2026年中考数学复习之圆（五）

2026年中考数学真题知识点分类汇编之圆（五）

一.解答题（共2。小题）

1.（2026•连云港）【问题情境】

（1）在锐角△力中，求作一点P,使巴+08+QC的值最小.

下面是小明对该问题的一种解决方法及简要说理.

如图1,以彳。为边向外作等边三角形//CO,再作△力CO的外接圆。O,连接8。，与0O交于点P.则

点P即为求作的点.

在PD上取一点、P',使PP'一/尸，迂接/尸'，在中，根据“同弧所对的圆周角相等“，得N/PP'

=®=60°,故AAPP，是等边三角形.所以4P=/1P.

进而可证得△力QP'g△/CP所以。尸=。0’.

所以PB+PA+PC=BP+PP'+P1D=BD.

由②（从“两点之间线段最短”和“垂线段最短”中选择填空）可得，8力的长即为

PA+PB+PC的最小值.

【方法迁移】

（2）如图2,已知点儿8到直线/的距离力£=8尸=4,EF=6.在图中找一点P,使点尸到点力、点

4、直线/的距离之和最小，简要说明作法，并求出最小值.

【拓展应用】

（3）如图3,若村庄儿B,C,力的连线构成一个矩形，且48=a,BC=b（a<b<V3a）.

现要在矩形区域内铺设天然气管道，使四个村庄能够连接互通起来.请你设计管道路线总长最短的铺设

2.（2026•乐山）如图，为。。的直径，点C为圆上一点，点。在84延长线上，连结C7）,且N力CQ

=4B.

（1）求证：CO为0。的切线;

（2）若tanO=*。。的半径为3,求力。的长.

1

DB

AO

3.（2026•甘肃）如图，48是OO的直径，点。是。。上一点，CQ_L/18于点。，点E在48的延长线上,

CB平分NECD.

（1）求证：是。。的切线；

（2）当/O=g,sinN8"=殍时，

①填空：tan/ACE的值等于；

②求8C的长.

4.（2026•苏州）如图，。是以48为直径的。。外一点，。为00上的一点，为是O。的切线，BC//OP,

。为08的中点，连接。。交。。于£

（1）求证：PC是。。的切线；

（2）若。4=2,PA=4.

①求8C的长；

②求tan/PEC的值.

5.（2026•烟台）如图，△片8c中，ZC=90°,。是边力8上一点，以08为半径作。0,分别与8C,AB

交于。，E两点，与力。相切于点F,连接ERBF.

（1）求证：分=而；

（2）试用等式表示线段4K,BD,C。之间的数量关系，并证明你的结论.

2

c

D

B

0

6.（2026•江西）如图，为。。的直径，B,。是。。上的点，四边形O/18C为菱形.

（1）求市:的长；

（2）延长力。到点P,使得。0=2,求证：PC是。。的切线.

7.（2026•山东）如图，48是。。的直径，C,。是。。上的两点，AC=BD,连接力C,AD,CD,过点力

作AHVCD交DC的延长线于点H.

（1）求证：力〃是。。的切线；

（2）若＞H=2,sinZCJ/7=^,求。。的半径.

8.（2026•连云港）【生活观察】（1）小越将自行车前后轮保持一定角度推行转圈.如图1,他发现前后轮

行驶路径可近似抽象为两个同心圆，车轮行驶方向与其行驶路径相切，某时刻的俯视图如图2所示.若

前后轮的轴心距（前后轮所在圆的圆心的距离）48=1.5〃?，前轮转向角。即NC8O=3（）°,则旋转半径

（）B=m.

【类比探究】（2）小越进一步研究发现，一般家用汽车在转弯行驶时为两轮转向，即汽车的前轮各按一

定的转向角行驶.与自行车的转弯行驶类似，四个车轮的行驶路径在理想状态下也可近似抽象为四个同

心圆弧，车轮行驶方向与其行驶路径相切（轮胎的宽度忽略不计）.

如图3,某款家用汽车宽约为2次,轴心距8c约为3”转弯时，若右前轮的转向角8即/EC尸=20.6°,

求此时左前轮的转向角ZGDH的度数.

（参考数据:tan20.6°«tan26.6°«sin20.6°«tan33.6°«tan18.5°«

【综合实践】（3）如图4,汽车在直角处进行转弯.若（2）中的这款汽车行驶至车前轮所在员I的圆心C,

3

。与直角拐点。共线位置时，其俯视图如图5所示.若路宽均为5m,车辆左侧与实线尸。的距离为1m.现

右前轮欲以固定转向角6转弯行驶，若能规范通过此直角弯道(四轮均不压实线)，请直接写出sin。的范

围.

