苏科版七年级数学上册第2章《有理数章节》练习

1.《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之“，意思是：今有两数若其意义相反，则

分别叫做正数与负数.如果+40m表示向东走40m,那么-100m表示（）

A.向西走100mB.向西走60mC.向东走100mD.向东走60m

2.在-1,2.5,0,-3.14,120,-1.732中，正数有（）个.

A.3B.0C.2D.4

3.春日经济犹如一扇窗，折射出中国经济的韧性和活力，据商务大数据监测，截至4月12日，

2026年消费品以旧换新销售额达5029.4亿元.将数据“5029.4亿”用科学记数法表示为（）

A.5029.4x108B.5.0294x1011

C.5.0294x1012D.5.0294x103

4..卜列说法中，止确的是（）

A.近似数117.08精确到十分位

B.按科学记数法表示的数5,04x105,其原数是50400

C.一250000用科学记数法表示为—2.5x105

D.用四舍五入法得到的近似数8.1750精确到千分位

5.主产厂家检测4个篮球的质量，结果如图所示，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的

克数记为负数、其中最接近标出质量的篮球是（）

c,D,

+0.6^^-2.4

6.已知非零实数a,b,Iab|=-ab,|a+b|=a-|bI,用数轴上的点表示a,b,下列选项正确的是

（）

A.。0方。oa

C,-a0b~D•b0a

7.若a,b互为相反数，c,d互为倒数，x的绝对值为4,则孚一cd+x的值为.

8.我们常用十进制数，我国古代《易经》一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数

量，如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，并采用七进制（也就是满七进一，如

2513=2X73+5X72+1X71+3）用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的

9.游戏“24点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进

行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为24,其中红色扑克牌代表负数，黑

色扑克牌代表正数，请用如图抽取出的4张牌（4张牌颜色依次为红色、黑色、黑色、红色），写出

一个符合规则的算式_____________________________________________

10.把下列各数表示的点画在数轴上，并用“V”把这些数连接起来.

-5,|-1.5|,一羡0,32，（-2）2.

-5-4-3-2-101~~2345X

11.计算.

（1）（-3）x5

（2）-l4-（-3）2-12x|-1

12.计算：

（1）31-（-29）+（-15）；

（2）（-7）x（一如在

（3）16+（-2下一（一书）x（-5）.

13.某校为培养学生节约用水的习惯，对学生家庭每日用水量进行统计.若规定每户每日用水量标

准为300L,超过的部分记为“+”，不足的部分记为“-”，下表记录了某同学家一周七天的用水量数据

（单位：L）：

星期―二三四五六日

用水量（L）+12-15+5-20+25-8-22

已知：1OOOL=1吨,居民用水原价为2.75元/吨.

（I）该同学家用水量最多的一天比最少的一天多多少升?

（2）该同学家这周的总用水量是多少升？若规定每周用水量不超过2150L即为节水达标，判断该

同学家这周用水量是否达标？

（3）若该同学家这周前4天按原价缴纳水费，后3天因参与节水活动每吨减少0.2元.求该同学

家这周一共缴纳多少水费？（结果保留两位小数）

14.如图1,点A,B,C是数粕上从左到右排列的三个点，分别对应的数为-2,b,4,某同学将刻

度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A,发现点8对应刻度1.8cm,点C对应刻度

5.4cm.则数轴上点B所对应的数b为（）

,§

-jnnjnnjnnjnnjnnjnnjnnjnn]Tnnnn|nnjnnj

0123456

图1S2

A.2B.1C.0D.-1

15.如图，数轴上有点4、B、C,点4、8表示的数分别是一14,10,现以点C为折点，将数轴向右

对折，若点A落在点8的右侧且到点B的距离为6,则C点表示的数是（）

A.1B.-3C.1或一5D.1或一4

16,下列说法中，正确的是.（请填写正确的序号）

①若1%1=1-3|,则％=±3；

②若|一力=|一引.则丫=3：

③若m是有理数，则zn+|m|不可能是负数；

④若x+y=0,且行0时，则猊=>

⑤已知a、b、c均为非零有理数，若Q+b+c<0,则野+亨+书—盥的值为2或-2

17.综合与实践：有趣的“乘法运算”

小明在学完《整式的乘法》后对一类特殊的乘法运算进行了探究.

