郑州·期末）我们知道，无限循环小数都可以转化为分数．例如：把无限循环小数0.6化为分数的过程如下，由10×0.6−0.6=6.6−0.6=6，即【答案】4【思路点拨】本题考查了解一元一次方程，读懂题目信息，理解无限循环小数转化为分数的方法是解题的关键．设x=0.12，表示出100x，然后相减解得出关于【规范解答】解：设x=0.12，则100x−x=12.1即99x=12，解方程得x=12即0.1故答案为：433【变式训练1】（2023七年级上·湖南邵阳·竞赛）（1）讨论关于x的方程ax=b的解的情况，其中a，（2）解关于x的方程：16【答案】（1）见解析；（2）当m≠34时，原方程有唯一解x=4mn+6m4m−3；当【思路点拨】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法，注意进行分类讨论，是解题的关键．（1）分三种情况：当a≠0时，当a=0, b=0时，当（2）先将方程化简变为4m−3x=4mn+6m，分两种情况：当4m−3≠0，当【规范解答】解：（1）当a≠0时，方程的解为x=b当a=0, 当a=0, （2）16去分母得：4mx−n去括号得：4mx−4mn=3x+6m，移项，并合并同类项得：4m−3x=4mn+6m①当4m−3≠0，即m≠34②当4m−3=0，即m=34若3n+92=0若3n+92≠0综上所述：当m≠34时，原方程有唯一解当m=3当m=3【变式训练2】（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）已知关于x的方程x−2−ax6=【答案】−19【思路点拨】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键．先根据解方程的一般步骤解方程，再根据非负整数的定义将a的值算出，最后相加即可得出答案【规范解答】解：x−去分母，得6x−2−ax去括号，得6x−2+ax=2x−6，移项、合并同类项，得4+ax=−4将系数化为1，得x=−∵方程有非负整数解，∴4+a取−1，−2，−4．∴a=−5或−6，−8时，方程的解都是非负整数．则−5+−6故答案为∶−19．考点6：绝对值方程【典例精讲】（25-26七年级上·北京·期中）（1）画出数轴，并在数轴上表示下列有理数：−4，−112，−−2（2）若点A对应−4，点B对应2，且点C到点B的距离是点C到点A距离的3倍，直接写出点C对应的数是．【答案】（1）作图见解析；（2）−7或−2.5【思路点拨】本题主要考查了有理数与数轴，解绝对值方程，熟练掌握数轴上两点之间的距离公式是解答此题的关键．（1）在数轴上表示出相应的数即可；（2）依题意得AC=x−−4，BC=|x−2|，再根据点C到点B的距离是点C到点A距离的3倍，得x−2=3【规范解答】解：（1）−−2=2，在数轴上表示为：；（2）设点C表示的数为x，∵点A对应−4，点B对应2，∵点C到B的距离是点C到点A距离的3倍，∴AC=x−−4，又∵点C到B的距离是点C到点A距离的3倍，∴x−2∴x−2=3x−−4或解得：x=−7或x=−2.5．综上所述：点C对应的数是−7或−2.5．故答案为：−7或−2.5．【变式训练1】（25-26七年级上·江苏常州·期中）【问题情境】数学活动课上，王老师出示了一个问题∶点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=a−b(1)数轴上表示3和−1的两点之间的距离是_________；数轴上表示x和−2的两点之间的距离表示为__________；(2)试用数轴探究∶当m−1=3时m【实践探究】利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究∶(3)当式子x+1+x−5取最小值时，相应的(4)若x+5+x−3=14【答案】（1）4，x+2；（2）−2或4；（3）−1≤x≤5，6；（4）−8或6【思路点拨】本题考查两点间的距离公式，绝对值的几何意义，绝对值方程，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键：（1）根据两点间的距离公式进行求解即可；（2）根据绝对值的几何意义，进行求解即可；（3）根据绝对值的几何意义，得到当−1≤x≤5时，式子x+1+x−5取最小值为数轴上5到（4）分两种情况进行讨论求解即可．【规范解答】解：（1）3−−1=4；（2）由题意，数m到数1之间的距离为3，故m=3+1=4或m=1−3=−2；（3）①x+1+x−5表示数轴上数x到−1，∴当−1≤x≤5时，式子x+1+x−5取最小值为数轴上5到−1的距离，即（4）当x<−5时，x+5+x−3=−x−5+3−x=14当x>3时，x+5+x−3=x+5+x−3=14综上：x=−8或x=6．