苏科版数学2026-2027学年八年级上册期中模拟实战演练卷

苏科版2026—2027学年八年级上册期中模拟实战演练卷数学（时间：90分钟满分：100分）一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．如图，AB//CD,∠A=50A．20∘ B．30∘ C．50∘2．如图，在△ABC中，已知点D、E分别为边BC、AD、上的中点，且S△ABC=4cmA．2cm2 B．1cm2 C．3．已知直角三角形的三边a，b，c满足c>a>b，分别以a，b，c为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为S1，均重叠部分的面积为S2，则()A．S1>SC．S1=S2 D．S4．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别在AD上和AD延长线上，且DE=DF，连接BF，CE，下列结论不正确的是（）A．△BDF≌△CDE B．△ABD和△ACD面积相等C．∠BAD=∠CAD D．BF∥CE5．如图，在△ABC中，AB的中垂线DE交AC于点D，交AB于E点，如果BE=6，△BDC的周长为18，那么△ABC的周长是（）A．24 B．30 C．32 D．346．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧交于点D，点E，作直线DE交BC于点F，连接AF，若∠B=50°，∠C=60°A．10° B．20° C．30° D．40°7．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形，其作法错误的是（）A． B．C． D．8．下列各式计算正确的是（）A．36=±6 B．±16=±4 C．(9．“赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理.如图，由两个全等的矩形AB-HC和矩形BDJE，与一个小正方形EFGH剪拼成大正方形CBJK，点A，B，D在一条直线上.若AD=7，EF=1，则拼补后的正方形CBJK的边长为（）A．5 B．6 C．43 D．10．如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝5，AD＝AE＝2，点P，Q，R分别是BC，DC，DE的中点.把△ADE绕点A在平面自由旋转，则△PQR的面积不可能是（）A．8 B．6 C．4 D．2二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)11．如图，三级台阶每一级的长、宽、高分别是5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程为cm.12．如图，AB∥CD，AE平分∠BAC，且与CD相交于点E，若∠C＝50°，则∠AEC的度数为．13．如图，在△ABC中，∠CAB=65°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使得CC14．如图所示，有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米．在圆柱的底面A点处有一只小蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的C点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是．（π取3）15．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A，点B为圆心，大于12AB长为半径画弧，两弧分别在AB上方、下方交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，S△ABD＝5，则S△ABC＝16．如图，等腰△ABC的底边BC长为6，面积是21，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为．三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．计算：（1）−3（2）−1202418．已知△ABC的三边a、b、c满足a+b−3c+6=0，a−b−2c+14=0，且a>b．（1）求c的取值范围；（2）若△ABC的周长为26，请判断△ABC的形状．19．已知一个正数m的两个平方根分别为3a+1和a−9．（1）数a与这个正数m是多少？（2）这个正数m的算术平方根和立方根是多少？20．如图，对于任意△ABC，BC，AC，AB的长分别为a，b，c，在其内部任取一点P，连接PA，PB，PC。（1）化简：|a+b-c|+|b-c-a|+|b+c-a|；（2）求证：121．图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架AC=8dm，AB=6 dm，两轮中心的距离BC=10 dm，滚轮半径r=1dm．（1）判断△ABC的形状，并说明理由．（2）若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离AD=13dm,AE=5dm，且AE⊥DE,AE和BC都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离．22．如图，C为线段AB上一点，以线段AC为腰作等腰直角三角形ACD，∠ACD=90（1）求证：△ACE≅△DCB;（2）试判断BD与AF的位置关系，并说明理由；（3）若BD平分∠ABF,CD=3DE,S23．某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的量关系”进行了探究：（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A=62°，则∠BPC=________；（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E，其中∠A=58°，求∠BEC的度数．（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，其中∠A=α．求∠BQC=________（用α表示）（4）如图4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，∠CBQ、∠BCQ的平分线交于点P，则延长BC至点E，∠ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，则∠R与∠BPC的数量关系为________．苏科版2026—2027学年八年级上册期中模拟实战演练卷数学（时间：90分钟满分：100分）一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．如图，AB//CD,∠A=50A．20∘ B．30∘ C．50∘【答案】B【解析】【解答】解：∵AB∥CD，

∴∠DOE=∠A=50°，

∵∠DOE=∠C+∠E，

∴∠E=∠DOE-∠C=50°-20°=30°。

故答案为：B。

【分析】根据平行线的性质，可求得∠EOD=∠A=50°，进一步根据三角形外角的性质，即可得出∠E=∠DOE-∠C=50°-20°=30°。2．如图，在△ABC中，已知点D、E分别为边BC、AD、上的中点，且S△ABC=4cmA．2cm2 B．1cm2 C．【答案】A【解析】【解答】∵D是BC的中点

