浙教版九年级数学上册 相似多边形 同步测试（含答案）

4.6相似多边形

一、单选题

1.有一块边长为2的等边三角形纸板，如图1,经过底边的中点剪去第一个正三

角形；如图2,过剩余底边的中点再剪去第二个正三角形，然后依次过剩余底边

的中点再剪去更小的第三个第四-••正三角形，则剪掉的第202（）个正三角形的面

积是（）

R&r石D石

A.15,420204338^4040

4刈9

2.在比例尺为l：m的某市地图上，规划出长a厘米，宽b厘米的矩形工业园区,

该园区的实际面积是（）米2.

.10,加口「abmabm2

A•"r>."-•~~7-

abab104104

3.如图，矩形ABCQ在矩形A88的内部，且点四,R在对角线很

的异侧，连结5片，DB「BR,D»,若矩形A8CDS矩形ABC",且两个矩形

的周长已知，则只需要知道下列哪个值就一定可以求得四边形片BR。的面积

A.矩形A8CO的面积B.的度数

C.四边形8/2。的周长D.3用的长度

4.我们把宽与长的比等于黄金比（与1）的矩形称为黄金矩形.如图，在黄金矩形

ABCD（Aff<fiC）^fZA8C的平分线交/W边于点£,£F_L3c于点”，则下列结论错

误的是（)

BFC

八AEBE,、DEAB

A丝=丝B笆=也C-----二-----I)-----=-----

'ADAE,BFBC*BEI3C,EFBC

5.彼此相似的矩形ABC。A2B2C2G,ARCG,…，按如图所示的方式放置.点

Ai,A2,A;J,,*­,和点G,C2,C3,…，分别在直线y=kx+b(k>0)和x轴上，已

4）,则Bn的坐标是（）

B.(2"-g,2n)

C.(2"_,-2n-)D.(2n-1-1,2n7)

二、填空题

6.如图（1）,将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形A/小DCE,它的

面积为1;取.ABC和，DEF各边中点，连接成正六角星形AKBQCE,如图（2）

中阴影部分；取△ABC和VQ石耳各边中点，连接成正六角星形&F2BBJE2,如

图（3）中阴影部分；如此下去……，则正六角星形4用名忆仁片的面积为

7.一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连接三角形各边中点，则

可将原三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形.我们把4。所（图乙）第

一次顺次连接各边中点所进行的分割，称为1阶分割（如图1）;把1阶分割得出的

4个三角形再分别顺次连接它的各边中点所进行的分割，称为2阶分割（如图

2）…，依此规则操作下去.〃阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形

（〃为正整数），设此时小三角形的面积为请写出一个反映工…S”,\+I（n>l）

之间关系的等式________.

8.已知菱形44GR的边长为2,幺耳。尸60°,对角线AG,6a相交于点0.以

点0为坐标原点，分别以OA,。妫所在直线为X轴、y轴，建立如图所示的直角

坐标系.以8Q为对角线作菱形4GA4s菱形A#CQ,再以4G为对角线作菱形

人与G"s菱形勺c/H,再以Bm为对角线作菱形区G3As菱形人4。22,,,,

按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A,A,A3,......4，则点儿

9.在平面直角坐标系立力中，正方形ABCD的位置如右图所示，点A的坐标为［1,

0）,点D的坐标为（0,2）,延长CB交x轴于点［，作正方形AB3C,延长CB

交x轴于点作正方形&B2c23,…按这样的规律进行下去，第1个正方形的

面积为;第n个正方形的面积为.

10.如图，正方形ABCD的边长为1,顺次连接正方形ABCD四边的中点得到第一

个正方形ABCD,由顺次连接正方形ABCD四边的中点得到第二个正方形

AACA-,以此类推，则第六个正方形AsBQAi周长是.

三、解答题

11.如图1,矩形切凉的一边落在矩形力〃8的一边上，并且矩形必矩形

ABCO,其相似比为1：4,矩形4用力的边49=4,小4石.

(1)求矩形。颇的面积；

(2)将图1中的矩形如小绕点。逆时针旋转一周，连接皮、皮1,“"的

面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说

12.如图，点£'是菱形47口对角线仪的延长线上任意一点，以线段也'为边作

一个菱形月夕G且菱形AEFGs菱形ABCD,相似比是G：2,连接用，GD.

