2026-2027学年四川省成都市外国语学校高一上学期10月月考（1号卷）数学试卷

/2026-2027学年四川省成都外国语学校高一（上）月考数学试卷（10月）（1号卷）一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.下列四个选项中正确的是（）A.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱

B.棱长都相等的直四棱柱是正方体

C.棱台的侧棱延长后交于同一点

D.底面是正多边形的棱锥是正棱锥2.已知i是虚数单位，若复数z满足（1-i）z=2+i,则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.正方形O′A′B′C′的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图），则原图形的周长是（）A.12

B.

C.16

D.4.在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a,b,c,，，，则角B的大小为（）A. B. C.或 D.或5.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等且它们的高均为，则圆锥的体积为（）A. B. C. D.6.欧拉公式eix=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式，设复数，则z3等于（）A. B.-1 C. D.7.如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距4海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距2海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，则cosθ等于（）A.

B.

C.

D.8.三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,已知，，点D满足，则|AD|的最小值为（）A. B.2 C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是（）A.若，，则△ABC的外接圆的面积为16π

B.已知，则

C.若sin2A＞sin2B+sin2C，则△ABC为钝角三角形

D.若△ABC为锐角三角形，则sinA＞cosB10.已知复数z1，z2，且z1是非零复数，，分别是z1，z2的共轭复数，则下列结论正确的是（）A.若z1+z2=0，则 B.

C.若，则z1=z2 D.11.如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有顶点都在表面积为16π的球O的球面上，底面边长为a,侧棱长为h,则下列说法正确的有（）A.若底面边长，则侧棱长

B.若侧棱长h=2，则该正三棱柱的体积为

C.若侧棱长h=2，则过A1B1中点M的平面截球O，截面积的最小值为

D.该正三棱柱的侧面积的最大值为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知复数z满足|z|=2，则|z+3-4i|的最小值是

．13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,b=3且2bcosC=2a-c.若△ABC有两个解，则实数a的取值范围是

．14.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知P，M分别为线段BD1，BB1上的动点，N为B1C的中点，则△PMN的周长的最小值为

.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知复数z=a+bi（a,b∈R）满足.

（1）求复数z；

（2）若复数z是关于x的方程x2+px+q=0的一个根，求实数p,q的值.16.(本小题15分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,已知.

（1）求角C；

（2）CD是∠ACB的角平分线，若，，求△ABC的面积.17.(本小题15分)

为了响应全国文明城市的号召，长沙市计划在公园内建造如图所示的正四棱台ABCD-A1B1C1D1建筑.

（1）若正四棱台的上、下底面的边长分别为6米和10米，高8米.求该正四棱台ABCD-A1B1C1D1的侧面积和体积；

（2）若正四棱台的上、下底面的边长之和为12米，下底与上底边长之差不超过4米，棱台高2米，设∠B1BC=α.求sinα的最小值.18.(本小题17分)

近郊露营成为休闲度假的“新风尚”.成都某民宿拟将近郊的一直角三角形区域按如图所示规划成三个功能区：△BNC区域为露营休息区域，△MNC区域规划为小型烧烤区域，△CMA区域规划为棋牌区域.为安全起见，欲在烧烤区△MNC四周围筑护栏.已知AC=20m,，AC⊥BC，∠MCN=30°.

（1）若AM=10m时，求护栏的长度（△MNC的周长）；

（2）若烧烤区△MNC的面积是棋牌区△CMA的面积的倍，求∠ACM；

（3）当∠ACM为何值时，烧烤区△MNC的面积最小，最小面积是多少？19.(本小题17分)

三角形历来都是古今中外数学家研究的一个平面图形，阅读下面内容并解决相关问题（注：a,b,c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，S为△ABC的面积）.

（1）我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》给出三角形面积的求法“三斜求积”：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，斜四约之，为实一为从隅，开平方得积.”写成公式，就是，请证明该公式.

（2）布洛卡点是三角形内部的特殊点，由法国数学家亨利•布洛卡于19世纪提出，其定义如下：设P是△ABC内一点，若∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ，则称点P为△ABC的布洛卡点，角θ为△ABC的布洛卡角，如图，已知.

（i）求a2+b2+c2的值；

（ii）判断△ABC的形状.

1.【正确答案】C

2.【正确答案】D

3.【正确答案】C

4.【正确答案】A

5.【正确答案】A

6.【正确答案】B

7.【正确答案】B

8.【正确答案】C

9.【正确答案】CD

10.【正确答案】BC

11.【正确答案】ACD

12.【正确答案】3

13.【正确答案】

14.【正确答案】

15.【正确答案】

p=2，q=9

16.【正确答案】解：（1）因为，

所以，

可得，

又C∈（0，π），

所以；

（2）因为在△ABC中，，

所以①，

又S△ABC=S△ACD+S△BCD，

得：，

化简得：②，

由①②得：ab=8，

所以S△ABC=absinC=2．

17.【正确答案】64平方米；立方米

18.【正确答案】解：（1）在Rt△ABC中，，且B为锐角，

所以B=30°、A=60°、AB=2AC=40．

在△ACM中，AC=20、AM=10、A=60°，

由余弦定理得，所以．

又AC2=AM2+CM2，所以∠AMC=90°，即CM⊥AB．于是在Rt△MNC中，∠CMN=90°、∠MCN=30°，

，．

所以护栏长度为m.

（2）设∠ACM=θ（0°＜θ＜60°），则∠ACN=θ+30°．

因为，，

所以，即．

在△ACN中，A=60°、∠ACN=θ+30°，故∠ANC=90°-θ，

由正弦定理得，即．

所以，两边乘cosθ得，即sin2θ=1．

由0°＜2θ＜120°得2θ=90°，故θ=45°，即∠ACM=45°．

（3）设∠ACM=θ（0°＜θ＜60°），由（2）知．

在△AC