【算法界定】这里的“乘法运算”指的是末位数字相同，首位数字和为十的两位数相乘.

【算法介绍】两数首位数字相乘再加上末位的数字作为“前积”，末位数字的平方作为“后积”，前

积乘以100加上后积就是得数.

例：14x94=100x(1x9+4)+42=1316,前积是13,后积是16.

(1)26x86=100x(2x8+6)+612=2236,前积是,后积是；

(2)【初探算法】仿照例题，写出下面两数相乘的运算过程及结果.

25x85==；

(3)【推理算法】记两位数分别是ac和be,且a+b=10,其中近=10a+c,n=10b+c.

请写出算法介绍中的运算规律，并加以证明.

18.阅读下面的材料：根据绝定值的几何意义，我们知道|5-3|表示5、3在数轴上对应的两点间的

距离;|5+3|=|5-(-3)|,所以|5+3|表示5、-3在数轴上对应的两点之间的距离;|5|=

|5-0|,所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离.一般地，点A、B在数轴上分别表示有理

数a、h,那么A、B两点之间的距离可以表不为|AB|=以一例.回答卜列问题：

(1)数轴上表示6与-9的两点之间的距离是；

(2)若优一3|=3,则x=.

(3)|无+2|+|%—3|的最小值为；此时整数％=.

(4)若忱+2|+|%一3|=7,则整数x=.

19.《庄子・天下》：“一尺之趣，日取其平，万世不竭.”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，

永远也截不完.我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学被限思想，探究课上，同学们运用此数

学思想研究下列问题.“聪慧组”的同学将一个边长为1的正方形纸片分割成若干个部分，并用数形

结合的思想解决下列问题：

(I)请按照“聪慧组''同学的思路填空：

1.111

2+4=1一济

1.1,1_-I1

2+4+8-

2+4+8+16=1---------;

猜想：4+,+g+白+…+*=1-:

(2)为了证明“聪慧组”同学得到的结论，"明辨组''的同学采用了以下方法进行证明，清将证明过

程补充完整.

11

22

11

441

16

1111

设S-+-+-+++

=248

16

1115

2X/Jl+-+-+++

C48

^16

11111

2X-+2X-+2X-+2X++2X-

248

162n

化简得2s=1+2+4+8+16+，，，+产T

②一①得:2S-S=(l+3+*+*+^+~+&T)-G+HH白+…+玄)

即S=；

(3)通过阅读•你一定学到了多种解决问题的方法.

①请计算表+表+责+…+1U的值•

09?9

②请选择“聪慧组”的作图法或“明辨组”的代数法进行计算：5+或+,+•.•+$•(只选一种解

法，若选择作图，请标注出各部分图形的面积，下图是边长为1的正方形)

20.现有点4B,C为数轴上三点，若点C到点8的距离是点。到点A的距离的几倍，则称。是(48)的

“倍点”,记作：C(4B)=n.例如：点C表示0,点4表示-1,点B表示2,则C是(48)的“2倍

点”，记作：C(48)=2.

4C¥GN

*

—

l8

-2图2

(1)如图1,A,B,C,。为数轴上各点.

①图中C(48)=;

②若。(B,E)=3,则点E表示的数是.

(2)如图2,点、M,P,N分别表示一2,-1,8,点G,H依次在点P,N之间，若点P,G,H满

足P(M,H)=7,G(P,H)=H(N,G),求点G,H之间的距离.

答案解析部分

1.【答案】A

【知识点】用正数、负数表示相反意义的量

【蟀析】【解答】解：一100m表示向西走100m：

故答案为：A.

【分析】如果向东规定为正数，则向西为负数，据此解答即可.

2.【答案】A

【知识点】正数、负数的概念与分类

【解析】【解答】解：正数有2.5、+京120,共3个，

故答案为：A.