9.(2026•凉山州)如图，四边形力BC'。内接于0O,3。是的直径，连接力。交8。于点用且力。=

BC,过点C作/。的垂线交的延长线于点£

(1)求证：QC平分N8OE；

(2)求证：是。。的切线；

(3)若0。的半径为5,CE=4,求。户的长.

E

10.(2026•云南)如图，。。是的外接圆，是。。的直径.点P在R4的延长线上，且尸。2=以

・P£点E在4C的延长线上.线段8E的中点M与点C、点P在同一条直线上.线段OM与。。相交

于点D,与线段8c相交于点N.DH_LAB于点H,线段与线段8c相交于点R连接OF.记△OFD

的面积为Si，△OF”的面积为S2.

(1)求证：直线PC是。。的切线：

(2)若力8=2历，BE=6R,求线段R1的长：

(3)观察，探究，发现与证明：

以下三个结论：&VS2,SI=52,S\>S，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论.

4

p

11.（2026•自贡）如图1,等边△力8C内接于0O,D为BC中点、,连接。。并延长交00于点区作

//BC.

（1）求证：EM是。。的切线.

（2）如图2,点尸为射线EM上的动点，连接心并延长与。。的优弧瓦化交于点尸（与点8,。不重

合），连接刃，PC.

①在点尸运动过程中，请探究线段以，PB,QC的数量关系并说明理由；

PA+BF

②连接"，若/B=2门,当点P到CE的距离最大时，请直接写出的值.

D

12.（2026•广安）如图，△48c内接于OO,力。是OO的直径，过点4作射线力£交AC的延长线于点£,

使NE4B=NEC4.

（1）求证：力七是。。的切线；

（2）过点C作CF//4E交力B于点E,若4F=2,48=9,求的长.

13.（2026•南充）如图，在00中，彳8为直径，4c为切线，点。在。。上，NC+2/8=180°.

（1）求证：C。是OO的切线.

（2）若/C=10,cosC=求力8的长.

5

A

o

RC"7\

\c

14.(2026•达州)已知:如图，P为。。外一点,以与。。相切于点4连接OP，AC//OP,BC为。0

的直径、连接P8.

(1)试判断28与。。的位置关系，并说明理由；

(2)若的半径为乃，AC=4,求尸8的长.

15.(2026•安徽)如图，力6为。。的直径，点C在O(9.L,点力，3分别在U/COfT7的边CD,CF±,

DE,EE分别与。。相切于点M,M

(1)求证：四边形OWEN为正方形：

(2)若C'O=9,44=1(),求CF的长.

E

16.(2026•成都)如图，点C在以力8为直径的。。上，连接NC，BC,过点。作CQ_L/I8,垂足为。,

在圆上取点£,使朝=丽，连接C£,BE.

(1)求证：NACD+NCBE=90"；

(2)若sinJ=,,OD=7,求。。的半径和的长.

17.(2026•遂宁)如图，是C。的直径，弦CO_L/3于点£,连结彳。,过点D的直线分别与AB、AC

6

的延长线交于点RG,且NZ=*NC£）G.

（1）求证：OG是。。的切线：

（2）若川9=10,CD=6,求出7的长.

18.（2026•泸州）如图，是。。的直径，点C,七在。。上，过点C作。。的切线交的延长线于点

。,CE交于点尸,连接力C,AE,BC.

（1）求证：/CAD=/BCD；

9

（2）若彳E〃C。，BD=3,sinD=求故的长.

19.（2026•达州）综合与探究

【方法探究】

（1）如图1,直线A,8两点在直线人上，Ci，C2,C3三点在直线/2上，连接力。，ACi，AC3,

BQ,4Q,4c3，我们发现△/18C，△川?C2，△川北3面积的数量关系是，理由

是:

（2）如图2,48是。。的直径，C是。。上的动点（。不与力重合），。是4C的中点，用圆规和无刻

度直尺在图2中作出点。的运动路径（不写作法、保留作图痕迹），简要说明理由；

【问题解决】

如图3,直线44〃。。，M是,48上一点，MN_LCQ,垂足为N,MN=4,E是射线NC上的动点，连接

EM,过点历在48上方作射线MRLME,G是M户上的一点，连接EG,%EMG=12,求线段NG的最

大值.