∴S∆ADC=S∆ADB=12S∆ABC

∵E是AD的中点

∴S∆BED=12S∆ADB，3．已知直角三角形的三边a，b，c满足c>a>b，分别以a，b，c为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为S1，均重叠部分的面积为S2，则()A．S1>SC．S1=S2 D．S【答案】C【解析】【解答】解：∵直角三角形的三边a，b，c满足c>a>b

∴c为斜边，由勾股定理得，c2=a2+b2

由图可知S1=b(b−c+a)=b2+ab−bc

S24．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别在AD上和AD延长线上，且DE=DF，连接BF，CE，下列结论不正确的是（）A．△BDF≌△CDE B．△ABD和△ACD面积相等C．∠BAD=∠CAD D．BF∥CE【答案】C【解析】【解答】解：∵AD是△ABC的中线，

∴BD=CD，

在△BDF和△CDE中，

BD=CD∠BDF=∠CDEDF=DE，

∴△BDF≌△CDESAS，选项A正确，不符合题意；

∵BD=CD，

△ABD的边BD和△ACD的边CD上的高相同，

∴△ABD和△ACD面积相等，选项B正确，不符合题意；

∵AD是△ABC的中线，

∴AD不一定是△ABC的角平分线，

∴∠BAD和∠CAD不一定相等，选项C不正确，符合题意；

∵△BDF≌△CDE，

∴∠DBF=∠DCE，

∴BF∥CE，选项D正确，不符合题意，

故答案为：C．

【分析】根据AAS可证得△BDF≌△CDE，进而得出BD=CD，∠DBF=∠DCE，即可得出△ABD和△ACD面积相等，BF∥CE5．如图，在△ABC中，AB的中垂线DE交AC于点D，交AB于E点，如果BE=6，△BDC的周长为18，那么△ABC的周长是（）A．24 B．30 C．32 D．34【答案】B【解析】【解答】解：∵AB的中垂线DE交AC于点D，交AB于E点，BE=6，∴AD=BD，AE=BE=6，∴AB=AE+BE=12，∵△BDC的周长为18，∴BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=18，∴△ABC的周长为AC+BC+AB=18+12=30，故答案为：B．

【分析】利用线段垂直平分线的性质可证得AD=BD，同时求出AE的长，即可求出AB的长，利用△BCD的周长可求出BC+AC的长；然后求出△BDC的周长.6．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧交于点D，点E，作直线DE交BC于点F，连接AF，若∠B=50°，∠C=60°A．10° B．20° C．30° D．40°【答案】B【解析】【解答】解：由作图可知，EF垂直平分AB，

∴AF=BF，

∴∠B=∠BAF=50°，

∴∠AFB=180°-∠B-∠BAF=180°-50°-50°=80°，

∴∠CAF=∠AFB-∠C=80°-60°=20°.

故答案为：B.

【分析】利用作图可知，EF垂直平分AB，利用垂直平分线的性质和等边对等角可求出∠BAF的度数，再利用三角形的内角和定理求出∠AFB的度数，然后利用三角形外角的性质可求出∠CAF的度数.7．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形，其作法错误的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】【解答】A、由图可知，以点A为圆心，AC为半径画弧，交AB于点D，