【变式训练2】（25-26七年级上·重庆·期中）已知3个多项式分别为：A=3x①若C=2，则x=0②无论x取何值，一定都有A>B；③若mA+C的值与x2无关，则m=−1④代数式A−3B+C化简后共有3种不同的表达式．其中正确的是【答案】②④【思路点拨】本题考查绝对值方程，整式的加减运算，化简绝对值，解绝对值方程判断①；求出A−B与0的大小关系，判断②，根据mA+C的值与x2无关，得到求和后含x2项的系数为0，求出【规范解答】解：C=2x+2=2时，则2x+2=2或2x+2=−2，解得x=0A−B=3xmA+C=m3∵mA+C的值与x2∴3m=0，即m=0故③错误；④A−3B=3x故A−3B+当x<−1时，原式=41−x当−1≤x≤1时，原式=41−x当x>1时，原式=4x−1故④正确；故答案为：②④．1．（2024·吉林长春·中考真题）已知两个多项式A=x2+3x+3，B=①若A−B=4，则x=1；②3A−2B=x③若A+2B+ax2−bx的值与x④若A−B−1=1，则满足等式的【答案】①③④【思路点拨】对于结论①，计算A−B得到5x−1，令其等于4解得x=1；对于结论②，计算3A−2B得到x²+13x+1，与给定x²+7x+1不符；对于结论③，将表达式化简后令x的系数为0，解得a和b的值，求和为−4；对于结论④，解绝对值方程得到三个不同的x值．本题考查了整式的加减运算，解一元一次方程，解绝对值方程，熟练掌握整式的加减运算，及解一元一次方程是解题关键．【规范解答】解：①A−B=x²+3x+3由5x−1=4得x=1，故①正确；②3A−2B=3=3x²+9x+9−2x²+4x−8=x²+13x+1，x²+13x+1≠x²+7x+1，故②错误；③A+2B+ax²−bx==3x²−x+11+ax²−bx=3+a∵A+2B+ax²−bx的值与x无关，∴3+a=0且−1−b=0，解得a=−3，b=−1，a+b=−4，故③正确；由A−B−1得5x−1−1即5x−1−1=±1解得5x−1=0当5x−1=0时，x=当5x−1=2时，x=35故④正确．故答案为①③④．2．（2024·福建泉州·中考真题）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3加1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述运算，经过有限次的步骤，必然进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．如果对于正整数m，经过n步变换，第一次到达1，就称为n步“雹程”．如取m=3，由上述运算法则得出：3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过7个步骤变成1，得n=7．则下列命题正确的是．（填序号）①当m=7时，n=15；②当m=7时，则经过2025次运算后，得到的运算结果是2③若n=2，则m只能是4；④若n=5，则m的值可能有两种情况．【答案】②③④【思路点拨】本题主要考查了猜想与证明，准确分析是解题的关键．根据冰雹猜想的规则，逐一验证每个命题的正确性。命题①中m=7时n=16而非15，错误；命题②中m=7经过2025次运算后结果为2，正确；命题③中n=2时m只能是4，正确；命题④中n=5时m有5和32两种情况，正确；【规范解答】对于命题①：当m=7时，变换序列为7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1，共16步第一次到达1，故n=16，命题错误；对于命题②：当m=7时，变换进入循环1→4→2→1，运算16次后为1，之后周期为3，2025−16=2009，2009÷3=669余2，对应循环中第2个值为2，故运算2025次后结果为2，命题正确；对于命题③：若n=2，则第一步后必须为2，第二步为1，第一步前若为偶数则除以2得2，故为4；若为奇数则3m+1=2，无整数解，故m只能是4，命题正确；对于命题④：若n=5，则步骤5为1，步骤4为2，步骤3为4，步骤2为8，步骤1为16，初始值m若为偶数则除以2得16，故m=32；若为奇数则3m+1=16，故m=5，有两种情况，命题正确；故答案为②③④．3．（2024·全国·中考真题）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程2x−1=3和x+1=0为美好方程．若关于x的方程12024x+1=0与12024x−1=3x+k是“美好方程”，则关于y【答案】y=2022【思路点拨】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法，准确计算．