7

F、

G

20.（2026•台湾）某场馆有•组由三个相同的五边形沙发紧密拼成的V字型沙发椅，如图1所示，其俯视

图如图2所示，其中力4为90公分，BC、力后皆为130公分，CD=DE,N/t=N8=90°,且D为Y

字型沙发椅的中心点.

请根据上述资讯回答下列问题，完整写出你的解题过程并详细解释：

（I）求图2中NCOE的度数为何？

（2）今想订制一块正六边形的地毯，并将y字型沙发椅放置在上面，其中正六边形地毯的对角线交点

与D点重合,摆放时力8与地毯的一边平行且至少相距50公分，如图3所示，则地毯的边长至少需要

多少公分？（以根式呈现）

图3

8

2026年中考数学真题知识点分类汇编之圆（五）

参考答案与试题解析

一.解答题（共20小题）

I.（2026•连云港）【问题情境】

（I）在锐角中，求作一点P,使RH■尸8+PC的值最小.

下面是小明对该问题的一种解决方法及简要说理.

如图1,以4C为边向外作等边三角形4CZ）,再作△4CO的外接圆。0,连接8。，与。。交于点P.则

点?即为求作的点.

在。。上取一点P',使尸P'=4P,连接4P,在。。中，根据“同弧所对的圆周角相等"，得N/PP'

=®ZACD=60°,故是等边三角形.所以/尸=/P.

进而可证得△NOP'g△/CP.所以C尸=OP'.

所以PB+PA+PC=BP+PP'+P'D=BD.

由②两点之间线段最短（从“两点之间线段最短”和“垂线段最短”中选择填空）可得，8。的

长即为PA+PB+PC的最小值.

【方法迁移】

（2）如图2,己知点力，4到直线/的距离［七=4户=4,EF=6.在图中找一点R使点P到点力、点

4、直线/的距离之和最小，简要说明作法，并求出最小值.

【拓展应用】

（3）如图3,若村庄4B,C,。的连线构成一个矩形，且4B=a,BC=bCa<b<y/3a）.

现要在矩形区域内铺设天然气管道，使四个村庄能够连接t通起来.请你设计管道路线总长最短的铺设

图1图2图3

【考点】圆的综合题.

【专题】矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】（1）①/4C。；②两点之间线段最短；

（2）作法：如图，连接48,在48上方作等边三角形48。，

再作△月4。的外接圆，过点。作QM_L/,垂足为

DM交AB于N,交圆于点P,点尸即为要作的点.

9

・••点P到点彳、点8、宜线/的距离之和为0M的长.

最小值为3V3+4.

（3）设计方案：如图所示，分别以边力8和边CO向矩形外侧作等边三角形力8河和等边三角形CQM

再作和△CDN的外接圆.

连接历，N,分别交两圆于点Pi和点放，连接/Pi，BPT，CP2,。尸2，

最小值为6。+力.

【分析】（1）根据“同弧所对的圆周角相等”以及“两点之间线段最短”完成填空，即可求解；

（2）连接力8,在上方作等边三角形480,再作△///）的外接圆，过点。作。M_L/,垂足为

DM交AB于N,交圆于点尸，点尸即为要作的点.证明四边形力£7芍是平行四边形，再解Rta/IM）,

求得ND、MD，即可求解；

（3）分别以边力8和边CO向矩形外侧作等边三角形力8M却等边三角形CQM再作和

的外接圆，连接M,N,分别交两圆于点尸和点P2,得出MN的长即为管道路线总长度的最小值，即

可求解.

【解答】解：（1）①/4CQ；②两点之间线段最短；

（2）作法：如图，连接力8,在48上方作等边三角形力8。，

再作△月3。的外接圆，过点Z）作DW_L/,垂足为

QM交力8于M交圆于点P,点P即为要作的点.

10

・••点P到点彳、点8、宜线/的距离之和为0M的长.

•・•点儿〃到直线/的距离力E=Bb=4,

:,AE〃BF,AE=BF.

・••四边形力EF8是平行四边形.

:・AB=EF=6,AB//EF.

:.MN=AE=4.

*：DMVEF,

：.DNLAB.

•••△48。是等边三角形，

・・・/。力8=60°,AD=AB=6.

在RIBAND中，DN=AD•sinZDAB=6-sin600=6x亨=3百，

DM=DN+MN=3V3+4.

・•・点尸到点力、点8、直线/的距离之和最小值为38+4.

(3)管道路线总长度最短为匕+Ma.

设计方案：如图所示，分别以边44和边CO向矩形外侧作等边三角形48必和等边三角形COM再作

34BM和△CDV的外接圆.

