2.5 直线与圆、圆与圆的位置 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高二数学·公开课圆与圆的位置关系——两个圆的故事，一个『圆心距』讲完C1C2公共弦一、情境导入·生活里的两圆两个圆凑到一起，会发生什么？02高二数学·圆与圆的位置关系日全食月轮遮住日轮→内含/内切齿轮咬合两轮紧紧相抵→外切水面涟漪两圈水波交叠→相交同心圆环大环套小环→内含它们都是两个圆的故事。想一想：用什么数，能说清两个圆的远近？本节课的学习路线四站打卡，一节课走完03高二数学·圆与圆的位置关系01温故知新圆的方程·两点间距离02探究新知五种位置关系·动态演示03方法应用公共弦·公切线·弦长04综合提升含参最值·易错警示一、温故知新·三件旧工具今天全靠它们拼出新知识04高二数学·圆与圆的位置关系工具①圆的方程标准式(x-a)2+(y-b)2=r2一般式要先配方，才能读出圆心和半径！工具②两点间距离公式两点连线一量，圆心距d就到手。热身小练圆x2+y2-4x+2y-4=0的圆心与半径分别是多少？C(2,-1)r=3（参考答案）工具③点到直线的距离公式待会儿求『公共弦长』时，它要唱主角。二、探究新知·五种位置关系先看图——数一数公共点有几个05高二数学·圆与圆的位置关系外离0个公共点外切1个公共点相交2个公共点内切1个公共点内含0个公共点公共点的个数：2个→相交；1个→相切；0个→外离或内含。相切分外切与内切；外离与内含都是0个——要区分，得靠『圆心距』。二、探究新知·判定准则两把尺子：半径之和与半径之差06高二数学·圆与圆的位置关系外离d>r1+r20点外切d=r1+r21点相交|r1-r2|<d<r1+r22点内切d=|r1-r2|1点内含0≤d<|r1-r2|0点把d放到数轴上看一看内含相交外离|r1-r2|r1+r2d落在两个刻度之间→相交；正好压在刻度上→外切或内切。口诀先算和与差，d往中间放：差内含、等差切、中间交、等和外切、和外离。动态演示·两圆在靠近★放映模式下，左边动图自动循环播放07高二数学·圆与圆的位置关系看什么？公共点的个数在怎么变？盯住dd从3.30一路减小到0.15对答案d与r1+r2、|r1-r2|谁大谁小？小贴士：动图会自动循环；想停下来细讲，请翻下一页逐帧点击。动态演示·一键一状态★连续点击鼠标，看d如何决定关系08高二数学·圆与圆的位置关系C1C1不动，C2一步步向左靠近C2d外离d>r1+r20个公共点C2d外切d=r1+r21个公共点（切点）C2d相交|r1-r2|<d<r1+r22个公共点C2d内切d=|r1-r2|1个公共点（切点）C2d内含0≤d<|r1-r2|0个公共点位置关系由d与『和、差』的大小唯一确定。学以致用·例1（判定位置关系）求d，比较和与差，下结论09高二数学·圆与圆的位置关系例1判断圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=9的位置关系。①圆心与半径C1(-2,0)，r1=2；C2(2,1)，r2=3②算圆心距d

