2027年高考数学专项练习：常用逻辑用语

知识点一、充分条件与必要条件

1、定义

如果命题“若P，贝!lq”为真(记作pnq),贝!Jp是。的充分条件；同时q是P的必要条件.

2、从逻辑推理关系上看

P是4的充分条件

。是q的必要条件qnp

P是q的充要条件pnq且qnp

。是q的充分不必要条件pnq且q中p

〃是q的必要不充分条件p中q且q=p

P是q的既不充分也不必

p中q且q中p

要条件

3、大小关系(设p，q包含的对象分别组成集合4B)

①若AqB,则〃是q的充分条件

②若则〃是q的必要条件

③若AD8,则〃是。的充分不必要条件

④若8DA,则〃是q的必要不充分条件

⑤若A=B,则〃是q的充要条件

知识点二、全称量词和存在量词

1、全称量词与存在量词的概念

短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“v”表示.

短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号表示.

量词名称常见量词表示符

号

全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等V

存在量词存在一个、至少有一个、有一个、某些、某个、有些、某些3

等

2、全称量词命题和存在量词命题

名称全称量词命题存在量词命题

对例中任意一个"有p(x)存在M中一个X。,有p(A())

结构

成立成立

3

简记VXEM,p(x)期,GM，p(x)

否定上0G例，-1〃"））VxGM9-i〃(x)

知识点三、常用二级结论

1、从集合与集合之间的关系上看

设A={x|pM},B={xA（x）}.

（D若贝心是q的充分条件（P=g）,q是p的必要条件；若八阚，贝!IP是q的充分不必要

条件，4/是P的必要不充分条件，却pnq且（儿P；

简记：“小一大”.

（2）若8qA,贝Ijp是4的必要条件，4是P的充分条件；

（3）若A二B，贝旷与Q互为充要条件.

4

I.（2025年高考北京卷数学真题〕己知函数的定义域为D则“/（X）的值域为R”是“对任意MeR,

存在小仁。，使得/（."）卜时”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要

条件

2.（2025年高考天津卷数学真题）设xeR,则“x=0”是“sin2x=0”的（）

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.（2024年北京高考数学真题）设b是向量，则力）（〃一。）二°”是或a=厂的（）.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.（2024年高考全国甲卷数学（理D真题）设向量〃=（x+l㈤,白=（苍2）,则（）

A."』=-3”是“的必要条件B.“x=l+/”是2//尸的必要条件

C.“工二0”是“41厂的充分条件D.“x=-l+百”是的充分条件

5.（2024年天津高考数学真题）已知a,〃eR,则“/=/，，是，3=3'”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.（2024年新课标全国H卷数学真题）已知命题p：VxeR,|x+l|>l；命题/Hx>0,V=x,则

（）

A.〃和“都是真命题B.r7和q都是真命题

C.〃和T7都是真命题D.T7和F都是真命题

7.（2023年北京高考数学真题）若冲了0,则“x+y=0”是“十+q=-2”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8.（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设甲：sin2a+sin2/7=l,乙：siim+cos/?=0,则（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

9.（2023年天津高考数学真题）已知a/eR,“小=6”是“/十/二的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

C

10.（2023年新课标全国【卷数学真题）记S”为数列｛4｝的前〃项和，设甲：｛可｝为等差数列；乙：｛十｝

为等差数列，则（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

5

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

6

题型一：充分条件、必要条件的辨析与判定

【解题妙招】

充分、必要条件的三种判定方法

（1）定义法：根据〃=>夕，夕二〃是否成立进行判断.

（2）集合法：根据〃，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断.

（3）等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否

成立为止.