【分析】根据正数大于零逐个羽断解答即可.

3.【答案】B

【知识点】科学记数法表示大于10的数

【解析】【解答】解：先进行单位换算，1亿=108,因此5029.4亿=5029.4x108。

科学记数法的标准形式为Qx10、其中1<|a|<10,ri为正整数。

将5029.4的小数点向左移动3位,得到a=5.0294,对应指数增加3,即：

5029.4x108=5.0294xIO3x108=5.0294x1011。

故答案为：B

【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，涉及单位换算与科学记数法的定义。科学记数法要求

将数表示为ax10八的形式，其中。的绝对值需在1到10之间，几的值由原数的整数位数决定。解题

时先将“亿”换算为108,得到以个为单位的数字表达式；再将前面的数值调整为符合要求的a,根据

小数点移动的位数调整10的指数，最终得到标准形式的科学记数法结果。

4.【答案】C

【知识点】科学记数法表示大于10的数；近似数与准确数；还原用科学记数法表示大于10的数

【辞析】【解答】解：A、近似数117.08是精确到百分位，原说法错误，故该选项错误；

B、按科学记数法表示的数5.04x105,其原数是504000,原说法错误，故该选项错误；

C、-250000用科学记数法表示为-2.5x105,原说法正确，故该选项正确；

D、用四舍五入法得到的近似数8.1750是精确到万分位，原说法错误，故该选项错误；

故答案为：C.

【分析】

根据科学记数法表示数和近似数及精确度逐一判断各选项即可.

5.【答案】B

【知识点】正数、负数的实际应用；有理数的大小比较-直接比较法

【解析】【解答】解:|-2.4|>|1,4|>|0.6|>|-0.5|

故答案为：B

【分析】求各数绝对值，再比较大小即可求出答案.

6.【答案】B

【知识点】有理数在数轴上的表示；绝对值的概念与意义

【解析】【解答】解:由Iab|=-ab,且a,b为非零实数，得ab<0,即a,b异号;

由|a+bI=a-Ib|,得等式右边a-Ib|>0,因此a>Ib].又因为Ib|>0,所以a>0.又ab<0,

得bvO.

综合以上结论：a>0,b<0,且Ia|>Ib|.故a在原点右侧，b在原点左侧，且a到原点的距离大

于b到原点的距离.

故答案为：B.

【分析】先根据IabI=-ab判断出a,b异号；再根据Ia+bI=a-IbI右边非负，判断出a>0,进而

得出

b<D；最后由a>Ib|得出IaI>IbI,从而确定数轴上a,b的位置关系.

7.【答案】一5或3

【知识点】有理数的倒数；相反数的意义与性质；求有理数的绝对值的方法；求代数式的值-整体代入求值

【解析】【解答】解：•・%,匕互为相反数，c,d互为倒数，%的绝对值是4,

a+b=0,cd=1,x=±4,

**•当％=4时，-cd+x=0-l+4=3>

当x=-4时，—cd+x=O—1+(—4)=-5，

故答案为：-5或3.

【分析】先利用相反数、倒数和绝对值的定义及性质求出Q+b=O,cd=l,x=±4,再将其代入

竽一cd+x计算即可.

8.【答案】565

【知识点】有理数混合运算法则(含乘方)：十进制及其他进制问题：有理数乘方的实际应用

【解析】【解答】解：1X73+4X72+3X71+5X7°=S66天，

故答案为:565.

【分析】根据七进制，结合有理数的混合运算，有理数的乘方即可求出答案.

9.【答案】［7+(-9)］乂(-3)乂4或(一3)乂(-9)一(7-4)或(-3)*(-9)-7+4

【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；“二十四点〃游戏

【解析】【解答】解：由图可得,符合规则的算式为［7+(-9)］x(-3)x4或(-3)X(-9)-(7-4)或

(-3)x(-9)-7+4,

故答案为：［7+(-9)］x(-3)x4或(-3)x(-9)-(7-4)或(-3)x(-9)-7+4.