连接M,N,分别交两圆于点Pi和点。2，

连接4P1，BPi，CP2,DP?,

・•・AP\+BP।+P।尸2十C尸2十。产2-MN.

..此时管道长度达到最小，最不值为

•・•三角形48M为等边三角形，AB=a,

11

:・/MAB=600,4M=4,•:AB1MN,

*»ME=AM*s\nG^=-厂^-a,同理可求得M7为二-处

:.MN=ME+NF+EF=2义导a+b=岳+6

:.MN的长即为管道路线总长度的最小值，最小值为b+V3a.

【点评】本题考查与圆有关的概念，等边三角形的性质，最短路径，正确作出辅助线是解题关键.

2.（2026•乐山）如图，为4为。。的直径，点C为圆上一点，点。在延长线上，连结CD,且/力CD

=/B.

（1）求证：CO为。。的切线；

（2）若tanO=%,。。的半径为3,求力。的长.

【考点】切线的判定与性质：解直角三角形：圆周角定理.

【专题】圆的有关概念及性质.

【答案】（1）如图所示，连接OC,

•；OB=OC,

；・NB=NBCO,

NACD=NB,

・•・ZACD=ZBCO,

为G>O的直径，

AZACB=90°,

AZACO+ZBCO=909,

力CO+N/CO=90°,即NOCO=90°,

又・.・oc是。。的半径，

・••CZ）为。。的切线：

（2）2.

【分析】（1）由等腰三角形的性质得到N8=N8C。则可证明N4CO=/8cO,由直径所对的圆周角

是直角得到//CO+N8CO=90°,则可证明NXCO+N4CO=90°,即NOCQ=90°,据比可证明CO

12

为。。的切线：

（2）解直角三角形得到CD=4,由勾股定理可得。。=5,再由线段的和差关系可得答案.

【解答】（1）证明：如图所示，连接OC,

・：OB=OC,

[NB=NBCO,

•・•NACD=NB,

・•・/ACD=NBCO,

:/IB为。。的直径，

AZJC5=90a,

AZACO+ZBCO=90<>,

：.ZACD+ZACO^r,即NOCO=90°,

又...0C是。。的半径，

，。力为0。的切线；

(2)解：由(1)得NOCQ=90°,

VtanD=1,0O的半径为3,

OC3r33

J—=一，即一=一，

CD4CD4

：,CD=4,

：,0D=yJOC2+CD2=V32+42=5,

：,AD=OD-OA=5-3=2.

【点评】本题主要考查了切线的判定与性质，圆周角定理，解直角三角形，掌握其相关知识点是解题的

关键.

3.（2026•甘肃）如图，力B是。。的直径，点C是。。上一点，CO_L48于点。，点E在力8的延长线上,

C8平分NECO.

（1）求证：CE是0O的切线；

（2）当/10=8,sinN3CE=第时，

①填空：tanNBCE的值等于_g_；

②求4C的长.

13

【考点】切线的判定与性质；解直角三角形：勾股定理；垂径定理；圆周角定理.

【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系：解直角三角形及其应

用；运算能力；推理能力.

【答案】（1）连接O。，

〃于点。，

；・NCDB=90°,

•；C8平分NECD,

：,/BCE=/BCD,

是OO的直往，点C是OO_L一点，

・•・OC、都是。。的半径，

：,OC=OB,

:.NOCB=NOBC,

：,NOCE=/BCE+/OCB=NBCD+NOBC=94°,

・・・OC是0。的半径，KCELOC,

・・・CE是O。的切线.

⑵①/

@BC的长是2君.

【分析】（1）连接OC,由于点。，得NCOB=90'，因为C4平分NECO,所以NBCE=N

BCD,由OC=O〃，得NOCB=NOBC,W"OCE=NBCE+NOCB=NBCD+NOBC=90°,即可证明

C£是。。的切线.

(2)①连接XC,则2月。5=/4。。=90°,由N6CE十ZOC6=90°,ZJ+ZJ5C=90°，且ZOC6

则BCE=噂,

=ZABC,推导出NBCE=ZJ,=sinJ=sinZ所以AC=4sCD,由

AC3

14

AD=y/AC2-CD2=2CD=8,求得CO=4,则tanN8CE=tanJ=盥=今于是得到问题的答案.