(1)求证：EB=GD；

(2)若NDAB=60°,AB=2,求的长.

13.如图1,在c/WC。中，点M,N分别在边AO和8c上，点E,”在对角线

上，且AM=CN,BE=DF<gBD.

(1)求证：四边形MEN/是平行四边形：

(2)若AB=6,BC=1(),80=8.

①当四边形M£N尸是菱形时，AM的长为______；

②当四边形“稳户是正方形时，跖的长为______

③当四边形MEN/是矩形且AM=6时，跖的长为

14.已知，在△ABC中，AB=AC,在射线AB上截取线段BD,在射线CA上截取线

段CE,连结DE,DE所在直线交直线BC于点M.

猜想：当点D在边AB的延长线上，点E在边AC上时，过点E作EF〃他交

BC于点F,如图①.若BD=CE,则线段DM、EM的大小关系为.

探究：当点D在边AB的延长线上，点E在边CA的延长线上时，如图②.若

BD=CE,判断线段DM、EM的大小关系，并加以证明.

拓展：当点D在边AB上(点D不与A、B重合)，点E在边CA的延长线上时，

如图③.若BD=1,CE=4,DM=0.7,求EM的长.

D

15.已知正方形A8。，P为射线人8上的一点，以BP为边作正方形BPEF,使点、

产在线段C8的延长线上，连接

(1)如图1,若点P在线段的延长线上，求证：EA=EC；

(2)如图2,若点户在线段AA的中点，连接AC,判断A4CE的形状，并说明

理由；

(3)如图3,若点P在边A4上，连接4c，当“平分ZAEC时，设48=&,8尸=1,

求ZAEC度数.

16.已知正方形力物的边长为2,作正方形力£"7(4E,F,G四个顶点按逆时

针方向排列)，连接应'、GD,

(1)如图①，当总少在正方形月灰刀外时，线段应与线段〃G有何关系？直

接写出结论；

(2)如图②，当点后在线段〃〃的延长线上，射线〃4与线段〃G交于点和

且〃G=2〃犷时，求边/1G的长；

(3)如图③，当总月在正方形力解的边。9所在的直线上，直线/力与直线

〃6交于点机且〃G=4〃V时，直接写出边4G的长.

图①图②图③

17.如图，在直角梯形OABC中，OA〃BC,A、B两点的坐标分别为A(13,0),B

(11,12).动点P、Q分别从0、B两点出发，点P以每秒2个单位的速度沿x

轴向终点A运动，点Q以每秒1个单位的速度沿BC方向运动；当点P停止运动

时，点Q也同时停止运动.线段PQ和0B相交于点D,过点D作DE〃x轴，交AB

于点E,射线QE交x轴于点F.设动点P、Q运动时间为t(单位：秒).

(1)当t为何值时，四边形PABQ是平行四边形.

(2)Z\PQF的面积是否发生变化？若变化，请求出aPOF的面积s关于时间t

的函数关系式；若不变，请求出4PQF的面积.

(3)随着P、Q两点的运动，△PQF的形状也随之发生了变化，试问何时会出

现等腰△PQF?

答案

一、单选题

1.B

【分析】

根据等边三角形的性质得出，三角形的边长分别为:，；《•・・，・..即相邻三

角形相似比为：1：2,进而求出即相邻三角形面积比，从而得出规律.

解：:依次剪去一块更小的正三角形纸板，即其边长为前一块被剪掉正三

角形纸板边长的g

・•・三角形的边长分别为i，m..

248

即相邻三角形相似比为：1：2,

即相邻三角形面积比为：1：4,

・•.剪去一块的正三角形纸板面积分别为：：x1x*二半二坐二W

22422416

，第n个纸板的面积为：至=$

24

・•・第2020个纸板的面积为：芸

故选：B

2.D

解：设该园区的实际面积是・・•地图上长己厘米，宽。厘米的矩形工业

园区的面积为仍平方厘米，根据题意得：-=<-)2,：.x=abm\即可得"小

xm

平方厘米=需平方米.故选D.

3.A

【分析】

连接BG,厢过点2作坊EL4?于点E,过点G作C/〃于点F,过点

功作坊G_L/I〃于点G,过点〃，作。于点〃，设小矩形的长和宽分别为w和A

大矩形的长和宽分别为丸和必，相见AG=n,然后用分割法求得四边形用ML

的面积，进而可以根据条件得到结果.