∴AD=AC，

∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，

∴∠A=180°-∠C-∠B=60°，

又∵AD=AC，

∴△ADC是等边三角形，

∴∠ACD=60°，

∴∠DCB=∠ACB-∠ACD=30°，

又∵∠B=30°，

∴∠DCB=∠B，

∴DB=DC

∴△DBC是等腰三角形，

即此图中有两个等腰三角形，故A符合题意；

B、由图可知，DE是BC的垂直平分线，

∴△ABD和△ADC不一定等腰三角形，符合题意；

C、由图可知，分别以点B，点A为圆心，大于12AB为半径画圆弧，连接弧线，交BC于点E，交AB于点D，

∴△ABE是等腰三角形，不符合题意；

D、由图可知，分别以点B，点C为圆心，大于12BC为半径画圆弧，连接弧线，交BC于点D，交AB于点E，

∴△BEC和△AEC是等腰三角形，不符合题意；

故答案为：8．下列各式计算正确的是（）A．36=±6 B．±16=±4 C．(【答案】B【解析】【解答】解：A.36=6B.±16C.(−5D.−100无意义，原计算错误；故答案为：B.【分析】本题考查平方根和算术平方根，掌握平方根和算术平方根的定义是解题的关键.9．“赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理.如图，由两个全等的矩形AB-HC和矩形BDJE，与一个小正方形EFGH剪拼成大正方形CBJK，点A，B，D在一条直线上.若AD=7，EF=1，则拼补后的正方形CBJK的边长为（）A．5 B．6 C．43 D．【答案】A【解析】【解答】解：设AB=a，BD=b，根据题意得，a+b=7∴{∴AB=4,AC=3,∴BC=∴拼补后的正方形CBJK边长为5，故选：A.【分析】设AB=a，BD=b，根据题意列方程组求出AB和BD的长，然后根据勾股定理即可得到结论.10．如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝5，AD＝AE＝2，点P，Q，R分别是BC，DC，DE的中点.把△ADE绕点A在平面自由旋转，则△PQR的面积不可能是（）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】A【解析】【解答】解：连接BD、CE，BD的延长线交CE的延长线于O，AC交BO于H.∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，∠ABH＝∠OCH，∵∠AHB＝∠CHO，∴∠O＝∠BAH＝90°，∵点P，Q，R分别是BC，DC，DE的中点，∴PQ＝12BD，PQ∥BO，QR＝1∵BO⊥OC，∴PQ⊥RQ，PQ＝QR，∴△PQR是等腰直角三角形，∴S△PQR＝12•PQ2∵AB＝5，AD＝2，∴3≤BD≤7，∴32PQ≤7∴98≤12•PQ2≤∴△PQR的面积不可能是8，故答案为：A.

【分析】连接BD、CE，BD的延长线交CE的延长线于O，AC交BO于H、首先证明△PQR是等腰直角三角形，利用三角形的三边关系求出PQ的范围即可解决问题.二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)11．如图，三级台阶每一级的长、宽、高分别是5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程为cm.【答案】13【解析】【解答】解：如图，∵三级台阶平面展开图为长方形，宽为5cm，长为(3+1)×3=12(cm)，∴AB=则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程是13cm；故答案为：13.【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答.12．如图，AB∥CD，AE平分∠BAC，且与CD相交于点E，若∠C＝50°，则∠AEC的度数为．【答案】65°【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∴∠C+∠BAC=180°，∵∠C=50°，∴∠BAC=130°，∵AE平分∠BAC，∴∠EAC=1∴∠AEC=180°−(∠C+∠EAC)=65°．故答案为：65°．【分析】利用平行线的性质及角的运算可得∠BAC=130°，再利用角平分线的定义可得∠EAC=113．如图，在△ABC中，∠CAB=65°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使得CC【答案】50°【解析】【解答】解：∵∠CAB=65°,CC∴∠ACC由旋转的性质可得：AC=AC∴∠ACC∴∠CAC∴∠BAB故答案为：50°．【分析】根据直线平行性质可得∠ACC'=∠CAB=65°，再根据旋转性质可得AC=A14．如图所示，有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米．在圆柱的底面A点处有一只小蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的C点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是．（π取3）【答案】15厘米【解析】【解答】解：如图，展开圆柱的半个侧面，