例1.（2026•天津北辰•二模）已知机，〃是两条不同的直线，a,夕是两个不同的平面，若mHa,

川邛,则_L〃”是“。，尸”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

例2.（2026•广东深圳•模拟预测）已知直线机，〃与平面。，P，Y,则的一个充分条件是

（）

A.mVa,tnLpB.a_Ly,pLy

C.fnlflt〃？uaD.ac尸=〃，〃?ua,m1n

例3.（2026•山东东营•二模）'H/ltR,使得q=r'是"a/必”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.允分必要条件D.既不允分也不必要条件

变式1.（2026•高三•广东揭阳•阶段检测）设。为为实数，甲：a+b>\2,乙：">36,则（）

A.甲是乙的充分不必要条件B.甲是乙的必要不充分条件

C.甲是乙的充要条件D.甲是乙的既不充分也不必要条件

变式2.（2026♦天津南开•二模）设x,ywR,则“丁+），3>。”是的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

题型二：依托充分、必要条件求参数取值

【解题妙招】

求参数问题的解题方法：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之

间的关系列出关于参数的不等式（或不等式组）求解.

7

例4.（2026•北京昌平•二模）设acR,函数/（x）:有最大值的一个充分不必要条件

evc+Lx>a

是()

,1

A.aw-1,--B.«€[—,0]

L2

C.«€[-1,0)D.1-2,0)

例5.已知条件P：条件心（x+2）•（工+〃）<（）,若P是9的充分不必要条件，则。的取值范

围为（）

A.B.(-<x\-4)C.(-TD.(4,+oc)

例6.（2026•高三•重庆沙坪坝•开学考试）已知非空集合A={XlKxq〃，m£R},3={X|1KXK4},若

xeA是的充分不必要条件，则实数〃?的取值范围为（）

A.[1,4]B.[1,4）C.[4,-KX））D.（4,+8）

变式3.-Vxe{x|l<x<2},f-2a40恒成立”的一个充分不必要条件是（）

A.d<0B.a<\C.a>3D.a>2

变式4.（2026•重庆•模拟预测）己知夕；。；x>/«,若，是。的既不充分又不必要条件，则

实数机的取值范围是（）

A.（―1,1）B.[-1J]C.（-1,+巧D.[—1,+℃）

题型三：含有全称■词与存在■词命题的否定

【解题妙招】

含量词命题的否定，一是改写量词，二是否定结论.

例7.（2026•江苏•模拟预测）命题“VxwR,f之。”的否定为（）

A.HveR,x2>0B.VxeR,x2<0

C.HVGR,x2<0D.VXGR,x2<0

例8.（2026•重庆江北•模拟预测）已知命题〃：WxeZjXN。，则命题〃的否定为（）

A.任Z,忖<。B.HreZ,|^<0

C.VXGZ,|A-|<0D.Wx任Z,国<0

例9.（2026•黑龙江哈尔滨•二模）命题“DxNl,fTZO”的否定为（）

A.3x>l,x2-x<0B.V.r>1,x2-x<0

C.3x<l,x2-x<0D.Vx<l,x2-.x>0

变式5.（2026•天津和平•二模）命题“VxeZ,血cN,使得〃的否定是（)

A.HreZ,6?wN”,使得〃vVB.VXGZ,GN",使得，7

C.3XGZ,eN",使得n<x3D.VxeZ,V/zeN\使得

8

变式6.（2026•陕西咸阳•三模）命题/+2凶20”的否定是（）

A.Vx<l>x2+2|x|<0B.Vx>bx2+2|x|<0

C.3>1,/+2|#0D.3x<l,X2+2|X|>0

题型四：含有量词命题的真假判定

【解题妙招】

判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可.

当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假.