解：如图，连接力&,DAif过点〃/作为门_加于点反过点G作于

点居过点用作以口_/1〃于点G,过点〃/作1_%于点凡

■:BC1BC,

，四边形力做6、四边形斯C，后是矩形，

设小矩形的长和宽分别为a和b,大矩形的长和宽分别为砂和bk,B户m,

AG=n,贝1JS也秒力£&〃=38，S炬好ABCFab/,AB=匕k~nra,C+ak~n~b,

：.S/、BCB=AG=an,BF=bin,AB

3BCLySABCQ=；ySADA}B,=y

•AE=\b(bk-m-a),金分,〃=：CIA2、a(aKn-b),

••S区遗形BB[DD尸SABC[B]+S^BCD+SADAB+SADAD+S短形ABGD]

二3a口弓bm*b(bk-m-a)+ga(ak-n-Z?)+ab

=gk(a"+Z?")~^k\_(a+b)2~2ab]

=；k(a+6)'-kab,

T矩形ABCD和矩形A^C,D,的周长已知，

A2(尹力)和2(ak+bk)为定值，

，在为定值，

:•三k(拊。)：为定值，

•・•履炉四=41g,

kk

，当制已知时.四动形丛如〃的面积即为定值.

故选：A.

4.C

【分析】

先根据矩形的性质、角平分线的性质、正方形的判定可得四边形ABFE是正

方形，再根据正方形的性质可得==M=再根据黄金矩形的定义逐项

判断即可得.

解：四边形ABCD是矩形，

/.4=NABC=90°,AD=BC,

•.•EFLBC,gpZBFE=90°,

二•四边形ABFE是矩形，

鳍是NABC的平分线，且

:.AE=EF,

二•四边形ABFE是正方形，

/.AE=EF=AB=BF,

又,,四边形ABCD是黄金矩形，且A8<8C,

.AB_\/5-1

•.,

BC2

设A3=(逐—1)贝々40),贝l[8C=2a,

AE=EF=BF=AB=(6-\)a,AD=BC=2a,

/.DE=AD-AE=(3-后a,CF=BC-BF=(3-5。,

BE=ylAE2+AB2=72(75-1)«,

后石-

则rt.iAE=AB=----------1---,DE=-(3/-=--\--/-5---)--a---=------------1-,

ADBC2AE(75-1)6/2

ApDF

即售=隼，选项A正确；

ADAE

CF(3-逐加石-1BFABV5-1

BF~(45-\)a~2，~BC~~BC~2

即5^7=]:,选项B正确；

BrBC

AE二(布-l)a二&BE向后-l)a_®3

BE~42(45-1)a~2，~BC~2^~—2—

即凝霹，选项c错误；

竺="=或二=竺，则选项D正确；

EFAE2BC

故选：c.

5.A

【分析】

根据矩形的性质求出点A、A2的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析

式求出幺心从而得到一次函数解析式，再根据一次函数图像上点的坐标特征求

出的坐标，然后求出B.,的坐标，...，最后根据点的坐标特征的变化规律写出从

的坐标即可.

解：:4(1,2),

「•相似矩形的长是宽的2倍，

丁点牛鸟的坐标分别为(1,2),(3,4),

.••4(0,2),4(1,4),

一点&在直线〉—公•+3上，

b=2

"\k+b=4f

解得优，

y=2x+2,

丁点A在直线1y=2x+2上，

/.y=2x34-2=8,

•••点4的坐标为(3,8),

.••点名的横坐标为3+?8=7,

，点以(7,8),

•••

方的坐标为(2"T2").

故选：A.

二、填空题

6..

256

【分析】

先分别求出第一个正六角星形4用QCE与第二个边长之比，再根据相似多边

形面积的比等于相似比的平方，找出规律即可解答.

解：•.A、6、8|、。］、G、E分别是AA8C和ADE尸各边中点，

，正六角星形AFBDCEs正六角星形A6BQG塌且相似比为2:1,

二正六角星形A阳/X方的面积为1,

・••正六角星形A64AG&的面积为I,

同理可得，第二个六角形的面积为：3W，

第三个六角形的面积为：

464

第四个六角形的面积为：

4Zao

故答案是：.