先求出两个方程的解，然后根据“美好方程”的定义将关于y的方程12024【规范解答】解：12024解得：x=−2024，12024解得：x=−2024∵方程12024x+1=0与∴−2024−2024∴−202412024y+3−1=3y+k+9∴y+3=−2024∴y=2022，故答案为：y=2022．4．（2024·浙江嘉兴·中考真题）某数学兴趣小组成员在讨论两个实数m，n满足关系m−n=m+n时，有以下两种观点：①若m与n的和为正数，则m，n都为正数；②若m与n的差为0，则m，n都为0．则下列判断正确的是（A．①错②对 B．①对②错 C．①②都对 D．①②都错【答案】A【思路点拨】本题考查了绝对值的意义以及绝对值方程，举反例：m=0，n>0，即可判断①；由m−n=0结合m−n=m+n可得【规范解答】解：对于观点①：当m=0，n>0时，符合m+n>0，m−n=m+n，但不符合m，对于观点②：若m−n=0，即m=n，又m−n=则2m=0∴m=n=0，故②正确．故选：A．5．（2024·湖北黄冈·中考真题）已知多项式2ax4+5ax3−8xA．2029 B．2037 C．2049 D．2053【答案】B【思路点拨】本题考查了多项式系数、指数中字母求值，合并同类项，解一元一次方程，求代数式的值，熟练掌握多项式的相关概念，得到关于a、b的方程是解题的关键．先把多项式合并同类项，由于多项式是关于x的二次多项式，因此x4和x3项的系数必须为零，然后通过解方程求出a和【规范解答】解：∵2a=2a−1−b又∵该多项式是关于x的二次多项式，∴2a−1−b=0且5a−10=0，由5a−10=0，得a=2，把a=2，代入2a−1−b=0，得2×2−1−b=0，即3−b=0，得b=3，∴a2故选：B．基础夯实1．（25-26七年级上·云南曲靖·期中）若−2x2m+1y6与13A．−1,2 B．1,−2 C．1，2 D．−1,−2【答案】B【思路点拨】本题考查同类项，解一元一次方程，掌握相关知识是解决问题的关键．根据同类项的定义，相同字母的指数必须相等，因此分别令x和y的指数相等，建立方程求解m和n．【规范解答】解：∵两个单项式是同类项，∴2m+1=3，6=10+2n．∴m=1，n=−2．故选：B．2．（25-26七年级上·湖北武汉·月考）若−m=−7，则m的值是（A．7 B．−7 C．7或−7 D．0或7【答案】C【思路点拨】本题考查绝对值方程，根据绝对值的意义，进行求解即可．【规范解答】解：∵−m∴m=7∴m=7或m=−7；故选：C．3．（25-26七年级上·重庆·期中）下列在解方程的过程中，变形正确的是（

）．A．将x−23−x=1B．将2x−x−2=1C．将x=2x−3移项，得x+2x=−3D．将2x=3系化为1，得x=【答案】B【思路点拨】根据解一元一次方程的基本变形，包括去分母、去括号、移项和系数化为1，需逐一验证每个选项的变形是否正确．【规范解答】解：方程x−23−x=1去分母，两边同乘3，得方程2x−(x−2)=1去括号，括号前是负号，去括号后为2x−x+2=1，故B正确；方程x=2x−3移项，得x−2x=−3，故C错误；方程2x=3系数化为1，得x=3故选：B．4．（2025七年级上·全国·专题练习）已知关于x的方程x3⋅a=x+24−【答案】−34【思路点拨】本题主要考查一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键；方程无解的条件是化简后x的系数为零且常数项不为零，进而问题可求解．【规范解答】解：原方程为ax两边同乘12得：12⋅ax即4ax=3x+2化简得4ax=3x+6−6x=−3x+6，移项得4a+3x=6由于方程无解，故4a+3=0且6≠0，解得a=−3故答案为：−35．（25-26七年级上·四川广元·期中）若代数式6x−12与4+2x的值互为相反数，则x的值为．【答案】1【思路点拨】本题主要考查了解一元一次方程，相反数的定义，解题关键是根据互为相反数的和为0，列出关于x的方程．根据相反数的定义可知，两个代数式的和为零，列出方程并求解．【规范解答】解：∵代数式6x−12与4+2x的值互为相反数，∴6x−12+4+2x=0，即8x−8=0，解得x=1．故答案为：1．6．（25-26七年级上·江苏常州·期中）若x=2是方程x−10=a的解，则a=．【答案】−8【思路点拨】本题主要考查了一元一次方程的解，将已知解代入方程，求解未知数即可．【规范解答】解：∵x=2是方程x−10=a的解，∴将x=2代入方程，得2−10=a，即a=−8，故答案为：−8．7．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）方程−5x=20的解为．【答案】x=−4【思路点拨】本题考查一元一次方程的解法，通过系数化为1求解即可．【规范解答】解：方程−5x=20，两边同时除以−5，得x=20故答案为：x=−4．8．（2025七年级上·全国·专题练习）解方程：0.3x+0.20.2【答案】x=−【思路点拨】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．