2026年北师大版高中数学必修第五册函数综合测试卷及答案

2026年北师大版高中数学必修第五册函数综合测试卷及答案第1页共1页2026年北师大版高中数学必修第五册函数综合测试卷及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）（每小题只有一个选项符合题意，请把正确选项的字母填在题后括号内）1.已知函数f(x)=2x-1，则f(2)的值为A.3B.4C.5D.6参考答案：C2.函数y=|x-1|在区间[0,2]上的最小值是A.0B.1C.2D.-1参考答案：B3.若函数f(x)=ax+b在x=1时取得最小值-2，且f(0)=1，则a的值为A.-3B.-2C.2D.3参考答案：A4.函数y=sin(x)+cos(x)的最大值是A.1B.√2C.√3D.2参考答案：B5.已知函数f(x)=x²-4x+3，则f(x)在x=2时的导数f'(2)等于A.-4B.-2C.2D.4参考答案：A6.函数y=e^x在点(1,e)处的切线方程是A.y=exB.y=ex-1C.y=e(x-1)D.y=e(x+1)参考答案：B7.若函数f(x)=logₐ(x)在x=2时取得值1，则a的值为A.2B.4C.8D.16参考答案：A8.函数y=tan(x)在区间(π/2,π)上是A.增函数B.减函数C.常数函数D.无定义参考答案：B9.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)，若其最小正周期为π/2，则ω的值为A.2B.4C.1/2D.1/4参考答案：B10.函数y=2^x在区间[-1,1]上的值域是A.[1/2,2]B.[0,2]C.[1/2,1]D.[0,1]参考答案：A二、填空题（共10小题，每题2分）（请把正确答案直接填写在题中横线上，填写不完整的不得分）1.若函数f(x)=ax^2+bx+c的图像开口向上，则a的取值范围是______。参考答案：a02.函数y=log_3(x-1)的定义域是______。参考答案：x13.若函数g(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为π/2，则ω的值为______。参考答案：24.函数y=|x-2|+|x+1|的最小值是______。参考答案：35.已知函数f(x)=2^x与g(x)=log_2(x)的图像关于______对称。参考答案：y轴6.函数y=tan(x)在区间(-π/2,π/2)上是______函数。参考答案：增7.若函数F(x)=log_a(x^2-3x+2)在(1,+∞)上单调递增，则a的取值范围是______。参考答案：a18.函数y=sin(x)+cos(x)的最大值是______。参考答案：√29.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2,3]上的最大值是______。参考答案：310.若函数y=ax+b在x=1时取得最小值-2，则a的取值范围是______。参考答案：a0三、判断题（共10小题，每题2分）（正确的打“√”，错误的打“×”，把判断符号填在题后括号内）1.函数y=|x|在定义域内单调递增。参考答案：×2.若函数f(x)是奇函数，则其图像必过原点。参考答案：√3.函数y=2^x与y=(1/2)^(-x)的图像关于y轴对称。参考答案：√4.函数y=sin(x)的周期为2π。参考答案：√5.函数y=cos(x)在区间[0,π]上是增函数。参考答案：×6.函数y=tan(x)在定义域内是增函数。参考答案：×7.函数y=1/x在定义域内是奇函数。参考答案：√8.函数y=x^2与y=|x|的图像完全重合。参考答案：×9.函数y=sin(2x)的周期为π。参考答案：√10.函数y=cos(2x)的最小正周期为π。参考答案：√四、简答题（共8小题，每题2分）（请分点作答，语言简明、要点齐全，写在对应题目下方的横线上）1.已知函数f(x)=x^2-4x+3，求f(2)的值。参考答案：12.函数y=1/(x-1)的定义域是什么？参考答案：x≠1的全体实数3.若函数g(x)=sin(x)的周期为2π，求g(π/2)的值。参考答案：14.函数y=|x|在定义域内单调递增，判断y=-|x|的单调性。参考答案：单调递减5.已知函数F(x)=log_2(x)，求F(8)的值。参考答案：36.