例10.（2026•湖北黄冈•二模）已知命题VXGR,有|1-命题4：3Lv>0,使得？>2",贝U

（）

A.P和4都是真命题

B.力和“都是真命题

C.〃和f都是真命题

D.力和F都是真命题

例11.（2026•云南昆明•模拟预测）一知命题p：lr>0»x>五，命题q：VxeR,工+岗>0,贝ij

（）

A.〃和都是真命题

B.力和夕都是真命题

c.〃和r都是真命题

D.力和f都是真命题

例12.（2026•广西崇左•二模）已知命题〃：Vx<2,命题夕：Hr<0,x2=-x,则（）

x-1

A.P和都是真命题B.r7和9都是真命题

C.〃和F都是真命题D.力和F都是真命题

变式7.（2026•贵州贵阳•模拟预测）已知命题P：”>0,log2x>0；命题夕：3x<0,|x+l|>l.则

（）

A.〃和g都是真命题B.和q都是真命题

C.〃和F都是真命题D.力和r都是真命题

变式8.（2026•高三•河南周口•期末）设命题〃：V.r>0,ev>1,命题，/：水wR,x2+x+3=0,则

（）

A.〃和夕都是真命题B.〃和F都是真命题

C.力和夕都是真命题D."和F都是真命题

9

题型五：由命题真假情况求解参数

【解题妙招】

由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围.

例13.命题p：虫wR,f+2.r+2-〃?<0为假命题，则实数机的取值范围是（）

A.[1,+co）B.C.[-l,+oo）D.（f-1]

例14.若命题F/cR,入；+/+用〈0”为假命题，则加的取值范围是（）

例⑸已知命题,1-0,命题，—八2.+2“。.若小,都是真命题，则实

数”的取值范围是（）

A.。=1或。<一2B.a<-2^\<a<2

C.a=—2或。21D.-2<a<\

变式9.若命题“存在使片-2.%-是假命题，则实数小的取值范围是（）

A.（-oo,0）B.（.2）C.[-1,1]D.

变式10.（2026•黑龙江齐齐哈尔•二模）若命题Fa«-1,3],奴2_（2a-l）x+3-a<0”为假命题，则实数

工的取值范围为（）

55

A.[-1,4]B.C.[-1,0]J-,4D.[-1,O)U4，4

题型六：综合应用

【解题妙招】

解题常用等价转化、举反例、数形结合法，遇到参数问题，常结合恒成立、存在性问题求解，同时注

意命题否定与否命题的区别，规避概念混淆类易错点。

例16.（2026•江苏扬州・模拟预测）若“玉・e（0,兀）,sin2x-〃?sinxvO”是假命题，则用的取值范围为

例17.关于曲线C：±+'7=l,给出下列四个结论：

%y

①曲线。既关于原点对称，又关于直线x+y=。对称；

②曲线c是封闭图形，且该封闭图形的面积大于2兀；

③曲线C不是封闭图形，且它与圆丁+尸=4有公共点；

④曲线。与曲线），2=1恰有四个公共点，且这四点恰为某正方形的四个顶点.

其中所有正确结论的序号是__________.

例18.（2026•高三•全国•一轮复习）设“AcwR,命题/+从+/="+叱+反的充要条件是

10

变式11.已知使关于工的不等式（X-。）5-2）＞0成立的一个充分不必要条件是-1VXV1,则实数”的取值

范围是.

变式12.（2026•高三•重庆渝北•阶段检测）已知。＞0,且“对任意的x《L2],以1,2,£-1为边长

的三条线段不能构成三角形”是假命题，则。的取值范围是_____.

11

1.（2026•北京顺义•三模）已知函数/"）的定义域为。，则“函数/（6为奇函数”是“存在％e。，使得

“F）=-/&）”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必'要条件

2.（2026•甘肃金昌•模拟预测）已知ae佰则“sina=苴''是"$in2a=-延”的（）

<2）33

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.（2026•江西南昌•模拟预测）已知若p:log〃3>2,则〃是4的（）

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.（2026•福建福州•三模）记5〃为等比数列｛/｝的前〃项和，设甲：，，邑5为等差数列，乙：

为等差数列，则（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

5.（2026•重庆•一模）“』+"2<0”是"二<1”的（）

x-2

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D,既不充分也不必要条件

6.命题/一工<（），，的否定是（）

A.Vx<l,x2-x<0B.Vx>I,x2-x>0

C.BLr>l,f-xNOD.3x41,x2-x>0

7.（2026•甘肃白银•三模）“40”是“函数=在（O,+8）上单调递增”的（）

A.允分不必要条件B.必要不允分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8.（2026•高三•上海•阶段检测）如果函数y=/（x）的定义域为R,且满足对任意的。，beR均有