Zao

7.S；=S“S同

【分析】

1阶三角形有4个，把这4个三角形再分，每个分成4个，即共有42个三角

形，即2阶三角形有42个三角形，进而可以得到n阶三角形有4n个三角形.

解：设aDEF的面积是a

贝尸缶，sn=j,S"产券

根据哈¥二言.言

因而Se，Sn,SnH三者之间关系式是S：=SnT・S…

・•・三者之间关系式是S：=Se・S…

8.(3n-1,0).

解：•.•菱形A4GA的边长为2,—G=60°,・・・AG=2,・・・。4=1,・••点

A的坐标为(1,0),丁。4=1,：.OB产百,・・・。4=3,点A?的坐标为(3,0),

即(32，0),

同理可得：

点的坐标为(9,0),即(33-1,0),

点儿的坐标为(27,0),即(3-，0),

•••点A”的坐标为(3-，0).故答案为(3n-l,0).

9.5；5x(］产2

【分析】

由题意可求出AD二行，所以第1个正方形的面积为5；先利用ASA证明△

AOD和△A1BA相似，根据相似三角形对应边成比列可以得到AB=2A3,所以正方

形ABCC的边长等于正方形ABCD边长的以此类推，后一个正方形的边长

是前一个正方形的边长的|,然后即可求出第n个正方形的边长与第1个正方

形的边长的关系，从而求出第n个正方形的面积为5xf1.

解：设正方形的面积分别为S"1…，Sh,根据题意，

得：AI)〃BC〃CA〃aR,，/RAA|=/RAA=/RAA3(同位角相等).

VZAD0+ZDA0=90°,NDAO+NBAA1=90°,

：.ZAD0=ZBAA.,

在直角△ADO中，根据勾股定理，

得：AD—75,tanADO-,

B/4

VtanZBAA)=-=tanZADO,

AB

・・・BAi=.AB=^,

CA|—\/5+,

2

同理，得:CM(石+弯)x(1+1),

由正方形的面积公式，得：S,=(石)2=5,

22

S2=(不)X(1+1),

S3=(不)2X(1+5)*=5X(1)\

由此，可得S尸(75)2义(1+1)2(1)=5X(1)2n-2.

故答案为：5；5x.

10.g

【分析】

根据题意，利用中位线定理可证明顺次连接正方形ABCD四边中点得正方形

ABCD的面积为正方形ABCD面积的一半，根据面积关系可得周长关系，以此类

推可得正方形AICDG的周长.

解：顺次连接正方形ABCD四边的中点得正方形ABCD,则得正方形AECD

的面积为正方形ABCD面积的一半，即;，则周长是原来的孝；

顺次连接正方形ABCD中点得正方形AKCA,则正方形AzBCA的面积

为正方形ABCD面积的一半，即则周长是原来的、；

42

顺次连接正方形A2B2C2D2得正方形A3B3CA，则正方形A3B3C.3D3的面积为正

方形A2B2GD2面积的一半，即:，则周长是原来的当；

o4

顺次连接正方形A3BQD3中点得正方形ABCD”则正方形ABC。的面积

为正方形A3B3C3D3面积的一半白，则周长是原来的!；

164

•••

故第n个正方形周长是原来的旧，

以此类推：第六个正方形AGBKRS周长是原来的

O

•・•正方形ABCD的边长为1,

，周长为4,

・•・第六个正方形AGBGC同周长是g.

故答案为5.

三、解答题

11.

解：（1）,:短形。DEFs矩形ABCO,其相似比为1：4,

二・S"DE用Js短形义4X4行二G；

1616

（2）存在.

,**0E=-VOF~+OD2=J（百y+f=2»

所以点£的轨迹为以点。为圆心，以2为半径的圆,

设点。到然的距离为力,

仍+BC：="+(4厨=8,

.,.8/7=4X473,

解得/F2>/3,

••・当点£到力。的距离为2G+2时，△力四的面积有最大值,

当点£到力。的距离为2G-2时，的面积有最小值，

S/才=；X8(2G+2)=8G+8,

S/产;x8(26-2)=86一8.

12.

