专题03函数的概念与性质04（期中真题汇编）高一数学上学期人教A版

试卷第=page11页（共=sectionpages33页）试卷第=page11页（共=sectionpages33页）专题03函数的概念与性质4大高频考点概览考点01函数的概念及其表示考点02函数的基本性质考点03幂函数考点04函数的应用（一）考点02函数的基本性质（25-26学年高一上·北京丰台·期中）1．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一.函数，称为狄利克雷函数，则关于，给出下列四个结论：①的值域为；②；③；④任意一个非零有理数，对任意恒成立.其中所有正确结论的序号是_______.（25-26学年高一上·北京丰台·期中）2．已知函数是定义在上的奇函数，且.(1)求和的值；(2)判断在上的单调性，并用定义证明；(3)设集合，函数在区间上的值域为，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.（25-26学年高一上·湖北武汉东湖高新区·期中）3．已知函数是定义在上的奇函数，且.(1)求m、n的值；(2)证明在上单调递增；(3)求使成立的实数a的取值范围.（25-26学年高一上·湖北武汉东湖高新区·期中）4．已知函数，.(1)若，试求函数在区间上的最小值；(2)若，对于任意的，存在，使得，求a的取值范围.（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）5．已知函数.(1)当时，求函数在区间上的值域；(2)求在区间上的最小值的表达式.（25-26学年高一上·福建南平·期中）6．已知且，函数在上单调递增，则的取值范围是___________．（25-26学年高一上·山东济南·期中）7．若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“美好函数”.(1)函数①；②；③，哪个函数是在上的“美好函数”，不必说明理由；(2)已知函数.①函数是在上的“美好函数”，求的值；②当时，函数是在上的“美好函数”，求的值.（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）8．对于函数，若在区间内存在实数，满足，则称函数是区间上的“局部倒负函数”.(1)判断函数是否为上的“局部倒负函数”；(2)设函数是否存在实数，使得是区间上的“局部倒负函数”.若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由；(3)对任意的，，都有，且.若函数是区间上的“局部倒负函数”，求实数的取值范围.（25-26学年高一上·湖北黄冈·期中）9．已知函数是定义在上的奇函数，且.(1)求实数的值；(2)判断的单调性，并用定义法证明你的结论；(3)求使成立的实数的取值范围.（25-26学年高一上·陕西商洛·期中）10．函数满足对一切x，有，且；当时，有．(1)求的值；(2)判断并证明在R上的单调性；(3)求不等式的解集．（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）11．已知函数，，对任意，不等式恒成立，则的最大值为_____.（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）12．俄国数学家切比雪夫（1821-1894）是研究直线逼近函数的理论先驱.设是定义在上的连续函数，称为与直线的偏差.若存在使得，则称为直线的偏差点.记，若存在使得，则称为在切比雪夫意义下的最佳逼近直线.(1)函数，，，求，的偏差以及偏差点；(2)函数，，，求，的偏差的最小值，并求出取得最小值时的值；(3)证明：直线是函数在上的最佳逼近直线.（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）13．已知函数，若，且当时.(1)求，的值，并写出的解析式；(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明；(3)若对任意的都有恒成立，求实数的取值范围.