Be11

②由G=ian/1=去RAC=\5CD=4y[5t求得6c=}/C=2后

<1vz

【解答】(I)证明：连接0C,

;CD工AB于点、D,

：.ZCDB=9(r,

*；CB平分NECD,

:・NBCE=NBCD,

•・Z8是OO的直径，点。是0。上一点，

・・・。。、08都是。0的半径，

：・OC=OB,

：,ZOCB=ZOBC,

ZOCE=ZBCE+ZOCB=NBCD+NOBC=90",

*：OC是OO的半径，且CEtOC,

，CE是。。的切线.

(2)解：①连接4C,

•・飞8是。。的直径，点。是。。上一点，CO_L48于点。，

：.ZACB=ZADC=90a,

•:NBCE+NOCB=90",ZA+ZABC=90°,RZOCB=ZABC,

:・NBCE=NA,

CD底

/.—=sinJ=sinZBCE=

AC5

：.AC=V5CD,

*：AD=>JAC2-CD2=J(V5CD)2-CD2=2CD=8,

：.CD=4,

・•/a-.CD41

•・tan/BCE—tan/l=才^=8=29

故答案为：I.

②V—=tan/I=i,且AC=\SCD=V5x4=4>[5,

AC/

:・BC=1/(C=|X4A/5=2/5,

••・8C的长是2遍.

15

【点评】此题重点考查直角三用形的两个锐角互余、等腰三角形的性质、等角的余角相等、切线的判定、

勾股定理、解直角三角形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键.

4.（2026•苏州）如图，P是以/但为直径的OO外一点，。为上的一点，P4是OO的切线，BC//OP,

D为OB的中点，连接DP交OC于E.

（1）求证：尸C是00的切线；

（2）若OA=2,PA=4.

①求4C的长；

②求tanZPFC的值.

【考点】切线的判定与性质；解直角三角形；圆周角定理.

【专题】图形的全等：与圆有关的位置关系：图形的相似：解直角三角形及其应用：几何直观：运算能

力；推理能力.

图1

•・・力8为0。的直径,

：.OB=OC=OA,

・・・N8=NOC8,

•・•均是OO的切线，切点为4,

：,OAVPA,

・・・NO/1P=90°，

・：BC〃€)P,

16

:.NAOP=NB,ZCOP=ZOCB,

,NCOP=N4OP,

在△COP和△力。尸中，

(OC=OA

乙COP=44。P，

lop=OP

，△CO尸之△/OP(S/S),

：.ZOCP=^OAP=90°,

・・・OC_LPC,

又・・・OC是OO的半径，

・・・PC是OO的切线；

(2)①8C=等；②tanN尸EC=^.

【分析】(1)先证明NCOP=N4OP,进而依据“SAS”判定△COP和△4OP全等得NOCP=N6M尸

=90°,然后根据切线的判定可得出结论：

(2)①连接力C,依题意得(M=OC=CM=2,4B=4,在Rl^O/尸中，由勾股定理得OP=2遍，则

cosZAOP=^p=^-,根据NCO尸=N4得cos/8=电，在RtZ\1CZ?中，根据cosN8=^=自得

BC=~

②设。。的中点为E连接。巴则。尸是△O8C的中位线，由此得OF=28C=竽，证明△/)£：尸和△

17

POE相似得OE=5ER则"'uOE+MnGfT』］,由此得七/=右则EC=ERC尸=看，然后在Rt△尸CE

中，由正切函数的定义可得1训/产后。=器二竿.

图1

•・Z8为。。的直径,

：.OB=OC=OA,

:.NB=NOCB,

:巴是。。的切线，切点为/,

：.OALPA,

尸=90°,

*：BC//OP,

:・NAOP=/B,ZCOP=ZOCB,

17

・・.NCOP=NA()P,

在△COP和△4。尸中，

(OC=OA

Z.COP=Z-AOP，

(OP=OP

:•△COPg44OP(SAS),

：.ZOCP=ZOAP=90°，

AOCIPC,

又TOC是。。的半径，

・・・尸。是OO的切线；

（2）解：①连接4C,如图2①所示:

图2①

•・Z8是0。的直径,

・・・/4C8=90°,

•：OA=2,

：.O8=OC=OA=2,

：.AB=OA+OB=4,

在△。力尸中，NO4尸=90°,PA=4,

由勾股定理得：OP=7。空+P42=&2+42=2后

./“屹0/1275

・・cos4OP=^=^=可，

'：NCOP=NOCB,NB=NOCB,

:•4B=4C0P,

:.cosNB=cosNAOP=*

在△4C8中，NACB=9Q0,

.BCBC店

•・COSN/D3=^=H=5，

:.BC=等

°

②设。。的中点为R连接。凡如图2②所示：

18

A

图2②

•；OB=OC=OA=2,

：,OF=CF=\,

•・•点。为08的中点，点F是OC的中点,

・・・。方是△08C的中位线,

:・DF=次=4x警=等，DF//BC,

・：BC〃OP,

：,DF//OPt

:•△DEFS^POE,

2^5

.竺_竺__1

：，0E=而=砺=9

：・0E=5EF,

/.0F=OE+EF=6EF=1,

・・・T

17

工EC=EF+CF=1十看=（，

■:△COPqXAOP,PA=4,

.\PC=PA=4,

在中，NOC尸=90°,

../D”PC424

••tan^r>£/C=顶：=万=-y.

【点评】此题主要考杳了切线的判定和性质，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直

角三角形，熟练掌握切线的判定和性质，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活利用

锐角三角函数的定义及勾股定理计算是解决问题的关键.

5.（2026•烟台）如图，△/8C中，ZC=90°,。是边上一点，以。月为半径作。。，分别与4C,AB

交于。,E两点，与4C相切于点立连接BF.

（1）求证：分=而；

（2）试用等式表示线段8E,BD,C。之间的数量关系，并证明你的结论.

19

c

D

B

0

6.(2026•江西)如图，为。。的直径，B,。是。。上的点，四边形O/18C为菱形.

(1)求市:的长；

(2)延长/。到点P,使得。尸=2,求证：PC是。。的切线.

【考点】切线的判定：弧长的计算；菱形的性质；圆周角定理.

【专题】矩形菱形正方形；与圆有关的位置关系：与圆有关的计算；运算能力；推理能力.

47r

【答案】(1)—:

(2)连接CQ,

，：AB〃OC,

，NCOO=N4=60°,

\,OC=OD,

是等边三角形，

：.CD=OD=2,NOCO=NOOC=60°,

♦：DP=2,

:.DP=CD,

:.NDCP=NP,

•：NDCP+NP=NODC=60°,

1

：.ZDCP=^ODC=W,

：・NOCP=NOCD+NDCP=QO0,

・••半径。CJ_CH

••・FC是OO的切线.

【分析】(1)连接。8,由菱形的性质推出0/1=力8,AB//OC,判定△408是等边三角形，得到/力=

60°,由平行线的性质求出2/100=120°,由弧长公式即可求出市:的长；

20

(2)连接C。，由平行线的性质推出NCOQ=N4=6()。，判定△CO。是等边三角形，得到。0=0。

=2,ZOCD=ZODC=60a,由等腰三角形的性质和三角形的外角性质求出NQCP=/NOQC=30°,

得到NOCP=90",即可证明尸C是。。的切线.

【解答】(1)解:连接。心

•・•四边形O48C为菱形，

：・OA=AB,AB//OC,

•：OA=OB,

・••△/OA是等边三角形，

/.ZJ=60°,

•:AB〃OC,

：,ZJ+ZJCO=180°,

AZAOC=\20°,

Vf?J=1jD=1x4=2,

・•・尼的长=12%产=等

loU3

(2)证明：连接CO,

•:ABaOC,

，NCOO=N4=60°,

'：OC=OD,

•••△C。。是等边三角形，

：,CD=OD=2,ZOCD=ZODC=60°,

*：DP=2,

：.DP=CD,

工ZDCP=/尸，

VNOC产+NP=NOOC=60°,

•♦・N〃CP=；NaOC'=30°,

；・N0CP=NOCD+/DCP=90°,

・•・半径。C_LC尸，

・・・PC是。。的切线.

21

【点评】本题考杳切线的判定，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，弧长的计算，关键是掌

握弧长公式，切线的判定方法.

7.（2026•山东）如图，力A是。0的直径，C,。是OO上的两点，AC=BD,连接力C,AD,CD,过点力

作AHLCD交DC的延长线于点H.

（1）求证：力”是OO的切线：

（2）若4H=2,sinNC4，=洛，求。。的半径.

【考点】圆的综合题.

【专题】几何综合题；运算能力；推理能力；科学文化情境.

【答案】（1）-：AC=BD,

・•・乙ADC一乙BAD,

:・AB〃CD,

•:AHMD,

'：AB是的直径，

・•・/”是。。的切线；

（2）的半径为*

【分析】（1）由市:=皿，得到N4QC=N84O,推出力〃〃。。，根据平行线的性质得到48_LC。，根

据切线的判定定理得到结论；

（2）连接8。，根据垂直的定义得到N〃=90°,设CH=g,AC=5k,根据勾股定理得到

4H=7AR-CH?=2岳k=2,求得CH=1,AC=V5,根据用似三角形的性质即可得到结论.