〃.+。）=〃々）+/伍），则称这样的函数尸/⑴具有“性质产.有如下两个命题：

命题a：若函数），=/（力具有“性质P”,且/⑹=2026,则服）=焉；

命题6："函数产”6对任意的〃,bwR,均有|/（。-力）|=|/（a）-/⑻”是“y二〃6具有性质夕的充要

条件.

关于两个命题的真假判断正确的是（）

12

A.a真/真B.a真月假C.a假夕真D.a假6假

9.（多选题）（多选）已知函数〃x）=W-4工+3,则的充分不必要条件是（）

A.[1,3]B.{1,3}C.（,/33,内）D.{3,4}

10.（多选题）（2026•江西九江•模拟预测）已知函数/•（%）=<sin（3x+0）（4>0,3>0）,则下列条件

中是力为奇函数”的充要条件的有（）

A.<p=kn（kEz）B./（x）的图象关于原点对称

C.HreR,使得/（一力=一/（力D./（0）=0

11.（多选题）（多选）下列命题不正确的是（）

A.若XHE/WZ,则sin~x—；~~；—之4B.若av0,则—之一4

sinxa

C.若a>（）,/?>（）,则lg〃+lg2jlga」gZ?D.若x>（）,y>0,则J」；旷?卓1

12.（2026•高三•全国•一轮复习）若集合4={小>2},8=k|版>1},其中〃为实数.

（1）若A是8的充要条件，则沙=；

（2）若A是"的充分不必要条件，则〃的取值范围是：.

13.（2026•高三•全国•一轮复习）已知命题p:VxeR,a<3fg6+],若〃为真命题，则实数〃的取值范

围是•

14.已知〃：—2<x<10,q：（x-6/）（x-«-l）>0,若〃是4成立的充分不必要条件，则实数〃的取值范

围是_____

15.己知〃：-2<x<10,q：（x-a）（x-a-1）>0,若〃是q成立的充分不必要条件，则实数。的取值

范围是______.

16.已知集合4=«x|x=J-+;二]卜8={x|x+〃2l}.若“工“”是”工^火的充分条件，则实

数阳的取值范围是.

13

知识点一、充分条件与必要条件

1、定义

如果命题“若P，贝!lq”为真(记作pnq),贝!Jp是。的充分条件；同时q是P的必要条件.

2、从逻辑推理关系上看

P是4的充分条件

。是q的必要条件qnp

P是q的充要条件pnq且qnp

。是q的充分不必要条件pnq且q中p

〃是q的必要不充分条件p中q且q=p

P是q的既不充分也不必

p中q且q中p

要条件

3、大小关系(设p，q包含的对象分别组成集合4B)

①若AqB,则〃是q的充分条件

②若则〃是q的必要条件

③若AD8,则〃是。的充分不必要条件

④若8DA,则〃是q的必要不充分条件

⑤若A=B,则〃是q的充要条件

知识点二、全称量词和存在量词

1、全称量词与存在量词的概念

短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“v”表示.

短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号表示.

量词名称常见量词表示符

号

全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等V

存在量词存在一个、至少有一个、有一个、某些、某个、有些、某些3

等

2、全称量词命题和存在量词命题

名称全称量词命题存在量词命题

对例中任意一个"有p(x)存在M中一个X。,有p(A())

结构

成立成立

3

简记VXEM,p(x)期,GM，p(x)

否定上0G例，-1〃"））VxGM9-i〃(x)

知识点三、常用二级结论

1、从集合与集合之间的关系上看

设A={x|pM},B={xA（x）}.