(1)证明：•:菱形AE“Gs菱形ABCO,:・/EAG=/BAD,

丁・/EA我/GAB=ZBAIXZGAB,

:・/EAB=/GAD,

*."E=/1G,AB=AD,

:ZE第l\AGD、

：.EB=GD\

(2)连接BD交AC于点、P,则外JJC,

VZW=60°,

二•N必合=30°,

•:菱形AEFGs菱形ABC。,相似比是G：2,AB=2,

:・AE=6,BP=，B=1,

AP7AB2-BP?=G

：.EP=2^

EBMJE^+BP2=V12+1=V13

GD=y/\3.

13.

解：（1）证明：如图1中，设8。的中点为0.连接AC,AN,CM,MN.

图1

四边形A8CD是平行四边形，

.•・AC与8/）互相平分且交于点。，AM//CV,

・.・AM=CN,

/.四边形4VCM是平行四边形，

・••AC与MN互用平分且交于点O,

；.OM=ON,OB=OD,

•：BE=DF,

：.OE=OF,

••・四边形MEN尸是平行四边形.

（2）①如图2-1中，连接交皮）于点。，当A/N_L8£＞时，四边形MENF是

菱形.

图2-1

AB=CD=6,AD=BC=IO,BD=8f

：.AD2=AB2+BD2,

.\ZABD=90°,

;.NMOF=ZA8Q=90。,

:.OMHAB、

OB=OD,

AM=DM=5.

②在①的基础上，满足OM=O"时，四边形MENF是正方形,

易知OM=(AB=3,

,.OE=OF=3t

•.M=8,

/.BE=DF=-(8-6)=l.

③如图3-2中，连接MN交BD于点、0,作于〃.

:.MH:AB=DM:DA=DH.DB

:.MH:6=4:1U=DH:8,

；.OM=<MH〜OH?

,•当。七=。/=OM=ON时，四边形MEN尸是矩形,

.♦.跖=。尸=；（8一等）=4一警.

故答案为5,1,4-增.

14.

解：（1）如图1中，猜想：DM=EM.

B

MFC

D图①

理由：作EF〃AB交BC于F,

「AB=AC,

/.ZABC=ZC,

VEF/7AD,

二•NEFONABC,

.••NONEFC,

・•・EF=EC,

VBD=EC,

；.DB=EF,

•「EF〃AB,

AZD=ZMEF,

在△BDM和AFEM中，

4D=4FEM

<NBMD=NEMF,

BD=EF

AABDM^AFEM,

ADM=EM.

故答案为DM二EM.

(2)结论DM=EM.

理由：如图2中，作EF〃AB交CB的延长线于F,

VAB=AC,

AZABC=ZC,

VEF/7AB,

，NEFC=NABC,

?.NONEFC,

・・・EF=EC,

VBD=EC,

ADB=EF,

VEF/7AB,

AZD=ZMEF,

在△BDM和AFEM中，

ND=NFEM

、NBMD=/EMF,

BD=EF

/.△BDM^AFEM,

ADM=EM.

(3)如图3中，作EF〃AB交CB的延长线于F,

图⑶

\・EF〃AB,

AZF=ZABC,

VAB=AC,

.•・ZABC=ZC,

?.ZF=ZC,

AEF=CE=4,

VBD/7EF,

.BD_MD

''~EF~~ME'

-1_07

**4-EM*

AEM=2.8,

故答案为2.8.

15.

解：（I）二•四边形ABCD和四边形BPEF是正方形,

AB=BC.BP=BF,

.\AP=CF

,,,AP=CF,4="PE=EF

.-.AAPE=ACFE,

/.EA=EC

(2)AACE是直角三角形

P为AB的中点

.\PA=PB

又「PB=PE

,*.PA=PE

/.CAE=45

又丁/BAC=45

.•./CAE=90,即AACE是直角三角形

(3)如图，设CE交AB于点G,

EP平分NAEC,EP±AG

/.AP=PG=x/2-l,BG=2-V2

.­.PE//CF

PEPG

BC-GB

作GH_LAC

/.HG=2-x/2

又;BG=2-x/2

/.GH=GB

又•;GH±AGGB1BC

/.^HCG=^BCG

PE/ZCF

ZPEG=zfBCG

，NAEC-/ACB-45.

16.

解：（1）结论：B立DG,BEA.DG.

G

图①

理由：如图①中，设BE交DG于点、K,力叨交〃G于点0.

•・•四边形力比区四边形4T&都是正方，形，

：.AB=AD1A拄AG,N胡介/£4作90°,

?./BA