2026-2027学年浙江省Z20名校联盟高一上学期创新班开学学情诊断数学试卷（含解析）

/数学第I卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.在中，若，则（）A. B. C. D.3.若想要得到函数的图象，只需要将的图象（）A.向左平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向右平移个单位4.若，则下列不等式正确的是（）A. B. C. D.5.已知，且，则的最小值为（）A.64 B.8 C. D.6.若，，则（）A. B. C. D.7.已知平面向量满足：，若对任意，恒成立，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.8.已知函数，其中且，.若函数有三个不同的零点、、，则的取值范围为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若，，则下列不等式中正确的有（）A. B. C. D.10.在中，角A，B，C的对边分别为，，，为钝角，则下列判断正确的有（）A. B.C. D.11.设是定义域为的函数，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则下列结论正确的有（）A.. B.为周期为4的周期函数.C.为奇函数 D.第Ⅱ卷三.填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.的值为______________.13.著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则$t$分钟后物体的温度满足：，若空气温度恒定且为30℃，某物体的温度从90℃下降到50℃时，大约需要的时间为22分钟，则大约为______________，该物体的温度从50℃再下降到40℃时，大约还需要时间为______________分钟.（参考数据：，）14.已知，的部分图象如图所示，B，C为图象上两点，B恰为AC的中点，设，，则______________.四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知平面向量，满足，，.（1）若，求；（2）若，求与夹角的余弦值.16.在中，三内角，，的对边分别为，，，且满足：（1）求角的值；（2）若的角平分线交于点，且，的面积为，求的长.17.设函数.（1）判断在定义域上的单调性并加以证明；（2）若函数为奇函数，求实数，的值.18.设二次函数，且的两个实根满足.（1）若函数的图象关于对称，求的解集；（2）若.（i）求证：；（ii）设函数在区间上的最大值为，求的表达式.19.对于复数，，，定义.设，，.（1）若，，，求；（2）已知，，若，求的最大值；（3）若，，求的取值范围.

数学第I卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：因为集合，，则，故.2.在中，若，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：在中,因为所以,在中，故.3.若想要得到函数的图象，只需要将的图象（）A.向左平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向右平移个单位答案：C解析：思路：由三角函数图象平移变换法则即可求解.解答过程：由于，所以若想要得到函数的图象，只需要将的图象向左平移个单位.故选：C.4.若，则下列不等式正确的是（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：指数函数的底数，故该函数在R上单调递减，因为，所以；幂函数的指数，故该函数在上单调递增，因为，所以；综上，.5.已知，且，则的最小值为（）A.64 B.8 C. D.答案：C解析：思路：由且，两边同除以得到.利用“1”的代换方法，将与相乘展开，运用基本不等式求最小值，最后需要验证等号成立即可.解答过程：已知，且，对等式两边同除以，可变形得到：

