4.7 相似三角形的性质（第1课时） 对应线段及周长的比 课件-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

数学课件4.7相似三角形的性质第1课时对应线段的比、周长的比北师大版九年级上册第四章图形的相似1学习目标第四章图形的相似通过本节课的学习，我们将达成以下目标：1理解并证明相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比；2理解并证明相似三角形周长的比等于相似比；3能运用相似三角形的性质，解决相关的计算与证明问题；4经历观察—猜想—证明的探究过程，体会类比与转化的数学思想。2复习引入第四章图形的相似一、什么是相似三角形？定义：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。表示法：△ABC∽△A'B'C'相似比：对应边的比k=AB:A'B'。二、我们已经知道哪些性质？①对应角相等：∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'②对应边成比例：AB:A'B'=BC:B'C'=CA:C'A'=k△ABC∽△A'B'C'示意图ABCA'B'C'思考：三角形中除了角和边，还有高、中线、角平分线、周长……它们在两个相似三角形之间又有什么关系呢？这节课我们就来探究。3探究一：对应高的比第四章图形的相似【情境】小王按比例尺1∶2做了一个三角形房梁模型（教材P106做一做）。如图，△ABC为原图纸房梁，CD是AB边上的高；△A'B'C'为模型房梁，C'D'是A'B'边上的对应高，相似比为1∶2。原图纸房梁△ABCCABDAB（底边）CD∽相似比1∶2模型房梁△A'B'C'C'A'B'D'A'B'（底边）C'D'想一想：（1）△ACD与△A'C'D'相似吗？请写出它们的对应边比例式；（2）根据上面的比例式，你能求出CD∶C'D'等于多少吗？你的猜想：CD∶C'D'=对应边的比=相似比=1∶2。4定理推导：相似三角形对应高的比4.7相似三角形的性质（第1课时）已知：如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，AD、A'D'分别是BC、B'C'边上的高。求证：ADA'D'=k证明：①∵△ABC∽△A'B'C'∴∠B=∠B'（相似三角形对应角相等）②∵AD、A'D'是高，∴∠ADB=∠A'D'B'=90°③∴△ABD∽△A'B'D'（两角对应相等）④∴ADA'D'=ABA'B'=k结论：相似三角形对应高的比等于相似比。△ABC（原三角形）ABCD△A'B'C'A'B'C'D'红色线段为对应高，AD:A'D'=AB:A'B'=k5议一议：中线与角平分线呢？4.7相似三角形的性质（第1课时）已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为k。问题1（对应中线）如果AD、A'D'分别是对应边BC、B'C'上的中线，那么ADA'D'=?（提示：证△ABD∽△A'B'D'，两边成比例夹角相等）问题2（对应角平分线）如果AD、A'D'分别是对应角∠A、∠A'的角平分线，那么ADA'D'=?（提示：证△ABD∽△A'B'D'，两角对应相等）思考：你能把这些结论合起来吗？对应中线ABCDA'B'C'D'对应角平分线ABCDA'B'C'D'6性质定理14.7相似三角形的性质（第1课时）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。——这就是相似三角形对应线段的性质——符号语言：∵△ABC∽△A'B'C'，相似比为k又AD、A'D'是对应高（或对应中线、对应角平分线）∴ADA'D'=k推广：相似三角形中，对应位置上的任何对应线段的比都等于相似比。温馨提示①一定要注意"对应"二字，不是任意线段。温馨提示②常用于计算线段长度、列比例式求解。7例1对应高的计算4.7相似三角形的性质（第1课时）题目：如图，AD是△ABC的高，AD=h。点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E。若SR//BC，且SR=12BC，求DE的长。解：∵SR//BC∴∠ASR=∠B，∠ARS=∠C∴△ASR∽△ABC（两角对应相等，两三角形相似）∵SR⊥AD，BC⊥AD∴AE、AD分别是△ASR、△ABC的对应高∴AEAD=SRBC=12，即AEh=12∴AE=12h，∴DE=AD−AE=h−12h=12h答：DE的长为12h。ABCDSRESR（红色）//BC，SR=½BChDE8例2对应角平分线的比4.7相似三角形的性质（第1课时）题：已知△ABC∽△A'B'C'，相似比k=23，BD和B'D'是对应角平分线，BD=8cm，求B'D'的长。ABCDBDA'B'C'D'B'D'（红色为对应角平分线）解：∵△ABC∽△A'B'C'，BD、B'D'是对应角平分线∴BDB'D'=ABA'B'=k=23（对应角平分线比=相似比）∵BD=8cm∴8B'D'=23，解得B'D'=12(cm)答：B'D'的长为12cm。9随堂练习14.7相似三角形的性质（第1课时）题1两个相似三角形一组对应边的长分别为3cm和5cm，它们的对应中线的比是多少？若较小三角形的某条角平分线长4cm，求较大三角形对应角平分线的长。解：由题意，相似比k=35（小∶大）对应中线的比=相似比=35；较大三角形角平分线长=4×53=203(cm)题2△ABC∽△A'B'C'，AD、A'D'是对应高，AD=6cm，A'D'=4cm，BC=10cm，求B'C'的长。