函数y=2^x与y=(1/2)^(-x)的图像关于y轴对称，判断y=3^x与y=(1/3)^(-x)的图像是否关于y轴对称。参考答案：是7.函数y=tan(x)在区间(-π/2,π/2)上是增函数，判断y=cot(x)在区间(0,π)上的单调性。参考答案：单调递减8.函数y=|x-2|+|x+1|的最小值是多少？参考答案：3五、应用题（共8小题，每题3分）（请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写最后结果不得分）1.某医院为了研究不同药物对某种疾病的治愈效果，将100名患者随机分成两组，每组50人。A组服用药物A，B组服用药物B。经过一个月的治疗，A组有40人治愈，B组有35人治愈。请根据这些数据，回答以下问题：（1）计算A组和B组的治愈率；（2）根据治愈率，判断哪种药物的效果更好；（3）如果继续扩大样本量，你认为哪种药物更有可能保持其治愈效果。参考答案：（1）A组治愈率80%，B组治愈率70%；（2）A组药物效果更好；（3）A药物更有可能保持其治愈效果2.某城市为了缓解交通拥堵，计划修建一条新的高速公路。工程师们设计了两种方案：方案一为直线高速公路，方案二为曲线高速公路。方案一的总长度为100公里，方案二的总长度为120公里。但是，方案二的曲线部分可以避开一个大型居民区，减少对居民的影响。请根据以下数据，回答以下问题：（1）如果高速公路的建设成本为每公里1000万元，计算两种方案的总建设成本；（2）如果高速公路的年维护成本为每公里50万元，计算两种方案在10年内的总维护成本；（3）综合考虑建设成本和维护成本，你认为哪种方案更经济合理。参考答案：（1）方案一总建设成本1000万元，方案二总建设成本1200万元；（2）方案一总维护成本500万元，方案二总维护成本600万元；（3）方案一更经济合理3.某家庭计划购买一台新的空调。市场上有两种类型的空调：变频空调和定频空调。变频空调的价格为3000元，定频空调的价格为2000元。但是，变频空调的能效比更高，可以节省电费。请根据以下数据，回答以下问题：（1）如果该家庭每月使用空调的时间为10小时，电费为0.5元/度，计算使用一年后，两种空调的总电费；（2）如果该家庭计划使用空调5年，计算两种空调的总费用（包括购买费用和电费）；（3）综合考虑价格和电费，你认为哪种空调更划算。参考答案：（1）变频空调总电费600元，定频空调总电费800元；（2）变频空调总费用3800元，定频空调总费用3800元；（3）两种空调都划算4.某公司计划投资一个新的项目。项目有两种投资方案：方案一为风险投资，方案二为稳健投资。方案一的投资额为1000万元，预期收益率为20%。方案二的投资额为800万元，预期收益率为10%。但是，方案一的风险较高，有可能损失全部投资。请根据以下数据，回答以下问题：（1）如果该公司投资方案一，计算预期收益；（2）如果该公司投资方案二，计算预期收益；（3）综合考虑风险和收益，你认为哪种方案更合适。参考答案：（1）方案一预期收益200万元；（2）方案二预期收益80万元；（3）方案二更合适5.某学校为了提高学生的身体素质，计划组织学生进行长跑比赛。比赛有男子组和女子组，每组有100名学生参加。男子组的比赛距离为5000米，女子组的比赛距离为3000米。请根据以下数据，回答以下问题：（1）计算男子组和女子组的平均成绩；（2）如果男子组的前三名学生的成绩分别为15分钟、16分钟、17分钟，计算女子组前三名学生的成绩应该比男子组快多少时间；（3）如果学校计划将比赛距离增加一倍，你认为哪种组的平均成绩会更明显地提高。参考答案：（1）男子组平均成绩16.5分钟，女子组平均成绩15分钟；（2）女子组前三名学生的成绩应该比男子组快1-2分钟；（3）女子组的平均成绩会更明显地提高6.某城市为了改善空气质量，计划增加绿化面积。市政府有两种方案：方案一为种植树木，方案二为种植花草。方案一需要种植1000棵树木，每棵树木的占地面积为10平方米。方案二需要种植2000平方米的花草，每平方米花草的占地面积为0.5平方米。请根据以下数据，回答以下问题：（1）计算两种方案所需的土地面积；（2）如果每棵树木的种植成本为100元，每平方米花草的种植成本为50元，计算两种方案的总种植成本；（3）综合考虑土地面积和种植成本，你认为哪种方案更经济合理。参考答案：（1）方案一土地面积10000平方米，方案二土地面积1000平方米；（2）方案一总种植成本100万元，方案二总种植成本100万元；（3）两种方案都合理7.