..由基本不等式，得.​

因此​，当且仅当​，即时取等号，所以的最小值为​.6.若，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：因为，，所以.所以.7.已知平面向量满足：，若对任意，恒成立，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由得：.因为，依题意任意恒成立.所以，所以.所以在上的投影向量为.8.已知函数，其中且，.若函数有三个不同的零点、、，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：分、、三种情况，在前两种情况下，直接验证不符合题意；在时，根据题意求出三个零点的表达式，并求出的取值范围，结合对数的运算性质以及对数函数的基本性质可求得的取值范围.解答过程：当或时，，有唯一解，不满足方程有三个不等实根；当时，大致图象如图所示，若有三个不等实根，则，可得，设，令，解得，即，令，解得：，，因为，所以，故.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若，，则下列不等式中正确的有（）A. B. C. D.答案：AD解析：思路：利用不等式的基本性质推导即可.解答过程：由可得，故A对.由可得，故B错.由，可得，，所以，故C错.由，可得，，所以，即，所以，故D对.10.在中，角A，B，C的对边分别为，，，为钝角，则下列判断正确的有（）A. B.C. D.答案：ACD解析：思路：A.钝角三角形中，钝角对边的平方大于另外两边平方和，可由余弦定理直接判定;B.钝角三角形两个锐角之和小于，由此可以建立角的不等关系，比较三角函数大小;C.利用余弦函数在单调递减性质，可比较的大小；D.利用三角恒等式,以及，，可得到.解答过程：选项A，由余弦定理：，为钝角，，，所以，即，A正确；选项B，是钝角，所以，因为都是锐角，在单调递增，所以，即，B错误；选项C，由B知：，在区间单调递减，自变量越小，函数值越大，，C正确；选项D，由和差化积得，，，所以,则,所以,因为为钝角，锐角，所以，，所以,，D正确.11.设是定义域为的函数，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则下列结论正确的有（）A.. B.为周期为4的周期函数.C.为奇函数 D.答案：ABD解析：思路：根据函数的奇偶性性质计算判断即可.解答过程：∵为奇函数，∴，且为偶函数，又，所以，所以为偶函数，所以A和B正确，而不恒为0，因此不是奇函数，C错误；当时，，，∴，所以，所以当时，因为，所以故.第Ⅱ卷三.填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.的值为______________.答案：解析：思路：根据三角函数的诱导公式计算即可.解答过程.13.著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则$t$分钟后物体的温度满足：，若空气温度恒定且为30℃，某物体的温度从90℃下降到50℃时，大约需要的时间为22分钟，则大约为______________，该物体的温度从50℃再下降到40℃时，大约还需要时间为______________分钟.（参考数据：，）答案：①.②.14解析：思路：代入已知条件求出参数，注意后段降温要更新初始温度，再借助对数运算求解时间.解答过程：由题，当时，，则，当从50℃再下降到40℃时，.14.已知，的部分图象如图所示，B，C为图象上两点，B恰为AC的中点，设，，则______________.答案：解析：思路：利用中点坐标公式得到点C坐标，借助二倍角公式转化为关于的一元二次方程，结合取舍求解.解答过程：由题意及图象，点对应的是最小值横坐标，故可设，，，则，因B恰为AC的中点，则，即，又B，C为图象上的两点，则，且，则得，即，也即，解得，因，则.四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知平面向量，满足，，.（1）若，求；（2）若，求与夹角的余弦值.答案：（1）（2）解析：（1）,,,可得：,,则.（2）,,则,,故16.在中，三内角，，的对边分别为，，，且满足：（1）求角的值；（2）若的角平分线交于点，且，的面积为，求的长.答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，由此求得.（2）先求得，利用三角形的面积公式、正弦定理列方程，由此解得.（1），由正弦定理可得：，所以，所以，又为中内角，所以.（2）由（为锐角）得：，所以，因为的面积为，所以，又，所以，由，解得.17.设函数.（1）判断在定义域上的单调性并加以证明；（2）若函数为奇函数，求实数，的值.答案：（1）由得，所以的定义域为，法1：在定义域上为增函数．证明：任取，则，，，则，则，.在上单调递增．法2：在定义域上为增函数．证明：任取，则，，，.在上单调递增．（2），解析：思路：（1）利用单调性的定义证明；（2）利用奇函数的定义并结合定义域求参.（1）略（2）法1：，由不等式的解集关于原点对称知：，解得．此时，．由，得，得，所以，．法2：，由得：，则则恒成立，所以，，所以，18.设二次函数，且的两个实根满足.（1）若函数的图象关于对称，求的解集；（2）若.（i）求证：；（ii）设函数在区间上的最大值为，求的表达式.答案：（1）当时，的解集为；当时，的解集为；（2）（i）由得，则，得，则；（ii）.解析：思路：（1）求出两根，再分类讨论解不等式；（2）（i）根据韦达定理化简；（ii）化简，求出对称轴，分、、三种情况讨论即可.（1）由题意得，则，则，当时，的解集为；当时，的解集为；（2）（i）略（ii）由，得或.设，则的零点分别为和，对称轴为①当时，，则在上递增，在上递减，所以；②当时，，则在上递减，则；③当时，，则在上递减，在上递增，则；综上.19.对于复数，，，定义.设，，.（1）若，，，求；（2）已知，，若，求的最大值；（3）若，，求的取值范围.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）由新定义运算求解；（2）设，由新定义运算求解；（3）设在复平面上对