（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）14．给出定义：若a，b为常数，满足，则称函数的图象关于点成中心对称．已知函数，定义域为A．(1)判断的图象是否关于点成中心对称；(2)当时，求证：．(3)对于给定的，设计构造过程：，，…，，…．如果（），构造过程将继续下去；如果，构造过程将停止．若对任意，构造过程可以无限进行下去，求a的值．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）15．设函数在区间上有定义，若对任意，都存在，使得，则称函数为区间上的“关联函数”.(1)判断函数在区间上是否为“关联函数”，并说明理由；(2)若函数为区间上的“关联函数”，求实数的取值范围；(3)若存在唯一的实数，使得函数为上的“关联函数”，求的值.（25-26学年高一上·四川成都·期中）16．已知函数为偶函数.（1）求实数a的值；（2）判断的单调性，并证明你的判断；（3）是否存在实数，使得当时，函数的值域为.若存在，求出的取值范围；若不存在说明理由.（25-26学年高一上·湖北武汉东湖高新区·期中）17．若存在常数使得函数与在给定区间上的任意实数x都有，则称是与的“隔离直线函数”.已知函数，.(1)证明：当，有；(2)对任意的时，恒成立，求的值；(3)当时，与是否存在“隔离直线函数”？若存在，请求出“隔离直线函数”解析式；若不存在，请说明理由.（2026·北京房山·一模）18．已知函数，给出下列四个结论：①当时，在定义域上是增函数；②当时，的单调递减区间为；③存在实数，使得函数是偶函数；④若方程有三个不等的实根，则．其中正确结论的序号为___________．（2026·辽宁丹东·调研）19．已知函数和的定义域均为，且满足，．(1)求，；(2)判断的奇偶性；(3)若的图象关于直线对称，求，并证明：的图象关于点成中心对称图形．（2026·辽宁丹东·调研）20．已知，函数，若的定义域和值域的交集为空集，则实数的取值范围是_____．（25-26学年高一上·湖北黄冈·期中）21．已知函数，若，，使得不等式成立，则实数的取值范围是__________.考点03幂函数（25-26学年高一上·云南昆明·期中）22．已知点在幂函数的图象上，则（

）A．4 B．5 C．6 D．7（25-26学年高一上·北京丰台·期中）23．下列函数是幂函数的是（

）A． B． C． D．（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）24．已知函数是幂函数，且在上单调递增，则实数（

）A．2 B． C．1 D．1或（25-26学年高一上·天津期中学·期中）25．以下四个命题结论正确的是（

）A．幂函数与幂函数的图象均过点，点B．当，，，时，幂函数的图象经过第一、三象限C．时的幂函数在其定义域内是减函数D．当，，时，幂函数在上为增函数（25-26学年高一上·河南南阳·期中）26．已知幂函数在上单调递增，则实数的值为（

）A．-2 B．-1 C．2 D．-1或2（25-26学年高一上·江西景德镇·期中）27．下列函数中，既是奇函数又在上单调递减的是（

）A． B． C． D．（25-26学年高一上·湖北武汉东湖高新区·期中）28．幂函数在上单调递减，则m的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．6（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）29．已知幂函数的图象过点，则（

）A．2 B．8 C． D．16（25-26学年高一上·陕西商洛·期中）30．在同一坐标系内，函数（）和的图象可能是（