（D若贝心是q的充分条件（P=g）,q是p的必要条件；若八阚，贝!IP是q的充分不必要

条件，4/是P的必要不充分条件，却pnq且（儿P；

简记：“小一大”.

（2）若8qA,贝Ijp是4的必要条件，4是P的充分条件；

（3）若A二B，贝旷与Q互为充要条件.

4

1.（2025年高考北京卷数学真题）已知函数/（幻的定义域为则“/*）的值域为R”是“对任意MwR，

存在x°e。，使得的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要

条件

【答案】A

【解析】若函数/（x）的值域为R,则对任意用eR,一定存在苒£。，使得八%）=眼|+1，

取马"，则伍）|=网+1>〃，充分性成立;

取/"）=2',D=R,则对任意MeR,一定存在王e。，使得/'（、）=M+1，

取％=A，则+但此时函数/3）的值域为（0,+8）,必要性不成立；

所以“/⑴的值域为R”是“对任意用wR,存在/w。，使得的充分不必要条件.

故选:A.

2.（2025年高考天津卷数学真题）设x，R,则“x=0”是"sin2x=0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】由x=0=sin2x=sin0=（）,则。=0”是“sin2x=0”的充分条件；

又当尤=兀时，sin2x=sin2TT=0,可知5由2工=0/工=0,

故“x=0”不是“sin2x■0”的必要条件，

综上可知，'"=0”是"sin2x=O"H勺充分不必要条件.

故选:A.

3.（2024年北京高考数学真题）设〃，8是向量，则“（。+相。-〃）=0"是'=_b或”=厂的（）.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】因为（，7+〃）・（〃叫=八〃=0,可得即同=忖，

可知（。+。）«一8）=0等价于同=忖，

若或〃=可得|川=瓦即（a+b）・（d-方）=0,可知必要性成立；

若（4+3）.（〃-6）=0,即同二瓦无法得出a=b或a=—b，

例如。=（1⑼.〃=（0,1）,满足同=|可，但aw力且可知充分性不成立；

综上所述，"（a+〃）•（"〃）=。"是"=->或的必要不充分条件.

故选:B.

5

4.(2024年高考全国甲卷数学(理)真题)设向量〃=(1+1,力力=(x,2),则()

A.“x=-3”是“a_L〃”的必要条件B."x=1+百”是"〃/”的必要条件

C.“x=0”是“小厂的充分条件D.“x=-l+G”是%/加”的充分条件

【答案】C

【解析】对A,当a_L〃时，则a$=0,

所以X-*+1)+2K=0,解得x=0或-3,即必要性不成立，故A错误；

对C,当x=0时，a=(l,0)力=(0,2),故。$=0，

所以〃！./;，即充分性成立，故C正确；

对B,当力时，则2*+1)=/，解得x=]±b，即必要性不成立，故B错误；

对D,当x=-1+行时，不满足2(x+l)=/,所以〃/4不成立，即充分性不立，故D错误.

故选：C.

5.(2024年天津高考数学真题)已知a〃eR,则“a、/”是，？=考，，的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】根据立方的性质和指数函数的性质，/=//和3"=3b都当且仅当。=力，所以二者互为充要条件.

故选：C.

6.(2024年新课标全国H卷数学真题)已知命题p：VXGR,k+11>1；命题q：3Lv>0,M=_r,贝U

()

A.p和夕都是真命题B.和q都是真命题

C.p和F都是真命题D.即和F都是真命题

【答案】B

【解析】对于〃而言，取x=T,则有卜+1|=0<1,故〃是假命题，力是真命题，

对于<7而言，取x=l,则有/=[3=]=X，故。是真命题，F是假命题，

综上，力和4都是真命题.

故选：B.

7.(2023年北京高考数学真题)若冷/0,则“x+y=0”是“上+二=-2”的()

xy

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】解法一：

因为母工。，且(+9=-2,

yx

所以/+)尸=_2肛，即/+)，2+2个，=0,即(x+»=0,所以％+y=0.