∵两点之间线段最短，

∴AC即为最短路程，∵圆柱底面半径等于3厘米

∴AD等于圆柱的底面周长的一半即为3π=9厘米

由题意可知：CD=12厘米∴在直角三角形ADC中：AC=A∴沿圆柱侧面爬行的最短路程是15厘米；故答案为：15厘米．【分析】要求立体图形中A点相对的C点的最短路程，根据两点之间线段最短，首先要把A和C展开到一个平面内，因而展开圆柱的半个侧面，得到AC最短，根据已知数据利用勾股定理即可求出最短路程.15．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A，点B为圆心，大于12AB长为半径画弧，两弧分别在AB上方、下方交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，S△ABD＝5，则S△ABC＝【答案】152【解析】【解答】解：设MN与AB交于点E，由尺规作图的痕迹可知，直线MN是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD，DE⊥AB，AE=BE（线段垂直平分线的性质），∴∠DAB=∠B=30°（等边对等角），∴S△ADE=S△BDE=12S△ABD=12×5=在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=180°−∠C−∠B=180°−90°−30°=60°（三角形内角和为180°），∴∠CAD=∠CAB−∠DAB=60°−30°=30°，∴∠CAD=∠EAD=30°，即AD平分∠CAB。又∵DC⊥AC，DE⊥AB，∴CD=DE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。在Rt△ACD和Rt△AED中，AD=AD∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴S△ACD=S△AED=52∴S△ABC=S△ACD+S△ABD=52+5=15故答案为：15【分析】本题考查尺规作垂直平分线、线段垂直平分线的性质、角平分线的判定与性质、直角三角形全等的判定以及三角形面积的计算。先根据作图方法判断MN是AB的垂直平分线，利用垂直平分线的性质得到AD=BD，结合等腰三角形等边对等角的性质得到对应角度相等，进而推出△ADE与△BDE的面积相等；再根据直角三角形的内角和求出∠CAB的度数，得到AD是∠CAB的角平分线，依据角平分线上的点到角两边距离相等的性质得到CD=DE；接着通过HL定理证明Rt△ACD与Rt△AED全等，得到两个三角形面积相等；最后将△ACD与△ABD的面积相加，即可求出△ABC的总面积。16．如图，等腰△ABC的底边BC长为6，面积是21，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为．【答案】10【解析】【解答】解：∵△BDM的周长为BD+BM+DM，DB为定值，∴当BM+DM的值最小时，△BDM的周长最小，连接AD，AM，∵AB的垂直平分线为EF，∴A,B关于EF对称，∴BM+DM=AM+DM≥AD，∴当A,M,D三点共线时，BM+DM=AD，∵等腰△ABC，点D为底边BC的中点，∴AD⊥BC，BD=1∴S△ABC∴AD=7，∴△BDM的周长的最小值为BD+BM+DM=BD+AD=3+7=10；故答案为：10．【分析】连接AD，△BDM的周长最小，即BM+DM的值最小，根据A,B关于EF对称，得到BM+DM=AM+DM≥AD，即A,M,D三点共线时，BM+DM=AD最小即可解题．三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．计算：（1）−3（2）−12024【答案】（1）解：原式==−=−14（2）解：原式=1+=1−1−1=−1．【解析】【分析】（1）先将带分数化为假分数得−3（2）先运用乘方、立方根、算术平方根化简得1+−8（1）解：−==−=−14（2）解：−1=1+=1−1−1=−1．18．已知△ABC的三边a、b、c满足a+b−3c+6=0，a−b−2c+14=0，且a>b．（1）求c的取值范围；（2）若△ABC的周长为26，请判断△ABC的形状．【答案】（1）解：∵a+b−3c+6=0，a−b−2c+14=0∴变形整理得a+b=3c−6两式相加得2a=5c−20，即a=两式相减得2b=c+8，即b=∵a+b>c，∴代入得3c−6>c，解得c>3∵a+c>b，∴代入得5c−202解得c>∵b+c>a，∴代入得c+82解得c<14∵a>b，∴a−b=2c−14>0，解得c>7∵7>14∴c的取值范围是7<c<14；（2）解：∵△ABC的周长为26，∴a+b+c=26将a+b=3c−6代入得3c−6+c=26解得c=8，满足7<c<14将c=8代入得a=5×8−202∴b=c=8，a=10，有两边相等∴△ABC是等腰三角形．【解析】【分析】(1)先把已知两个等式整理成关于a+b，a-b的二元一次方程组a+b=3c−6a−b=2c−14，加减消元用含c的代数式表示a，b；再依次结合三角形三边关系a+b>c，a+c>b，b+c>a列出不等式3c−6>c，5c−202+c>c+82，c+819．已知一个正数m的两个平方根分别为3a+1和a−9．（1）数a与这个正数m是多少？（2）这个正数m的算术平方根和立方根是多少？【答案】（1）解：∵一个正数m的两个平方根分别为3a+1和a−9，∴3a+1+a−9=0，

解得a=2，

∴m=3a+1（2）解：∵m=49，

∴m的算术平方根为49=7，m的立方根为【解析】【分析】（1）由正数平方根性质：两平方根互为相反数，列出方程3a+1+a−9=0；解一元一次方程，算出a=2；将a代回平方根表达式，得到平方根数值，平方后求出m.

(2)由算术平方根定义：取m的正平方根，计算得7；由立方根定义，直接写出349（1）解：∵一个正数m的两个平方根分别为3a+1和a−9，∴3a+1+a−9=0，解得a=2，∴m=3a+1（2）解：∵m=49∴m的算术平方根为49=7，m的立方根为320．如图，对于任意△ABC，BC，AC，AB的长分别为a，b，c，在其内部任取一点P，连接PA，PB，PC。（1）化简：|a+b-c|+|b-c-a|+|b+c-a|；（2）求证：1【答案】（1）解：∵a，b，c为三角形的三边长，∴a+b>c，b-c<a，b+c>a，隐含条件：三角形三边关系∴|a+b-c|+|b-c-a|+|b+c-a|=a+b-c-b+c+a+b+c-a=a+b+c。（2）解：证明：由三角形三边关系，得PA+PB>c，PB+PC>a，PC+PA>b，三式相加，得2(PA+PB+PC)，a+b+c，∴PA+PB+PC>如图，延长BP交AC于点O。在△ABO中，PB+PO<c+AO，在△PCO中，PC<PO+CO，两式相加，得PB+PO+PC<c+AO+PO+CO，即PB+PC<c+b。同理可得，PA+PB<a+b，PC+PA<c+a，∴PA+PB+PC<a+b+c。故1【解析】【分析】