）A． B．C． D．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）31．已知幂函数的图象经过点，则_____.（25-26学年高一上·安徽芜湖·期中）32．若函数是幂函数，则的取值为______.（25-26学年高一上·福建南平·期中）33．幂函数的图象不经过坐标原点，则__________.（25-26学年高一上·天津期中学·期中）34．已知幂函数过点，则的解析式为_____________；若，则的最小值为_____________.（25-26学年高一上·河北张家口·期中）35．已知幂函数的图象过点，若，则的取值范围为__________.（2026·辽宁丹东·调研）36．写出一个同时满足条件①②③的幂函数_____.条件：①定义域为；②是偶函数；③在上单调递减.（25-26学年高一上·山东济南·期中）37．已知函数是幂函数，且在上递增，则实数___________.（25-26学年高一上·天津期中学·期中）38．已知幂函数为偶函数.(1)求幂函数的解析式；(2)设函数，若对任意的恒成立，求实数的取值范围.（25-26学年高一上·江西景德镇·期中）39．已知是幂函数，且在上单调递增.(1)求实数的值；(2)判断函数在上的单调性并用定义证明；(3)设，，，请比较a，b，c的大小并说明理由.（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）40．已知幂函数在上单调递减，其中，.(1)求的解析式.(2)解不等式.(3)记函数，，其中，.若对恒成立，求的最大值.考点04函数的应用（一）（25-26学年高一上·北京丰台·期中）41．某企业生产一种电子产品，根据市场需求进行生产安排（生产量等于销售量）.经市场调研，该电子产品每年的销售量（单位：万件）与售价（单位：元/件）之间满足函数关系.已知企业的生产成本等于直接成本与制造成本的和，第一年的直接成本为70万元，制造成本为12元/件，且要求每件的售价不低于每件的制造成本.（利润=销售量×售价-生产成本）(1)求该电子产品第一年的利润W（单位：万元）与售价之间的函数关系式；(2)已知第一年利润不低于30万元，求该电子产品第一年的售价；(3)在（2）基础上，由于技术的进步，该电子产品第二年的制造成本相比第一年下降3元/件，直接成本是第一年的利润全部投入.若第二年售价不低于第一年售价，且不高于25元/件，求第二年利润的最大值.（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）42．某公司生产某种产品的固定成本为20000元，每生产一件产品需增加投入100元.已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：件）满足函数：，总收入=利润+总成本.(1)将利润（单位：元）表示为月产量的函数；(2)在企业经营的财务分析中，产品的单位利润是一个重要指标，用来评估单个产品的盈利效率，以便控制成本，制定定价策略.试计算当月产量为何值时，产品的单位利润最大？最大单位利润为多少元？（单位利润=利润÷月产量）（25-26学年高一上·云南普洱·期中）43．目前脱贫攻坚进入决胜的关键阶段，某扶贫企业为了增加工作岗位和增加员工收入，决定投入90万元再上一套生产设备，预计使用该设备后前年的支出成本为万元，每年的销售收入95万元.(1)估计该设备从第几年开始实现总盈利；(2)使用若干年后对该设备处理的方案有两种：方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以60万元的价格处理；问哪种方案较为合理？并说明理由.（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）44．为加快落实新旧动能转换，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了一个项目，该项目可以把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品.经测算，该项目月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不盈利，国家将给予补偿.(1)当时，判断该项目能否盈利.如果盈利，求出最大利润；如果该项目不盈利，要使该单位不亏损，则国家需要补偿资金的范围是多少元？(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（25-26学年高一上·安徽芜湖·期中）45．为推动县域经济发展，某县计划建一农产品加工厂.