所以“x+y=0”是“-+^=-2”的充要条件.

yx

解法二:

6

充分性：因为孙工。，且x+y=o,所以x=7,

所以2+2=口+上=_1_]=_2,

>'xy-y

所以充分性成立；

必要性：因为外工。，且二十上=-2,

y“1

所以V+),2=_2.ry,即.d+V+ZQF。，BP(x+y)2=0,所以x+y=0.

所以必要性成立.

所以，“+y=0"是，'+』=2,的充要条件.

yx

解法三：

充分性：因为外工0,且x+y=o,

所以XI-2+)，2+2肛―2冲(x+»―2砂—2肛二2

yxxyxyxyxy

所以充分性成立；

必要性：因为外工。，且二十』=-2,

所以XI)'_犬+〉'2_、+1+2岁—2v_(x+y)'2x)，_(x+)，y2=2,

yxxyxyxyxy

所以"*=o,所以(x+)，『=0,所以x+y=0,

所以必要性成立.

所以“x+y=0”是"二+』=-2”的充要条件.

yx

故选：c

8.(2023年高考全国甲卷数学(理)真题)设甲：sin2«+sin2/7=l,乙：sina+cos〃=0,则()

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】B

【解析】当sin,a+sin‘尸=1时，例如a=q,/?=0但sina+cos夕工0,

即sin?。+sin]£=l推不出sina+cos/?=。：

当sina+cos//=()时，sin2a+sin2p=(-cos/?)2+sin2=1,

即疝1。+8$〃=0能推出sin'a+sin2/=I.

综上可知，甲是乙的必要不充分条件.

故选：B

9.(2023年天津高考数学真题)己知。出eR,=/”是+/=2"”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】B

7

【解析】由〃2=。2,则。=±b,当。=->HO时/+〃=2出?不成立，充分性不成立；

^a1+b2=2ab»则伍-/))、。，即。=〃，显然/二从成立，必要性成立；

所以/=/是/+/=2"的必要不充分条件.

故选:B

q

10.(2023年新课标全国I卷数学真题)记s”为数列｛q｝的前〃项和，设甲：｛可｝为等差数列；乙：｛十｝

为等差数列，则()

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】C

【解析［方法1,甲：｛q｝为等差数列，设其首项为4,公差为d,

则$“=〃％+吗n-2=4

2n212〃+ln2

因此｛2｝为等差数列，则甲是乙的充分条件;

n

反之,乙｛中｝为等差数列,即藉一%空喘潸=泰舒为常数，设为,，

naS

即瑞方=八则S.=〃/TW〃+D,有*=（〃-火〃-1）,〃N2,

两式相减得:an=nan+i-(n-l)an-2tn,即对〃=1也成立,

因此｛q｝为等差数列，则甲是乙的必要条件，

所以甲是乙的充要条件，C正确.

方法2,甲：｛q｝为等差数列，设数列｛4｝的首项4,公差为d,即若"d,

则1=4+空工d=<〃+4-g，因此｛&｝为等差数列，即甲是乙的充分条件；

n222n

qqqq

反之，乙：｛、为等差数列，即当一、=Q,、=S|+(〃-1)Q,

n"+1nn

即S“=阕+〃(〃-1)D,S,i=(n-1)S,+(n-2)D,

当〃22时，上两式相减得：，,-5-=用+2(〃-1)£>,当〃=］时，上式成立，

于是=4+2(〃-1)。，乂，*-勺=4+2〃£)-同+2(〃-1)0=2£>为常数,

因此｛%｝为等差数列，则甲是乙的必要条件，

所以甲是乙的充要条件.

故选：C

8

题型一：充分条件、必要条件的辨析与判定

【解题妙招】

充分、必要条件的三种判定方法

(1)定义法：根据〃=＞夕，夕二〃是否成立进行判断.

(2)集合法：根据〃，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断.

(3)等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否

成立为止.