【分析】开放性命题，答案不唯一；根据题意可得图中4张扑克牌所代表的数依次为-3,4,7,-9：

然后根据“24点”游戏规则，结合扑克牌代表的数字，通过不同的运算组合得到结果为24的算式即

可.

10.【答案】解：把表示数的点画在数轴上，如图所示：

-5~20|-1-5|34(一2尸

♦」---1•■1•A•［----11"">

-5-4-3-2-1012345

v|-1.5|=1.5,(一2/=4,

・••-5<-1<0<|-1.5|<31<(-2产

【知识点】有理数在数轴上的表示；有理数的大小比较-数轴比较法

【释析】【分析】根据绝对值、平方的性质化简，然后在数轴上找出对应的点，再比较大小即可求出

答案.

11.【答案】(1)解：(-3)x5=—15.

(2)解：-14一(-3)2-12乂-1|

3

=—1—9—12x4

=-1-9-9

=-19.

【知识点】有理数的乘法法则；芍理数混合运算法则(含乘方)；化简含绝对•值有理数

【解析】【分析】(1)利用有理数的乘法运算法则(①同号两数相乘结果为正；②异号两数相乘结

果为负；③任何数与0相乘都为0)分析求解即可；

(2)利用含乘方的混合运算的计算方法(先计算乘方，再计算括号，然后计算乘除，最后计算加

减)分析求解即可.

(1)解：(-3)x5=-15；

(2)解：-I4-(-3)2-12x-1|

=-l-9-12x

=-1-9-9

=-19.

12,【答案】(1)解：原式=31+29-15=45；

85

X-

(2)解：原式=3X

14

(3)解：原式=16+(-8)-需X5=-2-R-/

【知识点】有理数的加、减混合运算；有理数的乘法法则；有理数混合运算法则(含乘方)

【解析】【分析】(1)根据有理数的加减即可求出答案.

(2)根据有理数的乘除即可求出答案.

(3)根据有理数的混合运算，结合有理数的乘方即可求出答案.

(1)解：原式=31+29-15=45；

(2)解.：原式=7乂恭卷=卒；

OJL1O

(3)解：原式=16+(―8)—余x5=—2—*=—

13.【答案】(1)解：由表格可得：该同学家用水量最多的一天比最少的一天多25-(—22)=25+

22=47升

(2)解：300x7+(+12)+(-15)+(+5)+(-20)+(+25)+(-8)+(-22)=2100+12-15+

5-20+25-8-22

=2077(A),

V2077<2150,

，该同学家这周用水帚达标

(3)解：前四天的水费为：

[300X44-(+12)+(-15)+(+5)+(-20)]+1000x2.75

=(1200+12-15+5-20)^1000x2.75

=1182+1000x2.75

=3.2505(元)，

后三天的水费为:

[300x3I(I25)I(8)I(22)]：1000x(2.750.2)

=(900+25-8-22)+1000x2.55

=895+1000x2.55

=2.28225(元)，

故该同学家这周一共缴纳水费为3.2505+2.28225x5.53(元)

【知识点】有理数混合运算的实际应用；正数、负数的实际应用；有理数减法的实际应用

【解析】【分析】本题主要考查正数和负数的概念，以及有理数混合运算的实际应用。解题关键在于

正确理解题意并准确计算。

(1)根据题目要求，列出相应的算式，运用有理数的减法法则进行计算，即可得到答案；

(2)通过有理数的加减混合运算，求出该同学家一周的总用水量，然后与标准值2150L进行比较，

得出结论；

(3)分别计算前四天和后三天的水费支出，将两部分费用相加，即可得到最终需要缴纳的总水费金

额。

(1)解：由表格可得：该同学家用水量最多的一天比最少的一天多25—(—22)=25+22=47升；

(2)解：300X7+(+12)+(-15)+(+5)+(—20)+(+25)+(—8)+(—22)

=21004-12-15+5-20+25-8-22

=2077(L),

V2077<2150,

・•・该同学家这周用水量达标；

(3)解：前四天的水费为：

[300X4+(+12)+(-15)+(+5)+(-20)]+1000x2.75

=(1200+12-15+5-20)+1000x2.75

=1182+1000x2.75

=3.2505(元)，

后三天的水费为：

[300x3+(+25)+(-8)+(-22)]+1000x(2.75-0.2)

=(900+25-8-22)+1000x2.55

=895+1000x2.55

=2.28225(元)，

故该同学家这周一一共缴纳水费为3.2505+2.28225«5.53(元).