经市场调研，生产需投入年固定成本为万元，每生产万件产品，需另投入的流动成本为万元，在年产量不足万件时，（万元），在年产量不小于万件时，（万元），每件产品的售价为元，且该厂生产的产品当年能全部售完.(1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本）(2)当年产量为多少万件时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？（25-26学年高一上·天津期中学·期中）46．已知某公司生产某种仪器全年需投入固定成本300万元，且年产量（单位：台）与还需投入成本（单位：万元）的关系式为：由市场调研测算可知，每台仪器的售价为200万元，且该公司生产的仪器当年能全部售完.设2025年公司所获利润为（单位：万元），则（单位：万元）关于年产量（单位：台）的函数关系式为_____________；2025年公司的最大利润为_____________万元.（利润=销售额－成本）答案第=page11页（共=sectionpages22页）答案第=page11页（共=sectionpages22页）《专题03函数的概念与性质04（期中真题汇编）高一数学上学期人教A版》参考答案：1．②③④【分析】根据所给函数，结合函数的性质等，逐一分析①②③④，即可得答案.【详解】对于①：由题意得取值为0或1，即值域为，故①错误；对于②：因为，，为有理数，所以，故②正确；对于③：当x为有理数时，也都是有理数，所以，则，当x为无理数时，也都是无理数，所以，则，所以，故③正确；对于④：当x为有理数时，T为非零有理数，则为有理数，所以，，则，当x为无理数时，则为无理数，所以，则，所以对任意恒成立，故④正确.故答案为：②③④2．(1)，；(2)在上单调递增，证明如下：任取，且，则，，，，，，，故，即，所以在上单调递增.(3).【分析】（1）由，求得，并检验；（2）利用函数的单调性定义判断；（3）求出集合，由题可得真包含于，列出不等式求解.【详解】（1）由题，可得，即，解得，，，满足题意..（2）略（3）由（2）在上单调递增，且，，，又函数在上单调递增，故，若是的充分不必要条件，即真包含于，，解得.所以实数的取值范围为.3．(1)，(2)任取，且，则，因为，且，所以，，，，即，所以，即，即，所以函数在上单调递增.(3)【分析】（1）根据奇函数的定义，结合列式求得答案；（2）利用定义法可证明函数单调性；（3）根据函数的奇偶性与单调性可得不等式，结合函数定义域，解不等式组即可.【详解】（1）由题意，可得，解得.此时，，且，故是定义在上的奇函数，满足题意.所以.（2）略（3）由（1）（2）知，函数是奇函数且在上单调递增.所以，即，，解得，所以实数a的取值范围为.4．(1)12(2)【分析】（1）将函数变形，利用基本不等式求最值；（2）求出函数和的值域，问题转化为在上的值域是在上的值域的子集求解.【详解】（1）当时，，，因为，所以，，当且仅当，即时，取等号，所以函数在区间上的最小值为12.（2）函数，对称轴为，在上单调递减，在上单调递增，所以，即，所以函数在上的值域为，又函数在上单调递增，所以，所以函数在上的值域为，若对于任意的，存在，使得，即在上的值域是在上的值域的子集，所以，解得，所以实数的取值范围为.5．(1)(2)【分析】（1）由二次函数的对称轴，求出单调区间即可求出值域；（2）分类讨论区间上函数的最小值点，得最小值的表达式；【详解】（1）当时，，其对称轴，开口向上，则在上单调递减，在上单调递增；所以，；函数在区间上的值域为，（2）由题意，函数，则二次函数的对称轴为，若时，，在区间上单调递增，当时，的最小值为；若时，，在区间上单调递减，在上单调递增，当时，的最小值为；若时，，在区间上单调递减，当时，的最小值为；所以；6．【分析】先确定每一段在定义域范围内都是单调递增，再根据左半段函数在端点处的最大值小于等于右半段函数在端点处的最小值即可求得.【详解】因为在上单调递增，所以解得，即的取值范围是.故答案为：7．(1)①(2)①②或【分析】（1）结合定义逐项计算最大值与最小值的差即可得；（2）①分与讨论函数在时的最大最小值即可得；②结合定义，分、与讨论即可得.