2007北大数学考研真题及答案

（1）问是否存在n阶方阵A,B，满足AB_BA=E（单位矩阵又，是否存在n维给出证明.迹，并注意到tr(AB)=tr(BA)，得0=n，矛盾.所以不存在方阵A,B，使AB_BA=E.分别为A,B，若AB_BA=E，则相应的有AB_BA=E，矛盾.所以不存在n维线性空间V上的线性变换A，B，满足AB_BA=E.【注】若线性空间V是无穷维的，则存在V的线性变换A，B，满足AB_BA=E.例如，设V=P[x]是数域P上多项式全体所构成的线性空间，定义容易验证：AB_BA=E.是多少？说明理由.【解】是.设η=(1,1,…,1)T是n维列向量，则由A的各行元素之和为常数c，知Aη=cη,从而A3η=c3η.所以A3的各行元素之和为常数c3.无关的列向量，组成的r阶子式是否一定不为0？若是，给出证明；若否，举出反例.【解】是.不妨考虑A的后r个线性无关的行向量及后r个线性无关的列向量，所组成的r阶子式记为D.假设D=0，则仅对A的后r行施行初等行变换，可得A→H，其中B是(m_1)×(n_r)矩阵，C是(m_1)×r矩阵，α是n_r维行向量.根据初等行变rank(A)=rank(H)≥rank(C)+rank(α)=r+1，（4）设A,B都是m×n矩阵，线性方程组AX=0与BX=0同解，则A与B的列向量组是否等价？行向量组是否等价？若是，给出证明；若否，举出反例.【解】第1个结论不成立，反例如下：若AB，则线性方程组AX=0与BX=0同解，但A与B的列向量组显然不等价.第2个结论成立，兹证明如下：依题意，线性方程组AX=0与BX=0同解，所以rank(A)=rank(B).记r=n_rank(A)，任取AX=0的一个基础解系(当然也是BX=0的基础解系)构成n×r矩阵C，则rank(C)=r，且AC=O，BC=O.考虑齐次线性方程组CTX=0，其解空间S的维数dim(S)=n_r=rank(A).因为CTAT=O，所以A的行向量都是CTX=0的解，因此A的行空间WA是S的一个子空间，即WA⊆S.注意到dim(WA)=rank(A)=dim(S)，故WA=S.同理可证，B的行空间WB=S.于是有WA=WB，这就表明A与B的行向量组等价.【注】若AX=0与BX=0都仅有零解，则rank(A)=rank(B)=n，仍是第1个结论不成立(反例从略)，第2个结论成立.事实上，此时存在m阶可逆矩阵P1,P2，使得PEQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up10(E),O)PP是可逆矩阵，且PA=B.由此容易证明，A与B的行向量组等价.这就是说，B=nb是非零的有理系数多项式f(x)=k0+k1x+…+kn_1xn_1的根，即f(B)=k0另一方面，对于整系数多项式g(x)=xn_b，显然有g(B)=0，即B是多项式g(x)的根.取素数r，利用Eisenstein判别法，易知g(x)在有理数域Q上不可约，这就是说，不存在非零的次数更低(≤n_1)的有理系数多项式h(x)，使得h(B)=0，矛盾.EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up9(+),B)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up9(B),B)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up9(+),O)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up9(B),A)f(α,β)f(γ,α)=f(β,α)f(α,γ).求证：f为对称的或反对称的.f(α,α)_f(α,β)_f(β,α)+f(β,β)=0，所以f(α,β)=_f(β,α)，即f为反对称的.0)≠0，则有f(α,β)=f(β,α)；若f(α,η0)=0f(α+η0,η0)=f(α,η0)+f(η0,η0)=f(η0,η0)≠0，所以f(α+η0,β)=f(β,α+η0)，即f(α,β)+f(η0,β)=f(β,α)+f(β,η0)，从而也有f(α,β)=f(β,α).因此f为对称双线性函数.α在U上的正交投影，则由已证得的必要性及题设条件知2.α在U上的正交投影.5、设n阶复矩阵A满足：对于任意正整数k，都有tr(Ak)=0.求A的特征值.,λA的全部特征值，则A的特征多项式为Δ(λ)=(λ_λ1)(λ_λ2)…(λ_λn)=λn_σ1λn_1+σ2λn_2_…+(_1)nσn，其中σk是λ1,λ2,…,λn的k次初等对称多项EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(k),2)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(k),n)sk=λ1k+λEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(k),2)+…+λEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(k),n)=tr(Ak)=0，k=1,2,….对于1≤k≤n，利用牛顿(Newton)公式sk_σ1sk_1+σ2sk_2_…+(_1)k_1σk_1s1+(_1)kkσk=02n_1α为V的一个基.dn(λ)=λn+bn_1λn_1+…+b1λ+b0，则,…,ξn)A.n_1α2n_1α为V的一个基.7、设P是球内一定点，A,B,C是球面上三动点.∠APB=∠BPC=∠CPA以PA,PB,PC为棱作平行六面体，记与P相对的顶点为Q，求Q点的轨迹.r222r22EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up10(__),O)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up10(___→),PB)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up10(___→),PB)2，r222EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up10(___→),OQ)2EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up10(___→),OP)2EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up10(__),O)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up10(___→),PA)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up10(___→),PB)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up10(___→),PC)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up10(__→),PA)2EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up10(___→),PB)2EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up10(___→),PC)222_d2)=3r2_2d2.这表明动点Q到球心O(定点)的距离是常数R.因此，Q点的轨迹是以O为中心、R为半径的球面.问系数满足什么条件时，直线L（1）过原点2）平行于x轴，但不与x轴重合3）与y轴相交4）与z轴重合.【解】(1)将原点(0,0,0)的坐标代入直线L的方程，得D1=D2=0.都垂直，由此得A1=A2=0.但L与x轴不重合，所以D1≠0或D2≠0至少有一个成立.(3)设(0,y0,0)是L与y轴的交点，则y0≠0，否则为情形(1).代入L的方程，得B1y0+D1=0，B2y(4)由(1)与(2)的解即知，L与z轴重合当且仅当C【解】设(x0,y0,z0)是所给双曲抛物面上相互垂直的直母线,且.易知，L1与L2的方向向量分别为因为L1与L2相互垂直，所以，