例1.(2026•天津北辰•二模)已知机，〃是两条不同的直线，a,夕是两个不同的平面，若mHa,

川邛,则_L〃”是“。，尸”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】由根//a,〃〃〃，若/n_L〃,则a与夕可能平行也可能相交；

由山〃a,〃//夕，若则阳与〃可能平行、可能异面也可能相交;

故"1n”是“a，夕’的既不充分也不必要条件.

例2.(2026•广东深圳•模拟预测)已知直线机，〃与平面a,7,则△的一个充分条件是

()

A.m±a,，，i工。B.«-L/,PY

C.m工0,〃？uaD.ac尸=〃，〃?ua,fn±n

【答案】C

【解析】对于选项A：当机_La,机J■尸时，。〃尸，所以本选项不符合题意；

对于选项B：当。，/,/_Ly时，平面。，夕可以平行，所以本选项不符合题意；

对于选项C：当〃?_!_〃，阳ua时，由面面垂直的判定定理可得a_L〃，所以本选项符合题意；

对干选项D：当a4=〃，"?j_〃时，根据线面垂直的判定定理，由〃z_L〃不一定能推出〃尸,

所以本选项不符合题意.

例3.(2026•山东东营•二模)使得4=是'％/〃,"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】当2=0时，a=Ab=61满足a〃族;

当Z*工。时，因为eR,使得q—冗〃，所以a,8共线，即a//〃；

综上，由,使得，可得a/〃?，即充分性满足；

当〃//力时，若〃=0,。=0,则不存在4eR，使得“=故必要性不满足；

9

所以“mawR,使得a=加'是TaMb”的充分不必要条件.

变式1.（2026•高三•广东揭阳•阶段检测）设人为实数，甲：a+b>\2,乙：ab>36,则（）

A.甲是乙的充分不必要条件B.甲是乙的必要不充分条件

C.甲是乙的充要条件D.甲是乙的既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】充分性：若甲（〃+〃:>12）成立，乙（而>36）不一定成立.

如《=3,/?=!（）,此时〃+。=13>12,但〃/?=3（）<36,所以甲不是乙的充分条件.

必要性：若乙（">36）成立，中（a+b>\2）不一定成立.

如〃=一5,。=一8,此时,心=40>36,但。+力=-13<12,所以甲不是乙的必要条件.

综上，甲是乙的既不充分也不必要条件.

变式2.（2026•天津南开•二模）设x,ywR,则“丁〉o”是“x+.y>o”的（）

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】由V+y3=（x+），）（%2-即+丁）=（%+丁）x-日+-y2,

\2Qx--=0

因x—上V+士），2之。当且仅当｛2,即x=y=0时取等，

[2）4-]尸（）

显然K，）'不能全都为0，故fx—2）+3）,2>0,则由Y+y3>0可得X+>，>。；

反之，当X+）>0时，必有V+y3>0成立

故得“1+），3、0”是“x+N>0”的充要条件.

题型二：依托充分、必要条件求参数取值

【解题妙招】

求参数问题的解题方法：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之

间的关系列出关于参数的不等式（或不等式组）求解.

例4.（2026•北京昌平•二模）设aeR,函数:有最大值的一个充分不必要条件

ax+\,x>a

是（）

A.a©-1,-|B.ae[—,0]

C.1,0）D.2,0）

【答案】A

10

—2/+1x<0

【解析】当4=0时：/(X)=，~'彳〉0,当xWO时，/(x)=—2x+l单调递减，〃x)Nl；当工>。

时,/(A)=1,无最大值.

当4>0时：时，〃工)=以+1单调递增，当X.y时，/(1)->+8,无最大值.

当〃<0时：工〉。时，〃X)=3C+1单调递减，故/(1)</+1；

工工。时，f^x)=cuc-2x+l,开I」向下，对称轴为工=,<0.

若;工〃时，即一1«〃<0时，在上的最大值为/匕|=y,

贝ij1—Na?+1,解得一1Ka<0：

a

若1>〃时・，即时