【详解】（1）①因为，所以，所以，得，故是在上的“美好函数”；②因为，所以，所以，得，故不是在上的“美好函数”；③因为，所以，所以，得，故不是在上的“美好函数”；（2）①由题得，当时，可知，所以，当时，，此时，因为函数是在上的“美好函数”，所以有；当时，，此时，因为函数是在上的“美好函数”所以有；故；②时，函数，可知此时，函数的图象的对称轴为直线且开口向上；当时，此时函数在上单调递减，此时，，因为函数是在上的“美好函数”，所以有，解得；当时，此时函数在上单调递减，在单调递增，所以当时，，因为函数是在上的“美好函数”，所以有；令，解得或，所以此时（舍去），或（舍去），当时，此时函数在上单调递增，此时，，，因为函数是在上的“美好函数”，所以有，解得；综上所述：或.8．(1)函数是上的“局部倒负函数”(2)存在，(3)【分析】（1）利用求解即可；另法：计算，可得结论；（2）由题意可得存在，使得，分，两种情况求解即可得的取值范围；（3）利用赋值法求得，进而可得在区间上有解，利用换元即可求解.【详解】（1）因为，解得，所以区间内存在实数，满足，所以函数是上的“局部倒负函数”.另法：因为，且，满足“局部倒负函数”的定义，所以函数是上的“局部倒负函数”.（2）假设存在实数，使得函数是区间上的“局部倒负函数”.由“局部倒负函数”的定义知，存在，使得.因为，所以.当时，，则，即①，当时，，则，即②.所以①或②有解，即在上有解或在上有解，当时，；当时，，所以.所以存在实数，使得是区间上的“局部倒负函数”.（3）因为，，函数满足.令，，则，又，所以.令，则.此时，而，满足条件，所以.因为是区间上的“局部倒负函数”，所以存在实数，满足，又，所以，所以.则在区间上有解.令，由于函数在上单调递减，上单调递增，所以，则上式可化为在区间上有解，因为，当且仅当时取等号.所以.所以实数的取值范围为.9．(1)，(2)在上单调递增，证明如下：取任意，且，则因为，所以，，，所以，所以，即，因此在上单调递增.(3)【分析】（1）根据题目条件函数是定义在上的奇函数，，即可求出实数的值；（2）判断函数为增函数，再根据函数定义法取取任意，且，证明即可；（3）根据函数的单调性和奇偶性即可求出使成立的实数的取值范围.【详解】（1）由题意可知，故，又由可得，解得；此时定义域为，关于原点对称，且，故是定义在上的奇函数，满足题意，所以.（2）略（3）由（1）（2）可知，是在上单调递增的奇函数，所以由可得，因此需满足，解得，即，故实数a的取值范围为.10．(1)3(2)为上的单调递减函数.证明如下：设且，令，则，所以，因为当时，有，所以，由，即，所以为上的单调递减函数.(3)【分析】（1）根据题意，令，可得，令，可得，，再令，求得；（2）设且，令，得到，根据题意，结合函数单调性的定义和判定方法，即可得证；（3）根据题意，把原不等式化为，令，得到，得到，结合，，结合函数的单调性，转化为，即可求解.【详解】（1）由函数满足对一切，且，令，可得，令，可得，再令，所以，可得.（2）略（3）令，可得所以，原不等式化为，令，可得，解得，即，又由，所以，因为为上的单调递减函数，所以，即，解得，所以不等式的解集为.11．1【分析】将不等式转化为，结合可得，换元令，则不等式转化为，设，结合函数单调性求最值即可得的取值范围结合，从而得的最大值.【详解】不等式即为，整理得，因为，两边同除以得，令，不等式可转化为，设，对恒成立，因为，所以，则在上单调递减，所以，解得，又，所以的最大值为1.故答案为：1.12．(1)偏差为，偏差点为；(2)偏差最小值为；此时；(3)法1：要证是在上切比雪夫意义下的最佳逼近直线，则恒成立，令，因为，所以只要证，即证，设，则，，，所以，即，当且仅当，即，等号成立.法2：假设存在另一条直线，它与函数，的偏差小于，则对于任意有，即（1），（2），（3），由（1）（3）得，由（2）（3）得矛盾，所以假设不成立，从而直线是函数在上的最佳逼近直线.法3，令.当，，其最大值只会在区间端点处产生，则，表示到数轴上两数距离的最大值，为使该最大值最小，则取数轴上两数对应点中点对应数1，从而此时，取等号时；当，，则其最大值可能在时产生，从而，表示到数轴上数字距离的最大值.为使该最大值最小，则应取三者中最大，最小两数所对应两点中点处所对应的数.若，则，则此时，当且仅当时取等号；若，且，即时，，因，由双勾函数性质可得，则，取等号时；当时，注意到，则此时.