（1）由于a=aa⩾0−aa<021．图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架AC=8dm，AB=6 dm，两轮中心的距离BC=10 dm，滚轮半径r=1dm．（1）判断△ABC的形状，并说明理由．（2）若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离AD=13dm,AE=5dm，且AE⊥DE,AE和BC都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离．【答案】（1）解：△ABC是直角三角形，理由如下，

∵AC=8cm，AB=6Cm，BC=10cm，

又∵82+62=102（2）解：∵AE⊥DE，

∴∠E=90°，

∴DE=AD2−AE2=132−52=12dm，

如图所示，过点A作AG⊥BC于点G，

由（1）得，△ABC是直角三角形，

∴【解析】【分析】（1）运用勾股定理逆定理判定即可；（2）在Rt△ABC中，利用勾股定理算出DE=12dm，过点A作AG⊥BC于点G，利用等面积法建立方程求出AG的长，由平行线间的距离相等可得点D到地面的距离等于DE+AG+r，从而代值计算可得答案.（1）解：△ABC是直角三角形，理由如下，已知AC=8dm，AB=6 dm，BC=10 dm，∵82+6∴△ABC是直角三角形；（2）解：AD=13dm∴DE=A如图所示，过点A作AG⊥BC于点G，由（1）得，△ABC是直角三角形，∴S△ABC∴AG=AB·AC∴物车上篮子的左边缘D到地面的距离为DE+AG+r=12+4.8+1=17.8dm22．如图，C为线段AB上一点，以线段AC为腰作等腰直角三角形ACD，∠ACD=90（1）求证：△ACE≅△DCB;（2）试判断BD与AF的位置关系，并说明理由；（3）若BD平分∠ABF,CD=3DE,S【答案】（1）证明：∵△ACD是等腰直角三角形，∠ACD=90°，∴AC=DC，∠DCB=90°，∴∠ACE=∠DCB。在△ACE和△DCB中，AC=DC,∴△ACE≌△DCB(SAS)。（2）解：BD⊥AF。理由如下：如图，延长BD交AF于点H。由(1)，得△ACE≌△DCB，∴∠AEC=∠DBC。∵∠DBC+∠BDC=90°，∠BDC=∠EDH，∴∠AEC+∠EDH=90°，∴∠DHE=90°，∴BD⊥AF。（3）解：∵BD平分∠ABF，

∴∠FBH=∠ABH。由(2)，得∠BHA=∠BHF=90°。在△FBH和△ABH中∠FBH=∠ABH,∴△FBH≌△ABH(ASA)，∴BF=BA。∵CD=3DE，∴设DE=k(k>0)，则CD=3k，∴CE=DE+CD=4k，AC=CD=3k，∴BC=CE=4k，∴BF=BA=BC+AC=4k+3k=7k。又∵S∴∴k=1，∴BF=7。【解析】【分析】（1）依据等腰直角三角形的性质得出AC=DC，∠DCB=90°，从而得出∠ACE=∠DCB，此时利用SAS即可证明△ACE≌△DCB；

（2）结合（1）的证明结果，利用全等三角形的对应角相等得出∠AEC=∠DBC，“直角三角形锐角互余”列式并替换得出∠AEC+∠EDH=90°，从而得到∠DHE=90°，依据垂直的定义即可得出答案；

（3）依据角平分线的定义以及（2）的结论，综合利用ASA得出△FBH≌△ABH，从而得出BF=BA；然后用k来表示出DE=k、AC=3k，BF=7k，接着结合三角形面积公式列式求出k=1，即可得出BF的长度。23．某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的量关系”进行了探究：（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A=62°，则∠BPC=________；（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E，其中∠A=58°，求∠BEC的度数．（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，其中∠A=α．求∠BQC=________（用α表示）（4）如图4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，∠CBQ、∠BCQ的平分线交于点P，则延长BC至点E，∠ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，则∠R与∠BPC的数量关系为________．【答案】（1）121°（2）解：∵∠A=58°，∴∠ABD=∠A