3.2探索三角形相似的条件（1）-北师大版数学九上三阶分层同步练

3.2探索三角形相似的条件（1）-北师大版数学九上三阶分层同步练一、基础训练1．如图，在△ABC中，∠A=78°，AB=6，AC=9．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A． B．C． D．2．如图，AD、BC相交于点O，由下列条件不能判定△AOB与△DOC相似的是（）A．AB∥CD B．OAOD=ABCD C．3．如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，图中与△ADC相似的三角形为4．如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=40°，点D是边AC上的动点（点D不与点A,C重合），当∠BDC=度时，△ABC∽△BDC．5．如图，若∠ADE=∠B，∠BAD=∠CAE．求证：△ADE∽△ABC．6．如图，在△ABC中，D，E分别在AC，AB上，连接DE，已知∠ADE＝∠ABC．（1）求证：△ABC∽△ADE．（2）若AB＝8，AD＝CD＝3，求BE的长．7．已知，如图所示，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且∠DEC=∠ADB．求证：△AED∽△ADC．8．如图，在△ABC中，D为AC延长线上一点，∠CBD=∠A，过点D作DE∥AB，交BC延长线于点E．求证：△ECD∽△EDB．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D．求证：△ACD∽△ABC．10．如图，矩形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF交AD的于点E，且BM·AE=AF·AM.（1）求证：△ABM∽△EFA；（2）若AB=8，BM=6，求EF的长.二、巩固提升11．如图，在▱ABCD中，点E是CD中点，连结AE并延长，交BC的延长线于点F，点G在边AB上，且AG=3BG，连结CG，若△CEFA．5 B．5.5 C．6 D．6.512．如图，将△ABC在平面内绕点B逆时针旋转到△A'BC'的位置，AC与A'C'交于点E，AC与BC'交于点F，则下列结论不一定正确的是（）A．AE=EF B．∠ABA'=∠CBC'C．△ABC≌△A'BC' D．△BCF∽△EC'F13．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP，CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD，DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PH·PC.其中正确的是()A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③④14．如图，AC⊥BD，O为垂足，△AOD的中线EO的延长线交BC于点F，∠C=∠D.若OE=OB=5，OC=12，则OD的长为()A．8 B．172 C．12013 15．如图，B、F、C三点共线，AC与BD相交于点E，AB∥EF∥DC，若BE：ED=3：5，则S△ABEA．53 B．35 C．92516．如图，在矩形AB-CD中，E为AD边的中点，连结BE，过点C作CF⊥BE，垂足为F.若AB=4，AD=6，则CF的长为.17．如图，已知△ABC∽△ACD，若AB=9，AD=4，则AC的长为.18．如图，在正方形ABCD中，点M是边BC上的一点(不与B，C重合)，将线段AM绕点A顺时针旋转90°得到AN，连接DN，MN，AC.MN与边AD交于点E，与AC相交于点（1）求证：△ABM≅△ADN；（2）当AM平分∠BAC时，求证：A19．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上一点，且.AD（1）求证：△ADC∽△EDA；（2）若CD⊥AB于点D，E为CD的中点，AD=220．如图，在等边△ABC中，点D、E分别是边BC、AC上的点，AD与BE交于点F,（1）求证：BD=CE；（2）求BE⋅EF的值.三、能力应用21．综合与实践问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°,AB=6,AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE,DF分别与边AB,AC交于点M，N，猜想证明：（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；问题解决：（2）如图②，在三角板旋转过程中，当∠B=∠MDB时，求线段CN的长；22．如图，在四边形ACBD中，AB⊥CD且AB平分CD，∠BCD＝∠DAE。在CD上取一点F，使CF＝2AF.（1）求证：E是BD的中点.（2）若∠CAF的平分线AG交BC于点G，交CB于点H，求证：BD·AH＝AG·AF.