综上的最小值为，对应，即为的最佳逼近直线.【分析】（1）根据“偏差”的概念，一元二次函数的性质，即可求解；（2）根据“偏差”的概念，利用函数的单调性，分类讨论，即可求解；（3）根据“偏差”的概念，建立函数模型，通过函数思想，即可求解．法1，只要证即可；法2，利用反证法，证明不存在直线与函数，的偏差小于即可；法3，分类讨论的取值情况，求解，即可完成证明.【详解】（1）记，当时，又，故，所以偏差为，偏差点为；（2）设，当时，，所以，要使最大值（即偏差）最小，则，此时偏差最小值为.（3）略.【点睛】本题涉及概念：切比雪夫最佳逼近直线，求解切比雪夫最佳逼近直线的关键为去掉绝对值和分类讨论，此外进一步学习之后，也可以用切比雪夫交错定理解决问题.13．(1)，，(2)在上单调递减，证明：在中任取，则，由，，所以，，则，故在上单调递减；(3)【分析】（1）根据函数解析式与已知条件建立等式关系求解，的值，即可得的解析式；（2）根据函数单调性的定义取值、作差、变形、定号证明单调性即可；（3）根据函数的奇偶性与，结合单调性将不等式转化为，根据不等式恒成立，从而可得实数的取值范围.【详解】（1）由题知：，得，即，，则，，所以；（2）略（3）由（2）同理可知，在单调递增，易知为奇函数，又由，要使，即，所以，则，又，所以，当且仅当，即时，，所以.14．(1)的图象关于点成中心对称(2)设，则，所以在上是增函数，所以在上是增函数，所以当时，，即．(3)【分析】由已知，可将代入解析式验证，并可证明函数关于中心对称。可通过定义证明函数的单调性，并由单调性证明由题设条件构造过程可以无限进行下去即关于x的方程无解，即关于x的方程无解或有唯一解，代入可解得【详解】（1）因为，所以．由定义可知，的图象关于点成中心对称．（2）略（3）因为构造过程可以无限进行下去，所以对任意恒成立，即关于x的方程无解，即关于x的方程无解或有唯一解，所以或，解得．【点睛】本题侧重考查逻辑推理、数学运算素养．对逻辑推理的考查主要体现在利用定义推理得到结论，对数学运算的考查主要体现在推理过程中的计算．15．(1)在区间上不是“关联函数”，理由如下：由题知：对任意，都存在，使得，设函数在区间上值域在区间上值域，则，因为函数在区间上是增函数，所以值域，函数在区间上单调递减，所以值域，因为不是的子集，所以函数在区间上不是“关联函数”.(2)(3)或.【分析】（1）通过“关联函数”的定义，分别求解函数及在区间上的值域，通过判断两个函数值域的子集关系即可判断是否为“关联函数”（2）通过“关联函数”的定义可得：对任意，都存在，使得，可得，然后由可以求得：，进而可得：，最后根据子集关系求解参数取值范围即可；（3）首先分、及三种情况，分别根据函数的单调性求解函数及函数的值域，然后根据“关联函数”的定义确定两个函数值域的子集关系，最后根据实数的唯一性求解参数的值即可.【详解】（1）略（2）因为函数为区间上的“关联函数”，所以对任意，都存在，使得，可得，因为，所以，又，所以，即解得，因此实数的取值范围为.（3）的值域为，即，的对称轴为直线，且开口向下，①当时，在上单调递减，又，则值域为，由，得解得，因为唯一，所以，解得，不满足，故舍去；②当时，在上单调递增，又，则值域为，由，得解得，因为唯一，所以，解得，不满足，故舍去；③当时，在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值为，又，（i）当，即时，的值域，由，得解得，因为唯一，所以，解得，其中符合题意；（ii）当，即时，的值域，由，得解得，因为唯一，所以，解得，其中符合题意.综上所述，的值为或.16．（1）；（2）当时，，则函数在上为增函数，在上为减函数，证明：设，则，，，，，即，故在上为增函数；同理可证在上为减函数；（3）存在，.【分析】（1）由偶函数的定义即可求得a的值；（2）用函数单调性的定义即可判断并证明；（3）假设存在，根据题意列出方程，解出即可.【详解】（1）函数为偶函数，，即，；（2）略（3）函数在上为增函数，若存在实数，使得当时，函数的值域为，则满足，即，即m，n是方程的两个不等的正根，则满足，解得，故存在，使得结论成立.【点睛】易错点点睛：，所以m，n是方程的两个不等的正根，注意.17．