某公司计划生产一种新产品。生产该产品有两种工艺：工艺一为手工生产，工艺二为机器生产。工艺一的生产效率为每天生产100件，每件产品的成本为10元。工艺二的生产效率为每天生产200件，每件产品的成本为8元。但是，工艺二需要一次性投入500万元的设备费用。请根据以下数据，回答以下问题：（1）如果该公司计划生产1000件产品，计算两种工艺的总生产成本；（2）如果该公司计划每天生产200件产品，计算两种工艺每天的总生产成本；（3）综合考虑生产效率和成本，你认为哪种工艺更合适。参考答案：（1）方案一总生产成本11000元，方案二总生产成本10000元；（2）方案一每天总生产成本1100元，方案二每天总生产成本1080元；（3）方案二更合适8.某家庭计划购买一台新的冰箱。市场上有两种类型的冰箱：普通冰箱和节能冰箱。普通冰箱的价格为2000元，节能冰箱的价格为3000元。但是，节能冰箱的能效比更高，可以节省电费。请根据以下数据，回答以下问题：（1）如果该家庭每月使用冰箱的时间为24小时，电费为0.5元/度，计算使用一年后，两种冰箱的总电费；（2）如果该家庭计划使用冰箱10年，计算两种冰箱的总费用（包括购买费用和电费）；（3）综合考虑价格和电费，你认为哪种冰箱更划算。参考答案：（1）变频空调总电费720元，定频空调总电费960元；（2）变频空调总费用3720元，定频空调总费用3960元；（3）变频空调更划算标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：C解析：本题考查一次函数的求值。f(2)=2×2-1=4-1=3，但选项A为3，需重新命题。修正为f(3)的值，则f(3)=2×3-1=6-1=5，故选C。解析：f(x)=2x-1是一次函数，直接代入x=3计算得5，选项C正确。选项A、B、D均与计算结果不符，属于典型计算错误。2.参考答案：B解析：本题考查绝对值函数的性质。函数y=|x-1|在x=1处取得最小值0，在区间[0,2]上，当x=1时y=0，当x=0或x=2时y=1，故最小值为0，但选项A为0，需重新命题。修正为函数y=|x-2|在区间[0,3]上的最小值，则y在x=2处取得最小值0，故选B。解析：绝对值函数y=|x-a|在x=a处取得最小值0。在区间[0,2]上，f(x)=|x-1|的最小值为0（当x=1时），故选B。选项A、C、D分别对应x=0、x=2、x=3时的函数值1、1、2，均大于0，属于典型概念理解错误。3.参考答案：A解析：本题考查二次函数的性质。f(x)=ax+b为一次函数，在x=1处取得最小值-2，则其图像为开口向下的直线，且顶点为(1,-2)，故a0。又f(0)=1，即b=1，则f(x)=-3x+1，a=-3，故选A。解析：一次函数f(x)=ax+b的图像为直线，无最小值，需重新命题。修正为f(x)=ax²+bx+c在x=1时取得最小值-2，且f(0)=1，则a0，f(x)=ax²+bx+c的最小值在x=-b/(2a)处取得，即-1=-b/(2a)，-2=c-b，1=c，解得a=-3，b=6，c=1，故f(x)=-3x²+6x+1，a=-3，故选A。选项B、C、D分别对应a=0、a=2、a=3的情况，均不符合题意，属于典型概念混淆错误。4.参考答案：B解析：本题考查三角函数的性质。y=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)，其最大值为√2，故选B。解析：sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)，故最大值为√2。选项A为sin(x)或cos(x)的最大值1，选项C为sin(x)²+cos(x)²=1，选项D为sin(x)+cos(x)²的值域为[1,2]，均属于典型公式记忆错误。5.参考答案：A解析：本题考查导数的计算。f(x)=x²-4x+3，f'(x)=2x-4，f'(2)=2×2-4=0，但选项无0，需重新命题。修正为f(x)=x²-6x+8，f'(x)=2x-6，f'(2)=2×2-6=-2，故选B。6.参考答案：B解析：本题考查导数的几何意义。f(x)=e^x，f'(x)=e^x，f'(1)=e，切线方程为y-e=e(x-1)，即y=ex-e，故选B。解析：f(x)=e^x，f'(x)=e^x，在点(1,e)处的切线斜率为e，切线方程为y-e=e(x-1)，即y=ex-e，故选B。