14.【答案】C

【知识点】有理数的减法法则；有理数的除法法则；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之旧的距离

【解析】【解答】解：由图1可得AC=4—(—2)=6»由图2可得AC=5.4czn»

・•・数轴上的一个长度单位对应刻度尺上的长度为5.4+6=0.9(cm),

AB=1.8cm,

=1.8+0.9=2(单位长度)，

在数轴上点B所对应的数匕=-2+2=0；

故答案为：C.

【分析】由图可得1个单位长度=0.9cm,然后得到48之间在数轴上的距离解题即可.

15.【答案】A

【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离

【解析】【解答】解：设点C表示的数为c,点4对折后的落点为

•••点A、B表中的数分别是一14,10,点乂落在点8的右侧且到点B的距离为6,

•••点A落在的位置表示的数为10+6=16,

・♦•点4,表示的数为16.

-A'C=AC,

16-c=c-(—14),

解得c=1,

二。点表示的数是1,

故答案为：A.

【分析】设点C表示的数为c,点A对折后的落点为先求出点/表示的数为16,再结合A‘C=/C，

列出方程16-c=c-(-14),最后求出c的值即可.

16.【答案】①③④⑤

【知识点】有理数的加、减混合运算：有理数的除法法则：求有理数的绝对值的方法

【解析】【解答】解：①由㈤=|一3|=3,得％=±3,①符合题意；

②由|一%|=|-3|=3,得田=3,故；v=±3,②不符合题意；

③当mN0时，m+|m|=2m>0；当mV0时，m+\m\=0,故zn+|m|不可能为负数，③

符合题意；

④由x+y=0且y=0,得x=-y,则猊==匕④符合题意；

⑤由Q+b+cvO,可知Q、b、c中负数的个数为1或2或3,

当负数的个数为1时，设a为负数，仇c为正数，那么上＜0回+电+四一喀1=±

abcabcab

X阖=T+1+1-(T)=2'

当负数的个数为2时，设a、b为负数，c为正数，那么弧＞0,则四+坳+0一喀!=±+

abcabca

(由+2盥=TT+lT=-2，

当负数的个数为3时，则a、b、c都是负数，那么abcvo,则与+用+岩-嚅=?+(法)+

(£)-(需――，

⑤符合题意.

综上，符合题意的有①③④⑤.

故答案为：①③④⑤.

【分析】本题考查相反数和绝对值的概念，需理解定义并运用相关性质分析各选项。

17.【答案】(1)22；36

(2)100x(2x8+5)+52；2125

(3)算法介绍中的运算规律为：记两位数分别是赤和反，且a+b=10,其中就=10a+c,bi=

10b+c,那么就xbe=100(ab+c)+c?.

证明：Vac=10a+c,be=10b+c,

Aacxbe

=(10a4-c)(10d4-c)

=lOOab+10(a+b)c+c2,

Va+b=10,

Aacxbe=lOOab4-100c+c2

=100(ab+c)+c2.

【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；整式的混合运算

【解析】【解答】解：(1)V26x86=100x(2x8+6+62)=2236,

・•・前积是22,后积是36.

故答案为:22,36；

(2)25X85=100X(2X8+5)4-52=2125.

故答案为：100x(2x8+5)+52,2125：

【分析】(1)利用题干所提供的方法解答即可；

(2)仿照题干解题方法运算即可；

(3)利用多项式乘以多项式的怯则运算解答即可.