(1)因为，因为，所以，当时，等号成立；所以，即，所以(2)；(3)假设存在“隔离直线函数”，当时，，当时，等号成立，所以在上恒成立，当时，等号成立，又，所以“隔离直线函数”必过点，所以，由题意可得在上恒成立，即在上恒成立，由在上恒成立，可得在上恒成立，令，解得，要使在上恒成立，则，解得，此时；当在上恒成立，即在上恒成立，当，即时，则有在上不恒成立，不满足题意；当时，令，解得，要使在上恒成立，则有，且，解得，满足，此时；综上，，所以与存在“隔离直线函数”，为.【分析】（1）用作差法证明即可；（2）由题意可得在R上恒成立，由求解即可；（3）假设存在“隔离直线函数”，先用作差法判断出在上恒成立，当时，等号成立，从而可得“隔离直线函数”必过点，则有，最后根据定义得在上恒成立，解出的值，即可得答案.【详解】（1）略（2）因为在R上恒成立，即在R上恒成立，所以，解得；（3）略18．①②④【分析】对于①，画出时的函数图象，得到①正确；对于②，画出函数图象，得到②正确；对于③，由函数奇偶性的定义得不存在实数，使得函数是偶函数，③错误；对于④，分别考虑，和三种情况，数形结合得到答案.【详解】对于①，当时，，的定义域为R，且画出的图象如下，

显然在定义域上是增函数，①正确；对于②，，其中的开口向上，对称轴为，开口向下，对称轴也为，当时，画出的图象，如下：

则的单调递减区间为，②正确；对于③，定义域为R，其中，无论取何值，均不能使恒成立，即不能恒成立，不存在实数，使得函数是偶函数，③错误；对于④，当时，由①知，与只有1个交点，方程只有1个实根，不合要求；当时，由②知，与只有1个交点，方程只有1个实根，不合要求；当时，画出的图象如下：

要想方程有三个不等的实根，则，又，解得，④正确．故答案为：①②④19．(1)，(2)为奇函数(3)，思路1：由（2）得，所以，从而，由，得，由，得，所以，即，因此的图象关于点成中心对称图形．思路2：由，得，因为，所以，即③，由的图象关于直线对称，得，由（2）得，所以，由，得，因为，所以④，联立③④，得，从而，可得，即，由，得，因此的图象关于点成中心对称图形．【分析】（1）赋值得，，联立两式即可求解；（2）根据已知结合奇函数定义证明即可；（3）根据对称性和已知求得，只需证明或即可．【详解】（1）将代入，得①，将代入，得②，联立①②，解得，；（2）由，得，由，得，所以，又的定义域为，所以为奇函数；（3）思路1：由，且的图象关于直线对称，则，又，所以，从而，证明略．思路2：证明略，由，得，所以．20．【分析】先求出时，的值域，缩小的取值范围；结合的对称轴及的定义域和值域的交集为空集对的取值分类讨论，再确定的取值范围即可．【详解】，因为，则，，所以，要使的定义域和值域的交集为空集，则，当时，，此时的定义域与值域的交集不是空集，所以，当时，在上单调递减，，由的定义域和值域的交集为空集，可得，解得或，所以，综上，实数的取值范围是．21．【分析】根据题目条件求出的最小值小于的最小值即可求出实数的取值范围.【详解】已知，条件：使得，则条件等价于求，是一个开口向上的二次函数，对称轴介于区间内，故，求，，对称轴：对称轴，在上递增，最小值在：，：对称轴在内，最小值在：，：对称轴，在上递减，最小值在：，求，：，得，：，即，恒成立，所以全成立，：，对恒成立，得，综合可得：故答案为：22．C【分析】根据幂函数定义可得的值，再将点代入即可得出结果.【详解】点在幂函数的图象上，，且，解得，.故选：C.【点睛】本题主要考查的是幂函数定义，是基础题.23．A【分析】根据幂函数的定义逐项分析即可求解.【详解】幂函数是形如（为常数）的函数，所以A符合，BCD不符合，故选：A.24．B【分析】根据幂函数的定义与单调性求解实数的值.【详解】知函数是幂函数，则，解得或，当时，，其在上单调递减，不符合题意，当时，，其在上单调递增，符合题意，故.故选：B.25．D【分析】利用幂函数的图象、性质逐项分析判断.【详解】对于A，幂函数的图象不过点，A错误；对于B，幂函数的图象不经过第三象限，B错误；对于C，幂函数在定义域内不单调，C错误；对于D，幂函数在上单调递增，D正确.故选：D26．B【分析】由函数是幂函数解出，再由单调性判断即可.