解：∵△ABC∽△A'B'C'，AD、A'D'是对应高∴ADA'D'=BCB'C'（对应高的比=相似比=对应边的比）即64=10B'C'，解得B'C'=203(cm)10随堂练习2（证明）4.7相似三角形的性质（第1课时）题：CD是Rt△ABC斜边上的高，DE⊥AC，垂足为E。求证：DEBC=ADABCABDECDDE证明：∵CD⊥AB，DE⊥AC，∠ACB=90°∴∠AED=∠ACB=90°，又∠A=∠A∴△ADE∽△ABC（两角对应相等）又DE和BC分别是△ADE和△ABC中对应边上的高∴DEBC=ADAB（对应高的比=相似比）证毕。11对应线段解题要点4.7相似三角形的性质（第1课时）三个注意①分清"对应"二字找高、中线、角平分线必须是对应边上的、对应角的，不能任意选取。②求线段长的步骤先证相似（或找相似比），再列比例式，将未知线段作为比例第四项求解。口诀：找相似→列比例→求未知③对应线段比=相似比高/中线/角平分线的比都等于相似比；但注意"高"不一定在对应边同侧，要根据具体图形分析（例如钝角三角形的高可能在形外）。一个方法证明线段比例时，常先证明这两条线段所在的两个三角形相似，再利用"对应线段的比等于相似比"直接得到比例式。12探究二：相似三角形的周长比4.7相似三角形的性质（第1课时）情境引入如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，即ABA'B'=BCB'C'=ACA'C'=k设BC=a，AC=b，AB=c；B'C'=a'，A'C'=b'，A'B'=c'。则△ABC的周长C=a+b+c；△A'B'C'的周长C'=a'+b'+c'。想一想：周长比C:C′等于多少？我们已经知道对应边、对应高、中线、角平分线的比都等于相似比，那么——猜想：周长比C/C′=k？ABCacb△ABC周长C=a+b+cA'B'C'a'c'b'△A'B'C'周长C′=a′+b′+c′相似比k周长比C:C′也等于相似比k吗？13定理推导：周长比等于相似比4.7相似三角形的性质（第1课时）已知：△ABC∽△A'B'C'，相似比为k。求证：C△ABC/C△A'B'C'=k证明：①∵△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，∴ABA'B'=BCB'C'=ACA'C'=k即AB=k·A'B'，BC=k·B'C'，AC=k·A'C'。②∴C△ABC=AB+BC+AC=k(A'B'+B'C'+A'C')=k·C△A'B'C'③∴C△ABC/C△A'B'C'=k。定理相似三角形的周长比等于相似比ABCkc′kb′ka′△ABC各边=k×对应边A'B'C'c′b′a′14例3周长比的应用4.7相似三角形的性质（第1课时）题目已知△ABC∽△DEF，周长分别为60cm和72cm，且AB=15cm，EF=24cm，求BC、AC、DE、DF的长。解：∵△ABC∽△DEF，∴相似比k=C△ABC/C△DEF=6072=56∵AB/DE=5/6，AB=15cm，∴DE=15×6/5=18（cm）。∵BC/EF=5/6，EF=24cm，∴BC=24×5/6=20（cm）。∴AC=60−15−20=25（cm），DF=72−18−24=30（cm）。答：BC=20cm，AC=25cm，DE=18cm，DF=30cm。提示：用周长比求相似比是常用方法。ABCAB=15△ABC周长60cmDEFEF=24∽k=5/615随堂练习34.7相似三角形的性质（第1课时）题1两个相似三角形的相似比为3:5，其中一个三角形的周长是18cm，求另一个三角形的周长。解：需分两种情况：①若18cm是较小三角形周长，则大三角形周长=18×5/3=30（cm）；②若18cm是较大三角形周长，则小三角形周长=18×3/5=10.8（cm）。注意：题目没有指明对应关系，需考虑两种情况。题2△ABC三边分别为3、4、5，△A'B'C'∽△ABC，且△A'B'C'最短边为6，求△A'B'C'的周长。解：C△ABC=3+4+5=12；相似比k=6/3=2；∴C△A'B'C'=12×2=24。题3如图，D、E分别在AB、AC上，DE//BC，AD:DB=1:2，求△ADE与△ABC的周长比。答：AD/AB=1/3，故周长比=1:3。ABCDE//12DE//BC，AD:DB=1:216当堂检测4.7相似三角形的性质（第1课时）1.选择题若两个相似三角形对应高的比为3:2，则它们对应中线的比为（）A.3:2B.9:4C.√3:√2D.不能确定答案：A提示：相似三角形对应高的比、对应中线的比都等于相似比。2.填空题两个相似三角形周长比为2:5，它们的对应角平分线比为，相似比为。答案：对应角平分线比为2:5；相似比为2:5。3.解答题在△ABC中，DE∥BC，DE分别交AB、AC于D、E。若AD:AB=2:5，△ABC的周长为20cm，求△ADE的周长。解：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC（两角对应相等）。相似比k=AD:AB=2:5，∴C△ADE:C△ABC=k=2:5，∴C△ADE=(2/5)×20=8(cm)。答：周长为8cm。17易错辨析4.7相似三角形的性质（第1课时）请同学们判断下列说法是否正确，并说明理由：易错点1"高的比等于相似比"，对吗？辨析：这种说法不严谨。正确的说法是："相似三角形的对应高的比等于相似比"。"对应"二字不能省略——不是任意两条高的比都等于相似比，必须是对应边上的高。✓正确表述：相似三角形对应高的比等于相似比。易错点2"周长比等于相似比"的两个三角形一定相似吗？辨析：仅仅周长比相等不能推出两个三角形相似。定理的使用是有方向的：两个三角形相似⇒周长比=相似比。反之，仅有周长比相等，三边不一定成比例，因此不能仅凭周长比断定两个三角形相似。✓注意：性质定理是"相似→周长比=相似比"，反过来不能直接用。易错点3"相似三角形的任何两条线段比"都等于相似比？辨析：结论只对"对