先把原方程变形，根据解一元一次方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可．【规范解答】解：0.3x+0.20.2整理得3x+22去分母得：10(3x+2)−20=5(2x−1)−4(2x+1)，去括号得：30x+20−20=10x−5−8x−4，移项，合并同类项得：28x=−9，∴x=−99．（2025七年级上·全国·专题练习）解方程：0.03x−0.10.02【答案】x=−4【思路点拨】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．先把原方程变形，然后再根据解一元一次方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可．【规范解答】解：0.03x−0.10.02整理得3x−102去分母得3(3x−10)−12x=2(2x−1)，去括号得9x−30−12x=4x−2，移项得9x−12x−4x=30−2，合并同类项得−7x=28，系数化为1得x=−4．10．（2025七年级上·全国·专题练习）解下列方程：(1)4(2)8x+7+2x=1+11x−6【答案】(1)x=(2)x=12【思路点拨】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握解一元一次方程的方法步骤是解题的关键；（1）按照去分母、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可；（2）按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可.【规范解答】（1）解：去分母得：16−9x=12x−40，移项合并同类项得；21x=56，化系数为1得：x=8（2）解：移项合并同类项得：−x=−12，系数化为1得；x=12．培优拔高11．（25-26七年级上·重庆·期中）我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作x，又把x−x称为x的小数部分，记作x，则有x=x+x．如：1.3=1①2.8=2；②−5.3=−5；③若1<x<2，且x=0.4④方程4x+1=x+3x的解为A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【思路点拨】本题考查新定义下的整数部分和小数部分的概念，熟练掌握有理数的运算及一元一次方程的解法是解题的关键；根据定义判断各说法：①直接计算；②负数的整数部分注意取小于等于的最大整数；③考虑正负情况下的实际小数部分；④将方程化为4x=x【规范解答】解：①∵不超过2.8的最大整数是2，∴2.8=2②∵不超过−5.3的最大整数是−6，∴−5.3=−6③当x=1.4时，1.4=1，1.4当x=−1.4时，−1.4=−2，−1.4∴x只能为1.4，说法错误；④由x=x+x∴4x∵0≤x∴0≤4x<4，即∴−1≤x<3，x为整数，取当x=−1时，4x=0，x当x=0时，4x=1，x当x=1时，4x=2，x当x=2时，4x=3，x∴方程解为x=−1或0.25或1.5或2.75，说法中x=3.75不是解，且遗漏其他解，错误；综上，只有①正确，故选：A．12．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）若两个有理数的和等于这两个有理数的积，则称这两个有理数互为相依数．例如：有理数32与3，因为32+3=32×3，所以有理数32与3是互为相依数．对于有理数aa≠0,1对它进行如下操作：取a的相依数，得到a1；取a1的倒数，得到a2；取a2的相依数，得到A．32 B．23 C．−【答案】D【思路点拨】本题考查了规律型：数字的变化类．根据相依数的定义，计算序列的前几项，发现序列从a1开始每6项循环一次，求2025除以6的余数，确定a2025【规范解答】解：当a=−2时，由题意可求得，−2+a1=−2则a2由题意可求得，32+a则a4由题意可求得，13+aa6此后序列循环，周期为6．∵2025÷6=337余3，∴a2025故选D．13．（25-26七年级上·重庆·月考）已知两个多项式A=x2+2x+2，B=①若A−B=12，则x=3；②若A+B+ax2−bx的值与x③若|A−B−8|+|A−B+4|=12，则−1≤x≤2；④若关于y的方程(m−1)y=A+B−2x2的解为整数，则符合条件的非负整数A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【思路点拨】本题主要考查了整式的加减运算，准确理解参数的意义和利用绝对值的性质求解是解题的关键