【解答】（1）证明：•・•尼=皿，

:.ZADC=ZBAD,

J.AB//CD,

'：AHLCD,

：,ABYAH,

•・F8是。。的直径，

・・・力〃是。。的切线；

（2）解：连接8。，

22

•：AHLCD,

・•・/〃=90°,

.■/万/口CH底

・・sinziCAH=市r=-g-»

:.设CH=®、AC=5k,

：.AH=y/AC2-CH2=2后k=?,

••仁亨

:・CH=1,AC=V5,

*：AC=Bb,

：.BD=AC=圾,

••IB是。。的直径，

:・NADB=NH=90°,

ZACH=ZB,

/./XACHs/XABD,

ACCH

••布—访‘

V51

,,布=TT

：.AB=5,

•••OO的半径为*

【点评】本题是圆的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，切线的判定定理，圆周角定理，解直角

三角形，熟练掌握各知识点是解题的关键.

8.（2026•连云港）【生活观察】（1）小越将自行车前后轮保持一定角度推行转圈.如图1,他发现前后轮

行驶路径可近似抽象为两个同心圆，车轮行驶方向与其行驶路径相切，某时刻的俯视图如图2所示.若

前后轮的轴心距（前后轮所在圆的圆心的距离）力8=1.5小，前轮转向角B即NCBO=3（）°,则旋转半径

OB=3m.

【类比探究】（2）小越进一步研究发现，一般家用汽车在转弯行驶时为两轮转向，即汽车的前轮各按一

定的转向角行驶.与自行车的转弯行驶类似，四个车轮的行驶路径在理想状态下也可近似抽象为四个同

心圆弧，车轮行驶方向与其行驶路径相切（轮胎的宽度忽略不计）.

如图3,某款家用汽车宽力8约为2〃?,轴心距4c约为3/〃.转弯时，若右前轮的转向角。即/以/=20.6°,

求此时左前轮的转向角NGDH的度数.

23

（参考数据：tan20.6°«tan26.6°«i,sin20.6°«tan33.6°«tan18.5°«j）

【综合实践】（？）如图合汽车在直角处进行转弯.若⑵中的这款汽车行驶至车前轮所在圆的圆心C

D与直角拐点0共线位置时,其俯视图如图5所示.若路宽均为5〃?,车辆左侧与实线PQ的距离为\m.现

右前轮欲以固定转向角6转弯行驶，若能规范通过此直角弯道（四轮均不压实线），请直接写出sin。的范

图4图5

【考点】圆的综合题.

【专题】几何综合题.

【答案】（1）3;

（2）此时左前轮的转向角NGDH的度数约为26.6。：

33回

（3）-<sinO<----.

858

【分析】（1）根据题求得2408=30°,根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解:

（2）先求得08比8/〃，进而解得出/片0。弋26.6°,根据等角的余角相等得出

=26.6°,即可求解：

（3）分两种情况讨论，分别求得8的最小值和最大值，再求正弦，即可求解.

【解答】解：（1）依题意，OBtBD,NCBD=30°,

：・NABO=900-ZCBD=90Q-30°=60°,

'JOAA.AB,

・・・//。8=90°-ZABO=903-60°=30°,

*8=1.5m,

故答案为：3:

24

(2)由题意得OC_LCROBIBC,OAYAD,ODLDH,

:・NECF+NOCB=90°,NCOB+NOCB=90",

:・NCOB=NECF=206°,

「R

在Rt^OC8中，tanZCOB

/.tan20.6°=急，

.33

«—,

8OB

解得：OB=8m,

：.OA=OB-4B&8-2=6/〃，

An

在RtAiO/。中，tan^AOD=^,

31

J.tan^AOD=工=亍

0z

・•・40006.60,

VAAOD+ZADO=W,NGDH+NADO=90°,

；・NGDH=N4OD%266,

答：此时左前轮的转向角NGD”的度数约为26.6°；

（3）如图，连接。。，设040。交于点M,

当。最大时，4点经过。点，此时Z）0=4W=1,

依题意，/ECF=NCOB=B,

设。力=八则MQ=AD=3,

在RtaOQW中，OQ2=OM2+QM2,

Ai2=(r-1)2+32,解得:r=5,

：,OB=OA+AB=5+2=7,BC=3,

在RtAO5C中，OC=yJBC24-OB2=V32+72=V58,

CB_3/58

,\sin3=sin/ECF=sin/COB=OC=~58~

当。最小时，此时轨弯后车辆的右侧紧邻道路右侧J,

如图，过点。作ON垂直于道路右侧，

25

N

设道路宽为/，依题意，/一5,

JOC=ON=l+AD=5+3=8,

/.sine=sinZECF=sinZCOB=

33V58

综上所述，-<sind<———.

o5o

【点评】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，等角的余角相等，勾股定理等，掌握其相关

知识点是解题的关键.