③比和与差因为1<4.1<5，所以两圆相交（2个公共点）课堂练习1判断圆x2+y2=1与圆(x-2)2+(y-2)2=4的位置关系。（参考答案）

三、方法提炼·代数法联立方程组，数一数解的个数10高二数学·圆与圆的位置关系思路把两个圆的一般式方程联立，两式相减消去x2+y2，得到一条直线，再代回其中一个圆的方程，看实数解的个数。两组不同的解→相交一组实数解→外切或内切没有实数解→外离或内含易错警示一组实数解可能是外切也可能是内切——别想当然写成外切！代数法的独特优势：能顺手把交点（切点）坐标求出来；几何法则算得更快。学以致用·例2（代数法）两种方法互相印证11高二数学·圆与圆的位置关系例2判断圆x2+y2=1与圆(x-2)2+y2=1的位置关系；若有公共点，求出公共点坐标。①联立相减两式相减：-4x+4=0，得x=1②代回求解代回x2+y2=1，得y=0③几何法验证d=2=r1+r2，唯一解两圆外切，切点坐标为(1,0)看！代数法连切点都求出来了——看家本领。课堂练习2·思考辨析判断对错：①方程组只有一组实数解，两圆一定外切；②圆心距d<r1+r2，两圆一定相交。①×还可能是内切②×d还可能小于|r1-r2|，此时是内含四、方法应用·公切线的条数把五种位置再数一遍——这次数线12高二数学·圆与圆的位置关系0内含条公切线1内切条公切线2相交条公切线3外切条公切线4外离条公切线口诀内含无、内切一、相交二、外切三、外离四——从里到外，01234。学以致用·例3（公切线）先定位置，再数切线13高二数学·圆与圆的位置关系例3求两圆x2+y2=4与(x-4)2+y2=4的公切线条数。①圆心与半径C1(0,0)与C2(4,0)，半径都是2②算圆心距d=4=2+2=r1+r2→外切两圆外切，公切线共有3条两条外公切线+过切点的一条内公切线。课堂练习3求两圆x2+y2=9与(x-3)2+(y-4)2=25公切线的条数。（参考答案）C2(3,4)，r=5，d=52<5<8→相交公切线2条五、方法应用·公共弦所在直线两个方程一相减，二次项消失14高二数学·圆与圆的位置关系C1C2公共弦A、B是两圆的公共点第一步两圆方程联立公共点A、B同时满足两个方程第二步两式相减x2、y2被消掉，剩下一条直线第三步得出结论这条直线就是公共弦所在的直线前提x2、y2系数必须相同（一般式），否则先化简再相减。学以致用·例4（公共弦方程）先证相交，再相减15高二数学·圆与圆的位置关系例4已知圆C1：x2+y2-2x-6y-1=0与圆C2：x2+y2-10x-12y+45=0。(1)求证：两圆相交；(2)求公共弦所在直线的方程。①配方②验证相交③两式相减化简得：4x+3y-23=0公共弦所在直线的方程：4x+3y-23=0课堂练习4求两圆x2+y2=4与(x-2)2+y2=4公共弦所在直线的方程。提示：先化成一般式！先化一般式：x2+y2-4x=0相减得x=1

五、方法应用·公共弦有多长公共弦长=圆被直线截得的弦长16高二数学·圆与圆的位置关系ABdr垂径定理+勾股定理，还是老配方三步求公共弦长①相减相减得公共弦直线方程②求距离d圆心到该直线的距离③套公式哪个圆来算都行，结果能互相验算！d是『圆心到公共弦』的距离！

学以致用·例5（公共弦长）接例4，把弦长算到底17高二数学·圆与圆的位置关系例5接例4，求两圆C1与C2的公共弦长。①公共弦直线由例4：4x+3y-23=0②求距离d③套弦长公式

课堂练习5接练习4：求两圆x2+y2=4与(x-2)2+y2=4的公共弦长。（参考答案）

六、综合提升·含参数与最值位置关系→圆心距的方程→基本不等式18高二数学·圆与圆的位置关系①定关系外切？内切？先确定→②列方程把d写成|a+b|的形式→③求最值(a+b)2定值→基本不等式外切给出(a+b)2的值→乘积ab的最大值就锁定了。别忘了圆心！(x-a)2的圆心横坐标是a，(x+b)2的是-b，圆心距就是|a+b|。先把圆心写对，再谈位置关系，这是含参题的第一步。核心工具基本不等式学以致用·例6（含参最值）外切定方程，不等式收尾19高二数学·圆与圆的位置关系例6已知圆C1：(x-a)2+(y+2)2=4与圆C2：(x+b)2+(y+2)2=1相外切，求ab的最大值。①圆心与半径C1(a,-2)，r1=2；C2(-b,-2)，r2=1②外切列方程d=|a+b|=2+1=3，即(a+b)2=9③基本不等式

课堂练习6·变式把例6中的『外切』改为『内切』，求ab的最大值。提示：内切时d=|r1-r2|等于几？

七、易错警示·这四个坑别踩红笔圈出来的，都是考场上丢过分的地方20高二数学·圆与圆的位置关系相减前没化一般式x2、y2系数必须相同才能直接相减；含参数的方程要先整理成一般式。一组解=外切？内切也只有一组实数解；下结论前先看d=r1+r2还是d=|r1-r2|。只比和，不比差判位置要同时比较r1+r2与|r1-r2|，否则内切、内含全部漏判。公共弦长的d弦长公式里的d是『圆心到公共弦直线的距离』，不是圆心距，别混。八、课堂小结一节课，一张图21高二数学·圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系五种关系外离·外切·相交·内切·内含两把尺子r1+r2与|r1-r2|，比出d公共弦公切线01234，从里数到外思想方法：几何问题→代数运算（数形结合·转化与化归）

九、课后作业·分层选做基础题人人过关，提高题挑战自我22高二数学·圆与圆的位置关系基础（必做）判断下列两圆的位置关系：①x2+y2=1与(x-3)2+y2=9②x2+y2=9与(x-5)2+y2=4