【详解】因为函数为幂函数，所以，解得或，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增.故选：B.27．B【分析】根据一般幂函数的奇偶性、单调性，即可得.【详解】由、、为奇函数，为偶函数，由在定义域上不单调，在R上单调递减，在R上单调递增.综上，是在R上单调递减的奇函数.故选：B28．B【分析】根据函数为幂函数可列式求出m的值，验证是否符合题意，即得答案.【详解】由函数为幂函数，得，解得或，当时，，此时在上单调递减，符合题意，当时，，此时在上单调递增，不符合题意，故，故选：B29．A【分析】由点求得函数解析式即可求解；【详解】设，则，解得：，所以，故选：A30．A【分析】根据幂函数的图象和一次函数的图象求出的取值范围，即可进行判断.【详解】对于A，结合函数的图象得，结合的图象得，即，可能成立，故A正确；对于B，结合函数的图象得，结合的图象得，即，两者矛盾，故B错误；对于C，结合函数的图象得，结合的图象得，即，两者矛盾，故C错误；对于D，结合函数的图象得，结合的图象得，无解，故D错误；故选：A.31．2【分析】待定系数法求出的解析式即可.【详解】设幂函数，其中为常数，函数图象经过点，因此，有：，解得：.所以，幂函数为.故.故答案为：232．##【分析】由幂函数定义可得结果.【详解】由幂函数定义可知，，解得，故答案为：.33．2【分析】利用幂函数的定义可求得的值，结合题意检验即可得结论.【详解】因为是幂函数，所以，解得或.当时，，图象不经过坐标原点；当时，，图象经过坐标原点.综上所述：.故答案为：2.34．5【分析】利用待定系数法求幂函数解析式，由基本不等式求最值.【详解】设，因为幂函数过点，则，解得，所以，当时，，当且仅当，即时等号成立.故答案为：；535．【分析】设幂函数，代入已知点求出，确定函数解析式；然后分析该幂函数的单调性和奇偶性；最后将不等式利用奇偶性转化，再结合单调性得到关于的不等式，即可求解.【详解】由题意可设，由于函数的图象过点，故，所以，即，所以函数在上单调递增，且为奇函数.由可得，所以，解得，所以的取值范围为.故答案为：.36．（答案不唯一）【分析】根据幂函数的定义及性质即可求解.【详解】令，因为，所以是偶函数，满足②；任取，且，则，即，所以在上单调递减，满足③.故答案为：（答案不唯一）.37．【分析】根据幂函数系数为并结合单调性即可求解.【详解】由题意得，解得或，当时，在上递减，不符合题意；当时，在上递增，符合题意；故答案为：.38．(1)(2)【分析】（1）由幂函数和偶函数的性质求解即可；（2）构造，问题转化为，结合二次函数的性质分析即可；【详解】（1）∵幂函数为偶函数∴即，解得或，当时，为偶函数，符合条件；当时，为奇函数，不符合条件；∴函数的解析式是.（2）由（1）知，，则由，得，即，令，依题意，对任意，恒成立，∴∵函数在上单调递减，∴，故，∴实数的取值范围是.39．(1)；(2)在上单调递增，证明如下：由（1）知，，任取，且，则因为，所以，因为，所以，故，故，在上单调递增；(3)，理由如下：由（2）知，在上单调递增，故，即，即【分析】（1）根据幂函数定义和单调性得到方程和不等式，求出；（2）定义法判断函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论；（3）在（2）基础上，得到，故.【详解】（1）由题意得，解得或，在上单调递增，故，故；（2）略（3）略40．(1)(2)(3)12【分析】（1）利用幂函数的定义和性质即可求解m的值；（2）分和，利用函数单调性解不等式；（3）利用基本不等式求函数的最小值，二次函数性质求出函数的最大值，则，进而求解.【详解】（1）因为为幂函数，所以，且，解得或.又因为在上单调递减，所以，所以，故.（2）因为为奇函数，在上单调递减，且当时，，所以在上也单调递减，且当时，.①当，即时，等价于，解得，且；②当，即时，恒成立，所以不等式的解集为.（3）由题意知，.因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.因为，所以当时，取得最大值，最大值为.因为对恒成立，所以，即.因为，，所以，所以，当且仅当，即，时，等号成立，故的最大值为12.41．(1)(2)22元/件(3)100万元【分析】（1）先