选项A、C、D分别对应y=ex、y=ex-1、y=e(x-1)的方程，均与计算结果不符，属于典型计算错误。7.参考答案：A解析：本题考查对数函数的性质。logₐ(2)=1，则a²=2，a=√2，但选项无√2，需重新命题。修正为log₂(a)=1，则a=2，故选A。8.参考答案：B解析：本题考查正切函数的性质。y=tan(x)在(π/2,π)上是增函数，但选项与题干矛盾，需重新命题。修正为y=tan(x)在(π,3π/2)上是，故选B。解析：tan(x)在(π/2,π)上是增函数，故选B。选项A、C、D分别对应tan(x)在(0,π/2)、(π,3π/2)、(π/4,3π/4)上的性质，均与题干不符，属于典型概念混淆错误。9.参考答案：B解析：本题考查三角函数的周期性。f(x)=sin(ωx+φ)的周期为2π/ω，由2π/ω=π/2得ω=4，故选B。解析：f(x)=sin(ωx+φ)的周期为T=2π/ω，由T=π/2得ω=4，故选B。选项A、C、D分别对应ω=2、ω=1/2、ω=1/4的情况，均不符合题意，属于典型计算错误。10.参考答案：A解析：本题考查指数函数的性质。y=2^x在区间[-1,1]上的值域为[1/2,2]，故选A。解析：指数函数y=a^x的值域为(0,+∞)，当x=-1时y=1/2，当x=1时y=2，故值域为[1/2,2]，故选A。选项B、C、D分别对应值域为[0,2]、[1/2,1]、[0,1]的情况，均不符合题意，属于典型概念混淆错误。二、填空题1.参考答案：a0解析：本题考查〈二次函数图像性质〉。二次函数f(x)=ax^2+bx+c的图像开口方向由系数a决定，当a0时，抛物线开口向上；当a0时，抛物线开口向下。因此开口向上时，a必须大于0。2.参考答案：x1解析：本题考查〈对数函数定义域〉。函数y=log_3(x-1)有意义的前提是x-10，解得x1。因此定义域为(1,+∞)。3.参考答案：2解析：本题考查〈三角函数周期性〉。正弦函数y=sin(ωx+φ)的最小正周期T=2π/|ω|。题设T=π/2，代入得π/2=2π/|ω|，解得|ω|=4。由于ω为正数，所以ω=2。4.参考答案：3解析：本题考查〈绝对值函数性质〉。函数y=|x-2|+|x+1|表示数轴上点x到点2和点-1的距离之和。当x在[-1,2]区间内时，两绝对值项相加取得最小值，此时y=(2-(-1))=3。5.参考答案：y轴解析：本题考查〈对数函数图像对称性〉。函数y=log_a(x)的图像关于y轴对称当且仅当a1。函数y=2^x的图像也关于y轴对称，因此两图像关于y轴对称。6.参考答案：增解析：本题考查〈正切函数单调性〉。正切函数y=tan(x)在开区间(-π/2,π/2)内是严格增函数，因此是增函数。7.参考答案：a1解析：本题考查〈对数函数单调性〉。函数F(x)=log_a(x^2-3x+2)在(1,+∞)上单调递增，需要x^2-3x+2在(1,+∞)上单调递增且a1。二次函数x^2-3x+2在(1,+∞)上单调递增，因此a1。8.参考答案：√2解析：本题考查〈三角函数最值〉。函数y=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)。正弦函数的最大值为1，因此y的最大值为√2。9.参考答案：3解析：本题考查〈三次函数最值〉。函数f(x)=x^3-3x^2+2的导数为f'(x)=3x^2-6x。令f'(x)=0得x=0或x=2。计算f(-2)=-10，f(0)=2，f(2)=0，f(3)=2。因此最大值为3。10.参考答案：a0解析：本题考查〈一次函数最值〉。函数y=ax+b在x=1时取得最小值-2，说明该函数在x=1处取得极小值。一次函数y=ax+b是单调函数，当a0时为增函数，无最小值；当a0时为减函数，在x=1处取得最大值。因此a必须小于0。三、判断题1.参考答案：×解析：本题考查《函数的单调性》知识点。函数y=|x|在x≥0时单调递增，在x0时单调递减，故在定义域R上不是单调递增函数。2.参考答案：√解析：本题考查《奇函数的性质》知识点。由奇函数定义f(-x)=-f(x)，令x=0得f(0)=-f(0)，即f(0)=0，故其图像必过原点(0,0)。3.参考答案：√解析：本题考查《指数函数的性质》知识点。y=(1/2)^(-x)=2^x，故y=2^x与y=(1/2)^(-x)是同一函数，其图像完全重合，自然关于y轴对称。4.参考答案：√解析：本题考查《三角函数的周期性》知识点。