9.(2026•凉山州)如图，四边形/出CO内接于0。，4。是的直径，连接/C交6。于点R且力。=

BC,过点。作/。的垂线交NQ的延长线于点巴

(1)求证：DC平分NBDE；

(2)求证：C£是的切线；

(3)若。。的半径为5,CE=4,求。户的长.

【考点】圆的综合题.

【专题】线段、角、相交线与平行线：等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位

置关系；图形的相似；运算能力；推理能力.

【答案】(1)证明：・・7。=8。，

：・/C4B=/CBA,

■:NCDB=/CAB,

；.NCDB=NCB/L

四边形ABCD内接于

：,ZCBA+ZCDA=\^Oa，

26

VZCD£+ZCD/1=180°,

；・NCDE=NCB<,

:・/CDB=/CDE,

工。。平分N8OE；

（2）证明:,:CEUD,

:,/CDE+/DCE=90°,

由（1）知：/CDB=NCDE,

：.ZCDB+ZDCE=909,

•：OC=OD,

：.ZCDB=ZOCD,

；・/OCD+/DCE=90°,

・・・NOCE=90°,

JOCICE,

♦・・oc为OO的半径，

・・・CE是OO的切线；

30

（3）TT-

【分析】（1）利用等腰三角形的性质定理，圆周角定理，圆的内接四边形的性质定理和角平分线的定义

解答即可；

（2）利用直角三角形的性质，等腰三角形的性质和等式的性质得到NOCE=90°,再利用圆的切线的

判定定理解答即叫；

（3）过点。作。G_LOC于点G,利用矩形的判定与性质得到OG=CE=4,CG=DE,利用勾股定理

求得CO,BC,AC,AD,延长CO交48于点〃，利用垂径定理分推论和等腰三角形的性质得到/BCO

=ZACO,利用平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质解答即可得出结论.

【解答】（1）证明：・,7C=8C,

；・NC4B=NCBA,

•:/CDB=/CAB,

；・NCDB=NCB/i.

•・•四边形力8co内接于OO,

：,ZCBA+ZCDA=18O'3,

•；NCDE+NCDA=180°,

:.NCDE=NCBA,

:・/CDB=NCDE,

:.DC平分4BDE：

27

(2)证明：VCE±AD,

:・NCDE+NDCE=9()°,

由(1)知：NCDB=/CDE,

；・NCDB+NDCE=90°,

'：OC=OD,

：,ZCDB=ZOCD,

AZOCD+ZDCE=9Q°,

：.ZOCE=W,

：.OCA-CE,

•・・oc为。O的半径，

・•・"是。。的切线；

(3)解：过点。作。G_LOC于点G,如图,

由(2)知：OCLCE,

,：DGLOC,CELAD,

・•・四边形OGCE为矩形，

:.DG=CE=4,CG=DE,

的半径为5,

：.OD=OC=5,

：.OG=y/OD2-DG2=3,

：,DE=CG=OC-OG=2,

：,CD=>JCE2+DE2=2底

•••8。是。。的直径，

：・/BCD=90°,

:・BC=>/BD2-CD2=4/5,

:.AC=BC=4后,

：,AE=V/1C2-CE2=8,

：.AD=AE-DE=S-2=6.

、：OB=OC,

28

，ZBCO=/CBD,

•:NDAC=NCBD,

:・NDBC=/BCO.

延长CO交于点H,

'：AC=BC,

••AC=BC,

：,CHVAB,AH=BH.

：.ZBCO=ZACO,

，N/CO=NC4D,

：,AD//OC,

:.△ADFsXCOF,

.竺_2£

••—，

DFOF

65

**DF-5-DFf

・八厂

..DI--y30p

【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的判定定理，角平分线的定

义，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，相似三角形的判

定与性质，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键.

10.（2026♦云南）如图，。。是ZUBC的外接圆，力〃是。。的直径.点P在44的延长线上，旦2。2=以

・08.点£在力。的延长线匕线段的中点M与点C、点P在同一条直线匕线段与相交