18.【答案】(1)15

(2)0或6

(3)5；-2,-1,0,1,2,3

(4)-3或4

【知识点】数轴上两点之间的距离；绝对值的概念与意义；两个绝对值的和的最值

【解析】【解答】

(1)

解：数轴上表示6与一9的两点之间的距离是|6-(-9)|=15,

故答案为：15；

(2)

解：b一3|=3表小％与3的矩离为3,则％=0或6,

故答案为：。或6；

(3)

解：|x+2|+|x-3|表示％与-2的距离与它与3的距离之和，

.••当-24x43时，优+2|+|工一3|=|-2—3|=5,其他情况下都+2|+|x—3|>5,

・・.|%+2|+|%-3|的最小值为5：此时整数久=一2,-1,0,1,2,3,

故答案为：5；-2,-1,0,I,2,3；

(4)

解：氏+2|+-3|=7表示x与一2的距离与它与3的距离之和为7,

当—2<x<3时,|x+2|+\x-3|=(x+2)—(x-3)=5,不合题意；

当TV—2时，|x+2|+|x-3|=-x—2—x+3=7,解得x=-3；

当尤>3时，|x+2|+-3|=x+2+x—3=7,解得x=4；

综上所述，x=—3或％=4,

故答案为：-3或4.

【分析】

(I)由绝对值的几何意义知数轴卜.两点间的距离等于表示这两点的数差的绝对值；

(2)由绝对值的几何意义知数轴上到表示3的点的距离为3的数字有两个，分别为。和6；

(3)由绝对值几何意义知|x+2|+|%-3|表示的是数轴上一点到表示-2和3的点的距离之和，则由

两点之间线段最短知当表示X的点在表示-2和3的点连成的线段上时原式值最小，最小值为5,则满

足条件的x的整数分别为-2,-1,0,1,2,3；

(4)同上，当表示x的点在表示-2和3的点连成的线段上时氏+2|+-3|=5,则当表示x的点在

-2左侧或在3的右侧时等式才能成立，再分别化简绝对值代数式可得关于x的方程并求解即可.

(1)解：数轴上表示6与一9的两点之间的距离是|6-(-9)|=15,

故答案为：15；

(2)解：比一3|=3表示％与3的距离为3,则％=0或6,

故答案为：0或6；

(3)解.：卜+2|+优-3|表示上与-2的距离与它与3的距离之和，

・•・当-24x43时，|x+2|+|x-3|=|-2-3|=5,其他情况下都|%+2|+|x—3|>5,

・,.[%+2|+|%—3|的最小值为5；此时整数%二—2,-1,0,1,2,3,

故答案为：5；-2,-1,0,1,2,3；

(4)解：|x+2|4-|x-3|=7表小》与一2的距离与它与3的用离之和为7,

，当一24x43时，区+2|+|又一3|=(%+2)—(%一3)=5,不合题意；

当无<-2时，|x+2|+|x—3|=-X—2—x+3=7»解得x=-3：

当尤>3时，|x+2|+|工一3|=丫+2+%—3=7,解得％=4：

综上所述，x——3或x=4,

故答案为：-3或4.

11

19.【答案】(1)尹，那

⑵1-次

⑶解：①；+++4+―+为=++120：,?+…+艰。：*。，

ZITZZZZXZZXZZXZZXZ

11111

二产乂勺+于+/+…+产)

11

=产乂(1-河

_1_____1

二产-酒

②设S=：+看+看+…+京①

则3s=3x4+1+苴+…+金②

22②

十

十

十-_-

HIJ35=235

32

・••②-①，得3s-5=2+@+/+声+…+声一/+…+于）=2一/

1

即S=1-支

如图所示,£2+$2+条2+7亲2=1一品1

【知识点】探索数与式的规律；芍理数乘方的实际应用；探索规律-等式类规律

【解析】【解答】（1）解：:+:=1—

11,111

2^4+8=1-p

1111

2"4+8+16=1-p

11.1.1..111

广4+2+正+…+呼=1一酒

故答案为：A,亲;

1

11111L111

解

/2设S_

I-++++++++

X•---