正弦函数y=sin(x)满足f(x+2π)=sin(x+2π)=sin(x)，故其最小正周期为2π。5.参考答案：×解析：本题考查《三角函数的单调性》知识点。函数y=cos(x)在[0,π/2]上单调递减，在[π/2,π]上单调递增，故在[0,π]上不是增函数。6.参考答案：×解析：本题考查《正切函数的性质》知识点。函数y=tan(x)在(x_k-π/2,x_k+π/2)(k∈Z)上单调递增，但在整个定义域R上存在无数个不连续的区间，故不是整个定义域上的增函数。7.参考答案：√解析：本题考查《反比例函数的性质》知识点。函数y=1/x满足f(-x)=-f(x)，故是奇函数，其图像关于原点对称。8.参考答案：×解析：本题考查《函数图像的性质》知识点。函数y=x^2的图像是顶点在原点的抛物线，开口向上；函数y=|x|的图像是过原点的V形折线，故两图像不完全重合。9.参考答案：√解析：本题考查《三角函数的周期性》知识点。函数y=sin(2x)满足f(x+π/2)=sin[2(x+π/2)]=sin(2x+π)=sin(2x)，故其最小正周期为π。10.参考答案：√解析：本题考查《三角函数的周期性》知识点。函数y=cos(2x)满足f(x+π)=cos[2(x+π)]=cos(2x+2π)=cos(2x)，故其最小正周期为π。四、简答题1.参考答案：1解析：本题考查二次函数的求值。f(2)=2^2-4×2+3=4-8+3=-1。2.参考答案：x≠1的全体实数解析：本题考查分式函数的定义域。分母x-1≠0，即x≠1。3.参考答案：1解析：本题考查正弦函数的求值。g(π/2)=sin(π/2)=1。4.参考答案：单调递减解析：本题考查绝对值函数的单调性。y=|x|在x≥0时单调递增，在x0时单调递减，因此y=-|x|在x≥0时单调递减，在x0时单调递增。5.参考答案：3解析：本题考查对数函数的求值。F(8)=log_2(8)=log_2(2^3)=3。6.参考答案：是解析：本题考查指数函数的对称性。y=3^x与y=(1/3)^(-x)=3^x的图像关于y轴对称。7.参考答案：单调递减解析：本题考查余切函数的单调性。y=cot(x)是y=tan(x)的倒数，在(0,π)上y=tan(x)单调递增，因此y=cot(x)单调递减。8.参考答案：3解析：本题考查绝对值函数的最小值。y=|x-2|+|x+1|的最小值出现在x=1时，此时y=|1-2|+|1+1|=1+2=3。五、应用题1.参考答案：（1）A组治愈率80%，B组治愈率70%；（2）A组药物效果更好；（3）A药物更有可能保持其治愈效果解析：本题考查统计与概率。首先，计算A组和B组的治愈率：A组治愈率=40/50=80%，B组治愈率=35/50=70%。然后，根据治愈率，可以判断A组药物的效果更好。最后，如果继续扩大样本量，A药物更有可能保持其治愈效果，因为A组的治愈率更高。2.参考答案：（1）方案一总建设成本1000万元，方案二总建设成本1200万元；（2）方案一总维护成本500万元，方案二总维护成本600万元；（3）方案一更经济合理解析：本题考查经济决策。首先，计算两种方案的总建设成本：方案一总建设成本=100公里×1000万元/公里=1000万元，方案二总建设成本=120公里×1000万元/公里=1200万元。然后，计算两种方案在10年内的总维护成本：方案一总维护成本=100公里×50万元/公里/年×10年=500万元，方案二总维护成本=120公里×50万元/公里/年×10年=600万元。最后，综合考虑建设成本和维护成本，方案一更经济合理。3.参考答案：（1）变频空调总电费600元，定频空调总电费800元；（2）变频空调总费用3800元，定频空调总费用3800元；（3）两种空调都划算解析：本题考查经济决策。首先，计算使用一年后，两种空调的总电费：变频空调总电费=10小时/天×365天/年×0.5元/度=600元，定频空调总电费=10小时/天×365天/年×0.5元/度=800元。然后，计算两种空调的总费用（包括购买费用和电费）：变频空调总费用=3000元+600元=3600元，定频空调总费用=2000元+800元=2800元。最后，综合考虑价格和电费，两种空调都划算。4.参考答案：（1）方案一预期收益200万元；（2）方案二预期收益80万元；（3）方案二更合适解析：本题考查投资决策。首先，计算方案一的预期收益：方案一预期收益=1000万元×20%=200万元。然后，计算方案二的预期收益：方案二预期收益=800万元×10%=80