参考答案1．C2．B3．△ACB或△CDB（答案不唯一）4．705．证明：∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD+∠BAE=∠CAE+∠BAE，∴∠DAE=∠BAC，∵∠ADE=∠B，∴△ADE∽△ABC．6．（1）证明：∵∠ADE＝∠ABC又∵∠A＝∠A∴△EBF∽△DBC(AA)（2）解：∵AD=CD=3，∴AC=6，由(1)可得，

∵△EBF∽△DBC∴ADAB=AEAC∴3∴AE=9∴BE=AB-AE=8-94=7．解：∵∠DEC=∠ADB，∠DEC=∠EAD+∠ADE，∠ADB=∠EAD+∠C，

∴∠ADE=∠C，

在△AED和△ADC中，

∠ADE=∠C∠EAD=∠EAD，

∴8．证明∵DE∥AB，

∴∠EDC=∠A，

又∵∠CBD=∠A，

∴∠EDC=∠CBD，

∵∠E=∠E，

∴△ECD∽△EDB．9．证明：∵CD⊥AB于D．

∴∠ADC=∠ACB=90°，

∵∠A=∠A，

∴△ACD∽△ABC．10．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AMB=∠EAF，∵BM⋅AE=AF⋅AM，即BMFA∴△ABM∽△EFA（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，∵AB=8，BM=6，∴AM=A∵F是AM的中点，∴AF=1∵△ABM∽△EFA，∴ABEF∴EF=11．A12．A13．C14．C15．C16．2417．618．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠CAD=∠ACB=45°，∠BAD=∠CDA=∠B=90°，∴∠BAM+∠MAD=90°，∵将线段AM绕点A顺时针旋转90°得到AN，∴∠MAN=90°，AM=AN，∴∠MAD+∠DAN=90°，∴∠BAM=∠DAN，∵AD=AB，AM=AN，∴△ABM≌△ADN(SAS).（2）证明：∵AM=AN，∠MAN=90°，∴∠MNA=45°，∴∠BCA=∠MNA，∵AM平分∠BAC，∴∠CAM=∠BAM=22.5°，∵∠DAN=∠BAM=22.5°，∴∠CAM=∠NAD，∴△AMC∽△AEN，∴∴AM·AN=AC·AE，∴AM2=AC·AE.19．（1）证明：∵CD⊥AB，∠ACB=90°，∴∠ADC=∠CDB=90°∵∠CAD+∠B=90°，∠CAD+∠ACD=90°∴∠B=∠ACD∵AF=BF∴∠B=∠BAC∴∠ACD=∠BAC∵∠ADC=∠EDA∴△ADC∽△EDA（2）解：∵△ADC∽△EDA∴ADED∵点E为CD的中点，AD∴DE=1在Rt△ADE中，AE=过点D作DG∥BC，交AE于点G，则G为AE中点∴GE=1∵点E为CD的中点，∠DEG＝∠CEF，∴△GED≌△FEC∴EF=GE∴EF=20．（1）证明：如图

∵∠BEA=∠BAD+∠C=∠CBE+∠C，∴∠BAD=∠CBE又∵在等边△ABC中，AB=BC∴△ABD≅△BCE（ASA），∴BD=CE（2）解：∵BD=CE,∴CD=AE=4又∵∠AEF=∠BEA∴∴BE⋅EF=A21．（1）

解：四边形AMDN为矩形，理由如下：

∵点M为AB的中点，点D为BC的中点，

∴MD∥AC．

∴∠AMD+∠A=180°，

∵∠A=90°，

∴∠AMD=90°，

又∵∠EDF=90°，

∴四边形AMDN为矩形．

（2）

解：连接AD．

在Rt△ABC中，∠BAC=90°,AB=6,AC=8，

∴∠B+∠C=90°，BC=AB2+AC2=10．

∵点D为BC的中点，

∴CD=12BC=5，AD=12BC=CD．

∴∠2=∠C．

∵∠EDF=90°，

∴∠MDB+∠1=90°，

∵∠B=∠MDB，

∴∠1=∠C．

∴∠1=∠2．

∵∠C=∠C，

∴22．（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴∠DAC=∠DCA=∠CAB=∠BCA，AB=DC，∵∠FBC=∠CAB，∴∠FBC=∠BCA，∴FB=FC，∵AF=2BF，∴AF=2CF，∵AB∥DC，∴∠CEF=∠ABF，∵∠EFC=∠AFB，∴△AFB∽△CFE，∴AFCF=∵AB=DC，∴DCCE故C